Lý do chọn đề tài : Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nớc – toán học không chỉ cung
Trang 1A - đặt vấn đề
I Lý do chọn đề tài :
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nớc – toán học không chỉ cung cấp cho con ngời những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn rèn luyện cho con ngời một khả năng t duy logic, một phơng pháp luận khoa học Toán học là tiền đề, là then chốt của mọi ngành khoa học khác
Để có thể phát triển khả năng t duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì tìm ra kết quả một bài toán cha thể coi là kết thúc đợc mà phải tiến hành khai thác “ mổ xẻ ” và phát triển bài toán đó
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng nh quá trình dạy học giải toán nói riêng ngời dạy cũng nh ngời học cần tạo cho mình một thói quen là: Sau khi tìm đợc lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề đó để tìm đễn kết quả mới hơn Hãy luôn suy nghĩ đến việc khai thác bài toán để sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã cho
Chính vì lý do trên tôi chọn đề tài : “ Khai thác – phát triển các bài toán
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”
II Mục đích :
Nhằm phát triển t duy logic và phơng pháp luận khoa học, phát triển óc thế giới quan duy vật biện chứng và duy vật lịch sử Thông qua đề tài hình thành cho học sinh những năng lực thích ứng với những thay đổi trong thực tế để
tự chủ, tự lập trong lao động, trong cuộc sống Kích thích trí tởng tợng gây hứng thú học tập toán, góp phần rèn luyện phơng pháp học tập và rèn luyện có
kế hoạch, khoa học, chủ động, sáng tạo và linh hoạt
III Nội dung :
III.1 Tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
Từ
d
c b
a
ta suy ra
d b
c a d b
c a d
c b
a
Từ dãy tỉ số bằng nhau b ad c e f ta suy ra :
f d b
e c a f d b
e c a f
e d
c
b
a
III.2 Hệ thống các bài tập áp dụng :
Trang 21 Bµi to¸n 1: ( Bµi 73/14/SBT) :
Cho a,b,c ≠ 0 Tõ tØ lÖ thøc b ad c h·y rót ra tØ lÖ thøc a a b cc d
Lêi gi¶i :
Tõ tØ lÖ thøc
d
c b
a
d
b c
a
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã :
d c
b a d
b c
a
Tõ
c
a d c
b a
ta suy ra :
c
d c a
b
Tõ ®©yta cã thÓ ph¸t biÓu vµ chøng min bµi to¸n t¬ng tù sau :
2 Bµi to¸n 2 :
Cho a,b,c,d ≠ 0 Tõ tØ lÖ thøc b a d c h·y suy ra tØ lÖ thøc :
c
d c a
b
Sau khi gi¶i bµi to¸n trªn ta cã bµi to¸n tæng qu¸t sau :
3 Bµi to¸n 3 :
Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc
d
c b
a
ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc :
c
nd mc a
nb
Lêi gi¶i :
Tõ
d
c b
a
d
b c
a
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã :
nd mc
nb ma nd
nb mc
ma d
b c
a
Tõ
c
nd mc a
nb ma c
a nd mc
nb
Còng tõ bµi to¸n 1 vµ 2 ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n :
4 Bµi to¸n 4 :
Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc
d
c b
a
( a – b ≠ 0; c – d ≠ 0 )
Ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc :
d c
d c b a
b a
Trang 3Lời giải :
Từ
d
c b
a
d
b c
a
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
d c
b a d c
b a d
c b
a
Từ
d c
d c b a
b a d c
b a d c
b a
Đến đây ta có bài toán đảo của bài toán 4 :
5 Bài toán 5 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d c
d c b a
b a
Ta có thể suy ra tỉ lệ thức
d
c b
a
Lời giải
Ta có
d c
d c b a
b a
≠ 1 aba b b 0
Và c + d ≠ c – d d≠ 0
d c
d c b a
b a
d c
b a d c
b a
Ta có
d
b d c d c
b a b a c
a d c d c
b a b a d c
b a d c
b a
Từ
d
b c
a
với b ≠ 0 ; d ≠ 0 ta suy ra
d
c b
a
Đặc biệt hoá bài toán 4; 5 khi a=d ta lại có bài toán sau :
6 Bài toán 6 :
Chứng minh rằng nếu a2= bc thì :
b c
b c b a
b a
Điều đảo lại có đúng không ?
7 Bài toán 7 :
Cho
d
c b
a
chứng minh rằng ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
d c
d c b a
b a
3 2
3 2 3 2
3 2
Lời giải
Trang 4Từ
d
c b
a
d c
b a d c
b a d
b c
a d
b c
a
3 2
3 2 3 2
3 2 3
3 2
2
Ta có :
d c
d c b a
b a d c
b a d c
b a
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
Từ đó ta có thể tổng quát hoá thành bài toán sau :
8 Bài toán 8 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c b
a
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
d n c m
nd mc b
n a m
nb ma
' ' '
Lời giải
Từ
d
c b
a
d n c m
b n a m d n
b n c m
a m nd mc
nb ma nd
nb mc
ma d
b c
a
' '
' ' '
' '
'
Từ
d n c m
nd mc b n a m
nb ma d
n c m
b n a m nd mc
nb ma
' ' ' ' '
'
' '
9 Bài toán 9 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c b
a
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
2 2
2 2
d c
b a cd
ab
Lời giải
Từ tỉ lệ thức
d
c b
a
2 2 2
2 2 2
d c
b a cd
ab d
b c
a d
b c
a
Bài toán 9 tơng tự bài toán sau :
10 Bài toán 10 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c b
a
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
22 22 22
d c
b a c
a
và ta có bài toán đảo của bài toán 10
11 Bài toán 11 :
Chứng minh rằng:Từ tỉ lệ thức 2 2
2 2 2 2
d c
b a c
a
ta có thể suy ra tỉ lệ thức
d
c b
a
Lời giải
Trang 5Ta có 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
d
b d c c
b a a d c
b a c
a
Suy ra
d
b c
a d
b c
a
d
c b
a
Khai thác bài toán 11 dẫn đến bài toán tổng quát sau :
12 Bài toán 12 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức k k
k k k k
k k
d c
b a d c
b a
2 2
2 2 2 2
2 2
Ta suy ra đợc
d
c b
a
13 Bài toán 13 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c b
a
Ta có thể suy ra đợc tỉ lệ thức : 22 2 22 2
10 7
5 3 10
7
5 3
d c
cd c
b a
ab a
Lời giải
Từ
d
c b
a
d
b c
a
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
10 7
10 7 5 3
5 3 10
10 7
7 5
5 3
3
d c
b a cd c
ab a
d
b c
a cd
ab c
a cd
ab d
b c
a
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
10 7
5 3 10 7
5 3 10
7
10 7 5 3
5 3
d c
cd c b a
ab a
d c
b a cd c
ab a
Bài toán 13 lại là trờng hợp đặc biệt của bài toán sau :
14 Bài toán 14 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c b
a
ta có thể suy ra đợc tỉ lệ thức
cd k d n c m
kcd nd mc ab
k b n a m
kab nb
ma
' ' ' '
'
2 2 2
2
2 2
( Cách giải tơng tự bài 13 )
15 Bài toán 15 :
Chứng minh rằng từ dãy tỉ số bằng nhau
d
c c
b b
a
Trang 6Ta có thể suy ra đợc
d
a d c b
c b a
Lời giải
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
d
a bcd
abc d
c b
c b a d c b
c b a d
c c
b b
a
3
Tơng tự ta có bài toán sau :
16 Bài toán 16 :
Cho bốn số a,b,c,d khác 0 thoả mãn : b2 = ac ; c2 = bd Chứng minh rằng :
d
a d c b
c b a
3 2 3
3 3 3
17 Bài toán 17 :
Cho
1
9 9
8 3
2 2
a
a a
a a
a a
a
Với a1+a2+a3+a4+ +a9 ≠ 0 Chứng minh rằng a1=a2= =a9
Lời giải
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
1 1
1
1 9 3
2
9 3
2 1 1
9 9
8 3
2 2
a a a
a
a a
a a a
a a
a a
a a a
Do đó a1=a2 ; a2=a3 ; ; a9=a1
Hay a1=a2= =a9
18.Bài toán 18 :
Chứng minh rằng nếu có dãy tỉ số bằng nhau :
2004
2003 3
2 2
a
a a
a a
a
thì ta có thể suy ra đợc đẳng thức :
2003
2004 3
2
2003 2
1 2004
1
a a
a
a a
a a
a
Lời giải
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
2004 3
2
2003 2
1 2004
2003 3
2 2
1
a a
a
a a
a a
a a
a a
a
Trang 7Ta có :
2004
1 2004
2003 3
2 2 1 2003
2004 3
2
2003 2
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
Vậy :
2004 1 2003
2004 3
2
2003 2
1
a
a a
a a
a a
a
( Lu ý các bài toán trên có thể giải theo nhiều cách )
B Dạng 2 : các bài toán tìm ẩn :
1 Bài toán 1 : ( Bài 61 trang 31 – SGK )
Tìm ba số x ; y ; z biết rằng :
5 4
; 3 2
z y y x
Lời giải
Từ
15 12 8 5 4
; 3 2
z y x z y y x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
2 5
10 15 12 8 15 12
y z x y z x
Do đó : x = 8.2=16
y= 12.2=24 z= 15.2 =30 Vậy x=16 ; y=24 ; z=30 Bài tập tơng tự
2 Bài toán 2 : Tìm ba số x ; y ; z biết rằng :
a)
5 3
; 4 3
z y y x
b)
7 8
; 6 5
z y y x
c) 3x=2y ; 7y=5z và x-y+z=32
3 Bài toán 3 :
Tìm ba số x ; y ; z biết rằng :
4 3 2
z y x
và x2-y2+2z2=108
Lời giải
Từ
16 9 4 4 3 2
2 2
2 y z x
z y x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
Trang 84 27
108 32
9 4
2 32
2 16 9 4
2 2 2 2 2 2 2
x
Do đó : a2 = 16 a 4
b2 = 36 b 6
c2 = 64 c 8
Vậy a=4; b=6; c=8 và a=-4; b=-6; c=-8 Các bài tập tơng tự
4 Bài toán 4 :
Tìm ba số x ; y ; z biết rằng :
5
3
; 3
2
z
x y
x
và x2+y2+z2=217
5 Bài tập 5 :
Tổng các lập phơng của ba số là 99 Tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là
3
2
, giữa số thứ nhất và số thứ ba là
2
1
Tìm ba số đó
6 Bài toán 6 :
Tìm ba số x ; y ; z biết rằng :
216 64 8
3 3
3 y z x
và x2+y2+z2=14
Lời giải
Từ
36 16 4 6 4 2 6 4 2 216 64 8
2 2 2 3
3 3
3 3
3 y z x y z x y z x y z x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
4
1 56
14 36 16 4 36 16 4
2 2 2 2 2 2
y z x y z x
Do đó :
3 9
4 36
2 4
4 16
1 1
4 4
2 2 2
z z
y y
x x
Vậy x=1; y=2; z=3 và x=-1; y=-2; z=-3
Ta tiếp tục với bài 62/31 – SGK để giải quyết các bài toán với giả thiết tơng tự
7 Bài toán 7 : ( Bài 62/31 – SGK )
Trang 9Tìm hai số x và y biết :
5 2
y x
và xy=10
Lời giải :
10
10 5 2 25 4 5 2
2 2
y x y xy x
Do đó :
5 25
2 4
2 2
y y
x x
Vậy : x=2; y=5 và x=-2; y=-5
8 Bài toán 8 :
Tìm hai số x và y biết :
4 2
y x
và x4.y4=16
Lời giải
Ta có 44 44 88 88 44 44 4 4 4
4
1 4 2
16 4
2
4
2 4 2 4
y x y x y x y x
Do đó :
2 4
4 4
1 1
4 2
4 4
8 8 4
8 8
y y
x x
Vậy x=1; y=2 và x=-1; y=-2
9 Bài toán 9 :
Tìm hai số x và y biết :
5 3
2 2 2
2 x x y
và x10.y10=1024
Lời giải
5 3 4
5 3 5
y x x y y y x x y y x x y
2
1024 2
2
2 2
10 10 20
20 20 10
10 10
2 2
y x y x y x y x y x
Do đó :
2 2
1 1
20 20 20
y y
x x
Vậy
2 1
y x
và
2 1
y x
Trang 1010 Bài toán 10 :
Một bể chứa nớc hình chữ nhật, chiều rộng và chiều dài tỷ lệ với 4
và 5 Chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 5 và 4 Thể tích của bể là 64 m3 Tính chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể
Lời giải :
Gọi x, y, z lần lợt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể chứa nớc ( x, y, z >0 )
Theo bài ra ta có :
16 20 25 4 5
; 4 5
z y x z y y x
5
1 16 20 25
64 16
20 25
16
20 25 16 20
z y x z
y x z y x
Do đó :
5 5
5
25 3 3
3 3
x
3 , 2 3 , 2 5
16
4 4
5 20
3 3
3 3
3 3
3 3
z z
y y
IV Kết luận
Trong quá trình thực hiện chuyên đề tôi thấy :
- Học sinh không còn bị lúng túng khi gặp phải các dạng bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cả về cách tìm lời giải và trình bày lời giải
- Học sinh thực sự có hứng thú và say mê học bài , làm bài tập và sách tham khảo để tìm thêm các bài toán dạng này
- Tạo cho học sinh thói quen luôn suy nghĩ một bài toán theo những hớng khác nhau
- Với bản thân qua nghiên cứu chuyên đề tự mình đợc nâng cao về nhận thức, về trình độ góp phần nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo
- Chuyên đề này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định, tôi rất mong đợc sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và của hội đồng khoa học các cấp
V Tài liệu tham khảo :
1 Sách giáo khoa toán 7 tập 1
2 Sách bài tập toán 7 – tập 1
Trang 113 Các dạng toán và phơng pháp giải toán 7 –tập 1
4 Ôn tập và kiểm tra đại số 7
