- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU (Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12
MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút, (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 3 2
3
y mx m x m x đồng biến trên 2;
b) Cho hàm số 2
1
y
x
có đồ thị là (C) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
d y x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác sau
cos 2sin 1
3 sin 1 2sin 1
b) Giải hệ phương trình sau 2 2
,
x y
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABa, AC2a, 3 6
2
a
AA và góc 60
BAC Gọi M là điểm trên cạnh CC sao cho CM 2MC
a) Chứng minh rằng AM B M
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng AB M
Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số u n có số hạng tổng quát
2
1
1
n
n
Tính limu u u1 2 3 u n
Câu 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi H có n đỉnh ( n ,n4) Biết số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh
của H và không có cạnh nào là cạnh của H gấp 5 lần số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của H và
có đúng một cạnh là cạnh của H Xác định n
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường
chéo AC là x y 1 0, điểm G 1; 4 là trọng tâm tam giác ABC, điểm E0; 3 thuộc đường cao kẻ từ
D của tam giác ACD Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD
bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương
Trang 22 2 2
1
-HẾT -
HƯỚNG DẪN CHẤM
1 a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1
3
y mx m x m x đồng biến trên 2;
1
2 6
2 3
x
0,25
Ta có:
2
2 2
3 6
2 3
x x
0,25
0,25
b) Cho hàm số 2
1
mx m y
x
có đồ thị là (C) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để đường thẳng d y: 2x1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc
giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45
1
Phương trình hoành độ:
2
1
2
x
mx m
0,25
Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi m 1 m 5
Khi đó, 3
2
m
0,25
Trang 3Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc 45 là:
2
2
0,25
7 12 0
4
m
m
0,25
2
a) Giải phương trình lượng giác sau
cos 2sin 1
3 sin 1 2sin 1
1
ĐKXĐ:
sin 1
1 sin
2
x x
Phương trình đã cho biến đổi thành:
sin 2xcosx 3 2sin xsinx1
sin 2x cosx 3 sinx cos 2x
0,25
0,25
7
18 3
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là: 5 2
,
18 3
b) Giải hệ phương trình sau 2 2
,
x y
1
ĐK: 2 0
y
x x y
Biến đổi phương trình đầu về dạng:
2
2
2
1 3
y
y x
l x
0,5
Thay yx23 vào phương trình thứ hai, ta được: 0,25
Trang 42x 3 3x 2 2 Vế trái pt là hàm đồng biến trên 2;
3
mà x2 là
nghiệm nên nghiệm đó duy nhất Suy ra:
2
3
(tm)
Vậy, nghiệm của hệ là: 2 31
3 9
0,25
3
Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABa, AC2a, 3 6
2
a
AA và góc 60
BAC Gọi M là điểm trên cạnh CC sao cho CM 2MC
a) Chứng minh rằng AM B M
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng AB M
2
a) Chứng minh rằng
AM B M
Từ giả thiết CM 2MC
suy ra:
6
6,
2
a
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC
3
0,5
Sử dụng Pitago, dễ dàng tính được:
2
, AM 10 2
a
và
2
2 9
B M
2
a
0,25
Từ đó suy ra:
AB AM B M hay tam giác AB M vuông tại
M
0,25
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng AB M Đặt N AMA C ,
gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên B N và H là hình chiếu vuông góc của
0,25
Trang 5A lên AK Ta có B N AK B N A H A H AB M
A H AK
Do NC M ACM theo tỉ số 1
2
k nên dễ dàng suy ra: C N a và theo định
lí cosin suy ra: B N a 7
0,25
1
2 .3 sin 60
14 7
A B N
a a
A K
0,25
Trong tam giác vuông AA K ta có: 1 2 1 2 1 2 3 10
10
a
A H
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng AB M bằng 3 10
10
a
0,25
4
Cho dãy số u n có số hạng tổng quát
2
1
1
n
n
Tính limu u u1 2 3 u n
1
Ta có:
2 2 *
2 1
n
n n
0,25
2 1.3 2.4 3.5 4.6 1 2
n
u u u u
n n
0,5
Do đó, 1 2 3 1
lim
2
n
5 Cho đa giác lồi H có n đỉnh ( n ,n4) Biết số các tam giác có ba đỉnh là
đỉnh của H và không có cạnh nào là cạnh của H gấp 5 lần số các tam giác
có ba đỉnh là đỉnh của H và có đúng một cạnh là cạnh của H Xác định n
1
Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) là: 3
n
Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng 2 cạnh là cạnh của (H) là: n 0,25
Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) là:
4
0,25
Trang 6
35
n
n ktm
n tm
Vậy đa giác (H) có 35 đỉnh
6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình
đường chéo AC là x y 1 0, điểm G 1; 4 là trọng tâm tam giác ABC, điểm
0; 3
E thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD Tìm tọa độ các đỉnh của
hình bình hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có
tung độ dương
1
Vì DE AC nên
Ta có,
1 1; 4
2 4 1 2
d G AC d B AC d D AC
t
0,25
Vì D và G nằm khác phía so với AC nên D1; 4 B 1;8 B x: 1 0,25
Vì AACA a a ; 1 Từ gt S AGCD 32S ABD24 nên
1
d A B DB a
0,25
Từ ADBCC 3; 2 Vậy tọa độ 4 đỉnh của hình bình hành là:
5;6 , 1;8 , 3; 2 , 1; 4
0,25
7 Cho a b c, , 0 và a b c 3 Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
Đưa bất đẳng thức về dạng: 2 1 2 1 2 1 1
Ta chứng minh BĐT phụ: 2 1 4
, 0;3
x
x
x x
Thật vậy, ta có: BĐT phụ tương đương với: 2
x x luôn đúng,
0,25
Trang 7Dấu bằng xảy ra khi x1
Vì a, b, c là ba số dương có tổng bằng 3 nên: 0a b, , c3
Áp dụng BĐT phụ cho 3 số a, b, c:
0,25
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên , ta có:
12
1
a b c
0,25
Dấu bằng xảy ra khi a b c 1 0,25
-HẾT -
Trang 8Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí