Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chia hết của đa thức và ứng dụng

Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết và những áp dụng của tính chia hết các đa thức một biến và đa thức đối xứng. Khác biệt căn bản so với các luận văn khác về lĩnh vực đa thức được thể hiện qua vấn đề được đặc biệt quan tâm là tính chia hết của đa thức, qua số lượng, dạng các bài toán và độ khó của các bài toán.

B ăGIỄOăD CăVÀă ÀOăT O

TR NGă IăH CăTH NGăLONG

Công trình đ căhoànăthànhăt i:

Tr ngăđ iăh căTh ngăLong

NG IăH NGăD NăKHOAăH C

Mở đầu

Đa thức có vị trí quan trọng trong Toán học, đặc biệt là đối với Toánhọc ở bậc phổ thông Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làmquen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng,trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số (nhân tử), sơ đồHorner về chia đa thức, giải các phương trình đại số,

Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, các kỳ thi OlympicToán, các bài toán liên quan đến đa thức thường xuyên được đề cập vàxem như những bài toán khó, luôn hấp dẫn những người yêu toán Vìvậy mà hiện nay đã có một số lượng lớn các tài liệu chuyên khảo hayluận văn về lĩnh vực này

Trong lý thuyết đa thức thì tính chia hết của đa thức đóng vai tròquan trọng và có thể coi là sự mở rộng tự nhiên tính chia hết của các

số nguyên trong Số học Từ đây hình thành các vấn đề quan trọng, nhưphân tích đa thức thành nhân tử, giải các phương trình đạị số, tính bấtkhả quy của các đa thức,

Luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết và những áp dụng của tínhchia hết các đa thức một biến và đa thức đối xứng Khác biệt căn bản

so với các luận văn khác về lĩnh vực đa thức được thể hiện qua vấn đềđược đặc biệt quan tâm là tính chia hết của đa thức, qua số lượng, dạngcác bài toán và độ khó của các bài toán được trình bày trong luận văn.Bản luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận vàTài liệu tham khảo

Chương 1: Đa thức một biến, trình bày các kiến thức cơ bản và một

số dạng toán về đa thức một biến, phép chia hết và phép chia có dư của

đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức với hệ số nguyên và đa thức bấtkhả quy

Chương 2: Đa thức đối xứng, trình bày cơ sở lý thuyết của đa thức đốixứng, các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và tính chia hếtcủa đa thức đối xứng hai biến và ba biến

Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS NguyễnVăn Ngọc Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của cácthầy, cô và các bạn đồng nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 10, Năm 2018

Tác giả

ĐỖ THỊ THU HÀ

Chương 1

Đa thức một biến

Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của đa thứcmột biến thực

Những vấn đề được đặc biệt quan tâm trong Chương này là tính chia hết

và tính khả quy của và nghiệm của các đa thức

Nội dung cơ bản của chương này được hình thành chủ yếu từ các tàiliệu [1], [3], [4] và [5]

1.1 Đại cương về đa thức một biến

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

• Đa thức là biểu thức của biến số x có dạng

trong đó ai(i = 1, 2, , n) được gọi là các hệ số

Bậc của đa thức f(x) là số mũ cao nhất của lũy thừa có mặt trong (1.1)

và được ký hiệu là deg(f )

Khi đó nếu trong (1.1) an 6= 0 thì deg(f ) = n và an được gọi là hệ sốchính, còn a0 được gọi là số hạng tự do

• Nếu các hệ số của đa thức f (x) dạng (1.1) là các số nguyên, số hữu tỷ,

số thực hay số phức, thì ta nói f (x) là đa thức tương ứng thuộc trường

số nguyên, trường số hữu tỷ, trường số thực hay trường số phức và tươngứng viết f (x) ∈ Z[x], f (x) ∈ Q[x], f (x) ∈ R[x], f (x) ∈ C[x] Nếu khôngcần nói rõ đa thức f (x) thuộc tập hợp nào trong các tập hợp nói trên,chúng ta sẽ viết f (x) ∈ K[x]

• Số α là nghiệm của đa thức Pn(x), nếu Pn(α) = 0

• Đa thức mà tất cả các hệ số của nó bằng không được gọi là đa thức

không

• Đa thức bậc không còn được gọi là đa thức hằng.

1.1.2 Các phép toán trên đa thức

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho hai đa thức P (x) và Q(x)

Ta nói rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) và viết P (x) Q(x),

nếu tồn tại đa thức S(x), sao cho P (x) = S(x)Q(x) Trong trường hợpnày ta cũng nói đa thức Q(x) chia hết đa thức P (x) và là ước của P (x),

còn đa thức P (x) là bội của đa thức Q(x)

Định nghĩa 1.2 Cho các đa thức P (x), Q(x) và S(x)

nhân tử (thành tích) của các đa thức Q(x) và S(x)

Hệ quả 1.2 Đa thức có vô số nghiệm chỉ là đa thức không

Hệ quả 1.3 Hai đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n nhận giá trị tại

nhất bằng nhau

Bài toán 1.1 Tìm a và b sao cho đa thức x10 + ax2 + bx + 1 chia hết

cho x2 − 1.

Lời giải Giả sử x10+ ax2 + bx + 1 chia hết cho x2 − 1.

Vì x2 − 1 có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = −1 nên theo định lý Bezout



a + b + 2 = 0

a − b + 2 = 0

Giải hệ trên ta được a = −2, b = 0

Như vậy đa thức x10− 2x2 + 1 chia hết cho x2 − 1

Bài toán 1.2 (University of Toronto Math Competition 2010) Giả sử

f (x).f (x + 1) = g(h(x))

Lời giải Ta có đa thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0 Giả sử r, s là

các nghiệm của f (x)(nói chung là nghiệm phức) Khi đó ta có nhân tử

Định nghĩa 1.3 Trong công thức (1.2), các đa thức P, Q, S và R tương

ứng được gọi là đa thức bị chia, đa thức chia, đa thức thương và đa thức

dư

Nhận xét 1.1 Nếu trong công thức (1.2) đa thức dư R = 0, thì đa thức

P chia hết cho đa thức Q, tức là P = SQ

Định lý 1.3 (Định lý Bezout) Số dư trong phép chia đa thức f (x) cho

Định lý 1.4 (Lược đồ Horner: Tìm đa thức thương).

hệ số của đa thức thương S(x) = bn −1xn −1+ bn −2xn −2+ + b1x + b0 và

số dư r trong phép chia P (x) cho Q(x) được tính theo sơ đồ:

Ở đây không nhất thiết bm −1 6= 0

Xét các trường hợp sau của đa thức chia Q(x)

1) Trường hợp Q(x) có m nghiệm thực phân biệt

Giả sử x1, x2, , xm là m nghiệm thực phân biệt của Q(x) Thay các giátrị này của x vào (1.2), ta có:

2) Trường hợp Q(x) có nghiệm bội

Để đơn giản, giả sử x=a là nghiệm bội cấp k(k ≤ m) của đa thức Q(x).Trước hết ta có R(a)=P(a) Lấy đạo hàm liên tục từ cấp 1 đến cấp k-1của hai vế của (1.2) và mỗi lần lấy đạo hàm lại thay x=a vào hai vế, tathu được hệ sau đây:

Giải hệ này ta tìm được các hệ số của R(x)

Ví dụ 1.1 Tìm dư của phép chia

Lời giải Đa thức chia x2 − 1 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = −1.

Gọi ax+b là đa thức dư

Thay x=1 và x=-1 vào đa thức bị chia ta có các giá trị -2 và -6, do đó ta

có hệ:



a + b = −2,

−a + b = −6

Giải hệ trên ta được a=2, b=-4

Vậy đa thức dư là R(x)=2x-4

1.4 Đa thức đồng dư

1.4.1 Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa 1.4 Cho h(x) là đa thức khác đa thức không

Ta nói rằng các đa thức P(x) và Q(x) là đồng dư theo mô đun đa thức

h(x), nếu P (x) − Q(x) h(x) và ký hiệu P (x) ≡ Q(x)(mod h(x)).

Định lý 1.5 Cho h(x) là đa thức khác đa thức không Nếu P(x) và Q(x)

là hai đa thức thì P (x) ≡ Q(x)(mod h(x)) khi và chỉ khi P(x) và Q(x)

cho cùng một đa thức dư khi chia cho h(x)

Từ định nghĩa đồng dư của hai đa thức suy ra các tính chất sau đây:

Định lý 1.6 Cho h(x)là đa thức khác đa thức không Khi đó

1 Với mọi đa thức P(x), thì P (x) ≡ P (x)(mod h(x)).

2 Nếu P (x) ≡ P (x)(mod h(x)) thì Q(x) ≡ P (x)(mod h(x)).

3 Cho các đa thức Pi(x), Qi(x), mi(x), i = 1, 2, , n Nếu Pi(x) ≡

Áp dụng các tính chất của đồng dư trong định lý 1.6 ta có:

1.5 Nghiệm của đa thức

Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiêncứu các tính chất của đa thức Nhiều tính chất của đa thức được thể hiệnqua nghiệm của chúng Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệmcủa đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số.Chúng ta cần khái niệm về nghiệm bội của một đa thức

Định nghĩa 1.5 Ta nói số α là nghiệm cấp k của đa thức bậc n, Pn(x),nếu tồn tại một đa thức Q(x), sao cho

Một trong những định lý quan trọng về nghiệm của đa thức là định lýRolle nổi tiếng được phát biểu như sau

Định lý 1.7 (Định lý Rolle) Giả sử hàm số f : [a, b] → R liên tục vàkhả vi trong khảng(a, b) Ngoài ra, f (a) = f (b) Khi đó tồn tại c ∈ (a, b),sao cho f′(c) = 0

Định lý 1.8 Nếu α là nghiệm cấp k của đa thức Pn(x) thì α là nghiệmcấp k-1 của đa thức đạo hàm Pn′(x)

Định lý 1.9 Cho đa thức f (x) = anxn + an −1xn −1 + + a0, trong đó

cùng nhau, sao cho f (p/q) = 0, thì q là ước của an, còn p là ước của a0

Định lý 1.10 Giả sử f (x) = anxn+an −1xn −1+ +a0, trong đóan 6= 0,

không có nghiệm hữu tỷ

Định lý 1.11 Cho đa thức f (x) = anxn+ an −1xn −1+ + a0, trong đó

an 6= 0 và ai là các số nguyên Giả sử f (a) 6= 0, a ∈ Z Nếu p và q là các

số nguyên tố cùng nhau, sao cho f (p/q) = 0 thì (p − aq) chia hết f (a)

theo đó tất cả các số hạng của tổng là bội của đa thức x − y.

Điều này dẫn tới một tính chất số học đơn giản nhưng quan trọng saucủa đa thức trong Z[x] sau đây

Định lý 1.12 Nếu P là đa thức với hệ số nguyên, thì P (a) − P (b) chiahết cho a − b với mọi a, b nguyên và khác nhau

Hệ quả 1.4 Tất cả các nghiệm nguyên của đa thức P (x) đều là ước của

P (0)

Định lý 1.13 Nếu số hữu tỷ p/q(p, q ∈ Z, q 6= 0, (p, q) = 1), là nghiệm

của đa thức P (x) = anxn+ an −1xn −1+ a1x + a0 với các hệ số nguyên,thì p|a0 và q|an

Định lý 1.14 Nếu giá trị của đa thức P (x) là nguyên đối với mọi sốnguyên x, thì tồn tại các số nguyên c0, c1, , cn sao cho:

Đa thức P (x) với hệ số nguyên được gọi là bất khả quy trên Z[x] nếu

nó không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức khác hằng với hệ sốnguyên

Một cách tương tự ta có thể định nghĩa tính bất khả quy (khả quy)của đa thức với hệ số hữu tỷ, thực hoặc phức Tuy nhiên, ta chỉ quantâm tới tính bất khả quy trên Z[x].

Bổ đề Gauss bên dưới phát biểu rằng tính khả quy trên Q[x] là tươngđương với tính khả quy trên Z[x]

Ngoài ra, ta đã chỉ ra rằng đa thức thực luôn luôn phân tích được thànhtích của các đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai trên R[x], trong khi đathức phức luôn luôn phân tích thành các nhân tử tuyến tính trên C[x].Định lý 1.15 (Bổ đề Gauss) Nếu đa thức P (x) với hệ số nguyên là bấtkhả quy trên Q[x], thì nó là bất khả quy trên Z[x]

Từ bây giờ, trừ khi nói rõ, tính bất khả quy được hiểu là tính bất khảquy trên Z[x]

Định lý 1.16 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho P (x) = anxn

Đặc biệt, nếu p được cho sao cho k = n − 1 thì P (x) là bất khả quy.Định lý 1.17 Giả sử f là đa thức trên một trường nào đó (trường các

số hữu tỷ chẳng hạn) Khi đó f là bất khả quy khi và chỉ khi g(x) =

quy khi và chỉ khi g(x) = f (x + b) là bất khả quy

Định lý 1.18 [3] Giả sử P (x) = anxn + + a0 là đa thức phức với

M

Đặc biệt, nếu k=1, thì mỗi nghiệm của P có modul nhỏ hơn 1 + M

Khi nghiên cứu tính khả quy của một đa thức, đôi khi ta có thể khảosát nghiệm của nó và trị tuyệt đối của nghiệm Các bài tập sau là ví dụminh họa

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng đa thức P (x) = xn+ 4 bất khả quy trên

Z[x] khi và chỉ khi n là bội của 4

Bài toán 1.5 (BMO 1989.2) Nếu an a1a0 là biểu diễn thập phân củamột số nguyên tố và an > 1,

chứng minh rằng đa thức P (x) = anxn

Bài toán 1.6 Cho p > 2 là một số nguyên tố và P (x) = xp

1 Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P có môđun nhỏ hơn

pp−11

2 Chứng minh rằng đa thức P (x) bất khả quy

Bài toán 1.7 Cho a1, a2, , an là n số nguyên phân biệt

Chứng minh rằng đa thức P (x) = (x − a1)2(x − a2)2 (x − an)2 + 1 làbất khả quy

Bài toán 1.8 Đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện:

P(2006)=2006!

xP(x-1)=(x-2006)P(x)Chứng minh rằng đa thức f (x) = P2(x) + 1 là đa thức bất khả quy trênZ[x]

Bài toán 1.9 Cho đa thức P (x) = xn + 5xn −1 + 3, trong đó n là sốnguyên lớn hơn 1

Chứng minh rằng P(x) bất khả quy trên Z[x]

Bài toán 1.10 Giả sử m, n và a là các số tự nhiên, còn p < a − 1 làmột số nguyên tố Chứng minh rằng đa thức f (x) = xm

bất khả quy

Chương 2

Đa thức đối xứng

Chương này trình bày cơ sở của lý thuyết đa thức đối xứng nhiều biến

và một số bài toán điển hình của đa thức đối xứng hai biến và ba biến,như phân tích thành nhân tử, chia hết, hay rút gọn các biểu thức

Nội dung chủ yếu của Chương này được hình thành từ các tài liệu [2]

và [6]

2.1 Cơ sở lý thuyết của đa thức đối xứng

Định nghĩa 2.1 Đa thức f (x1, x2, , xn) theo các biến x1, x2, , xn

được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ giữa hai biến bấtkỳ

Định lý 2.2 (Định lý cơ bản, [2]) Mọi đa thức đối xứng f (x1, x2, , xn)

theo các biến x1, x2, , xn đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức

Định nghĩa 2.3 Đa thức phản đối xứng là đa thức thay đổi dấu khithay đổi vị trí của hai biến bất kỳ

Các đa thức T2 = (x − y), T3 = (x − y)(x − z)(y − z) được gọi là các

đa thức đơn giản nhất tương ứng với các đa thức đối xứng hai biến và

Định lý 2.4 ([2]) Quỹ đạo của mọi đơn thức biểu diễn được dưới dạng

đa thức theo các đa thức đối xứng cơ sở

• Một vài trường hợp riêng thường gặp

2.2 Phân tích đa thức đối xứng hai biến thành nhân tử

Trong mục này trình bày hai phương pháp phân tích đa thức đối xứngthành nhân tử

Phương pháp thứ nhất thể hiện ở chỗ biểu diễn đa thức đã cho theo các

đa thức đối xứng cơ sở σ1, σ2

Phương pháp thứ hai là phương pháp hệ số bất định

Bài toán 2.1 Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử

Mỗi biểu thức trong ngoặc là một tam thức bậc hai và có thể được phân

tích thành nhân tử Thí dụ 2x2+ 5xy + 2y2, xem như một tam thức bậc

hai đối với x, có các nghiệm x = −2y, x = −1

Như vậy, cuối cùng ta có

Bài toán 2.3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Lời giải Biểu diễn của đa thức theo các đơn thức đối xứng cơ sở có dạng

