Đề thi chọn HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm [r]

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2019 – 2020 MÔN: TOÁN 11

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (6,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)  3sin 2 x  1 2sin   x   1  sin 3 x  cos 2 x  sinx  0

b)







Câu 2 (5,0 điểm)

a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45

b) Cho dãy số (u n) xác định bởi  

1

1

2 ( 1)

n n

u

n











Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n)

Câu 3 ( 5,0 điểm)

a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 1

Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho EF / /AC Tính tỉ số EF

AC

b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD / / BC và AD2BC Gọi O là giao điểm của AC và BD, điểm M thay đổi nằm trong hình thang sao cho OM không song song với cạnh nào

của hình thang Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA)

lần lượt tại các điểm E, F, G và H

Chứng minh rằng: MF2(MEMG)4MH 9SO



Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c  0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

a b ac(a c) bc(b c) 5abc P



… Hết …

Học sinh không được sử dụng tài liệu ……… Giám thị không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN

1a)  3sin 2 x  1 2sin   x   1  sin 3 x  cos 2 x  sinx  0

Ta có

(1) 3 sin 2 1 (2sin 1) 2cos 2 sin cos 2 0

3 sin 2 1 (2sin 1) cos 2 (2sin 1) 0

2sin 1 3 sin 2 1 cos 2 0

3 sin 2 cos 2 1 0

x

 





*

2

5 2

2 6

x

  



     

  



*

3 sin 2 cos 2 1 0 sin 2 cos 2

sin 2 sin

7

x





Vậy PT đã cho có nghiệm 2 , , ,

x    k  x     k  x    k  k 

1b)







ĐK:

2

6 0

2 5 0

x y

  

  





Đặt

2

2

5 5

 

 Thay vào (1) ta có

20 17 3(6 ) 3(5 )

( Do 3( 3 ) 2 0)

6   x 5     y y x 1 thế vào (2) ta có

( 3 3 8) 2 5 3 5( 1) 12 ( 3 5) 2 5 3 5 2 5

(x 3x 5) 2x 5x 1 2x 5x x

2

2 5 1

2 5 1

2

2x 5x 1 0 3x 5 2x 5x

 



2

2x 5x 1 0







(thỏa mãn)

3x 5 2x 5x (2x 5) (2x 5)

x   x   x x   x x  (3)

với x0 Đặt ax x, b 2x5

ta có a2b2 ab  a b 0 vô nghiệm

với 2

5

x  Đặt ax x, b  2x 5

ta có  a2 b2 ab  a b 0 vô nghiệm

Một sô chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5

Ta có 0 1 2 9    45 chia hết cho 9 nên để tạo một số có 8 chữ số đôi một khác nhau thì ta lấy 8 chữ số trong 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng 8 chữ số đó chia hết cho 9

Suy ra phải bỏ hai chữ số có tổng bằng 9 Tức là bỏ đi một trong các bộ  0;9 ,  1;8 ,

 2;7 ,  3;6 ,  4;5 Mặt khác vì số cần tìm chia hết cho 5 nên phải chứa 0 hoặc 5

TH1 Chỉ chứa một trong hai số 0 hoặc 5

- Loại bộ  0;9 Chữ số cuối là 5 nên có 7! = 5040 số

- Loại bộ  4;5 Chữ số cuối là 0 nên có 7! = 5040 số

TH2 Có cả hai bộ  0;9 và  4;5 Trong TH này ta loại một trong ba bộ 1;8 ,  2;7 ,  3;6 Chẳng hạn loại bộ  1;8 thì ta lập được 7! + 6.6! = 9360

Vậy TH này có 3.9360 = 28080 Vậy cả hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160

Xác suất cần tìm 38160 53

1632960  2268

b)

1

1

2 ( 1)

n n

u

n











Từ hệ thức truy hồi ta có

2 1

2 1

( 1)

3( 1)( 1)

3( 1) 1

n n

n u

n

n n









1





Xét dãy số (vn) với n 3

n

u

n

Ta có v n1 v n 2 suy ra dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu 1

1

u

v    với công sai d = 2

n

Suy ra n 3 2 1 4 2 2

u

n

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại K

Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) và EF//AC nên EF nằm trong mp(BMK), do đó F là

giao điểm của DN và (BMK)  F BKDN

Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM tại E

Ta có hai điểm E, F cần tìm

D D 3

3 4

3

MK

4 3 2

F

C

A

N

M

K E

Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD và AD lần lượt tại I, K, L và N

Ta có mp (SMO) cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo các giao tuyến SI, SK, SL,

SN

Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt các đường thẳng SI, SK, SL, SN lần lượt tại

các điểm E, F, G và H là các điểm cần dựng

Ta có MAB

OAB

Tương tự MBC

OBC

S MF

OCD

S MG

D

MAD OA

Ta có S OAD4S OBC 2S OAB 2S OCD 4S1

Suy ra

D

D

2S

2S

9

MBC MAB MC MAD OBC OAB OCD OAD MBC MAB MC MAD ABCD

E H

L

I

O

S

K N

G

M F

Gọi H là trực tâm tam giác ABC

Ta có BH song song với CD vì cùng vuông góc với AC Tương tự CH song song với BD nên BDCH là hình bình hành

Do M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của DH Vậy H(2; 0)

Gọi C(3-2c; c) suy ra B(3+2c ; -c-2)

Ta có BH    2c 1;c2, EC2 2 ; c c3

2

( 2 1).(2 2 ) (c 2).(c 3) 5c 3 8

1

5

c

c

 





     

 



Do C có hoành độ dương nên C(5; -1), B(1; -1)

PT AH : x – 2 = 0 và PT AC : x + y = 4 suy ra tọa độ A(2 ; 2)

Câu 5

Đặt x a ,y b ,z c

Ta có x, y, z không âm và x + y + z = 1

P x y xz(x z) yz(y z) 5xyz

x y z(x y 5xy) z (x y)

H

I

C B

A

D M

E

 3  



1 5

P  khi và chỉ khi

1

5

3 z 3

5







Vậy GTNN của P là 1

5

 khi

3

c

a b

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh

Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng

đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí