- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]
Trang 1SỞ GD&ĐTNGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11- NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (7,0 điểm) Giải các phương trình sau:
2
x
b) x 4 3 x 12 x x2 x 1 2x5
Câu 2 (7,0 điểm)
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các
chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần
b) Giải hệ phương trình
( , ) 5
2
x y x
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại C , có phân giác trong AD
với ( ;7 7)
D thuộc BC Gọi EvàFlần lượt thuộc các cạnhABvà ACsao cho AE AF.Đường thẳng
EFcắt BC tại K Biết ( ;3 5)
E , F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng AK là
x y Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d x: y 0 và đường tròn
2 2
T x y Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA MB, (A B, là các tiếp
điểm) và cát tuyến MCD đến đường tròn T với C nằm giữa M và D; AB cắt CD tại N Tìm tọa
độ điểm Mbiết rằng CD1 và 5
9
ND
Câu 4 (2,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng:
2
x y z y z x z x y
xyz
- HẾT -
Trang 2ĐÁP ÁN
1
2
x
(1) 1 2sin cosx x 1 cosx2 3 sin2x4sinx 3 sinx 0,5
2 4sinx 2sin cosx x cosx 2 3 sin x 3 sinx
2 1 2sinx cosx 2sinx 1 3 sinx 2sinx 1
2sinx 1 3 sinx cosx 2 0
x
1,0
6
x k x k k
0,5
5 2
2 6
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
5
x k x k x k k
0,5
2
2
t
Khi đó phương trình trở thành:
2
7
2
t
Suy ra t2 + 2t = a2 + 2a vớia 2x5, (a0) (t a t)( a 2) 0 t a 1,0
Với t a ta có x 4 3 x 2x 5 12 x x2 x 1 1 89
4
x
2
(7,0đ)
a) (3,5đ) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất
hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần
+TH1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần
Có C32cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0
Có A92cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại Vậy có 2 2
3. 9
C A số có 4 chữ số thỏa mãn trường hợp này
1,0
+TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng nghìn)
Có 9 cách chọn a
Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a
Có A92cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại
9
9.3.A số có 4 chữ số thỏa mãn trường hợp này
1,0
Trang 3+TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng nghìn
Có 9 cách chọn a
Có C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số a
Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn
Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại
3
9.8.8.C số có 4 chữ số thỏa mãn trường hợp này
1,0
b) (3,5đ) Giải hệ phương trình
5
2
x
3
y x yx
x y
1,0
TH1: x 6y9
Từ PT (1), x 3 6y 9 3 y 1 Suy ra hệ PT vô nghiệm 0,5 TH2: x2y1 Thay vào PT (2) ta có
y
1,0
2 2
y
y
3y 2 y 2 y
; 2 1
Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) với x3,y2
1,0
3
(4,0đ)
a) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại C , có phân
giác trong AD với ( ;7 7)
D thuộc BC Gọi EvàFlần lượt thuộc các cạnhABvà AC sao
cho AEAFĐường thẳng EF cắt BC tại K Biết ( ;3 5)
E , F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng AK là x2y 3 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC
Gọi I là giao điểm của ADvà EF, suy ra Ilà trung điểm của EF
Chứng minh DF AK
0,5
A
B
F I
K
E
Trang 4Phương trình của DF là: 4x2y 7 0
Gọi ( ;7 2 ) (2 3 1 2; )
Do IE ID 0 (3 2 )(11 2 ) 16(t t t3)(t 4) 0
2
9 2
5 2
t
t
Vì Fcó hoành độ nhỏ hơn 3 nên ( ;5 3) (2; 2)
1,0
Do đó đường thẳng ADcó phương trình x y 0 A(1; 1)
Vậy phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC là:
AC x y AB x y BC x y 0,5
b) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho đường thẳngd x: y 0 và đường tròn 2 2
T x y M là điểm thuộc d , qua M kẻ hai tiếp tuyếnMA MB, đến
( )T (A B, là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD đến đường tròn( )T với C nằm giữa M và
D; AB cắt CD tại N Tìm tọa độ điểm M biết rằng CD1 và 5
9
ND + Gọi K trung điểm DC, I là tâm đường tròn (T), khi đó IK vuông góc CD Mà
IA vuông góc MA suy ra đường tròn đường kính MI đi qua I, K, A,B (Kí hiệu là đường tròn (T’))
Đường tròn (T) tâm I(1;-4), R2
=5
0,5
N là điểm trong ( T) ta có: ND.NC=NA.NB=20/81 Tương tự vì N trong (T’) : NK.NM=NA.NB=20/81
9
NM
IK ID KD R KD IN IK KN
0,5
+ Sử dụng định lý cosintrong tam giác INM ta có:
IM IN NM IN NM cos INM NM IN NM cos INK (*)
Với cos ( INM) cos( INK) cos INK( ) KN
IN
có:IM2=IN2+NM2+2NK.NM=385 1600 40 2025 25
81 81 81 81 Vậy IM = 5
0,5
M
A
B
C
I
K
Trang 5Vậy giao của đường tròn (I;5) và (d) cho ta 2 điểm M cần tìm là (1;1) và (-4;-4) 0,5
4
(2,0đ)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng:
2
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy x y z yz zx xy
1 2
0,5
Do đó
2
2
6 3 6
yz zx xy
Vậy (2) đúng Suy ra đpcm
1,0
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí