Đề thi HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm [r]

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO

Tháng 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1( 4,0 điểm)

1) Cho hàm số 2

4 3

yx  x có đồ thị là (P1) và hàm số 2

2 3

yx  x có đồ thị là (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (P2) tại hai điểm C, D Tìm m để AB 2CD

2) Giải bất phương trình

2 2

1

x x

Câu 2( 4,0 điểm)

1) Giải phương trình 4cos3 cos 2cos 4 4cos tan tan 2 0

2

x

2) Giải hệ phương trình 2   







Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho các số thực dương x y z, , Chứng minh rằng

5

2) Cho dãy số  u n xác định như sau

1

1 1

2 3

n n

n

u

n u

u







 



Tính tổng của 2019 số hạng

đầu tiên của dãy số  u n

Câu 4( 4,0 điểm)

1) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối Do không còn phù hợp bác muốn thay

thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không

có hai cây nào gần nhau

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp đường tròn tâm

I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên

đường thẳng BI Các đường thẳng AC và KH lần lượt có phương trình là x y 1 0 và

x y Biết điểm B thuộc đường thẳng y 5 0và điểm I thuộc đường thẳng x 1 0 Tìm

Câu 5( 4,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB 3a và AD a 3 Cạnh bên

2

SA a và SA vuông góc với mặt đáy ABCD Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của

đỉnh A lên các cạnh SB và SD Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng AHK

2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau tại O Gọi H là hình

chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC và P là điểm bất kỳ trong tam giác ABC Chứng minh

rằng

-HẾT - ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020

1a Xét 2 phương trình: 2

x  x  m (1) và x22x  3 m 0(2)

ĐK: 1

2

1 0

2

2 0

m

m m

   



 

   



( ) 4 2[( ) 4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = 5

x x x x x x x x

1b

(2 điểm)

+ Điều kiện x0

+ Ta có

2

x   x x    

 

2

1 2 x   x 1 0

1 2 x 2 x 3x 1 1 2 x x 1

+ Nếu x0 thì bất phương trình trở thành 1 1 (vô lý)

+ Nếu x0 thì bất phương trình 1 x 1 1 x 1 3

0,5

+ Đặt x 1 t

x

  với t 2, bất phương trình trở thành 1 t 1 t3

13

4

    

0.5

+ Với 13

4

t  thì 1 13 4 2 12 4 0 13 105 13 105

x

+ Vậy bất phương trình có nghiệm là 13 105 13 105

0.5 2a

(2 điểm) + Với điều kiện

cos 0 2

cos 0 cos 0

x

x x x

    



 



phương trình tương đương với

sin sin 2

4 cos 3 cos 2 cos 4 4 cos 2 0

cos cos 2

x x

x x

0.5

cos cos 2

x x



0,5

1

cos

x

2 cos 2 cosx x 4 cos x cosx 1 0

2 cos 2 cosx x cosx 4 cos x 1 0

2 cos 2 cosx x cosx 2 cos 2x 1 0

2 cos 2x 1 cos x 1 0

1 cos 2

2 cos 1

x x











3 2



   











+ So sánh với điều kiện ta được 3  

2

k



   





2b

(2 điểm)

2 2

7 25 19 0





Từ PT đầu của hệ và kết hợp với điều kiện xác định suy ra x7,y0

(1) 9y  2y3 yx 3x4 xy4x0

  

2

4

0

xy x

xy x





   

2

0

y x

xy x

 x y

+ Thế vào (2), ta được: 7x225x19  x22x357 x2

2    

3x 11x 22 7 x 2 x 5 x 7

 2       2 

3 x 5x 14 4 x 5 7 x 5 x 5x 14

5 14 ;b 5 0, 0

a x  x  x a b Khi đó phương trình trở thành

3a24b27ab  a b 3a4b Với a   b x 3 2 7 (thỏa mãn) và x 3 2 7 (loại)

18

a b x 

(thỏa mãn) và 61 11137

18

(loại) Kết luận: Hệ có 2 nghiệm của hệ là:

3 2 7;3 2 7   và 61 11137 61; 11137

3.a

(2 điểm)

+ Đặt

P

và 1x2 a, 1 y2 b, 1z2 c với a b c, , 1

+ Ta có 3    2

1 y  1 y 1 y y

+ Theo cô-si     2

2 2

2

y

1

2

y

+ Suy ra

3 2

1

2 3

2 1 3 1

1 4 1 3

b c

y z



+ Hoàn toàn tương tự ta cũng có

3 2

2

2 3

2 1 3 1

1 4 1 3

c a

z x



3 2

3

2 3

2 1 3 1

1 4 1 3

a b

x y



+ Cộng các bất đẳng thức      1 , 2 , 3 theo vế ta được

P

P

ab ca bc ab ca bc

2 5

P

 

 

P

 

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y z 2 0.5

3.b

(2 điểm)

Cho dãy số  u n xác định như sau

1

1 1

2 3

n n

n

u

n u

u







 



Tính tổng của

2019 số hạng đầu tiên của dãy số  u n

Ta có   1 2  2

n



         

          

Tương tự ta sẽ có  2  2

Suy ra

2 2

1

n n



        

2 1 22 1 2 1 1 2 1 1

n

u

2019 2019

i

u

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4038

             

4.a

(2 điểm)

+ n()C204 4845 Trường hợp 1: Cả 4 cây được chặt ở gần nhau có 20 cách 0.5

+ Trường hợp 2: Trong 4 được chặt có đúng 3 cây gần nhau

- Chặt 3 cây gần nhau có 20 cách

- Mỗi 3 cây gần nhau có 15 cây không gần 3 cây đó Vậy trường hợp này có:

Trường hợp 3: Trong 4 cây được chặt có đúng 2 cây gần nhau:

- Chặt đúng 2 cây ở gần nhau có 20 cách

- Với mỗi 2 cây gần nhau có 16 cây không ở gần hai cây này Trong 16 cây lại có 15 cặp cây gần nhau Chọn hai cây không gần nhau trong 16 cây có: C162 15105

+ Trường hợp 4: Trong 4 cây được chặt có đúng hai cặp cây gần nhau

- Chọn một cặp cây gần nhau có 20 cách

- Mỗi cách chọn một cặp cây gần nhau lại có 15 cặp cây gần nhau được chọn từ 16 cây Vậy trường hợp này có 150

2

15 20

 cách Vậy n(A)4845(203002100150)2275

Suy ra:

969

455 4845

2275 )

(A  

P

0.5

Bài 4 b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp

đường tròn tâm I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI Các đường thẳng AC và KH lần lượt có phương trình là x y 1 0 và

x y Biết điểm B thuộc đường thẳng y 5 0 và điểm I thuộc đường thẳng x 1 0 Tìm

tọa độ điểm C

Hướng dẫn

K là giao điểm của HK và AC nên có tọa độ là K(-3; 2) Đường thẳng BK vuông góc với AC nên có

phương trình: x - y + 5 = 0 Vì B thuộc đường thẳng y - 5 = 0 nên tọa độ B(0; 5)

Gọi 3 7

;

2 2

E là trung điểm của BK, M là trung điểm BC thì EM // AC nên phương trình EM là: x + y -

2 = 0 Suy ra tọa độ của M là: M m;2 m Do MH = MK nên tam giác HMK cân tại M, có MD là trung

tuyến cũng là trung trực, nên phương trình đường thẳng MD có dạng:

x m t

y m t, thay vào phương trình của HK ta có:

3

5

m

m t m t t , suy ra tọa độ của D là: 6 3 4 3

;

N

D H

E

K

M I

A

C B

Từ tọa độ của D và K suy ra tọa độ của 12 9 2 6

;

H Suy ra tọa độ véc tơ BH là:

12 9 27 6

;

BH Mặt khác gọi I 1;n , ta có BI 1;n 5 cùng hướng với BH

m

m (1)

Ngoài ra BM IM 0 nên ta có: m m 1 m 3 2 m n 0

2

2m 2m 6 n m 3 0 (2) Thế (1) vào (2) ta được:

m

m

2

Khi đó tọa độ 3 7; 3 7; 3;2 3;2

M E C K nên tam giác ABC vuông tại C

Câu 5

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB 3a và AD a 3 Cạnh

bên SA 2a và SA vuông góc với mặt đáy ABCD Gọi H K, lần lượt là hình chiếu

vuông góc của đỉnh A lên các cạnh SB và SD Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng

AHK

2,0

Ta có AH SB, mà BC SA

BC SAB BC AH

4

Tương tự: AK SC 2

Gọi I SC AHK , từ 1 và 2 suy ra: SC AHIK 0,50

Mà: tanASC AC 3 ASC 600

2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau tại O Gọi H là

hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC và P là điểm bất kỳ trong tam giác ABC

Chứng minh rằng

2,0

Ta có: OP xOA yOB zOC 1

Do điểm P nằm trong tam giác ABC nên x y z 1 0,25

S

A

B

D

H

K

I

C

O

A

B

C

H

P

Từ 1 ta có:

2

2

Suy ra:

1 1 2

x

0,50

Tương tự:

1 1 2

OP PB y

OB OB ,

1 1 2

OP PC z

OC OC

0,25

Mà ta có: x y z 1

2

0,50

Mặt khác ta có: 12 12 1 2 1 2

Do đó:

KL:

OA OB OC OH (đpcm)

0,25

5

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh

Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng

đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí