Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12

Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020

MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút

Câu 1 ( 5,0 điểm)

1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y  cos x  sin x

2 Tìm m để phương trình 2 x4  4 x2   1 2 m  0 có đúng 5 nghiệm phân biệt

Câu 2 ( 5,0 điểm)

1 Chứng minh rằng C20201  2 C20202   1010 C20201010 1010.22019.

2 Tìm tất cả các cặp số thực   x y ; thỏa mãn xy  4 và

x  y   x  y xy 

Câu 3 ( 6,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ) I Gọi M D E , , lần lượt là trung điểm của , , ;

BC IB IC F G , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE Chứng minh rằng AM vuông góc FG

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho dãy số   xn được xác định bởi x1  2 và xn1 2  xn,   n 1. Chứng minh dãy số

  xn có giới hạn và tìm giới hạn đó

Câu 5 (2,0 điểm)

Xét các số thực dương a b c , , có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

b c c a a b abc P

Hết

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y  cos x  sin x

' sin cos

y   x  x;

2 4 ' 0

3

2 4

y

   



  



'' sin cos

y     k      y    k    

Vậy các điểm cực đại của hàm số là: 3

2 4

x    k 

; Các điểm cực tiểu của hàm số là: 2

4

x     k 

Câu 1 2 Tìm m để phương trình 2 x4  4 x2   1 2 m  0 có đúng 5 nghiệm phân biệt

2 x  4 x   1 2 m   0 2 x  4 x   1 2 m

Cách 1: Xét hàm số f x ( )  2 x4  4 x2  1 có BBT của hàm số f x ( ) và f x ( )

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số f x ( ) và đường thẳng y  m Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2 m  1 hay 1

2

m 

Cách 2: (HS 10,11) 2 x4  4 x2   1 2 m (1) Đặt 2  

t  x t  PTTT: 2 t2    4 t 1 2 m (2)

Xét hàm số f t ( )  2 t2   4 t 1 trên [0;) | ( ) | f t có đồ thị

Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1) Từ đó kết luận 1

2

m 

Cách 3: Nhận thấy nếu x0là nghiệm của (1) thì  x0 cũng là nghiệm của pt (1) Do đó nếu các nghiệm

0

i

x  thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn Vậy đk cần để pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm

x  , thế vào tìm được 1

2

m  Giải phương trình khi 1

2

m  và kết luận

Câu 2.1 Chứng minh rằng C20201  2 C20202   1010 C20201010 1010.22019.

Cách 1: Ta có:







2020







VT  C  C   C

Xét C20190  C12019  C20191009 C20191010  C20192019  22019 Mà C n k C n n k nên

Cách 2:

Xét (1  x )2020  C20200  xC20201  x C2 20202   x2020C20202020

Suy ra được:

2020(1  x )  C  2 xC   2020 x C

2020 2 2020 1010 2020 1011 2020 2020 2020 2020.2

1

Do đó:

2020





 Vậy: C20201  2 C20202   1010 C10102020  1010.22019

Câu 2.2 Tìm tất cả các cặp số thực   x y ; thỏa mãn xy  4 và

x  y   x  y xy 

S   x y P  xy S  P Từ giả thiết ta có: S2  4 P  S P (   8) 20  0

2

S  S P   P   Xét pt theo S   ( P  8)2   4( 4 P  20)  P2  16 Điều kiện

phương trình có nghiệm P  4 Kết hợp điều kiện của giả thiết ta có P  4, P   4

P     S (loại); P      4 S 6, x y , là 2 nghiệm của pt

2

X  X  

Vậy các cặp  x y ; :    3 13; 3   13 ,     3 13; 3   13 

Câu 3.1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

*Thể tích:

3 3 24

a

V 

*Khoảng cách giữa SB và AC :

Cách 1: Dựng Dđối xứng với C qua I ( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

d SB AC  d AC SBD  d I SBD  HK ACBD

là hình thoi, nên IB ID IS, , đôi một vuông góc

.

a d

d  SI  SB  SD  a  

Cách 2: *Kẻ đt BDsong song với AC ( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

d SB AC  d AC SBD  d I SBD  HK

3 4

a

HI  ;

2

a

SI 

2

IH SI a a

IK  IH  SI   IH SI   



Câu 3.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ) I Gọi M D E , , lần lượt là trung điểm của , , ;

BC IB IC F G , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE Chứng minh rằng AM vuông góc FG

Gọi Hlà giao điểm thứ 2 của MDvà đường tròn qua A B D, ,

Gọi Klà giao điểm thứ 2 của MEvà đường tròn qua A C E, ,

Ta có:

1 2

2

AKM  CEDM nên A H K, , thẳng hàng

Tam giác MDEvà MKH đồng dạng (Vì MED MHK ) Suy raME MK MD MH , hay M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn tâm F G,

Suy ra AM FG (Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm)

Câu 4

Cho dãy số   xn được xác định bởi x1  2 và xn1 2  xn,   n 1. Chứng minh dãy số

  xn có giới hạn và tìm giới hạn đó

HD: 0  xn  2,   n 1.

Ta có: xn1 xn  xn2  xn1.

1 2

x  ,x2  2  2 , x3  2  2  2 ,như vậy x3  x1 nên từ (*) ta suy ra  x2n1 là dãy giảm Cùng với tính bị chặn nên tồn tại lim 2n 1 .

Từ x3    x1 x4 x2 Tương tự tồn tại lim 2n .

Từ hệ thức truy hồi ở giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:

1 2

b



Do lim 2n 1 lim 2n 1

    nên lim n 1.

n

n

x

x





1

1

1 1

n

x

   

 

n

n

x

2

lim xn    1 0 lim xn   1 lim xn  1

Cách 3: 0  xn  2,   n 1.

Đặt x n 2 cosn, n 0; Ta có 1 ; 1 2 cos

1

n

1

.

n

         

1

n

Câu 5

2 2 2 18

.

b c c a a b abc

P

P

3

a b c ab bc ca

b c a

3

a b c

a b c

     

Ta có: 1 1 1 9

3

a    b c a b c 

  (2)

Đặt t 1 1 1 3

a b c

( ) 3

f t t

t

  trên [3;)

Ta có: f t ( ) 15   f (3) (3)

Vậy minP15 đạt được khi các đẳng thức (1), (2), (3) xảy ra

3

b c a

a b c

a b c

a b c

  





   





 





,hay a    b c 1.

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí