- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN 2
NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian
giao đề
Câu 1 (6,0 điểm)
a Giải phương trình 1 3
4 cosx sinx
b Giải phương trình 1 1
Câu 2 (4,0 điểm)
a Cho đa giác đều có 60 đỉnh Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là đường chéo của đa giác
đó?
n
Tìm n biết a a a1, ,2 3 lập thành một cấp số cộng
Câu 3 (2,0 điểm) Cho dãy số ( )u n thỏa mãn 1 2
2
n . n
u
số hạng tổng quát u n và tính tổng S u1 u2 u2020.
Câu 4 (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(2; 5) và H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC. Gọi I, J(2; 1) và K(6;1) lần lượt là tâm đường nội tiếp của tam giác ABC ABH ACH, , Chứng minh I là trực tâm của tam giác AJK và tìm tọa độ các đỉnh B C,
Câu 5 (4,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm G, cạnh AB a; O là tâm của tam giác
BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi H K L, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của Mlên các mặt phẳng (ACD),(ABD),(ABC)
a Mặt phẳng ( )P bất kỳ đi qua trọng tâm G, cắt các cạnh AB AC AD, , lần lượt tại B C D', ', '.
Trang 2Câu 6 (2,0 điểm) Cho x y z, , 0 thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P x y y z z x
- Hết -
Lưu ý Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi Giám thị coi thi không giải thích gì
thêm
Trang 3ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM
2020
m 1.a
(3 đ) Điều kiện: cos 0, sin 0 2 .
k
0.5
sin 2 sin( )
3
k
1.b
C1 (Bình phương): x 1 x 1 1
x x Nếu 1 x 0 thì PT vô nghiệm
C2 : (Đặt 2 ẩn phụ chuyển về HPT) ĐK PT có nghiệm x 1. Đặt
1
x
x
2
C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm x 1. BĐT , , 0.
2
a b
1 1
x x
Phương trình tương đương với dấu bằng xảy ra 1 1 1; 1, 1 1 5
2
x x
2.a
(2 đ)
C1 : Chọn 1 đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm 2
đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA là đường chéo
của đa giác do đó giữa cung AB BC CA, , luôn có ít
nhất 1 đỉnh của đa giác
0.5
Trang 457 1 1 1 1 1 1
(có 56 dấu + )
Do vai trò của 3 đỉnh như nhau nên có
2
2 56
56
60.
20 3
C
C tam giác thỏa mãn
0.5
C2 : Số tam giác tạo thành là 3
n
C Số tam giác có 1 cạnh của đa giác là 1
4
n
nC Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác bằng n
n
2.b
(2 đ)
1 , , 2 3
2
(n 1)(n 2) ( 1)
3
(2 đ)
1
1
(n 1)u n (n 1).u n
1
1 1
n
n
0.5
1
.
n
0.5
4.2020 8080 2020
2020.2021 2021
4
(2 đ)
Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam
giác ABC là trực tâm của tam giác AJK
0
AK BJ
Tương trự chứng minh CK AJ
Do đó I là trực tâm của tam giác AJK
0.5
Gọi I a b( ; ) ta có 0
0
AIJK
KI AJ
4( 2) 2(b 5) 0 4
(4;1) 0( 6) 6( 1) 0 1
I
0.5
Phương trình BI x: y 3 0
Phương trình CI y: 1 0
0.25
Trang 5Một vecto chỉ phương của đường thẳng AI là 1 (1; 2)
2
phương của đường thẳng chứa cạnh AB hoặc cạnh AC là u t k'( , )
45 cos 45 | cos( , ') | 2 | 2 | 5( ) 3 0, 3 0
Với 3t k 0 chọn t 1,k 3 u'(1; 3).Với t 3k 0 chọn t 3,k 1 u' (3; 1)
0.5
Phương trình AB: 3x y 1 0. Phương trình AC: x 3y 17 0;
{ }B BI AB B( 1; 4); { }C CI AC C(14;1)
0.25
5.a
(2 đ) Tính chất trọng tâm G của tứ diện ABCD AO 4GO AO; 43GA
O là trọng tâm của tam giác BCD nên OB OC OD 0
3
Do đúng với mọi điểm A và 4 điểm B C D G', , ', cùng thuộc mặt phẳng (P) nên
4.
0.5
0.5
0.5
0.5
Trang 65.b
(2 đ)
Độ dài đường cao trong tam giác BCD là
3 2
TG
a
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD là
6 3
TD
a
1
TD TG
MM MH
2
TD TG
MM MK
3
TD TG
MM ML
Mặt khác
4
a
2
a
3 2
a
Ta có MM1 MM2 MM3 h TG
Do E là trọng tâm của tam giác HKL nên ta
có 3ME MH MK ML
4
4
3GM
0.5
0.5
0.5 0.5
6
(2 đ)
xyz z x y y z ; P x y2 y z2 z x2 x y2 y z2 z x2 xyz z x( y y)( z) 0.5
3
4 max
27
0.5
Ghi chú: Học sinh giải cách khác, nếu đúng thì cho điểm tối đa
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam
Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí