Ứng dụng lý thuyết đồ thị trong giải toán phổ thông

c Nếu A liên thông với B và B liên thông với C thì A liên thông với C.Quan hệ liên thông này chia tập đỉnh của đồ thị thành các lớp có tính chất sau:1 Các đỉnh cùng thuộc một lớp thì liê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

¾¾¾¾¾¾¾¾¾

LÊ BÌNH LONG

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

¾¾¾¾¾¾¾¾¾

LÊ BÌNH LONG

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng – Năm 2017

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướngdẫn TS Cao Văn Nuôi đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện để

em có thể hoàn thành được luận văn này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đã tậntình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học

Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo và đồng nghiệp trườngTHPT chuyên Lê Thánh Tông, Quảng Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ và động viên

em trong quá trình học tập

LÊ BÌNH LONG

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Cao Văn Nuôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

LÊ BÌNH LONG

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

Chương 1 ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 3 1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ví dụ về đồ thị vô hướng 3

1.1.3 Đồ thị đẳng cấu 4

1.1.4 Dùng ma trận để biểu diễn đồ thị 4

1.1.5 Đồ thị con, đồ thị thành phần, đồ thị sinh 6

1.2 CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 7

1.2.1 Bậc của đỉnh trong đồ thị 7

1.2.2 Đường đi 9

1.2.3 Liên thông 9

1.2.4 Chu trình của đồ thị 10

1.2.5 Chỉ số ổn định trong 14

1.2.6 Sắc số 15

1.3 MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐƠN VÔ HƯỚNG 17

1.3.2 Đồ thị đều 20

1.3.3 Đồ thị lưỡng phân 20

1.3.4 Cây và bụi 21

1.3.5 Đồ thị phẳng 23

Chương 2 ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG 25 2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ 25

2.1.1 Định nghĩa đồ thị có hướng 25

2.1.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra 25

2.1.3 Dây chuyền - liên thông 25

2.2 MỘT SỐ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG ĐẶC BIỆT 27

2.2.1 Đồ thị phản chu trình 27

2.2.2 Turnier 28

Chương 3 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG 33 3.1 DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU SANG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ 33

3.1.1 Dấu hiệu cơ bản 33

3.1.2 Phương pháp chuyển đổi mô hình 33

3.2 ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ 34

3.3 ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH 38

3.4 TÔ MÀU ĐỒ THỊ 43

3.5 ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI 54

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, bài toán Tổ hợp luôn có mặt trong đề thi chọn họcsinh giỏi Quốc gia, đề thi Olympic khu vực và Quốc tế Một trong những công cụmạnh để giải quyết bài toán Tổ hợp là Lý thuyết đồ thị

Hiện nay, Lý thuyết đồ thị cũng được Bộ giáo dục quy định là một chuyên đềphải dạy chuyên sâu đối với học sinh chuyên Toán bậc trung học phổ thông, làmột nội dung được quy định trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia Tài liệu về

Lý thuyết đồ thị đã được một số tác giả quan tâm biên soạn song ít chú trọng vàophương pháp đồ thị hóa các bài toán

Với mong muốn có một tài liệu tương đối đầy đủ về Lý thuyết đồ thị để giảngdạy cho học sinh chuyên Toán, cùng với sự hướng dẫn của Thầy giáo Cao VănNuôi, tôi đã chọn đề tài : « Ứng dụng Lý thuyết đồ thị trong giải Toán phổ thông »cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các kiến thức về Lý thuyết đồ thị được dùng trong chương trìnhToán phổ thông

- Xây dựng phương pháp vận dụng Lý thuyết đồ thị trong giải Toán phổ thông

- Nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ để phục vụ cho công tác giảng dạy,bồi dưỡng học sinh giỏi

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các nội dung cơ bản của Lý thuyết đồ thị được sử dụng trong kỳthi học sinh giỏi quốc gia: tính chất cơ bản của đồ thị vô hướng và có hướng, tínhchất cơ bản của đường đi và chu trình Euler, đường đi và chu trình Hamilton, định

lý Turan; các vận dụng tính chất của đồ thị, tô màu đồ thị, các bài toán tổ hợp cóthể giải được bằng Lý thuyết đồ thị

- Ngoài ra, luận văn cũng đề cập đến một số bài toán đồ thị thuần túy có sửdụng các kiến thức cơ bản của đồ thị

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu để tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đềtài

- Sưu tầm các đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia, khu vực và quốc tế có liênquan đến Lý thuyết đồ thị.

- Hệ thống hóa lý thuyết và các đề thi đã thu thập

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có thể sử dụng như là tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu tham khảodành cho học sinh chuyên Toán, sinh viên và giáo viên giảng dạy Toán quan tâmđến Lý thuyết đồ thị

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1: Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị vô hướng

Chương 2: Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị có hướng

Chương 3: Tác giả trình bày một số dấu hiệu sử dụng phương pháp đồ thị vàcách chuyển từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị, các ví dụ minh họa và ápdụng giải một số đề thi

CHƯƠNG 1

ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

1.1.1 Định nghĩa 1.1 Một đồ thị vô hướng (hữu hạn) là một tập hợp hữu

hạn các điểm (gọi là đỉnh của đồ thị) cùng với tập hợp các đoạn đường cong haythẳng (gọi là cạnh của đồ thị) có các đầu mút tại các đỉnh của đồ thị Đồ thị thườngđược ký hiệu là G=(V;E) với V là tập đỉnh và E là tập cạnh của đồ thị

Các đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C, hoặcđánh số thứ tự 1, 2, 3, Cạnh nối hai đỉnh A, B được ký hiệu là AB hoặc BA

Nếu có nhiều cạnh cùng nối hai điểm thì ta gọi các cạnh này là cạnh kép hay

cạnh song song

Nếu hai đầu mút của một cạnh trùng nhau thì ta gọi cạnh này là khuyên Hai đỉnh A, B được gọi là kề nhau nếu chúng được nối bởi một cạnh Một đỉnh không là đầu mút của cạnh nào cả thì được gọi là đỉnh cô lập.

Một đồ thị vô hướng không có khuyên và không có cạnh kép được gọi là đồ

thị đơn

1.1.2 Ví dụ về đồ thị vô hướng

Hình 1.1 cho một đồ thị vô hướng có 4 đỉnh A, B, C, D và 4 cạnh AB, BC,

CD, DA Đồ thị được biểu diễn bởi 2 cách khác nhau

Hình 1.1: đồ thị vô hướng

Trong hình 1.2, đồ thị có 4 đỉnh A, B, C, D trong đó: AA là khuyên, cạnh AB

là cạnh song song, C là đỉnh treo, D là đỉnh cô lập

Hình 1.2: ví dụ về khuyên, cạnh song song, đỉnh cô lập, đỉnh treo

1.1.3 Đồ thị đẳng cấu

Định nghĩa 1.2 Hai đồ thị G1(V1; E1) và G2(V2; E2) được gọi là đẳng cấu với

nhau (được coi chỉ là một đồ thị) nếu tồn tại một song ánh f : V1→ V2 sao cho haiđỉnh A và B kề nhau trong G1 khi và chỉ khi f (A), f (B) kề nhau trong G2

Nhận xét Nếu hai đồ thị đẳng cấu với nhau thì chúng có cùng số đỉnh và số

cạnh Điều ngược lại không đúng

Nhận xét Từ định nghĩa trên ta suy ra ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn

đối xứng qua đường chéo chính và phụ thuộc vào cách đánh số thứ tự các đỉnh

Ma trận kề của đồ thị đơn là ma trận 0 - 1, tức là ma trận chỉ có các số 0 và 1

Ví dụ Đồ thị cho ở hình 1.5 có biểu diễn là ma trận kề như hình 1.6.

Định nghĩa 1.4 Cho đồ thị vô hướng G(V ; E) có n đỉnh là A1, A2, , An và

có m cạnh là e1, e2, , em Ma trận liên thuộc của G là ma trận A = (ai j)nxm trong

đó ai j bằng 0 nếu cạnh ej không chứa đỉnh Ai và ai j bằng 1 nếu cạnh ej chứa đỉnh

Ai

Ví dụ Đồ thị ở hình 1.7 có ma trận liên thuộc như hình 1.8.

Hình 1.7: Đồ thị Hình 1.8: Ma trận liên thuộc

1.1.5 Đồ thị con, đồ thị thành phần, đồ thị sinh

Định nghĩa 1.5 Cho đồ thị G1(V1; E1) Đồ thị G2(V2; E2) được gọi là đồ thị

concủa G nếu V2⊆ V1và E2⊆ E1

Định nghĩa 1.6 Cho đồ thị G2(V2; E2) là đồ thị con của đồ thị G1(V1; E1)

G2được gọi là đồ thị thành phần của G1 nếu mọi cạnh của G1 nối 2 đỉnh của G2cũng là cạnh của G2

Định nghĩa 1.7 Cho đồ thị G1(V1; E1) và V2 ⊆ V1 Ta gọi đồ thị thành phần

G2 của G1 với tập đỉnh V2 là đồ thị sinh ra bởi tập đỉnh V2 trong G1, ký hiệu là

G1[V2]

Ví dụ Đồ thị K5 trong hình 1.9 có đồ thị con là đồ thị có các cạnh được tôđậm và 4 đỉnh nằm trên các cạnh đó Nếu thêm vào đồ thị con này hai cạnh a và bthì ta được đồ thị thành phần

Hình 1.9: Đồ thị K5

1.2 CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

1.2.1 Bậc của đỉnh trong đồ thị

Trong phần này ta luôn giả sử đồ thị được ký hiệu là G(V ; E)

Định nghĩa 1.8 Bậc của đỉnh trong đồ thị là số cạnh xuất phát từ đỉnh đó (các

khuyên được tính gấp đôi) Bậc của đỉnh A trong đồ thị G(V ; E) được ký hiệu làdeg(A), dG(A) hoặc d(A) Bậc nhỏ nhất của đỉnh trong đồ thị G(V ; E) ký hiệu là

δ (G), bậc lớn nhất của đỉnh trong đồ thị G(V ; E) ký hiệu là ∆(G)

Nhận xét Từ định nghĩa trên ta có: Bậc của đỉnh là số nguyên không âm, đỉnh

Nhận xét Vì tổng số bậc bằng hai lần số cạnh nên tổng số bậc của các đỉnh

trong một đồ thị bao giờ cũng là số chẵn

Hệ quả 1.2 [1] Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.

Chứng minh.Gọi V1 là tập đỉnh có bậc lẻ, V2 là tập đỉnh có bậc chẵn Theo định

khác vì d (v) lẻ với v ∈ V1 nên trong tổng ∑

v∈V1

d(v) phải có chẵn các số hạng haytrong V1phải có chẵn đỉnh lẻ

Từ hệ quả trên ta nhận thấy nếu đồ thị G có lẻ đỉnh thì số đỉnh bậc chẵn phải

đó có A, do đó A không thể có bậc là 0 Ngược lại nếu A có bậc là 0 thì A khôngnối với B nên B có bậc nhiều nhất là (n – 2) Khi đó ta có n đỉnh, mỗi đỉnh chỉ cóthể là một trong (n – 1) bậc (từ 0 đến (n – 2) hoặc từ 1 đến (n – 1)) Vì vậy theonguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai đỉnh cùng bậc

Tổng quát hơn ta có định lý sau:

Định lý 1.4 [3] Nếu một đồ thị đơn n đỉnh (n > 2) có 2 đỉnh cùng bậc thì đồ

thị phải có đúng 1 đỉnh bậc 0 hoặc một đỉnh bậc (n −1)

Chứng minh.Trước hết, ta có nếu đồ thị G có hai đỉnh cùng bậc thì bậc đó khôngthể là 0 hoặc (n – 1) Thậy vậy, nếu G có hai đỉnh cùng bậc và là bậc 0 (các đỉnhkhác có bậc đôi một khác nhau) thì khi loại bỏ hai đỉnh cô lập này đi ta được một

đồ thị G’ có (n – 2) đỉnh có bậc đôi một khác nhau, điều này trái với định lý 1.3nói trên Còn nếu G có hai đỉnh cùng bậc là (n – 1) thì đồ thị bù G” của G có haiđỉnh cùng bậc 0 và các đỉnh khác có bậc đôi một khác nhau, điều này không xảy

ra do trái với định lý 1.3

Như vậy, G phải có đúng hai đỉnh cùng bậc là k (k 6= 0 và k 6= (n − 1)) Suy ra

G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc có đúng một đỉnh bậc (n – 1) (nếu không thì

G phải có hai đỉnh nữa có cùng bậc j 6= k, trái giả thiết)

Định lý 1.5 [7] Cho đồ thị G(V ; E) Khi đó ta có: ∑

trong vế trái của đẳng thức cần chứng minh đại lượng d(X) xuất hiện d(X) lần Do

đó ta có điều phải chứng minh

Đặc biệt đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị được gọi là đường đi Hamilton.

Trong trường hợp đồ thị G là đồ thị đơn thì đường đi H có thể được ký hiệu là

H = (A1, A2, , Am)

Số cạnh của đường đi H được gọi là độ dài của đường đi, ký hiệu là l (H).

Ví dụ Trong hình 1.12, ta có một đường đi được tô đậm từ A đến G và đường

đi này có độ dài bằng 4

1.2.3 Liên thông

Định nghĩa 1.11 Hai đỉnh A và B của đồ thị được gọi là liên thông nếu có

một đường đi nối A và B

Một đồ thị G được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của G đều liên thông Một cạnh CD được gọi là cầu nếu bỏ đi cạnh CD thì hai điểm C, D không còn liên

thông nữa

Nhận xét: Quan hệ liên thông của hai đỉnh có tính chất sau:

Hình 1.12:

(a) Mỗi đỉnh A liên thông với chính nó

(b) Nếu A liên thông với B thì B liên thông với A

(c) Nếu A liên thông với B và B liên thông với C thì A liên thông với C.Quan hệ liên thông này chia tập đỉnh của đồ thị thành các lớp có tính chất sau:(1) Các đỉnh cùng thuộc một lớp thì liên thông với nhau

(2) Các đỉnh không cùng một lớp thì không liên thông với nhau

Các lớp đỉnh này là đỉnh của các đồ thị thành phần liên thông trong một đồ thị G

cho trước được gọi là thành phần liên thông của đồ thị đã cho.

Ví dụ Trong hình 1.13 ta có một đồ thị gồm hai thành phần liên thông.

Hình 1.13:

1.2.4 Chu trình của đồ thị

Định nghĩa 1.12 Cho trước đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E Một dãy

cạnh dạng ei = (Ai, Ai+1) với i = 1, 2, , m được gọi là một chu trình nếu các đỉnh

A1, A2, , Am đôi một khác nhau và Ai = Am+1 Đặc biệt chu trình qua tất cả các

đỉnh của đồ thị được gọi là chu trình Hamilton Một chu trình thường được ký

hiệu là H = (A1, e1, A2, e2, , em, Am+1= A1)

Nhận xét Một khuyên lập thành một chu trình có độ dài 1 Một đồ thị có chu

trình độ dài 2 khi nó có cạnh kép Do đó, trong đồ thị đơn, một chu trình có độ dài

ít nhất là 3

Các định lý sau cho ta điều kiện đủ để một đồ thị có chu trình

Định lý 1.6 [12] Cho trước đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E Nếu bậc

của một đỉnh bất kỳ trong G không nhỏ hơn 2 thì G phải có ít nhất một chu trình.

Chứng minh.Ta xuất phát từ một đỉnh và đi theo các cạnh của đồ thị Do bậc củamỗi đỉnh không nhỏ hơn 2 nên khi ta đi vào mỗi đỉnh chưa đi qua ta lại có thể đi

ra khỏi đỉnh đó cho tới khi ta đi tới một đỉnh đã qua rồi Do đó ta thu được mộtchu trình

Định lý 1.7 [12] Một đồ thị có n đỉnh và có không ít hơn n cạnh luôn có ít

nhất một chu trình.

Chứng minh.Ta chứng minh bằng quy nạp

Với n = 1, 2 mệnh đề hiển nhiên đúng vì một đồ thị như vậy phải có khuyên hoặccạnh kép, tức là có chu trình

Giả sử mệnh đề đúng với n, nghĩa là một đồ thị tùy ý có n đỉnh và có không ít hơn

n cạnh luôn có chu trình, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng cho mọi đồ thị G có(n + 1) đỉnh và không ít hơn (n + 1) cạnh tùy ý Vì đồ thị có khuyên hoặc có cạnhkép luôn có chu trình nên ta giả sử G là đồ thị đơn

Xét đồ thị G có (n + 1) đỉnh và không ít hơn (n + 1) cạnh bất kỳ Xét con đường

W có độ dài lớn nhất (có nhiều cạnh nhất) trong đồ thị G đã cho Giả sử A và B làhai đỉnh đầu và cuối của W Khi đó mọi đỉnh kề với B phải thuộc W Thật vậy, giả

sử có một đỉnh C kề với B nhưng không thuộc W thì ta có thể bổ sung thêm C vào

W để có một con đường dài hơn W, vô lý Xét hai trường hợp:

(1) Bậc của B không nhỏ hơn 2

Khi đó B phải kề với ít nhất một đỉnh C nào đó trên W Gọi W1 là đoạn đườngnằm trên W đi từ C đến B, và do đó ta có một chu trình đi qua B và qua C khi bổsung thêm cạnh BC vào W1

(2) Bậc của B bằng 1 Ta xét đồ thị G1 sinh ra từ G bằng cách bỏ đỉnh B Khi

đó G1 có n đỉnh và không ít hơn n cạnh nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại một chutrình trong G1 và đây cũng là chu trình cần tìm trong G

Khái niệm đường đi Hamilton và chu trình Hamilton là các khái niệm quantrọng thường được khai thác trong toán phổ thông Sau đây ta đưa ra một số kếtquả quan trọng cho hai khái niệm này

Định lý 1.8 (Dirac) [1] Một đồ thị đơn có n đỉnh (n ≥ 3) và mọi đỉnh X của

G đều có d (X ) ≥ n2 thì G có chu trình Hamilton.

Chứng minh.Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử G không có chu trình Hamilton Ta thêm vào một số đỉnh mới và nối mỗiđỉnh này với mọi đỉnh của G, ta thu được đồ thị mới G0 Giả sử k (lớn hơn 0) là sốđỉnh tối thiểu cần thiết thêm vào G để G0 chứa một chu trình Hamilton Như vậy

G0 có n + k đỉnh

Gọi p là một chu trình Hamilton AYB A trong G0, trong đó A và B thuộc G và Y

là đỉnh mới Khi đó B không kề với A vì nếu ngược lại thì ta bỏ đỉnh Y sẽ có đượcchu trình Hamilton, trái với giả thiết về tính tối thiểu của k Hơn nữa nếu A0 là mộtđỉnh nào đó (khác với Y) kề với A và B0 là đỉnh kế tiếp của A0 trong p thì B0 khôngthể là đỉnh kề của B, vì nếu trái lại thì ta có thể thay p bởi chu trình AA0 BB0 Atrong đó không có Y Như vậy với một đỉnh kề với A ta có một đỉnh không kề với

B, tức số đỉnh không kề với B không ít hơn số đỉnh kề với A (số đỉnh kề với Akhông nhỏ hơn n2+ k) Mặt khác, theo giả thiết, số đỉnh kề với B cũng không nhỏhơn n2+ k Vì không có đỉnh nào vừa kề với B lại vừa không kề với B nên số đỉnhcủa G0 không ít hơn 2 n2+ k
= n + 2k, mâu thuẫn với giả thiết G0 có n + k đỉnh

Do đó ta có điều phải chứng minh

Bằng phương pháp phản chứng tương tự, ta có thể chứng minh được một tínhchất tổng quát hơn định lý 1.8:

Định lý 1.9 [1] Một đồ thị đơn có n đỉnh và hai đỉnh bất kỳ nào của G cũng

có tổng số bậc không nhỏ hơn n thì G có chu trình Hamilton.

Định lý 1.10 [1] Một đồ thị đơn có n đỉnh (n ≥ 1) và mọi đỉnh X của G đều

có d (X ) ≥ n−12 thì G có đường đi Hamilton.

Chứng minh Nếu n = 1 thì G có đường đi Hamilton tầm thường

Giả sử n > 1 Ta lập đồ thị H bằng cách thêm vào G đỉnh A và tất cả các cạnh nối

A với mọi đỉnh của G Khi đó đồ thị H có n + 1 đỉnh, d (A) = n và với mọi đỉnh Ytùy ý thuộc G luôn có d (B) ≥ n−12 + 1 = n+12 ≥ n2 Như vậy mọi đỉnh trong H luôn

có số bậc ≥ n2 Theo định lý 1.8 thì H có chu trình Hamilton p Trong p, bỏ đi đỉnh

A và các cạnh tới A thì ta được đường đi Hamilton trong G

Định lý 1.11 [7] Một đồ thị có n đỉnh (n ≥ 3) liên thông và thuần nhất bậc 2

(mọi đỉnh của đồ thị đều có cùng số bậc là 2) luôn có chu trình Hamilton.

Chứng minh Giả sử G là đồ thị liên thông và thuần nhất bậc hai

Vì G có hữu hạn đỉnh nên số đường đi sơ cấp trong G là hữu hạn Gọi (α) =(X1, X2, , Xk) là một trong những đường đi sơ cấp có độ dài lớn nhất

Nếu k < n thì trong G phải có một đỉnh Y không thuộc (α) Vì G liên thông nên

phải có một đỉnh Xi ∈ (α) kề với Y.

Nếu i ∈ {2, 3, , k − 1} thì d(Xi) > 2, vô lý vì G thuần nhất bậc 2

Nếu i = 1 hoặc i = k thì ta có đường đi sơ cấp có độ dài lớn hơn (α) bằng cách

bổ sung vào (α) điểm Y ở đầu (i = 1) hoặc bổ sung Y ở cuối (i = k), điều này tráivới cách chọn (α) Do đó ta phải có k = n, suy ra (α) là đường đi Hamilton trongG

Vì d(X1) = d(X2) = 2 nên X1phải kề với Xnvì nếu X1kề với Xjvới j ∈ {3, , n − 1}thì d(Xj) > 2, vô lý vì G thuần nhất bậc 2 Khi đó (α) cũng chính là chu trìnhHamilton trong G

Định lý 1.12 [7] Một đồ thị G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi G có một

đồ thị bộ phận liên thông và thuần nhất bậc 2 (mọi đỉnh của đồ thị bộ phận đều

có cùng số bậc là 2).

Chứng minh

Điều kiện cần.Hiển nhiên, vì nếu G có chu trình Hamilton thì chu trình này chính

là đồ thị bộ phận của G liên thông và thuần nhất bậc 2

Điều kiện đủ.Giả sử G (V, E) có đồ thị bộ phận G0(V, E0) liên thông và thuần nhấtbậc 2 Khi đó, theo định lý 1.10, G0(V, E0) có chu trình Hamilton Rõ ràng chutrình Hamilton này cũng là chu trình Hamilton trong G

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.13 [5] Một đường đi Euler trong đồ thị là một đường đi đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần Một chu trình Euler là một đường đi Euler và là một chu trình Đồ thị có đường đi Euler được gọi là đồ thị

nửa Euler Đồ thị có chu trình Euler được gọi là đồ thị Euler.

Định lý 1.13 (định lý Euler) [5] Một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị nửa

Euler khi và chỉ khi nó có nhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ.

Một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó đều có bậc chẵn.

Chứng minh Giả sử G là đồ thị nửa Euler, xét một đường đi Euler trong G và xétmột đỉnh X trong đường đi này (mà không phải là điểm đầu hay điểm cuối) Vì sốlần đến X và đi khỏi X bằng nhau nên số cạnh liên thuộc với X là số chẵn Nhưvậy đồ thị cùng lắm có hai đỉnh bậc lẻ (là đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi).Nếu đồ thị là Euler thì thì nó có chu trình Euler, khi đó đỉnh đầu và đỉnh cuối vàcác đỉnh khác có vai trò như nhau, nên tất cả các đỉnh đều có bậc chẵn Ngược lại,giả sử G có các đỉnh đều bậc chẵn, ta chứng minh G có chu trình Euler Xét chutrình C không đi qua cạnh nào quá một lần và có độ dài lớn nhất trong G, ta chứng

minh C đi qua tất cả các cạnh của G, nghĩa là nó là chu trình Euler Giả sử điềunày sai, như vậy có một cạnh (U,V) của G không thuộc C với đỉnh U nằm trong

C (vì nếu không thì C là một thành phần liên thông của G) Ta xây dựng chu trìnhC’ không có cạnh nào chung với C xuất phát từ cạnh (U,V) Vì số cạnh liên thuộcvới V nằm trong C là một số chẵn và (U,V) không thuộc C nên phải có ít nhất mộtcạnh khác liên thuộc với V và không nằm trong C, giả sử là (V,W) Ta lại tiếp tụclập luận với W, như vậy, ta sẽ tiếp tục được đường đi, cho đến khi nó phải dừnglại Khi dừng lại đường đi sẽ dừng lại ở một đỉnh không còn cạnh liên thuộc để đi

ra, mọi đỉnh của đường đi có chẵn cạnh liên thuộc đều đã sử dụng, mà mới có mộtcạnh liên thuộc với U được sử dụng nên khi dừng lại nó phải dừng lại tại U Nhưvậy ta có một chu trình C’ không có cạnh chung với C và có đỉnh chung là U Xétchu trình hợp của C và C’, ta thu được chu trình mới đi qua mỗi cạnh không quámột lần và có độ dài lớn hơn C, mâu thuẫn với cách chọn C Như vậy G có chutrình Euler

Cuối cùng ta chứng minh đồ thị G với nhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ có đường điEuler Theo hệ quả 1.2, một đồ thị như vậy có 0 hoặc 2 đỉnh bậc lẻ Nếu G không

có đỉnh bậc lẻ thì G là đồ thị Euler nên là đồ thị nửa Euler Nếu G có 2 đỉnh bậc lẻthì ta nối hai đỉnh bậc lẻ lại để có đồ thị chỉ gồm các đỉnh bậc chẵn Ta đã biết đồthị mới này có chu trình Euler Đi dọc theo chu trình này sao cho cạnh cuối cùng

là cạnh mới, nhưng không sử dụng nó, ta sẽ được một đường đi Euler Do đó G là

đồ thị nửa Euler

1.2.5 Chỉ số ổn định trong

Định nghĩa 1.14 Ta gọi một cách tô màu các đỉnh của một đồ thị G cho trước

là một cách tô màu bộ phận nếu các đỉnh của một đồ thị thành phần của nó đều

được tô bởi một số màu nào đó

Một cách tô màu bộ phận được gọi tô màu ổn định nếu không có hai đỉnh kề

nhau của G được tô bởi một màu giống nhau

Số lớn nhất các đỉnh của đồ thị G có thể tô ổn định bởi một màu được gọi là

chỉ số ổn định trongcủa đồ thị G và được ký hiệu bởi α (G)

Một tập hợp các đỉnh đôi một không kề nhau được gọi là một tập hợp đỉnh ổn

định hoặc là một tập hợp các đỉnh độc lập.