Đây là một đa thức bậc hai theo σ2 và không có nghiệm (nghiệm thực)

Vì vậy chúng ta vận dụng phương pháp hệ số bất định, nghĩa là thử biểu

diễn đa thức đã cho ở dạng

(2.2)

Ta sẽ tìm các hệ số A,B,C với nhận xét rằng đẳng thức (1.18) thỏa mãn

với mọi x,y Với x=y=1, ta có

suy ra (A + B + C) = ±4

Nhận xét rằng các hệ số A,B,C được xác định chính xác đến dấu của

chúng, vì nếu thay đổi của tất cả các số này thành ngược lại thì (1.18)

vẫn không thay đổi Vì vậy, không mất tổng quát, ta có:

A + B + C = 4

Tiếp theo, với x=1, y=-1, ta có:

suy ra:

A − B + C = ±2

Cuối cùng, cho x=0, y=1 ta có AC = 2

Như vậy, để xác định các hệ số A,B,C ta có hệ phương trình:

2.3 Chia đa thức đối xứng hai biến

Trong mục này chúng ta sẽ xét một số bài toán chia hết của đa thứcđối xứng hai biến

Bài toán 2.4 Chứng minh rằngx2n+xnyn+y2n chia hết cho x2+xy+y2

khi và chỉ khi n không phải là bội của 3

Lời giải Sử dụng công thức

Suy ra x2n+ xnyn+ y2n chia hết cho x2 + xy + y2 Vậy điều kiện cần và

đủ để x2n + xnyn+ y2n chia hết cho x2 + xy + y2 là n không phải là bộicủa 3

Bài toán 2.5 Chứng minh rằng với mọi n ∈ Z, đa thức x2n−xnyn+y2n

không chia hết cho x2 + xy + y2

Bài toán 2.6 Với n ∈ Z+ nào thì x2n + xnyn + y2n chia hết cho x2 −

Bài toán 2.7 Với n ∈ Z+ nào thì x2n − xnyn + y2n chia hết cho x2 −

Bài toán 2.8 Xác định n để(x+y)n+xn+yn chia hết cho x2+xy +y2

2.4 Phân tích đa thức đối xứng ba biến thành nhân tử

Trong mục này trình bày các ứng dụng của đa thức đối xứng và phảnđối xứng ba biến vào các bài toán về phân tích thành nhân tử

Giả sử f(x,y,z) là đa thức đối xứng ba biến Để phân tích f(x,y,z) thànhnhân tử trước hết phải biểu diễn nó qua đa thức đối xứng cơ sởσ1, σ2, σ3,

để được đa thứcϕ(σ1, σ2, σ3), sau đó cố gắng phân tích đa thức cuối cùngthành nhân tử

Các phương pháp cơ bản của phân tích đa thức thành nhân tử đã đượctrình bày trong chương 1 cho trường hợp đa thức đối xứng hai biến Như

đã thấy trong trường hợp hai biến, khi phân tích một đa thức đối xứngthành nhân tử có thể gặp các nhân tử là đa thức đối xứng và không đốixứng

Nếu trong các nhân tử của f(x,y,z) có đa thức không đối xứng h(x,y,z),thì do f(x,y,z) là đối xứng sẽ phải có các nhân tử nhận được từ h(x,y,z)bằng cách hoán vị các biến z,y,z nghĩa là có các nhân tử dạng:

h(x, y, z)h(x, z, y)h(y, x, z)h(y, z, x)h(z, x, y)h(z, y, x)

Nếu trong các nhân tử có nhân tử g(x,y,z) là đa thức đối xứng chỉ vớihai biến, thí dụ với x,y nghĩa là

1) Nhân tử là đa thức đối xứng p(x,y,z)

2) Nhân tử có dạng k(x,y,z)k(y,z,x) trong đó k(x,y,z) là đối xứng chẵn.3) Nhân tử có dạng g(x,y,z)g(y,z,x)g(z,x,y), trong đó g(x,y,z) là đối xứng