Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu bản đồ

Luận văn với mục tiêu tìm hiểu và trình bày một số kiến thức cơ bản về đồ thị, đồ thị phẳng và các kết quả lý thuyết, các định lý liên quan đến bài toán tô màu (tô đỉnh, tô cạnh và tô diện - tô màu bản đồ) trên các loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh và diện dựa trên các kết quả lý thuyết đã có và đề cập một số ứng dụng thiết thực của bài toán tô màu trong thực tế.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

ĐINH THỊ DỊU - C01055

ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ

BÀI TOÁN TÔ MÀU BẢN ĐỒ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019

MỞ ĐẦUCác sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổchức của một cơ quan, trường học đã khá quen thuộc với nhiềungười Đó là những hình ảnh sinh động và cụ thể của một kháiniệm toán học trừu tượng - khái niệm đồ thị.

Có thể hiểu đơn giản đồ thị là một cấu trúc toán học rời rạc,bao gồm hai yếu tố đỉnh và cạnh, cùng mối quan hệ giữa chúng

Đồ thị là một mô hình toán học cho nhiều vấn đề lý thuyết vàthực tiễn đa dạng

Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều bài toán có ý nghĩa thựctiến thiết thực, cùng nhiều phương pháp xử lý và thuật toán giảiđộc đáo hiệu quả, giúp ích cho sự phát triển tư duy toán học nóichung và khả năng vận dụng trong cuộc sống thường ngày nóiriêng Chủ đề về đồ thị còn có trong các đề thi Olympic về toánhọc ở một số nước

Đồ thị phẳng và bài toán tô màu bản đồ là một trong nhữngchủ đề quan trọng và hấp dẫn của lý thuyết đồ thị Bài toán tômàu cho đồ thị có nhiều tác dụng trong khoa học và đời sống,được nhiều người quan tâm nghiên cứu và vận dụng Chẳng hạn

tô màu bản đồ, xếp lịch học tập, lập kho chứa hóa chất, thiết

kế các bản mạch điện tử, bố trí các trạm truyền tin, xác lập cáctuyến xe buýt thành phố, v.v

Đề tài luận văn cao học:

"Đồ thị phẳng và bài toán tô màu bản đồ"

nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày một số kiến thức cơ bản

về đồ thị, đồ thị phẳng và các kết quả lý thuyết, các định lý liênquan đến bài toán tô màu (tô đỉnh, tô cạnh và tô diện - tô màubản đồ) trên các loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh

và diện dựa trên các kết quả lý thuyết đã có và đề cập một sốứng dụng thiết thực của bài toán tô màu trong thực tế

Nội dung luận văn được viết trong ba chương

đồ thị và các phép toán trên đồ thị Mục 1.2 nêu khái niệm về

đồ thị phẳng, tính chất đặc trưng của các đồ thị phẳng Trongchương dẫn ra nhiều ví dụ minh họa các khái niệm và kết quả đãtrình bày

1.1 Khái niệm cơ bản về đồ thị

1.1.1 Đồ thị vô hướng

Trong thực tế ta thường gặp các sơ đồ giao thông (Hình 1.1)hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ này được khái quátthành một sơ đồ vẽ ở Hình 1.34

Hình 1.1: Sơ đồ

khu phố

Hình 1.2: Sơ đồ mạch điện

Hình 1.3: Đồ thị đại

diện

Từ đó ta đi tới định nghĩa sau.

Định nghĩa 1.1 Đồ thị là một tập hợp hữu hạn và khác rỗngcác điểm, gọi là đỉnh, và một tập hợp các đoạn (thẳng hay cong)nối liền một số cặp điểm này, gọi là cạnh của đồ thị (số cạnh

K, N ,

Nếu đồ thị G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E ⊆ V × Vthì ta viết G = (V, E) Ta dùng ký hiệu n = |V | là số đỉnh và

m = |E| là số cạnh của đồ thị (n > 0, m ≥ 0)

Để dễ hình dung, mỗi đồ thị thường được biểu diễn bởi mộthình vẽ trên mặt phẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn một đồthị có 5 đỉnh: a, b, c, d, e và 8 cạnh: (a, b), (a, d), (a, e), (b, c),(b, d), (b, e), (c, d) và (d, e) Chú ý rằng điểm cắt nhau của haicạnh (a, d) và (b, e) trong hình vẽ không phải là một đỉnh của

đồ thị

Đỉnh i gọi là kề đỉnh j nếu có một cạnh của đồ thị nối i với

j Nếu ký hiệu cạnh này là e thì ta viết e = (i, j) và nói cạnh eliên thuộc đỉnh i và đỉnh j Ta cũng nói i và j là hai đầu mútcủa e Cạnh e và e0 gọi là kề nhau nếu e, e0 có chung đỉnh.Định nghĩa 1.2 Bậc của một đỉnh v trong đồ thị là số cạnhliên thuộc nó, ký hiệu là ρ(v) Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cô lập,đỉnh có bậc 1 gọi là đỉnh treo Ví dụ trong đồ thị vẽ ở Hình 3

• Bỏ cạnh Với e ∈ E, ta ký hiệu G − e là đồ thị nhận được

từ G bằng cách bỏ cạnh e (không bỏ hai đỉnh đầu mút của e)

• Co cạnh Với e ∈ E, ta ký hiệu G \ e là đồ thị nhận đượcbằng cách co cạnh e thành một điểm duy nhất Hình 1.4 minhhọa các đồ thị G, G − e và G \ e

Hình 1.4: Đồ thị G, cạnh e và các đồ thị G − e và G \ e tương ứng

• Đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị nhận được từ

G bằng cách bỏ một số đỉnh và một số cạnh của G Lưu ý là khi

bỏ đi một đỉnh của đồ thị ta đồng thời bỏ đi tất cả các cạnh liênthuộc đỉnh ấy, còn khi bỏ đi một cạnh thì hai đỉnh đầu mút củacạnh ấy vẫn được giữ nguyên

Nói chính xác, H = (V0, E0) là một đồ thị con của G = (V, E)nếu V0⊆ V và E0 ⊆ E Ta cũng nói G chứa H Ta nói H là một

đồ thị con cảm sinh của G nếu H là một đồ thị con của G và

E0 = {(x, y) ∈ E : x, y ∈ V0} Ở đây H là đồ thị con của G sinhbởi tập đỉnh V0 ⊆ V Vì thế ta còn viết H = G[V0] Đồ thị con

H = (V0, E0) gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu V0 = V ,tức tập đỉnh của H và của G trùng nhau

1.1.3 Đồ thị đẳng cấu

Hai đồ thị G1 và G2 gọi là đẳng cấu nếu chúng có số đỉnh

và số cạnh như nhau và có phép tương ứng một - một giữa tậpđỉnh của G1 và G2 sao cho hai đỉnh được nối với nhau bởi mộtcạnh trong đồ thị này khi và chỉ khi hai đỉnh tương ứng trong đồthị kia cũng được nối với nhau bởi một cạnh và ngược lại Hình1.5 vẽ các đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ ở Hình 1.3 Các cạnh củahai đồ thị ở Hình 1.5 chỉ gặp nhau ở đỉnh Các đồ thị đẳng cấuđược xem là tương đương (là một)

Hình 1.5: Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị ở hình 1.3

1.1.4 Phần bù của đơn đồ thị

Định nghĩa 1.3 Một đồ thị mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó cókhông quá một cạnh nối được gọi là một đơn đồ thị Cho G làmột đơn đồ thị với tập đỉnh V , thì phần bù hay đồ thị bù

G của G là một đơn đồ thị, với cùng tập đỉnh V và hai đỉnh kềnhau trong G khi và chỉ khi chúng không kề nhau trong G

Hình 1.6: Phần bù G của đơn đồ thị G

Định nghĩa 1.4 Đường P từ đỉnh v tới đỉnh w là một dãyliên tiếp các cạnh: (a0, a1), (a1, a2), ,(ak−1, ak) với (ai−1,

ai) ∈ E, a0 = v, ak = w và k ≥ 1, trong đó các đỉnh a0, a1, , akđều khác nhau Để đơn giản, đôi khi ta viết P = {a0, a1, , ak}

và nói đó là đường nối đỉnh v và đỉnh w Đỉnh v gọi là đỉnhđầu, đỉnh w gọi là đỉnh cuối của đường P Một đường nối mộtđỉnh với chính nó (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi là một chutrình Độ dài của đường (chu trình) là số cạnh của đường (chutrình) đó

Ví dụ với đồ thị vẽ ở Hình 1.3, một đường nối đỉnh a và đỉnh

c là (a, e), (e, b), (b, c) hay viết gọn là {a, e, b, c} Hai đườngkhác từ a tới c là {a, e, d, c} và {a, b, c} Đồ thị này có cácchu trình sau: {a, b, c, d, e, a}; {b, d, e, b},

Hình 1.7: Đồ thị liên

thông Hình 1.8: Đồ thị không liên thông

Định nghĩa 1.5 Một đồ thị gọi là liên thông nếu có đườngnối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị Trái lại, đồ thị gọi là không liênthông Đồ thị không liên thông sẽ bị tách thành một số đồ thị conliên thông, đôi một không có đỉnh chung và cạnh chung Mỗi đồthị con liên thông như thế gọi là một thành phần liên thông

Ví dụ đồ thị vẽ ở Hình 1.7 là liên thông, còn đồ thị vẽ ở Hình1.8 là không liên thông (gồm 3 thành phần liên thông)

Định nghĩa 1.6 Một đồ thị không có chu trình gọi là một rừng.Một rừng liên thông gọi là một cây, tức cây là một đồ thị liênthông và không có chu trình Rừng có thể gồm nhiều thành phầnliên thông khác nhau, mỗi thành phần liên thông là một cây Nhưvậy, rừng gồm nhiều cây Đỉnh có bậc 1 trong cây gọi là một lá

Đồ thị hình sao là một cây có duy nhất một đỉnh không phải

là lá

Ví dụ phả hệ của một họ tộc là một cây (cây phả hệ)

Một số tính chất đặc trưng của cây: cây n đỉnh có đúng n − 1cạnh, trong một cây, bao giờ cũng có một đường duy nhất nốimột cặp đỉnh bất kỳ của cây.

Hình 1.9: Ví dụ về rừng, cây và đồ thị hình sao

1.2 Đồ thị phẳng và công thức EulerMục này nêu khái niệm về đồ thị phẳng, ví dụ về hai đồ thịkhông phẳng, định lý đặc trưng cho các đồ thị phẳng và nêu côngthức Euler liên hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số diện của một đồthị phẳng, cùng các hệ quả có liên quan

Định nghĩa 1.7 Một đồ thị G gọi là đồ thị phẳng nếu nó cóthể biểu diễn được trên một mặt phẳng (hay tương đương, trênmặt cầu) sao cho ứng với mỗi đỉnh là một điểm và ứng với mỗicạnh là một đoạn thẳng hay cong và bất kỳ hai cạnh nào cũngkhông có điểm chung khác các đầu mút của chúng

Rừng hay cây (Hình 1.9) và hai đồ thị vẽ ở Hình 1.5 là các

đồ thị phẳng

K Wagner (1936) và I Fáry (1948) đã chứng minh (độc lậpnhau) được rằng mọi đơn đồ thị phẳng có thể vẽ trên mặt phẳngsao cho các cạnh là các đoạn thẳng

Khi đó, mỗi miền mặt phẳng giới hạn bởi các cạnh và khôngchứa đỉnh hoặc cạnh ở bên trong của nó, gọi là một diện của đồthị phẳng Biên của một diện là tập hợp các cạnh giới hạn diện

đó Hai diện khác nhau gọi là kề nhau khi nào biên của chúng

có ít nhất một cạnh chung (hai diện chỉ có đỉnh chung thì khôngxem là kề nhau) Diện giới hạn bởi 3 cạnh gọi là một tam giác

Rõ ràng mỗi đồ thị phẳng liên thông đều có một diện vô hạnduy nhất, còn mọi diện khác đều là diện hữu hạn

Ví dụ, một bản đồ địa lý không có đảo và không có khuyên(tức cạnh nối một đỉnh với chính nó) là một đồ thị phẳng: mỗiđỉnh là điểm chung của ít nhất ba đường biên giới (mọi đỉnh đều

có bậc ≥ 3), mỗi cạnh là một đoạn đường biên giới nối hai đỉnh

và mỗi diện là một nước

Hình 1.10: a) và b).Ví dụ về đồ thị phẳng

Sau đây là hai ví dụ điển hình về các đồ thị không phẳnga) Đồ thị 5 đỉnh và mọi cặp đỉnh đều kề nhau là một đồ thị khôngphẳng xem hình 1.14

b) Đồ thị biểu diễn ba nhà, ba giếng và các con đường nối mỗinhà với mỗi giếng là một đồ thị không phẳng

Nhận xét rằng mọi đồ thị con của một đồ thị phẳng cũng đều

là đồ thị phẳng và một đồ thị mà chứa dù chỉ một đồ thị conkhông phẳng ắt phải là một đồ thị không phẳng Từ đó suy rarằng một đồ thị bất kỳ mà chứa đồ thị con thuộc một trong hailoại đồ thị không phẳng vừa kể trên đương nhiên là một đồ thịkhông phẳng Thực ra, như sau đây sẽ thấy, các đồ thị con này

là nguyên nhân sinh ra các đồ thị không phẳng theo nghĩa, mỗi

đồ thị không phẳng phải chứa một trong hai loại đồ thị khôngphẳng này

Để phát biểu chính xác hơn, ta cần tới khái niệm về đồ thịđồng cấu như sau

Định nghĩa 1.8 Hai đồ thị gọi là đồng cấu nếu cả hai nhậnđược từ cùng một đồ thị thứ ba bằng cách thêm các đỉnh bậc haivào các cạnh của đồ thị đó

Chẳng hạn, hai đồ thị vẽ ở Hình 1.13 là đồng cấu nhau.Khái niệm đồng cấu cho phép phát biểu kết quả quan trọngsau đây, được biết với tên gọi định lý Kuratowski, nêu điềukiện cần và đủ để một đồ thị là phẳng

Hình 1.13: a) và b).Ví dụ về các đồ thị đồng cấu

Định lý 1.1 (Kuratowski, 1930).Một đồ thị là phẳng khi và chỉkhi nó không chứa đồ thị con đồng cấu với một trong hai kiểu đồthi không phẳng đã nêu ở trên

Đồ thị phẳng có các đặc điểm đáng chú ý sau:

Định lý 1.2 Trong một đồ thị phẳng liên thông, giữa số đỉnh

n, số cạnh m và số diện d của đồ thị có hệ thức: n − m + d = 2(Công thức Euler)

Dễ dàng mở rộng công thức Euler cho các đồ thị không liênthông

Hệ quả 1.1 Giả sử G là một đồ thị phẳng có n đỉnh, m cạnh,

d diện và k thành phần liên thông Khi đó n − m + d = k + 1.Sau đây ta hạn chế xét các đơn đồ thị (theo Định ngĩa 1.3)

Hệ quả 1.2 a) Nếu G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có

n ≥ 3 đỉnh và m cạnh thì m ≤ 3(n − 2) b) Hơn nữa, nếu Gkhông chứa tam giác (diện có 3 cạnh) thì m ≤ 2(n − 2)

Sử dụng hệ quả này ta có thể đưa ra một chứng minh kháccho hai ví dụ đã nêu trên đây (được vẽ lại ở Hình 1.14) là các đồthị không phẳng

Hình 1.14: Minh họa về hai đồ thị không phẳng

Bằng lập luận tương tự ta có thể chứng minh định lý sau đây,rất hữu ích khi nghiên cứu vấn đề tô màu đồ thị

Định lý 1.3 Trong một đơn đồ thị phẳng phải có ít nhất mộtđỉnh với bậc ≤ 5

Cuối cùng, ta nêu một vài nhận xét về "độ dày đặc" củamột đồ thị Trong kỹ thuật điện, các bộ phận của một mạng điệnđôi khi được gắn trên một mặt của các tấm phẳng cách điện, gọi

là các bản mạch in Vì các dây dẫn không được bọc cách điệnnên chúng không được cắt nhau và đồ thị tương ứng nhận đượccần phải là một đồ thị phẳng (Hình 1.15)

Hình 1.15: Bản mạch in

Với mỗi mạng, ta muốn biết cần bao nhiêu bản mạch in đểhoàn chỉnh toàn bộ mạng Muốn thế, ta định nghĩa độ dày đặct(G) của đồ thị G là số tối thiểu các đồ thị phẳng mà có thể xếpchồng lên nhau để tạo thành đồ thị G Giống như số giao cắt củacác cạnh, độ dày đặc là số đo mức độ không phẳng của một đồthị Chẳng hạn, độ dày đặc của đồ thị phẳng là 1, của các đồ thịkhông phẳng đã xét là 2

Như sẽ thấy sử dụng công thức Euler dễ dàng có thể tínhđược một cận dưới cho độ dày đặc của một đồ thị Điều đángngạc nhiên là cận dưới tầm thường này đôi khi lại là giá trị đúngcủa độ dày đặc Có thể kiểm tra điều này bằng cách xây dựngtrực tiếp Để đưa ra cận dưới này, ta dùng các ký hiệu bxc vàdxe để lần lượt chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x và sốnguyên nhỏ nhất không bé hơn x Chẳng hạn, b3c = d3e = 3;bπc=3; dπ e= 4

Định lý 1.4 Định lý 1.4.Cho G là một đơn đồ thị phẳng với

n ≥ 3 đỉnh và m cạnh Khi đó, độ dày đặc t(G) của G thỏa mãncác bất đẳng thức

Hình 1.6: Đồ thị Planton

Dễ dàng kiểm tra lại rằng công thức Euler đúng cho các đồthị phẳng đặc biệt này Vì lý do đó công thức Euler đôi khi cònđược gọi là "Công thức đa diện Euler"

Chương 2

Bài toán tô màu đồ thị

Chương này đề cập đến bài toán tô màu đồ thị và trình bàymột số kết quả cơ bản về tô màu các đỉnh và các cạnh của đồthị Mục 2.1 xét bài toán tô màu các đỉnh của đồ thị, nêu kếtquả về tô màu đỉnh cho một số đồ thị đặc biệt Mục 2.2 xét bàitoán tô màu các cạnh của đồ thị, đặc biệt là đồ thị đầy đủ và đồthị hai phần

2.1 Tô màu các đỉnh của đồ thị

Định nghĩa 2.1 Cho một đồ thị G, ta cần tô màu các đỉnh của

G, mỗi đỉnh một màu sao cho hai đỉnh kề nhau có hai màu khácnhau Ta nói cách tô màu như thế là một cách tô đúng

Đương nhiên nếu G có n đỉnh thì chỉ việc dùng n màu khácnhau là có thể tô đúng được rồi Nhưng nhiều khi không cần tới

n màu mà chỉ cần một số màu ít hơn cũng tô đúng được Chẳnghạn, nếu G là một cây thì chỉ cần 2 màu là đủ (Hình 2.1).Định nghĩa 2.2 Số màu tối thiểu cần thiết để tô đúng được cácđỉnh của một đồ thị G, gọi là số sắc tính hay sắc số của G và kýhiệu là χ(G) (đọc "khi của G”)

Hình 2.1: G không có chu trình

χ(G) = 2

Hình 2.2: Sắc số của đồ thị χ(G) = 4

Sau đây là một số dạng đồ thị đặc biệt và sắc số của chúng(1 ≤ χ(G) ≤ n)

• Đồ thị rỗng Một đồ thị có đỉnh, nhưng không có cạnhgọi là một đồ thị rỗng Đồ thị rỗng n đỉnh được ký hiệu là Nn

Có thể dùng một màu duy nhất để tô cho mọi đỉnh của một đồthị rỗng: χ(Nn) = 1 với mọi n ≥ 1 (Hình 2.3)

• Đồ thị đầy đủ Một đồ thị trong đó mọi cặp đỉnh (khácnhau) đều kề nhau, gọi là đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh

ký hiệu là Kn Số cạnh của Kn bằng n(n − 1)/2 Để tô mọi đỉnhcủa Kn cần dùng n màu: χ(Kn) = n với mọi n ≥ 1 (Hình 2.4)

Có thể thấy χ(Cn) = 2 ∀n chẵn và χ(Cn) = 3 ∀n lẻ (Hình2.5), χ(Pn) = 2 với mọi n ≥ 3 (Hình 2.6), χ(Wn) = 3 ∀n lẻ ≥ 5

và χ(Wn) = 4 ∀n chẵn ≥ 4 (Hình 2.7)

Hình 2.5: Đồ thị vòng C 5 và C 6 Hình 2.6: Đồ thị đường P 5 và P 6

Hình 2.7: Đồ thị bánh xe W 5 và W 6

• Đồ thị hai phần Nếu tập đỉnh của đồ thị G có thể chiatách ra thành hai tập rời nhau A và B sao cho mỗi cạnh của Gnối một đỉnh thuộc A với một đỉnh thuộc B, thì G được gọi làmột đồ thị hai phần (Hình 2.8) Nói một cách khác, đồ thị haiphần là đồ thị mà có thể tô các đỉnh của nó bằng hai màu đen

và trắng sao cho mỗi cạnh nối một đỉnh đen (trong A) và mộtđỉnh trắng (trong B)

• Đồ thị hai phần đầy đủ là một đồ thị hai phần mà mỗiđỉnh trong A được nối với mỗi đỉnh trong B bằng đúng một cạnh

Ta ký hiệu đồ thị hai phần đầy đủ có r đỉnh đen và s đỉnh trắng