Một tập hợp gồm α (G) đỉnh đôi một không kề nhau được gọi là tập ổn định

trong tối đạicủa đồ thị G Chỉ số ổn định trong của một đồ thị G là số nhiều nhấtcác đỉnh đôi một không kề nhau của đồ thị

Ví dụ Chỉ số ổn định trong của đồ thị Petersen và nhỏ hơn hoặc bằng 4, vì

trong 3 đỉnh bất kỳ của ngũ giác đều luôn có 2 đỉnh kề nhau nên trên ngũ giác baongoài cũng như trên hình ngôi sao bên trong chỉ có không quá 2 đỉnh độc lập màthôi Mặt khác ta chỉ ra rằng tập đỉnh {3, 6, 9, 10} là một tập ổn định trong đồ thị

G (xem hình 1.14) Vậy chỉ số ổn định trong của đồ thị Petersen là 4

Hình 1.14: Đồ thị Petersen

Nhận xét Xét bài toán: trên bàn cờ có bao nhiêu cách đặt 8 quân hậu sao cho

không có hai quân hậu nào có thể ăn nhau Bài toán này chính là bài toán xác địnhchỉ số ổn định trong của một đồ thị tương ứng được xây dựng từ 64 ô bàn cờ, trong

đó hai đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh khi con hậu có thể đi bằng một nước

đi thông thường để từ ô này đến ô kia Đi tìm một cách sắp xếp 8 quân hậu thỏamãn điều kiện đề bài chính là bài toán đi tìm một tập hợp ổn định trong tối đại trên

đồ thị biểu diễn bàn cờ theo luật đi của con hậu Bài toán này cũng được nhà toánhọc người Đức C F Gauss quan tâm, như những thư từ trao đổi của ông ta với H

C Schumacher, biên tập viên của một tờ tạp chí về cờ của Đức trong những năm

1850 cho thấy Ngày nay, bằng lập trình, chúng ta có thể xác định được có 92 cáchsắp xếp 8 quân hậu thỏa mãn yêu cầu trên

1.2.6 Sắc số

Giả sử một đồ thị G cho trước được tô màu ổn định Nếu phân hoạch tập hợpcác đỉnh của G thành các tập hợp đỉnh cùng màu thì trong mỗi đồ thị sinh bởi mộttập con gồm các đỉnh này, không đồ thị nào chứa một cạnh cả Số nhỏ nhất các lớpphân hoạch có tính chất như vậy (cạnh bất kỳ của đồ thị G chỉ nối hai đỉnh thuộchai tập hợp khác nhau mà thôi) chính là số nhỏ nhất các màu có thể tô các đỉnh

của đồ thị G một cách ổn định - được gọi là sắc số của đồ thị G và được ký hiệu là

χ (G)

Ví dụ Sắc số của đồ thị Petersen là 3 Với 3 màu, ta có thể tô ổn định các đỉnh

của đồ thị như trong hình 1.15 (mỗi con số tượng trưng cho một màu) Còn với 2màu ta không thể tô ổn định cho các đỉnh của ngũ giác bên ngoài, do đó không thể

tô màu ổn định cho các đỉnh của đồ thị Petersen

Hình 1.15:

Nhận xét Rõ ràng đối với đồ thị có khuyên thì không tồn tại cách tô màu ổn

định cho đồ thị Đối với đồ thị có cạnh kép thì ta có thể bỏ bớt cạnh kép để thuđược đồ thị đơn mà không ảnh hưởng đến việc tô màu cả Đối với đồ thị liên thôngthì sắc số của nó chính là sắc số lớn nhất của các thành phần liên thông Do đótrong phần tiếp theo của mục này ta chỉ xét các đồ thị liên thông và đơn

Định lý 1.14 [12] Với mỗi đồ thị G có bậc lớn nhất ∆(G), ta có χ(G) ≤

∆(G) + 1.

Chứng minh.Nếu như ta có ∆(G) + 1 màu để tô thì ta có thể tô ổn định n đỉnh của

đồ thị như sau: khi ta muốn tô một đỉnh x thì ta tô nó bởi một màu khác tất cả cácmàu láng giềng của nó Việc này luôn luôn thực hiện được bởi vì ta có ∆(G) + 1màu để lựa chọn trong khi đó số láng giềng của x không vượt quá ∆(G)

Nhận xét Đồ thị duy nhất có sắc số bằng 1 là các đồ thị chỉ có các đỉnh rời

rạc (tức là không có cạnh nào cả) Định lý sau cho một điều kiện cần và đủ cho đồthị có sắc số là 2

Định lý 1.15 [12] Cho đồ thị G có ít nhất 1 cạnh Khi đó, G có sắc số là 2 khi

và chỉ khi G không có chu trình lẻ cạnh.

Chứng minh.Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh cho đồ thị liên thông là đủ

Nếu đồ thị G có sắc số là 2 thì các đỉnh của chu trình C bất kỳ trong G sẽ đan màu

nhau dọc theo chu trình và do đó C có độ dài chẵn.

Đảo lại, nếu G không có chu trình lẻ cạnh thì ta chứng minh rằng có thể tômàu ổn định các đỉnh của G bằng chỉ 2 màu Trước hết ta chọn một đỉnh A0 của

đồ thị G Với mỗi đỉnh A của G, ta chọn một con đường W nối đỉnh A0 với đỉnh

A Ta sẽ tô màu đỉnh A bởi màu đỏ nếu độ dài l(W) là độ dài chẵn, trong trườnghợp ngược lại thì ta tô màu đỉnh A bởi màu xanh

Màu của đỉnh A không phụ thuộc vào độ dài của con đường W Thật vậy, nếu cómột con đường lẻ cạnh và một con đường chẵn cạnh nối A0 với đỉnh A thì tồn tạitrong G một dãy cạnh kế tiếp khép kín có lẻ cạnh, do đó tồn tại một chu trình lẻcạnh trong G, mâu thuẫn

Với hai đỉnh A, B bất kỳ được nối trong đồ thị G bởi một cạnh k thì ta xét một conđường W0 có cạnh ít nhất nối đỉnh A0 với đỉnh A Rõ ràng là khi bổ sung thêmcạnh k vào con đường W0 này hoặc bỏ bớt cạnh k, tùy theo trường hợp đỉnh B cónằm trên con đường W0 hay không, ta sẽ thu được một con đường nối đỉnh A0 vớiđỉnh B có độ dài l(W0) + 1 hoặc l(W0) − 1 Do tính chẵn lẻ của con đường nốiđỉnh A0với đỉnh A và con đường nối A0với đỉnh B là khác nhau nên màu của đỉnh

A và B khác nhau Do đó điểm A được tô màu ổn định và cách tô màu các đỉnhcủa G như trình bày là ổn định Định lý do đó được chứng minh

1.3 MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐƠN VÔ HƯỚNG

1.3.1 Đồ thị đầy đủ

Định nghĩa 1.15 Một đồ thị đơn vô hướng được gọi là đồ thị đầy đủ nếu hai

điểm bất kỳ của nó luôn được nối bởi đúng 1 cạnh

Nhận xét.

(1) Với một số tự nhiên n (n ≥ 2) cho trước, có duy nhất một đồ thị đầy đủ nđỉnh và nó được ký hiệu là Kn Đặc biệt khi n = 3 thì K3 còn được gọi là tam giác(xem hình 1.16)

(2) Với một đồ thị G đơn không đầy đủ cho trước ta luôn có thể bổ sung thêmvào G một số cạnh để G trở thành đồ thị đầy đủ Khi đó, đồ thị G có tập đỉnh trùngvới tập đỉnh của G và tập cạnh là các cạnh bổ sung để G trở thành đầy đủ được gọi

Hình 1.16: Các đồ thị đầy đủ K2, K3, K4, K5

Hình 1.17: Đồ thị không đầy đủ

G

Hình 1.18: Đồ thị đầy đủ saukhi bổ sung cạnh (là các đườngnét đứt)

i

Chứng minh.Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1, n = 2, n = 3 thì định lý đúng

Giả sử định lý đúng đến n − 1 (n ∈ N, n ≥ 2) Xét đồ thị G gồm n đỉnh, gọi X và

Y là hai đỉnh kề nhau trong G Gọi H là phần bù của {X ,Y } trong G (bỏ đi haiđỉnh X,Y các các cạnh chứa hai đỉnh này) Khi đó trong H có n − 2 đỉnh và khôngchứa tam giác , vì nếu H chứa tam giác thì tam giác này cũng nằm trong G Theogiả thiết quy nạp thì số cạnh của H không quá (n−2)4 2 cạnh

Với mỗi đỉnh A trong H, có nhiều nhất một cạnh nối với X và Y ( vì nếu có cạnh

AX, AY thì sẽ có tam giác AXY, vô lý ) Do đó từ các đỉnh trong H nối với X, Ynhiều nhất n − 2 cạnh Vậy G sẽ chứa không quá (n−2)

2

4 + (n − 2) + 1 = n42 cạnh,điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.16 Một đồ thị không chứa một đồ thị con đầy đủ Kt được gọi

là một đồ thị t - free.

Định lý 1.18(Turan) [7] Số cạnh lớn nhất của đồ thị G có n đỉnh và t - free là

t−2

t−1×n22

Chứng minh.Ta chứng minh bằng quy nạp

Dễ kiểm tra định lý đúng với n = 1; 2

Giả sử định lý đúng đến n − 1, ta chứng minh định lý cũng đúng với n

Giả sử G có n đỉnh và không chứa Kt, nhưng khi đó G phải chứa Kt−1 Thật vậy,nếu G không chứa Kt −1 thì bằng cách thêm một cạnh vào G (cạnh tô đậm tronghình 1.20) thì G vẫn không thể chứa Kt nhưng số cạnh bây giờ nhiều hơn so vớiban đầu, mâu thuẫn với giả thiết G là đồ thị có số cạnh lớn nhất có thể có

Gọi B là phần bù của Kt−1 trong G (hình 1.21) Vì B có n − t + 1 đỉnh và khôngchứa Kt nên theo giả thiết quy nạp, số cạnh của B là |EB| ≤tt−1−2×(n−t+1)4 2

Từ mỗi đỉnh K thuộc B ta có thể nối nhiều nhất t − 2 cạnh với các đỉnh của Kt−1

vì nếu K được nối với tất cả t − 1 đỉnh của Kt−1 thì sẽ tạo ra Kt, trái với giả thiết Gkhông chứa Kt Do đó số đỉnh của G là

|EG| = EKt−1

+ |EB| + EKt−1B

≤ (t−1)(t−2)2 +t−2t−1×(n−t+1)2 2 + (n − t + 1) (t − 2)

≤ t−2t−1×n22

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Định lý Turan cho ta giá trị lớn nhất về số cạnh của đồ thị G, đây là

một công cụ quan trọng để xét bài toán cực trị tổ hợp Ngoài ra mệnh đề phản đảocủa nó cũng cho ta một điều kiện để đồ thị G có chứa đồ thị con đầy đủ Kt

Định lý 1.19 [12] Số đỉnh của đồ thị đều bậc lẻ luôn là số chẵn.

Chứng minh.Định lý này được suy ra hiển nhiên từ hệ quả 1.2

Định lý 1.20 [12] Cho G là đồ thị đều bậc g với n đỉnh và l cạnh Khi đó ta

Định nghĩa 1.18 Đồ thị lưỡng phân là đồ thị G(V ; E) mà tập đỉnh V có thể

phân hoạch thành hai tập hợp X, Y sao cho tập cạnh E chỉ gồm các cạnh nối cácđỉnh không cùng thuộc một tập hợp Ta còn ký hiệu đồ thị lưỡng phân này là

G(X ,Y ; E)

Nếu trong đồ thị lưỡng phân G (X ,Y ; E) giữa hai đỉnh bất kỳ không cùng thuộc

một lớp luôn có đúng một cạnh nối thì ta gọi G (X ,Y ; E) là đồ thị lưỡng phân đầy

đủvà ký hiệu là Km,n với m là số đỉnh của X và n là số đỉnh của Y

(iii) Hình 1.22 cho ta đồ thị lưỡng phân đầy đủ K3,3

Định lý 1.21 [12] Một đồ thị G là đồ thị lưỡng phân khi và chỉ khi mọi chu

trình của G có độ dài chẵn.

Chứng minh.Giả sử G(V ; E) là đồ thị lưỡng phân Khi đó dọc theo chu trình bất

Hình 1.22: Đồ thị K3,3

kỳ của G, các đỉnh thuộc tập X và Y lần lượt kế tiếp nhau Do đó, khi trở về đỉnhxuất phát đầu tiên ta phải qua một số chẵn các đỉnh và do đó số cạnh (bằng sốđỉnh) của chu trình là một số chẵn

Đảo lại, giả sử G là một đồ thị mà tất cả các chu trình của nó đều có độ dài chẵn

Ta chứng minh tất cả các thành phần liên thông của G là lưỡng phân và do đó G

là lưỡng phân

Thật vậy, giả sử G1 là một thành phần liên thông của G và P0 là một đỉnh của G1.Với mỗi đỉnh P của G1, ta chọn một đường đi W nối đỉnh P0 với P Nếu W có độdài chẵn thì đỉnh P thuộc tập X, còn nếu W có độ dài lẻ thì điểm P thuộc tập Y

Sự phân loại các đỉnh của đồ thị G1 không phụ thuộc vào cách chọn đường đi W.Thật vậy, nếu có một đường đi W với độ dài chẵn và đường đi W/ có độ dài lẻ thìmâu thuẫn với giả thiết ban đầu

Với cách thiết lập tập X và Y này, các đỉnh của G1 hoặc thuộc tập X, hoặc thuộctập Y Bây giờ ta chứng minh G1 có các cạnh nối các đỉnh không cùng thuộc mộttập hợp mà thôi Thật vậy, giả sử có hai đỉnh P và Q kề nhau trong G1 thì chúngkhông cùng một tập hợp X hoặc Y, nếu không từ P0ta có thể đi đến P rồi tới đỉnh

Q bởi cạnh PQ và trở về đỉnh P0 với một đường đi lẻ cạnh, điều này không thể xảy

ra trong G vì mọi chu trình trong G đều có độ dài chẵn Như vậy G là lưỡng phânvới hai tập đỉnh X, Y

1.3.4 Cây và bụi

Định nghĩa 1.19 Cây là một đồ thị đơn vô hướng có ít nhất một đỉnh và

không có chu trình

Định nghĩa 1.20 Cho T là một cây có gốc A0và (A0, A1, , An) là một đường

đi từ A0đến Antrong T Khi đó:

(i) An gọi là cha của An−1, An−1 gọi là con của An

(ii) Đỉnh X được gọi là đỉnh trong nếu nó có con.

(iii) Đỉnh Y được gọi là lá nếu nó không có con.

Định lý 1.22 [12] Một cây bất kỳ với ít nhất hai đỉnh luôn có ít nhất hai đỉnh

treo

Chứng minh. Trong cây chỉ có hữu hạn con đường Ta xét W = (P1, P2, , Pk)

là con đường có nhiều cạnh nhất Khi đó ta có k 6= 1, do cây phải có ít nhất 2đỉnh Hai đỉnh cuối của W là P1 và Pk rõ ràng là hai đỉnh treo Thật vậy , giả sửngược lại P1 không là đỉnh treo thì Pk được nối với đỉnh Q 6= P2 nào đó Khi đóđỉnh Q ≡ Pi với i 6= 2 nào đó, do W nhiều cạnh nhất Nhưng khi đó ta thu đượcchu trình K = (P1, P2, , Pi, P1) Điều này không xảy ra vì trong cây không có chutrình

n− 2 cạnh Bổ sung trở lại một đỉnh treo và cạnh có đầu mút tại đỉnh treo đó thìcây G có n − 1 cạnh

Định lý 1.24 [8] Trong một cây cho trước, giữa hai điểm P và Q bất kỳ của nó

chỉ có đúng một con đường nối duy nhất.

Chứng minh.Vì G liên thông nên tồn tại một con đường nối hai đỉnh P và Q Vì

G không có chu trình nên không thể có con đường thứ hai nối P và Q

Định nghĩa 1.21 Bụi là một đồ thị vô hướng không có chu trình.

Định lý 1.25 [12] Bụi với n đỉnh và k thành phần liên thông có đúng n − k

cạnh

Chứng minh.Giả sử số đỉnh của thành phần liên thông thứ i là ni Theo định lý1.24, mỗi thành phần liên thông này có đúng ni− 1 cạnh Như vậy số cạnh của bụilà

k

∑

i=1

(ni− 1) = n − k

Định nghĩa 1.22 Cây m phân là cây mà mọi đỉnh có tối đa m con Cây m

-phân đầy đủlà cây mà mọi đỉnh có đúng m con

Định lý 1.26 [12] Cây m - phân đầy đủ có i đỉnh trong thì nó có số đỉnh là

Hệ quả 1.27 [12] Cho cây m - phân đầy đủ có i đỉnh trong, l lá, n đỉnh Khi

Định nghĩa 1.23 Những đồ thị có thể biểu diễn được trên mặt phẳng sao cho

không có 2 cạnh được biểu diễn nào cắt nhau được gọi là đồ thị phẳng.

Nhận xét Thuộc lớp đồ thị phẳng có cây, bụi và đồ thị biểu diễn các khối đa

diện lồi Với lớp đồ thị biểu diễn các khối đa diện lồi, nhà toán học Steinitz đãchứng minh định lý sau

Định lý 1.28 [8] Lớp đồ thị biểu diễn các khối đa diện lồi chính là lớp đồ thị

phẳng và 3- liên thông.

Định nghĩa 1.24 Trong đồ thị phẳng, mỗi phần mặt phẳng giới hạn bởi một

chu trình đơn giản mà không chứa bên trong nó một chu trình khác được gọi là

một miền của đồ thị Chu trình giới hạn miền được gọi là biên của miền Mỗi đồ

thị phẳng liên thông có một miền vô hạn duy nhất và các miền còn lại đều là miềnhữu hạn

Định lý 1.29 (Định lý Euler) [2] Trong một đồ thị liên thông, giữa số đỉnh n,

số cạnh m và số miền d có hệ thức: n − m + d =2

Chứng minh. Cho G là đồ thị liên thông, số đỉnh n, số cạnh m và số miền d Ta

bỏ một số cạnh của G để được một cây Mỗi lần ta bỏ một cạnh (m giảm đi 1)thì thì số miền d cũng giảm đi 1 (d giảm 1 vì hoặc bớt đi một chu trình đơn giảnhoặc biến hai chu trình đơn giản thành một chu trình), còn số đỉnh n không thayđổi Như vậy suốt quá trình biến G thành cây thì giá trị của biểu thứa n − m + dkhông đổi Cây này có n đỉnh nên có n − 1 cạnh Và cây chỉ có 1 miền nên ta có:

n− m + d = n − (n − 1) + 1 = 2

Ví dụ Đồ thị đầy đủ K5 không phải là đồ thị phẳng

Định lý 1.30 [3] Cho G là đồ thị phẳng có m cạnh, d miền với số cạnh của

mỗi miền là k1, k2, , kd Khi đó ta có k1+ k2+ + kd = 2m.

Chứng minh. Vì G phẳng nên mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 miền, tức làmỗi cạnh của G được tính là cạnh của đúng hai miền Do đó tổng số cạnh của dmiền bằng hai lần tổng số cạnh của G

Đặc biệt, nếu mỗi miền có tối đa k cạnh thì k.d ≤ 2m

Bây giờ ta xét một số hệ quả quan trọng của định lý Euler

Hệ quả 1.31 [2] Trong đồ thị đơn, phẳng có ít nhất một đỉnh có bậc không lớn

hơn 5

Thật vậy, trong đồ thị đơn, mỗi miền có ít nhất 3 cạnh và vì mỗi cạnh là cạnh chungcủa hai miền nên 3d ≤ 2m Nếu mọi đỉnh đều có bậc lớn hơn hoặc bằng 6 thì vìmỗi cạnh có hai đầu mút ở đỉnh nên 6n ≤ 2m hay 3n ≤ m Suy ra 3d + 3n ≤ 2m + mhay d + n ≤ m trái với công thức Euler

Hệ quả 1.32 [2] Đồ thị đầy đủ K5 không là đồ thị phẳng.

Thật vậy, K5 là liên thông, giả sử K5 là phẳng Áp dụng công thức Euler, ta có

n− m + d = 2 trong đó n = 5, m = 10, d = 7 Trong K5, mỗi miền có ít nhất 3 cạnh,mỗi cạnh chung cho hai miền nên 3d ≤ 2n, tức là 3.7 ≤ 2.10, vô lý

Tương tự ta cũng có hệ quả sau:

Hệ quả 1.33 [2] Đồ thị K3,3 không là đồ thị phẳng.

Nhận xét: K5 và K3,3 là các đồ thị không phẳng đơn giản nhất; K5 là đồ thịkhông phẳng có số đỉnh ít nhất, K3,3 là đồ thị không phẳng có số cạnh ít nhất

Định nghĩa 1.25 Cho đồ thị G có cạnh UV ( hình 1.23a) Nếu ta xóa cạnh UV

rồi thêm đỉnh X cùng hai cạnh XU và XV (hình 1.23b) thì ta nói rằng ta đã thêm

đỉnh mới X (bậc 2) đặt trên cạnh UV của đồ thị G

Định nghĩa 1.26 Đồ thị G0 được gọi là đồng phôi với đồ thị G nếu G0có được

từ G bằng cách thêm các đỉnh mới (bậc 2) đặt trên các cạnh của G Ở đây ta xemmỗi đồ thị là đồng phôi với chính nó

Ví dụ Đồ thị trong hình 1.23a đồng phôi với đồ thị trong hình 1.23b Đồ thị

trong hình 1.24a đồng phôi với đồ thị trong hình 1.24b

Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để nhận biết một đồ thị là phẳng (ởđây ta thừa nhận định lý này)

Định lý 1.32 (Kuratowski) [1] Một đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không

chứa đồ thị con nào đồng phôi với đồ thị K3,3 hoặc đồ thị K5

CHƯƠNG 2

ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG

2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ

2.1.1 Định nghĩa đồ thị có hướng

Định nghĩa 2.1 Một đồ thị được gọi là đồ thị (hữu hạn) có hướng khi nó chỉ

có các cạnh có hướng mà ta gọi là cung Đồ thị có hướng có tập đỉnh là V, tập cạnh

là E được ký hiệu là G [V, E]

Một cung u được xác định bởi điểm đầu X và điểm cuối Y mà ta thường ký

hiệu là [X ,Y ] trong đó X được gọi là đỉnh xuất phát, Y được gọi là đỉnh đích của cung u Ta còn nói rằng cung u liên hợp hướng ra ngoài đối với đỉnh X và cung u

liên hợp hướng vào trongđối với đỉnh Y

Các cung có cùng đỉnh xuất phát và đỉnh đích được gọi là các cung song song.

Nếu đỉnh xuất phát và đỉnh đích của cung trùng nhau thì ta gọi cung này là

khuyên có hướng

Nếu ta thay các cung của đồ thị có hướng bởi các cạnh thì ta nhận được đồ thị

vô hướng Khi đó đồ thị vô hướng này được gọi là đồ thị lót của đồ thị có hướng

tương ứng

Một đồ thị có hướng được gọi là đầy đủ đầy đủ nếu nó không có khuyên và

mỗi cặp đỉnh của nó đều được nối bởi đúng một cung

2.1.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra

Định nghĩa 2.2 Cho đồ thị có hướng G [V, E] và đỉnh A ∈ V Nửa bậc vào của

A, ký hiệu d−(A), là số cung đi ra từ đỉnh A; nửa bậc ra của A, ký hiệu d+(A),

là số cung đi tới đỉnh A Bậc của A bằng bậc của A trong đồ thị lót tương ứng, nói

cách khác: bậc của đỉnh A bằng tổng nửa bậc vào và nửa bậc ra

Một đỉnh được gọi là cô lập nếu nó có nửa bậc vào và nửa bậc ra đều bằng 0 2.1.3 Dây chuyền - liên thông

Định nghĩa 2.3 Một dây chuyền là một dãy các cung liên tiếp của một đồ thị

có hướng mà nếu bỏ hướng của cung thì nó trở thành một dãy cạnh kế tiếp trong

đồ thị vô hướng thu được

Một băng chuyền là một dây chuyền mà đỉnh đích của một cung là đỉnh xuất

phát của cung kế tiếp

Một dây chuyền cơ bản và băng chuyền cơ bản là những dây chuyền mà mỗi

đỉnh của nó chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần Một băng chuyền cơ bản chứa tất cả

các đỉnh của đồ thị được gọi là băng chuyền Hamilton

Một băng chuyền khép kín, khi mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh xuất phát của đúng

một cung của nó, được gọi là chu trình có hướng Chu trình chứa tất cả các đỉnh của đồ thị được gọi là chu trình Hamilton

Hai đỉnh của đồ thị có hướng được gọi là liên thông yếu nếu chúng được nối với nhau bởi một dây chuyền Một đồ thị có hướng được gọi là liên thông (yếu) nếu hai đỉnh bất kỳ của nó đều liên thông yếu Đồ thị có hướng được gọi là liên

thông mạnhnếu hai đỉnh tùy ý của nó được nối với nhau bởi một băng chuyền

Ví dụ Đồ thị trong hình 2.1 có: u là khuyên có hướng, v và w là các cung song

song, A có bậc là 4 (nửa bậc vào là 1, nửa bậc ra là 3)

Hình 2.1:

Định lý 2.1 [12] Một đồ thị liên thông G là một đồ thị liên thông mạnh khi và

chỉ khi một cung tùy ý của G nằm trong ít nhất một chu trình.

Chứng minh. Giả sử G là một đồ thị có hướng cho trước sao cho mỗi cung bất

kỳ của nó nằm trong ít nhất một chu trình Ta chứng minh G là liên thông mạnh.Giả sử ngược lại, trong G có hai đỉnh X và Y sao cho không tồn tại một băngchuyền nối X và Y Ta ký hiệu M là tập hợp các đỉnh được nối với đỉnh X bởi mộtbăng chuyền nào đó Do G là đồ thị liên thông nên tồn tại một dây chuyền cơ bản

K = (X = X1, X2, , Xk = Y ) rõ ràng X = X1∈ M và Xk = Y /∈ M Giả sử i là sốnhỏ nhất sao cho Xi ∈ M và Xi+1∈ M Khi đó cung giữa hai đỉnh X/ i và Xi+1 cóhướng đi từ đỉnh Xi+1tới đỉnh Xi, ta ký hiệu u = [Xi+1, Xi] Theo giả thiết , cung u

nằm trên một chu trình C Ta có thể đi từ đỉnh X tới đỉnh Xi+1bằng cách đi từ mộtđỉnh X dến đỉnh Xi bởi một băng chuyền W nào đó và sau đó đi dọc theo chu trình

C đến đỉnh Xi+1 Như thế ta đã thiết kế được một băng chuyền đi từ đỉnh X đếnđỉnh Xi+1 Khi đó Xi+1∈ M, mâu thuẫn giả thiết ban đầu Mâu thuẫn này chứng tỏ

Định nghĩa 2.4 Một đồ thị G được gọi là đồ thị phản chu trình nếu như nó

không chứa chu trình nào cả

Một đỉnh X của đồ thị có hướng G được gọi là đỉnh nguồn của đồ thị G nếu

X không phải là đỉnh đích của cung nào cả Đỉnh hạ lưu của một đồ thị có hướng

là đỉnh không phải là đỉnh xuất phát của một cung nào cả

Định lý sau nói về quan hệ giữa đỉnh nguồn, đỉnh đích và đồ thị phản chu trình

Định lý 2.2[12] Trong một đồ thị phản chu trình, luôn tồn tại ít nhất một đỉnh

nguồn và một đỉnh hạ lưu.

Chứng minh.Rõ ràng đồ thị phản chu trình luôn có đỉnh hạ lưu

Ta chọn trong một đồ thị phản chu trình G cho trước một đỉnh tùy ý X1 Nếu đỉnh

X1là một đỉnh nguồn thì định lý được chứng minh Nếu đỉnh X1không là một đỉnhnguồn thì tồn tại một cung u nhận X1là đỉnh đích Gọi đỉnh xuất phát của cung này

là X2 thì X16= X2 do G là phản chu trình Nếu X2 là đỉnh nguồn thì định lý đượcchứng minh Nếu X2không là đỉnh nguồn thì trong G tồn tại một cung nhận X2 làđỉnh đích Gọi đỉnh xuất phát của cung này là X3 thì X3 ∈ {X/ 1, X2} vì G là phảnchu trình Tiếp tục quá trình trên ta thu được một dãy các đỉnh X1, X2, , Xk, trong đó không có đỉnh nào xuất hiện hai lần Do tính hữu hạn của tập đỉnh nêndãy này không thể kéo dài vô hạn mà phải kết thúc tại đỉnh X0 nào đó Khi đó X0

là đỉnh nguồn của G

2.2.2 Turnier

Định nghĩa 2.5 Turnier là một đồ thị có hướng sao cho nếu bỏ hướng các

cạnh đi thì ta thu được một đồ thị đầy đủ Ta còn có thể gọi một Turnier là một đồthị đầy đủ có hướng

Một Turnier có n đỉnh được gọi là một n-Turnier và ký hiệu là Tn Trong mộtTurnier Tn ta có các tính chất hiển nhiên sau:

(i) d+(X ) + d−(X ) = n − 1 với mọi đỉnh X tùy ý của Tn

(ii)Tn có nhiều nhất một đỉnh nguồn và có nhiều nhất một đỉnh hạ lưu

Nhận xét Tên gọi Turnier bắt nguồn từ thể thao: nếu có một đại hội thể thao

(mà tiếng Đức gọi là Turnier) gồm có n đối thủ tham gia, trong đó mỗi đối thủphải gặp người khác đúng một lần, không có trận đấu nào kết thúc với kết quả hòa.Khi đó biểu diễn n đội bởi n đỉnh X1, X2, , Xn, các cung [Xi, Xj] thể hiện đối thủ

Xi thắng Xi thì ta thu được Turnier Tn

Định lý sau cho ta điều kiện quan trọng để tồn tại đường đi Hamilton trong đồthị có hướng

Định lý 2.3 [12] Trong đồ thị có hướng đầy đủ (Tn) luôn tồn tại đường đi Hamilton.

Chứng minh Giả sử W = (X1, X2, , Xk) là một đường đi sơ cấp bất kỳ trong Tn.Nếu W đi qua tất cả các đỉnh của Tn thì W là đường đi Hamilton

Nếu trong Tn còn có đỉnh không nằm trong W thì ta có thể bổ sung dần cácđỉnh này vào W để có được đường đi Hamilton Thật vậy, giả sử X không thuộc

W Khi đó:

(i) Nếu có cung nối X với X1 thì ta có đường đi W1= (X , X1, X2, , Xk)

(ii) Nếu tồn tại chỉ số i (1 ≤ i ≤ k − 1)mà từ Xi có cung đi tới X và từ X

có cung đi tới Xi+1 thì ta chen X vào giữa Xi và Xi+1 để có đường đi W2 =(X1, X2, , Xk, X , Xi+1, , Xk)

(iii) Nếu cả hai trường hợp trên không xảy ra , tức là ∀i (1 ≤ i ≤ k − 1) đều cócung đi từ Xi có cung đi tới X thì ta bổ sung X vào cuối đường W để được đường

đi mới là W3= (X1, X2, , Xk, X ) Ta lần lượt thực hiện n − k lần sẽ bổ sung được

để W trở thành đường đi Hamilton

Nhận xét Đường đi Hamilton trong trường hợp của Tnthực ra là một cách sắpxếp n đối thủ thi đấu của Turnier theo một hàng mà người đứng trước luôn thắngngười đứng sau Phép chứng minh trên cũng đồng thời đưa ra một phương pháp

để sắp xếp n đối thủ trong cuộc thi đấu thể thao Turnier thành một hàng mà ngườiđứng trước luôn thắng người đứng sau

Định lý 2.4 [1] Cho đồ thị có hướng đầy đủ liên thông mạnh bậc n (n ≥ 3).

Khi đó với mọi đỉnh A và số nguyên p ( 3 ≤ p ≤ n) luôn tồn tại chu trình có hướng

sơ cấp độ dài p đi qua đỉnh A.

Chứng minh Cho A ∈ V , ta chứng minh quy nạp theo p.

Vì đồ thị là liên thông mạnh nên mỗi đỉnh luôn có nửa bậc vào và nửa bậc ra làcác số dương

Đặt V1= {B ∈ V |∃ [A, B] ∈ E } ,V2= {B ∈ V |∃ [B, A] ∈ E }

Vì G liên thông mạnh nên tồn tại cung từ đỉnh của V1đến đỉnh của V2 Suy ra đỉnh

A thuộc chu trình có độ dài 3

Giả sử A thuộc chu trình có độ dài k, (3 ≤ k ≤ n), gọi chu trình này là W =(A = A1, A2, , Ak, A) Ta sẽ xây dựng chu trình có độ dài k + 1 qua A

Trường hợp 1: Tồn tại đỉnh B ∈ W sao cho có cung đi từ đỉnh nào đó trên

W đến A và có cung đi từ B đến đỉnh nào đó trên W Khi đó sẽ tồn tại hai đỉnh

Ai, Aj∈ W, [Ai, Aj] ∈ E, sao cho có cung đi từ Ai đến B và có cung đi từ B đến Aj.Khi đó ta được chu trình W0= (Ai, B, Aj) ∪ W (Aj, Ai) đi qua A và có độ dài k + 1.Trường hợp 2: Không tồn tại đỉnh B như trong trường hợp 1

Đặt V1= {X ∈ V \W |∀Z ∈ W, ∃ [Z, X ] ∈ E }

và V2= {Y ∈ V \W |∀Z ∈ W, ∃ [Y, Z] ∈ E }

Do trường hợp 1 nên V1∪V2= V \W Nếu V1= /0 hoặc V2= /0 thì vi phạm tính liênthông mạnh Do đó V16= /0 và V26= /0

Cũng do tính liên thông mạnh nên tồn tại X ∈ V1 và Y ∈ V2 sao cho có cung đi từ

X đến Y Khi đó ta được chu trình W0 = (A1, A2, , Ak−1, X ,Y, A1) đi qua A và có

độ dài k + 1

Từ định lý trên ta suy ra được hệ quả sau:

Hệ quả 2.5 [1] Đồ thị có hướng đầy đủ có chu trình Hamilton khi và chỉ khi

nó liên thông mạnh.

Ví dụ 1 [6] Có 5 đội bóng chuyền thi đấu với nhau Biết rằng hai đội bất kỳ

chỉ thi đấu với nhau đúng một trận, mỗi đội thi đấu 4 trận với 4 đội còn lại và mỗi trận đấu không có kết quả hòa Chứng minh rằng có thể sắp xếp đội trưởng của 5 đội bóng này thành một hàng dọc sao cho đội đứng sau luôn thắng đội đứng ngay trước.

Giải.Xét đồ thị có 5 đỉnh tương ứng với 5 đội bóng, hai đội bóng thi đấu với nhauthì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bởi một cung chạy từ đội thắng đến độithua Khi đó ta có được đồ thị có hướng đầy đủ T5 Theo định lý 2.3 thì trong T5luôn tồn tại đường đi Hamilton Đường đi này cho ta cách sắp xếp 5 đội thỏa yêu

Ví dụ 2[13] Trong một cuộc đấu cờ vòng tròn, tổng số điểm của 5 đối thủ đôi

một khác nhau Biết rằng mỗi ván thắng được tính 1 điểm, ván thua 0 điểm và hòa 0,5 điểm Ngoài ra còn biết:

a Người nhiều điểm nhất không hòa trận nào.

b Người nhiều điểm nhì không thua trận nào.

c Người nhiều điểm thứ tư không thắng người thứ năm.

Xác định kết quả các trận đấu của mọi người cũng như tổng số điểm của họ.

Giải Tổng số ván cờ là C52= 10 nên tổng số điểm của các đối thủ là 10 (trong mỗiván tổng số điểm thu được của hai đối thủ luôn là 1) Gọi ai là số điểm của ngườithứ i, ta có a1> a2 > a3 > a4> a5 Vì người a1 không hòa trận nào và người a2không thua trận nào nên người a1thua người a2, suy ra a1 ≤ 3

Vì điểm của hai người khác nhau lệch nhau ít nhất 0, 5 và do 3 + 2, 5 + 2 + 1, 5 +

1 = 10nên chỉ có thể xảy ra a1= 3; a2= 2, 5; a3= 2; a4= 1, 5; a5 = 1 mà thôi

Ta xây dựng đồ thị có 5 đỉnh a1, a2, a3, a4, a5 (tương ứng với 5 người) và nối cácđỉnh giữa chúng bằng các cạnh có hướng (từ người thắng đến người thua) hoặc cáccạnh vô hướng ( nếu hai người hòa nhau).

Do a1 = 3 và người a1 thua người a2 nên người a1 phải thắng 3 người còn lại

a3, a4, a5 Do người a2 không thua trận nào và thắng a1 (có 1 điểm), số điểm cònlại (1,5) nên người a2 phải hòa với cả 3 người còn lại a3, a4, a5 Kết quả tổng sốđiểm trong nội bộ của a3, a4, a5 lần lượt là 1, 5; 1; 0, 5 điểm Do a4 không thắng a5nên số điểm 0, 5 của người a5 là kết quả hòa với người a4 Như vậy trong kết quảnội bộ giữa a3 và a4 thì a4 có 0, 5 điểm mà thôi nên hai người này hòa nhau Sốđiểm của a3 khi đấu với a5 là 1, 5 − 0, 5 = 1 nên a3thắng a5 Như vậy ta có đồ thịbiểu diễn kết quả các trận đấu như hình 2.5

Hình 2.5:

Ví dụ 3 [13] Có 5 người thi đấu cờ với nhau Xác định kết quả của mỗi trận

đấu nếu biết rằng hai người bất kỳ phải đấu với nhau đúng một trận (mỗi ván thắng được tính 1 điểm, ván thua 0 điểm) Ngoài ra còn biết tổng số điểm của mỗi đối thủ nhận được đều khác nhau và không có trận nào hòa.

Giải Ta biểu thị mỗi người bằng một đỉnh a1, a2, a3, a4, a5 trong đó ai là số điểmcủa người thứ i và a1> a2> a3> a4> a5 Vì tổng số điểm bằng 10 và số điểm của

5 người là 5 số nguyên không âm đôi một khác nhau, lại có 10 = 4 + 3 + 2 + 1 + 0nên suy ra số điểm của người thứ i là 5 − i Từ đó ta suy ra người thứ nhất thắng tất

cả 4 người còn lại, người thứ hai chỉ thua người thứ nhất và thắng tất cả 3 ngườicòn lại; người thứ ba thua 2 người nhất, nhì và thắng người thứ tư, năm; người thứ

tư chỉ thắng người thứ năm và người thứ năm thua tất cả các đối thủ

Ta có thể biểu diễn các kết quả bằng đồ thị gồm 5 đỉnh a1, a2, a3, a4, a5 trong đóhai đỉnh được nối với nhau bằng một cung (đi từ người thắng đến người thua) nhưhình 2.6

Hình 2.6:

Ví dụ 4[13] Trong một cuộc thi đấu bóng bàn có một số đấu thủ tham gia.

Hai đấu thủ bất kỳ phải đấu với nhau đúng một hiệp, nếu thắng được một điểm, thua 0 điểm (không có hòa) Hỏi có khi nào cuộc thi đấu kết thúc với kết quả là tất

cả các đối thủ đều bằng điểm nhau hay không?

Giải Ta biểu diễn các đối thủ tương ứng với mỗi đỉnh của đồ thị Hai đỉnh X, Y

được nối bởi cung đi từ X đến Y nếu đối thủ X thắng đối thủ Y Khi đó mỗi trậnthắng của một đối thủ (1 điểm) tương ứng với một cung xuất phát từ đối thủ đó.Bài toán đặt ra là có thể có đồ thị n đỉnh sao cho số cung xuất phát từ tất cả cácđỉnh là bằng nhau hay không

Trong hình 2.7 là một đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán với 5 đỉnh Sau đây ta sẽchứng minh cần và đủ để tồn tại một đồ thị có tính chất đề bài yêu cầu là số đỉnhphải lẻ Do tổng số điểm đúng bằng số cạnh của đồ thị đầy đủ Kn nên nếu kết quảcuộc thi đấu là các đấu thủ có cùng số điểm là Cn2 = n−12 , suy ra n là số lẻ

Đảo lại, giả sử n là số lẻ Khi đó đồ thị Kn có bậc của các đỉnh là số chẵn Theođịnh lý Euler (định lý 1.13) thì Kn có một đường đi một nét (chu trình) Euler khépkín như vậy Trên đường một nét Euler ta định một chiều đi và sẽ lấy hướng của tất

cả các cạnh theo chiều đi này Bằng cách đó, tại mỗi đỉnh, mỗi cạnh đi vào nó sẽtương ứng với một đi ra khỏi nó, cho nên số cạnh xuất phát từ nó sẽ bằng số cạnh

đi tới nó, tức là các đối thủ có số trận thắng bằng số trận thua và do đó bằng nhau

Hình 2.7:

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

3.1 DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN

TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU SANG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ

3.1.1 Dấu hiệu cơ bản

Để xây dựng được đồ thị cần phải có hai yếu tố là đỉnh và cạnh Do đó cầnphải nhận ra bài toán gốc (bài toán T) có thể chuyển về bài toán đồ thị (bài toánD) được hay không dựa vào các câu hỏi: yếu tố nào là đỉnh, yếu tố nào là cạnh?Thông thường các đối tượng của bài toán được chọn là đỉnh, các mối quan hệ giữacác đối tượng được chọn làm cạnh

3.1.2 Phương pháp chuyển đổi mô hình

Quy trình áp dụng phương pháp đồ thị để giải một bài toán T bao gồm cácbước:

Bước 1: Nhận dạng bài toán (sử dụng các dấu hiệu cơ bản);

Bước 2: Phát biểu lại bài toán T theo ngôn ngữ đồ thị (bài toán D) (chuyển đổi

mô hình từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị);

Bước 3: Giải bài toán D dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc bằng

suy luận trực tiếp

Bước 4: Phát biểu lại kết quả bài toán bằng ngôn ngữ thông thường.

Để chuyển đổi mô hình từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị, ta thực hiệnnhư sau:

(i) Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các đốitượng trong bài toán T, dùng ngay các ký hiệu đối tượng để ghi tên đỉnh tươngứng

(ii) Các đối tượng có quan hệ t với nhau thì các đỉnh tương ứng được nối vớinhau bằng cạnh (hoặc cung) có tính chất tương ứng Cần chú ý tính chất của cácquan hệ để xây dựng loại đồ thị thích hợp, chẳng hạn:

+ Quan hệ giữa các đối tượng có tính đối xứng → đồ thị vô hướng

+ Quan hệ giữa các đối tượng không có tính đối xứng → đồ thị có hướng

Nếu ta thay cung đồ thị có hướng cạnh ta nhận đồ thị

vơ hướng Khi đồ thị vơ hướng gọi đồ thị lót đồ thị có hướng

tương ứng

Một đồ thị có hướng gọi đầy... 3

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG

3.1 DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN

TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU... Đồ thị hình 1.23a đồng phơi với đồ thị hình 1.23b Đồ thị< /b>

trong hình 1.24a đồng phơi với đồ thị hình 1.24b

Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để nhận biết đồ thị phẳng (ởđây ta