Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
* Dạng 1 :
A 0 (hoặc B 0 )
A B
= ⇔ =
Tương tự cho da ̣ng 2n A=2n B
* Dạng 2 :
2
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
=
Tương tự cho da ̣ng 2n A B=
* Da ̣ng 3: 3 A= 3 B
Tương tự cho da ̣ng 2n+ 1A=2n+ 1B
* Da ̣ng 4: 3 A B= ⇔ =A B3 Tương tự cho da ̣ng 2n+ 1A B=
Ví dụ Giải các phươngtrình
Hướng dẫn:
⇔ + − = − ⇔ − = ⇔ = ∨ = ⇔ =
=
2
) :
3 0
: 3
a Tacó
x
x x
x x x
Vậy x
≥ −
⇔ + = + + ⇔ + = + + + + ⇔ + = −
⇔ + = − ⇔ − = ⇔ = ∨ = ⇔ =
=
1
3
5
5 0
: 5
b Tacóđiều kiện x
x
x x
Vậy x
± + ≥
− ≥
− − = −
=
2
5 ( ( ))
2 11 8
: 5
c Tacóđiều kiện x x a
x
x thỏa a
Vậy x
− + =
− + =
=
2
2
2 2
2 8 12 0 2 8 12 0 12
: 2
d Đặt t x x ta có t t x x
x x
x x Vậy x
Trang 2( )
− + + =
⇔ − + = − ⇔ + − = ⇔ = − ∨ =
= − ∨ =
3 3 3
) 1: : ( ) 3 ( )
(5) 12 14 3 12 14 12 14 8
12 14 2 6 ( )
12 14 2 ( )
( ) 12 14 27 2 2 195 0 15 13 ( ( ))
: 15 13
2 : 12 ; 14
e C Tacó a b a b ab a b
Vậy x x
C Đặt u x v x Ta
− = − ⇔ =
− = ⇔ =
3
3
:
26 ( ) 3 ( ) 26
* 12 3 15
có
Mơ ̣t sớ bài vâ ̣n du ̣ng:
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) x− 2 =x− 4 (x=6) 4) 3x2 − 9x+ 1 +x− 2 = 0 (x 1)
2
= − 2) −x2 + 4x− 3 = 2x− 5 (x=145 ) 5) x2 − 2x+ 3 = 2x+ 1 ( )
3
15
3 ±
−
=
x
3) 2x− 2x− 1 = 7 (x= 5) 6)
2 4 4 4
2
2 x
x =
− (x= ± 2 2 )
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức
1) 2x+ 9 = 4 −x+ 3x+ 1 (x 0 x 11)
3
= ∨ = 4) 5x− 1 − 3x− 2 − x− 1 = 0 (x=2) 2) 3x− 2 − x+ 7 = 1 (x= 9) 5) x+ 8 − x = x+ 3 (x = 1)
3) x+ x+ 1 = x+ 2 (
3
3 2
3 +
−
=
x ) 6) x+ 1 = 3 − x+ 4 (x = 0)
* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số
1) (x+ 5 )( 2 −x) = 3 x2 + 3x (x 1 x= ∨ = −4) 5) x+ 1 + 4 −x+ (x+ 1 )( 4 −x) = 5 (x 0 x 3)= ∨ = 2) 2x− 1 +x2 − 3x+ 1 = 0 (x 1 x 2= ∨ = − 2) 6) 3 2 −x = 1 − x− 1 (x 1 x 2 x 10)= ∨ = ∨ =
3) x+ 2 + 5 −x+ (x+ 2 )( 5 −x) = 4(
2
5 3
3 ±
=
x ) 7) x+ 4 + x− 4 = 2x− 12 + 2 x2 − 16 (x=5) 4) x2 − 3x+ 3 + x2 − 3x+ 6 = 3 (x=1; x=2) 8) 3x− 2 + x− 1 = 4x− 9 + 2 3x2 − 5x+ 2 (x=2)
Luyê ̣n tâp: (bài chỉ mang tính chất ơn luyê ̣n, chưa đủ để thi ĐH và CĐ, cần phải ho ̣c hỏi thêm (phải giữ la ̣i cho
mình chứ), he he)
1 Giaỉ các phương trình sau:
a) 25−x2 = −x 1 (x=4) b) 3x2−9x+ + =1 2 x x( =3) c) 4x2+2x+ = +7 x 4 (x=1;x=3)
d) 2 4 ( 8)
2 7
x
x
− e) x2−2x− =4 2−x x( = −2) f) 1− =x 6− − − −x 5 2 (x x= −3)
Trang 3g) 1 1 4 2 7 4 0; 1
2
4
x x x x
− − = − = ÷
2 Giaỉ các phương trình:
a) 312− +x 34+ =x 4 (x=4) b) 3 3 3 3
1 2 2 3 1; 2;
2
x− + x− = x− x= x= x=
3 Giải các phương trình:
a) (x+4) (x+ −1) 3x2+5x+ =2 6 (x= −7;x=2) b) 3 2 2 8 3 2 2 15 7 1; 1
3
x − x+ + x − x+ = x= − x=
7 2 3 3 19 ( 2; 1)
x + + +x x + + =x x + x+ x= − x= d) x+ −8 2 x+ = −7 2 x+ −1 x+7 (x=2)
4 Giải các phương trình sau:
2 4 6 11 ( 3)
x− + − =x x − x+ x= c) 3 1 2 23 1 1; 1 5
2
+ = − = = ÷÷
2 x 2 x x 2 x 2
+ + − = = ± = − ÷
e) x2−2 x2− + =8x 1 8x+2 (x= ±4 2 6) f) 2 33 x− +2 3 6 5− x− =8 0 (x= −2)
5 Giải các phương trình sau:
a) 1 1 3 2 ( 1)
3 2
x x
x
2
4 3 4 ( 8)
x− + x − − =x x x=
c) 2 5 10 3 2 4 3 3 5
2
+ + − + + − = = ÷÷
d) x+ +5 2x+ =1 6 (x=4) e) 39− +x x+ =3 4 (x=1) f) 2x+ +1 33x− =4 5 (x=4)
2x− + − + =1 x 3x 1 0 (x=1) h) 2 1 2 1 3 ( 1; 5)
2
x
x+ x− + x− x− = + x= x=
6 Giaỉ các phương trình sau:
a) x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2 (x = 1)
b)
3
2 1
3
x
d) 3 x+ +1 3 x2 = 3 x+3 x2+x(x = 1)
3
x
x
+ (x = 1)
I C
ơ bản :
1 2 x+ =3 9x2− −x 4
2 x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2
3 3(2+ x−2) 2= x+ x+6
5 3 x+ +1 3 x2 = 3 x+ 3 x2+x
Trang 46 2
7 x−2 x− − −1 (x 1) x+ x2−x
8 2x2+8x+ +6 x2− =1 2x+2
9 5x− −1 3x− −2 x− =1 0
10 (x+3 10) −x2 =x2− −x 12
11 x−2 x− +1 x+ −3 4 x− =1 1
2
x
x+ + x+ + x+ − x+ = +
II È n phu :
13 x− x2− +1 x+ x2− =1 2
2
1 2
1 1
2
3
3 + + =
x
x
15 x+ 5+ x− =1 6
16 x+ 4−x2 = +2 3x 4−x2
17 1 2 2 1
3 x x x x
x
19 x2+ 3 x4−x2 =2x+1
20 − + + − + = −
−
1 ( 3)( 1) 4( 3) 3
3
x
x
21 3x− + 2 x− = 1 4x− + 9 2 3x2 − 5x+ 2
23 2(x2+2) =5 x3+1
2x +5x− =1 7 x −1
25 − 2+ = 2+ +
(4x 1) x 1 2x 2x 1
26 2(1−x x) 2+2x− =1 x2 −2x−1
27 3 2 ( )3
28 x2 +2x+ 2x− =1 3x2+4x+1
29 x2 + −(3 x2+2) x= +1 2 x2+2
31 (4x−1) x3+ =1 2x3+2x+1
32 x2 + 3 x + = + 1 ( x 3) x2+ 1
33 x2 + x + = 7 7
34 x3+ =1 2 23 x−1
35 3 3
36 36x+ =1 8x3−4x−1
37 3 x− +2 3 2x− =3 1
3− +x x − 2+ −x x =1(NT−99)
39 32− = −x 1 x−1
41 x2−2x=2 2x−1
42 2x2−6x− =1 4x+5
44 3 ( 2)3 ( 2)
46 36x+ =1 2x