Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số hằng

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân. Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

VŨ THỊ HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-Năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

VŨ THỊ HÀ

MÃ HỌC VIÊN: C01078

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP

TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Hà Nội-Năm 2019

Mở đầu.

Dãy số lặp tuyến tính trong toán học ở bậc phổ thông bao gồm cấp

số cộng, cấp số nhân, cộng-nhân, dãy Fibonacci, dãy Lucas, dãy Pell, Các dãy số trên đây là những dãy số tuyến tính cấp một và cấphai Tuy nhiên, công thức tổng quát của các dãy số trên còn ít được biếtđến Vấn đề trên đây là một trong những mục tiêu nghiên cứu của luậnvăn này bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp

Lucas-Dãy số lặp tuyến tính là cách gọi khác của các phương trình sai phântuyến tính Đối với các dãy số tuyến tính cấp hai và cấp cao hơn, để xácđịnh số hạng tổng quát, người ta thường sử dụng kỹ thuật phương trìnhsai phân Kỹ thuật này đã được giới thiệu trong chương trình của cáclớp chuyên Toán Tuy nhiên, ở các lớp phổ thông không chuyên, phươngtrình sai phân không được giới thiệu Vì vậy cần thiết phải có những tìmtòi các phương pháp giải khác mà kiến thức không vượt quá kiến thức ởbậc THPT

Luận văn này sẽ trình bày một số trong những phương pháp ấy Ýtưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy sốlặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp,

có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân.Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãycấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy sốcấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn Trong luận văn còn trìnhbày phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số lặptuyến tính có dạng khá đẹp về hình thức, thông qua dãy số lặp của các

hệ số

Bản luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài

liệu tham khảo.

Chương 1: Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấphai hệ số hằng , trình bày về định nghĩa và tính chất một vài dãy số vớicác số hạng là tổng (hoặc hiệu) của hai hay nhiều số nguyên, trong đó códãy số liên kết với hai hằng số hoặc liên kết với một dãy số đã cho Sửdụng phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy sốcấp hai liên kết với một hoặc hai hằng số

Chương 2: Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp một

và cấp hai , trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấphai hệ số hằng(phương trình sai phân cấp hai) về cấp số nhân(phươngtrình sai phân cấp một thuần nhất), hay cấp số cộng-nhân(phương trìnhsai phân cấp một không thuần nhất đặc biệt)

Chương 3: Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và cấp bốn, trình bày cơ sở lýthuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp ba và cấp cao hơn về dãy sốlặp tuyến tính có cấp thấp hơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS NguyễnVăn Ngọc Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của cácthầy, cô và các bạn đồng nghiệp

Nội dung chính của luận văn được hình thành dựa trên các tài liệutham khảo [1]-[5] Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học ThăngLong, 2018-2019

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 9, Năm 2019

Tác giả

Vũ Thị Hà

Ví dụ, dãy cấp số cộng và dãy cấp số nhân, cấp số cộng-nhân

Un+1 = Un + b, Un+1 = aUn, Un+1 = aUn + b

là những dãy cấp một Cấp số nhân là dãy số cấp một thuần nhất, cấp

số cộng và cấp số cộng-nhân với b 6= 0 là những dãy số cấp một khôngthuần nhất

Dãy số Fibonacci Fn với bất kỳ n ≥ 1 và F0 = 0, F1 = 1 dạng

Fn+1 = Fn+ Fn−1

là dãy số tuyến tính cấp hai thuần nhất

Định nghĩa 1.2 Cho các số nguyên a, b và U0, U1 Lập dãy số Un dạng

với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số Un

Định nghĩa 1.3 Cho các số nguyên a và V0, V1 Lập dãy số (Vn) dạng

với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Vn)

Định nghĩa 1.4 Cho các số nguyên b và Z0, Z1 Lập dãy số (Zn) dạng

với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Zn)

Mệnh đề 1.1 Cho dãy số Un+1 = aUn+ bUn−1 với n ≥ 1, liên kết vớihai hằng số a, b sinh bởi U0, U1 Xét dãy số (Dn) được xác định bởi

Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đưa ra các hệ thức giữa các sốhạng của dãy số Fibonacci như Lucas, Binet, Cassini, Catalan, D’Ocagne,· · ·

Ví dụ 1.2 Dãy số Lucas Ln với bất kì n ≥ 1 và L0 = 2, L1 = 1 dạng

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1 Dãy số Fibonacci Fn là dãy

số cơ sở của dãy số Wn Dãy số Lucas Ln là trường hợp riêng của dãy số

Wn khi W0 = L0 = 2, W1 = L1 = 1

Ví dụ 1.4 Dãy số Pell Pn với n ≥ 1 và P0 = 0, P1 = 1 dạng

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2 Dãy số Pell Pn là dãy số

cơ sở của dãy số Tn Dãy số Lucas- Pell Qn là trường hợp riêng của dãy

số Tn khi T0 = Q0 = 2, T1 = Q1 = 2

1.2 Xác định các dãy số liên kết tuyến tính cấp

hai bằng phương pháp quy nạp.

1.2.1 Dãy số {Kn}

• Xét dãy số được cho bởi công thức

K1 = K2 = 1, Kn+1 = Kn+ bKn−1(n ≥ 2) (1.15)

• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây:

•Để tiện tính toán các số Kn ta lập quy tắc tính các hệ số của bm dướiđây:

Trong bảng số hình tam giác ghi các hệ số knm của bm ở cột m hàng n(n > m ≥ 0), trong đó cột m ghi số mũ của b, hàng n ghi thứ tự của Kn.Các hệ số này được sắp xếp theo các quy luật ghi số như sau:

knm+ km+1n+1 = km+1n+2 (1.18)1.2.2 Dãy số {Hn}

• Xét dãy số {Hn} được xác định theo công thức

H1 = 1, H2 = a, Hn+1 = aHn+ Hn−1, n ≥ 2

• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây:

• Quy ước về các hệ số Ký hiệu hmn là hệ số của am trong Hn

hmn + hm+1n−1 = hm+1n+1 (1.21)1.2.3 Dãy số {Gn}

• Xét dãy số {Gn} được xác định theo công thức

hmn thì thỏa mãn các quy ước HQ1-HQ3.

• Các hệ số của a và b trong biểu thức củaHn, Gn, Kn giống nhau, trong

Kn thì số mũ của b tăng dần theo dãy số tự nhiên, trong Hn thì số mũcủa a giảm dần theo dãy số tự nhiên chẵn hoặc theo dãy số tự nhiên lẻ,còn trongGnthì các số mũ của b tăng giống củaKn và giảm giống củaHn

Chương 2

Phương pháp cấp số xác định dãy

số lặp tuyến tính cấp một và cấp hai.

2.1 Dãy cấp số.

2.1.1 Dãy cấp số cộng

Xét dãy số

Un+1 = Un + b, n = 0, 1, , b 6= 0, U0 đã biết (2.1)Bằng phương pháp quy nạp ta có công thức xác định số hạng tổng quátcủa cấp số cộng:

Un = U0 + (n − 1)b, n = 1, 2, (2.2)2.1.2 Dãy cấp số nhân

Xét dãy số

Un = aUn−1, n = 1, , a 6= 0, U0 đã biết (2.3)Bằng phương pháp quy nạp ta có công thức xác định số hạng tổng quátcủa cấp số cộng:

Un = U0an, n = 0, 1, 2, (2.4)2.1.3 Dãy số cộng - nhân

Xét dãy số được xác định bởi công thức

Un = aUn−1+ b, n = 1, , a 6= 1, b 6= 0, U0 đã biết (2.5)

Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng có được công thức xác định số hạngtổng quát

Un = U0an + bSn(a) (2.6)trong đó

c − a.Bài toán 2.4 Xác định công thức tổng quát của dãy số

Un = aUn−1 + ban, a, b 6= 0, U0 = d

Kết quả: Un = an(nb + d)

2.2 Phương pháp cấp số biểu diễn dãy số tuyến

tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất.

2.2.1 Công thức biểu diễn

Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số

Un+1 = aUn + bUn−1, n ∈ N (2.8)theo các giá trị đầu U0, U1, biến số n và các hệ số a, b Chúng ta luônluôn giả sử rằng U0, U1, Un, a và b là các số thực

Định lý 2.1 Hệ thức (2.8) tương đương với hệ thức

Un+1 − xUn = (a − x)(Un − xUn−1) + (b + ax − x2)Un−1, (2.9)trong đó x là một số tùy ý(thực hoặc phức)

Chứng minh Thật vậy, khai triển vế phải của (2.9) rồi ước lượng các sốhạng đồng dạng ta nhận được hệ thức (2.8)

Định nghĩa 2.1 Phương trình

được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức (2.8)

Ký hiệu α, β là các nghiệm của phương trình đặc trưng (2.10) Chúng

ta có công thức Viet



α + β = a,

Định lý 2.2 Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với các hằng số a, b

và hai số nguyên U0, U1 cho trước dạng (2.8) với n ≥ 1

1 Giả sử a2 + 4b ≥ 0 và α, β là các nghiệm thực của phương trình

x2 − ax − b = 0 Khi đó ta có

a) Nếu α khác β thì

Un = (U1 − U0.α)βn − (U1 − U0.β)αn

ρn−1sin nϕsin ϕ U1, (2.14)trong đó ρ và ϕ tương ứng là modul và argument của số phức α ở dạnglượng giác.

ϕ =

√

5 + 1

2 ≈ 1, 618

và gọi nó là tỷ lệ Vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh Ý nghĩa hình học của tỷ

lệ vàng là: tỷ lệ giữa nửa chu vi và cạnh dài của một hình chữ nhật bằng

ϕlà tỷ lệ vàng, và hình chữ nhật có tỷ lệ vàng là hình chữ nhật lý tưởng.Bài toán 2.6 (Dãy Lucas) Xét bài toán:

Ln+1 = Ln+ Ln−1, L0 = 2, L1 = 1

Kết quả:

Ln = (1 +

√5)n + (1 −√

5)n

Bài toán 2.7 (Dãy Pell) Xét bài toán:

Pn+1 = 2Pn + Pn−1, P0 = 0, P1 = 1

Kết quả: Công thức số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi công thức

Pn = (1 +

√2)n− (1 −√2)n

Un+1 = Un− Un−1, U0 = 1, U1 = 1

2.Kết quả: Un = cos nπ/3

2.3.1 Công thức biểu diễn

Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số

Un+1 = aUn+ bUn−1+ f (n), n ∈ N (2.15)theo các giá trị đầu U0, U1, biến số n và các hệ số a, b và hàm số f (n).Chúng ta luôn giả thiết rằng U0, U1, a, b và f (n) là các số thực Đối vớitrường hợp f (n) = c = const ta có các kết quả sau:

Định lý 2.3 Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với các hằng số

a, b, c và hai số nguyên U0, U1 cho trước dạng (2.15) với n ≥ 1

1 Giả sử a2 + 4b ≥ 0 và α, β là các nghiệm thực của phương trình

ρn−1sin ϕsin ϕ U1+sin ϕ + ρ

n−1sin nϕ + ρnsin(n − 1)ϕ(1 + ρ2) sin ϕ .c (2.18)trong đó ρ và ϕ tương ứng là modul và argument của số phức α ở dạnglượng giác

Bài toán 2.12 Xét bài toán

Un+1 = Un + Un−1 + kn2 + ln + m, U0 = p, U1 = q,

trong đó k, l, m, p và q là các số đã cho

Bài toán 2.13 Xét bài toán

Un+1 = 3Un− 2Un−1+ 3n, U0 = p, U1 = q,trong đó p và q là các số đã cho

Bài toán 2.14 Xét bài toán

Un+1 = aUn+ bUn−1+ kn2 + ln + m + cn, U0 = p, U1 = q,

trong đó a, b, c, k, l, m, p và q là các số đã cho, ngoài ra c 6= 0 và c 6= 1

Chương 3

Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và

cấp bốn.

3.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất Trường

hợp phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt.

Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số

Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1, n ∈ N (3.1)theo các giá trị đầu U0, U1, U2, biến số n và các hệ số a, b, c Chúng taluôn giả thiết rằng U0, U1, U2, a, b, c là các số thực

3.1.1 Các biến đổi cơ bản

Định lý 3.1 Đẳng thức

Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1, n ∈ N (3.2)tương đương với

Un+2− xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn) + (b + ax − x2)(Un− xUn−1)

+ (c + bx + ax2 − x3)Un−1 (3.3)Định nghĩa 3.1 Phương trình

x3 − ax2 − bx − c = 0 (3.4)được gọi là phương trình đặc trưng của dãy (3.1)

Tiếp theo, giả sử rằng α, β, γ là các nghiệm của phương trình bậc baTheo định lý Viet ta có

ta có

Un+2− αUn+1 = (a − α)(Un+1− αUn) + (b + aα − α2)(Un − αUn−1)

(3.5)Đặt

Vn(α) = Un+1− αUn (3.6)Các đại lượng Vn(α), n = 0, 1, 2 được biểu diễn theo các đại lượng đãbiết U0, U1, U2 Khi đó hệ thức trong (3.5) được viết ở dạng

Un+2 − αUn+1 = Vn+1(α) = (a − α)Vn(α) + (b + aα − α2)Vn−1(α)

(3.7)Dãy Vn(α)trong (3.7) là dãy số lặp tuyến tính cấp hai đã được nghiêncứu trong Chương 1

3.1.2 Công thức biểu diễn

Un = U0αn+hU2 − (α + γ)U1 + αγU0

β − γ

iαn− βn

α − β+h− U2 − (α + β)U1 + αβU0

β − γ

iαn− γn

α − γ . (3.8)Đổi chỗα tương ứng với β và γ ta có các công thức biểu diễn tương ứng.3.1.3 Các bài toán

Bài toán 3.1 Xét bài toán

Un+2 = 6Un+1 − 11un+ 6Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 2

Kết quả: Un = −3

2 + 2n+1 − 3

n

2 .

3.2 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất Trường

hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép hay nghiệm bội.

3.2.1 Trường hợp nghiệm kép

Giả sử rằng phương trình (3.4) có ba nghiệm thực α 6= β = γ Trongtrường hợp này, theo kết quả đối với dãy số cấp 2 trong Chương 2 Ta cócông thức của số hạng tổng quát

Un = αnU0 + [(n − 1)βn−2 + (n − 2)α.βn−3 + +

+ 2αn−3β + 1.αn−2](U2 − αU1)

− [(n − 2)βn−1 + (n − 3)αβn−2+ +

+ 1.αn−3β2 + (−1)αn−1](U1 − αU0) (3.9)Bài toán 3.2

Un+2 = 7Un+1 − 11Un + 5Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 3, n ≥ 1

(3.10)Kết quả:

Giả sử rằng phương trình (3.4) có ba nghiệm thực α = β = γ Khi đó

từ công thức (3.9) ta có công thức xác định số hạng tổng quát

Bài toán 3.3 Xét bài toán

Un+2 = 3Un+1 − 3Un + Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 3 (3.12)Kết quả: Un = n

2 + n

2 .

3.3 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất Trường

hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức.

3.3.1 Dạng lượng giác của các số phức liên hợp

Giả sử rằng phương trình (3.4) có nghiệm thực γ và hai nghiệm phức

α, β Khi đó α và β là các số phức liên hợp với nhau Giả sử chúng códạng lượng giác:

α = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), β = ρ(cos ϕ − i sin ϕ),trong đóilà đơn vị số ảo,ρvàϕtương ứng được gọi là modul và argumentcủa số phức α

3.3.2 Công thức biểu diễn

Giả sử α và β là các số phức liên hợp Trong trường hợp này ta cócông thức biểu diễn của số hạng tổng quát

3.4 Dãy số cấp ba không thuần nhất.

3.4.1 Biến đổi cơ bản

Định lý 3.2 Đẳng thức

Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1+ f (n), n ∈ N (3.14)tương đương với

Un+2− xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn) + (b + ax − x2)(Un− xUn−1)

+ (c + bx + ax2 − x3)Un−1 + f (n), (3.15)trong đó f (n) là một hàm đã cho theo biến n

Giả sử α, β, γ là các nhiệm của phương trình đặc trưng (3.4)

x3 − ax2 − bx − c = 0 (3.16)Trong (3.15) lần lượt thay x bằng α, β, γ Đối với x = α ta có

Un+2− αUn+1 = (a − α)(Un+1− αUn) + (b + aα − α2)(Un − αUn−1)

Đặt

Vn(α) = Un+1− αUn, Vn(β) = Un+1 − βUn, Vn(γ) = Un+1 − γUn

(3.18)Các đại lượng Vn(α), n = 0, 1, 2 được biểu diễn theo các đại lượng đãbiết U0, U1, U2 Khi đó hệ thức (3.5) được viết ở dạng

3.4.2 Trường hợp các nghiệm của phương trình đặc trưng là

Un+3là những số thực chưa biết, nhưng cho biết các đại lượngU0, U1, U2, U3.Mục đích của mục này là trình bày cách đưa dãy số cấp bốn (3.21) vềcác dãy số cấp ba, đã được nghiên cứu ở các mục trên

Định lý 3.3 Hệ thức (3.21) tương đương với hệ thức sau đây

Un+3− xUn+2 = (a − x)(Un+2− xUn+1) + (b + ax − x2)(Un+1 − xUn)+ (c + bx + ax2 − x3)(Un − xUn−1) + (d + cx + bx2 + ax3 − x4)Un−1+ e,

(3.22)trong đó x là một số bất kỳ (thực hoặc phức)

Định nghĩa 3.2 Phương trình

x4 − ax3 − bx2 − cx − d = 0 (3.23)được gọi là phương trình đặc trưng của dãy (3.21)

Ký hiệu các nghiệm của phương trình (3.23) là α, β, γ, δ Khi đó, ta

αβγδ = −d

(3.24)

Trước hết xét trường hợp e = 0 Trong (3.22), lần lượt cho x bằng

α, β, γ và δ ta được các dãy cấp ba Chẳng hạn đối với x = α ta có

Un+3 − αUn+2 = (a − α)(Un+2 − αUn+1) + (b + aα − α2)(Un+1− αUn)

+ (c + bα + aα2 − α3)(Un − αUn−1) (3.25)Đặt

Vn(α) = Un+1− αUn (3.26)Khi đó hệ thức trong (3.25) được viết ở dạng

Un+3 − αUn+2 = Vn+2(α) = (a − α)Vn+1(α) + (b + aα − α2)Vn(α)

+ (c + bα + aα2 − α3)Vn−1 (3.27)Dãy Vn(α) trong (3.27) là những dãy số lặp tuyến tính cấp ba đã đượcnghiên cứu ở trên với các điều kiện đầu V0, V1, V2, V3 được biểu diễn quacác điều kiện đầu U0, U1, U2, U3 Các vấn đề của dãy số cấp ba Vn(α) đãđược xét trong các mục ở trên của chương này, từ đó suy công thức tổngquát của Un Các vấn đề đó sẽ không được trình bày trong phần này củaluận văn

3.5.2 Các bài toán

Bài toán 3.5 (Bốn nghiệm thực phân biệt) Xét bài toán

Un+3 = 3Un+2+7Un+1−27Un+18Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 2, U3 = 3

Kết luận.

Luận văn " Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ sốhằng " đã thu lượm và trình những vấn đề sau đây:

1 Trình bày quy luật và tính chất của một số dãy số lặp tuyến tính

là mở rộng của các dãy số kinh điển như dãy Fibonacci, Lucas, Pell,

Đã đưa ra công thức số hạng tổng quát của các dãy số liên kết với mộthoặc hai hằng số thực bất kỳ

2 Trình bày phương pháp mới xác định công thức tổng quát của cácdãy số lặp tuyến tính cấp hai, cấp ba và cấp bốn về dãy số lặp cấp thấphơn Thực chất đó là phương pháp giải các phương trình sai phân tuyếntính hệ số hằng bằng cách đưa chúng về về các phương trình sai phân cócấp thấp hơn

3 Đã xét nhiều bài toán và ví dụ minh họa tương ứng với các phần

lý thuyết đã được trình bày trong Luận văn