- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
Trang 1Trường THPT Mỹ Đức A
ĐỀ CHÍNH THỨC
-
KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) - oOo -
Họ và tên thí sinh: ……… … Số báo danh: …………
Câu 1 (5 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác: sin sin 5 2cos2 2cos2 2
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2sin2x 3sin cos x x 5cos2x
Câu 2 (4 điểm)
2.1 n 3.2 n 4.3 n 1 n n
S C C C n n C b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;20 Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3
Câu 3 (5 điểm)
a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo góc nhỏ nhất Tính số đo các góc của tứ giác
b) Cho dãy số un được xác định bởi 1
1
1
2 3 ,n
u
Tìm công thức của số hạng tổng quát un theo n
Câu 4 (5 điểm)
Cho mặt phẳng và hai đường thẳng chéo nhau d d1, 2 cắt tại A B , Gọi là đường thẳng thay đổi luôn song song với , cắt d1tạiM, cắt d2 tại N Đường thẳng d
qua Nluôn song song với d1cắt tại N
a) Tứ giác AMNN là hình gì?
b) Tìm tập hợp các điểm N
c) Gọi Olà trung điểm của AB I, là trung điểm của MN Chứng minh rằng OI là đường thẳng cố định khi M di động
Câu 5 (1 điểm)
Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn điều kiện: xyz 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H biết:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11 Câu 1
a)
3,0 đ
sin sin 5 1 cos 2 1 cos 4
PT x x x x
sinx sin5x sin 2x sin 4x
2sin 3 cos 2x x 2sin 3 cosx x
sin 3 0 cos 2 cos
x
3
0,5 đ
3 2
3 2
3
k x
k
k x
0,5 đ
b)
2,0 đ
2sin 3sin cos 5cos
1 cos 2 3
1 cos 2 sin 2 5
cos 2 sin 2
x
0,5 đ
cos 2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số : min 7 3 2
2 2
y đạt được tại
5
, 8
x k k
0,5 đ
Giá trị lớn nhất của hàm số : max 7 3 2
2 2
8
x k k 0,5 đ
Câu 2
Trang 32,0 đ
2
! 1
1 2 !
2 ! 2 2 !
n
k n
n
u k k
k n k
n n n
n n C k n
0,5 đ
1 2n
b)
2,0 đ
Số phần tử của không gian mẫu là: 3
20
Đoạn 1; 20 có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho
Với mọi số tự nhiên n ta luôn có 3
1 1 3
n n n n n
Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số
đó chia hết cho 3
0,5 đ TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 3
6 khả năng xảy ra TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 3
7 khả năng xảy ra
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 3
7 khả năng xảy ra
TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra
0,5 đ
Số kết quả thuận lợi là 3 3 3
6 7 7 6.7.7.3! 2666 0,25 đ Xác suất cần tính là 63 73 733 6.7.7.3! 1333
Câu 3
a)
2,5 đ
Giả sử bốn góc A, B, C, D A B C D theo thứ tự lập thành cấp số
nhân với công bội q Ta có 2
3
0,5 đ
8
A B C D
D A
3
8
A q q q
A q A
0,5 đ 0,5 đ
2
q
Trang 4b)
2,5 đ
1 2 3n 1 3n 2 3n
Xét dãy số v n , với v n u n 3 ,n n ta có v n1 2v n
Do đó, dãy số v n là 1 cấp số nhân có công bội q2 và số hạng đầu bằng -2
0,5 đ 0,5 đ
1 n 2n n
Trang 5Câu
4
5,0 đ
a)
2,0 đ
0,5 đ
Có AM // NN’
Do d // d1 nên tồn tại mặt phẳng chứa d và d1
0,5 đ
'
'/ / , / /
AN
AN MN
AMNN
b)
2,0 đ
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d2, vì d // d1 nên (P) // d1 0,5 đ
Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 và song song với đường thẳng cố định d1 nên (P)
Gọi P b Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b 0,5 đ
c)
1,0 đ
0,5 đ
Dựng đường thẳng qua E và song song với d1 cắt d2 tại N0, Dựng đường thẳng 0 qua
N0 song song với AE, đường thẳng này cắt d1 tại M0 0,5 đ
d
b
d2
d1
( )
α
A
N'
B M
O
Trang 6Câu 5
1,0 đ
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
H
y y z z z z x x x x y y
x x xyz y y xyz z z xyz
y y z z z z x x x x y y
y y
y y z z z z x x x x y y
Đặt:
1
9 2
1
9
9
Khi đó
9 2
6 4 9
2
9 2
H
2
H khi a b c x y z 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2 0,25 đ
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam
Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí