Gián án Tổng hợp các phương pháp giải các dạng toán thi vào lớp 10 PTTH

Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn... Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá t

Trang 1

Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc

phòng GD & ĐT huyện yên thành

trờng THCS Mã Thành

tài liệu ôn tập thi vào lớp 10 PTTH

(Lu hành nội bộ)

Toồng hụùp phửụng phaựp giaỷi caực caực daùng Toaựn

luyeọn thi vaứo lụựp 10 PTTH

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc

Chuyeõn ủeà I Ruựt goùn bieồu thửực chửựa bieỏn

NGuyễn bá phúc - GV: Trờng THCS Mã

thành

Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan trọng (chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài Toán này tới bạn đọc Mong các bạn hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng Toán này

A Lí thuyết.

1) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức.

Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng mẩu thức các phân thức nh sau

B ớc 1 Tìm mẩu thức chung (MTC)

Trong bớc này các em cần làm các việc sau:

+) Phân tích các mẩu thức thành nhân tử

+) Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC

B ớc 2 Tìm NTP của từng phân thức (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc

chia cho MT riêng của từng phân thức)

B ớc 3 Quy đồng (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng)

Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:

a)

1

1 2



1 2

Trang 2

1 2



x là: (x + 1)

Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho

Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy “tử” và “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x – 1) Tức là:

) 1 ( ) 1 (

1 )

1 )(

1 (

1 1

x x

) 2 ( ) 2 (

2 )

2 )(

2 (

1 4

x x

Và

) 2 ( ) 2 (

2 )

2 (

1 4

4

1

2 2

x x

B m

Bm An n m

m B n m

n A n

B m

A

.

B A n

B m

n A B

n m

A n

B m

A

.

3) Bài Toán rút gọn biểu thức.

a) Cách giải:

Bớc 1 Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho.

Bớc 2 Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ,

nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.

Trang 3

b) Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =

1

2 1

2

1   

x x

Giải: Biểu thức A có nghĩa    

1 0 0

1 0 1 0 1 0

x x

x x x

x x

 ĐKXĐ của biểu thức là x 0 và x 1.

Khi đó ta có: A =

1

2 1

2

1   

x x

) 1 )(

1 (

2 )

1 )(

1 (

) 1 ( 2 )

1 )(

1 (

) 1 (

x x

x

x x

) 1 )(

1 (

2 ) 1 ( 2 ) 1 (

x x

x

) 1 )(

1 (

2 2 2

x x x

) 1 )(

x x

) 1 )(

1 (

) 1 (

x x

B Các dạng toán liên quan.

Dạng 1 Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)

Bớc 1 Sử dụng tính chất a d b c

d

c b

a





 để làm mất mẩu của phơng trình

Bớc 2 Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x

Bớc 3 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

m P m

k P k

P2 2

Ví dụ 2: Cho P =

x

 2 3

(với x  0 và x  4) Tìm các giá trị của x để:

Trang 4

P

P P

1

2

P

P P

2

1 2

3 2

) 3 ( 0 3

2

P

P P

P P P

 x 1(TM)

Vậy với x = 1 thì P2 3P .

Dạng 2 Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P  m, hoặc P  m (với m

là hằng số)

Bớc 1 Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0

Bớc 2 Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái

Bớc 3 Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu)

5

2 c) A 

2

1

Giải: Ta có:

) 1 ( 3

1 )

1 ( 3

) 1 ( 3 0 3

1 1

1 3

1 1

1 3

x x

x

) 1 ( 3

4 2 0 )

1 ( 3

) 1 ( ) 1 ( 3

x x

(vì 3 ( x 1 )  0)  2 x 4  x 2  x 4 (TMĐK)

) 1 ( 2 ) 1 ( 5

) 1 ( 5 0 5

2 1

1 5

2 1

1 5

x x

x

) 1 ( 5

7 3 0 )

1 ( 5

) 1 ( 2 ) 1 ( 5

x x

(vì 5 ( x 1 )  0)

Trang 5

9

49 3

7 7

) 1 ( ) 1 ( 2

) 1 ( 2 0 2

1 1

1 2

1 1

1 2

x x

x

) 1 ( 2

3 0

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( 2

x x

(vì 2 ( x  1 )  0)  x  3  x 9

Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0  x  9

Vậy với 0  x  9 thì A 

2

1

Chú ý: +) P P  P 0.

1 0

1 1

1 1 1

x x

P P

1 1

0 1

) 1

x

.Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: 0 x 1

x x x x x x x P P P

x

(không tồn tại x)

Vậy không có giá trị nào của x để P  P .

Dạng 3 Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)

x x

x

x x

Trang 6

Dạng 4 Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc

x x

x

x x

Dạng 5 Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)

Loại I Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Cách giải:

Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

P = m  f (x n ) ( Với m, n  Z, f(x) là biểu thức chứa x)

3 1

1 1

3 ) 1 ( 1

x

x x

16

) (

0

) (

4

) ( 2 4 0 2

3 1

1 1

TMDK x

VN x

x x x

2 2

2 ) 2 (

x x

x

Để P nhận giá trị nguyên thì

0

) (

16

) (

1

) (

9

0 4 1 3

2 2

1 2

TMDK x

x x x x

x x x

x

Với x = 9 thì M = 3

2 3

3 2 9

2 1

1 2 1

Trang 7

Với x = 16 thì M = 2

2 4

4 2 16

2 0

0 2 0

Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dơng.

Loại II Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Cách giải:

Bớc 1 Nhân chéo rồi đặt x y (y 0 ) để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2

có ẩn là y và tham số P.

Bớc 2 Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm không âm.

Bớc 3 Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bớc 2

Bớc 4 Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x

Bớc 5 Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ: Cho biểu thức P =

Trờng hợp 2 Nếu P  0 phơng trình (2) là một phơng trình bậc hai ẩn y có:

P

a  ; b  6; c  P; 3

2 ' b  

b và  '  (b' ) 2  ac (  3 ) 2  P.P  9  P2

Phơng trình (1) có nghiệm  phơng trình (2) có hai nghiệm không âm:

3 0 0 ) ( 0 1 0 6 0 9

0 0 0 '

2 2

1 3 1

3 2 1

7  , x = 17  12 2 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Dạng 6 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

a) Khái niệm:

+) Nếu P(x)  m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x)

+) Nếu P(x)  k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x)

b) Cách giải:

Loại 1 Trờng hợp biểu thức P có dạng là một đa thứcP axb xc.

Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

P = f(x)2 m ( f (x) là biểu thức chứa biến x và m là một hằng số) Bớc 2 Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bớc 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

Dấu “=” xảy ra khi x  1  0  x 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2 Đạt đợc khi x  1.

Trang 8

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2  3 x  x ( x 0 )

Giải:

Ta có: M

4

17 2

3 4

9 2 4

9 2

3 2 )

2 3 (

17 2

3 0

2

3 0

2

x x

k P



 (a,b,c,k là hằng số, x 0)Cách giải

Bớc 1 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẩu thức: f(x) axb xc và điều

kiện dấu “=” xảy ra

Bớc 2 Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P.

Bớc 3 Kết luận.

L

u ý .

+) Nếu k  0 thì P đạt giá trị lớn nhất  f (x) đạt giá trị nhỏ nhất và ngợc lại

+) Nếu k  0 thì P đạt giá trị lớn nhất  f (x) đạt giá trị lớn nhất và ngợc lại

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 4

3 4

1 2

1 2 1

3 2

1 0

4 4 3 1 4

3 2 1

1 1

4

1 2

1 0

2 2

2 ) 1 ( 0 )

Dấu “=” xảy ra khi x 1  0  x  1  x 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 1 Đạt đợc khi x  1.

Loại 3 Trờng hợp biểu thức có dạng

d x c

b x a P



 (a,b,c,d là hằng số x 0) Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

Trờng hợp 1 n > 0 “ ”

+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất

Trang 9

+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất

Bớc 3 Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có đợc giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P

2 1

1 1

2 ) 1 ( 1

x

x x

x

Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì x  1 phải đạt giá trị lớn nhất

Vì: x  0  x  1  1 Dấu “=” xảy ra khi x = 0

 Giá trị nhỏ nhất của x 1 là 1

 Giá trị lớn nhất của P là: 3

1 0

3 0

3 2

2 2

3 ) 2 ( 2

x

x x

x

Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì x 2 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Vì: x  0  x 2  2 Dấu “=” xảy ra khi x = 0

 Giá trị nhỏ nhất của x 2 là 2

 Giá trị lớn nhất của M là: 21

2 0

1 0

c x b x a P



 (a,b,c,m,n là hằng số, x 0) Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

P = m

x f

k x

4 1

) 1 )(

1 ( 1

4 ) 1 ( 1

x

x x

x

x x

x

( 2 )

1

4 ) 1

Trang 10

áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( x 1 ) và

4 ).

1 ( 2 1

4 ) 1

x

 ( 2) 4 ( 2) 2

1

4 ) 1

 A  2

1

4 ) 1

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt đợc khi x = 1.

16 2

) 2 )(

2 ( 2

16 ) 4 ( 2

x

x x

x

x x

x

( 4 )

2

16 ) 2

áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( x 2 ) và

16 ).

2 ( 2 2

16 ) 2

x

 ( 4 ) 8 ( 4 ) 4

2

9 ) 2

 A  4

2

16 ) 2

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt đợc khi x = 4.

Loại 5 Trờng hợp biểu thức có dạng

c x b ax

n x m P

Bớc 3 Tìm điều kiện của x để có dấu “=” xảy ra

Bớc 4 Dựa vào điều kiện của P để suy ra giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của P, rồi kết luận

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 2

x

P (x 0)

1 2

1 1

2 0 1

2 x   x   x   x

TH 2 Nếu P 0 thì

4

1 0

1

2 x   x Khi đó phơng trình (2) là môt phơng trình bậc hai.Phơng trình (1) có nghiệm  Phơng trình (2) có hai nghiệm không âm

3 0

0 1 0 3

0 1 0 1 3

0 1 0 ) 1 ( 2 0 3

0 0 0 '

P P P

a

Trang 11

0 ) 2 ( 0 4 4 0

1 3

1 1 3

1 2 3

1 3

2 0

) 2

a c a b

+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không

1) Hai nghiệm 2) Một nghiệm

) ( 0 0

1

0

loai y

TM y

y y

2 1 0 ) 1 ( 2 0

0

0 2

m m m

m

a

Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm.

2) Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc

phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm âm

Trang 12

Tæng hîp c¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 PTTH =@=GV: NguyÔn B¸ Phóc

m m

(Kh«ng tån t¹i m)

Trêng hîp 3 Ph¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm ©m vµ mét nghiÖm b»ng kh«ng:

2 1 0 2 1 0 ) 1 ( 2 0

0 0

0 2

m m m m m m

c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = A x khi x > 1

Bµi 2 Cho biÓu thøc B = 1  12

c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C > 2

Bµi 4 Cho biÓu thøc D = 1 1 : 1 1

x x

1

Bµi 7 Cho biÓu thøc P = 1 1 : 2

Bµi 8 Cho biÓu thøc Q = 1 2 1

Trang 13

1

x x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A b)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

c)Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1

Bài 15 Cho biểu thức : A = 

1 1 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 – 2

2

c) Tìm các giá trị của x để x.A =

3

8

Bài 16 Cho biểu thức : B = 

x x

1

1 1

1 2

3

(Với a > 0 và a 4)a) Rút gọn C b) Tính giá trị của C với a = 9

Bài 18 Cho biểu thức : D =

x

x x

x

1

2 1

Trang 14

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D b) Tìm số nguyên x lớn nhất để D có giá trị nguyên

Bài 19 (2,5 điểm ) Cho biểu thức : N = x x x x x

1 1

1 : 1

1 1

1

a) Rút gọn biểu thức N b) Tính giá trị của N khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì N đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 20 (2,5 điểm) Cho biểu thức: H = 1 1 : 22

a a a a

a a

a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H

b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên

Bài 21 ( 3 điểm ) Cho biểu thức: Q = 2 1 1 1 : 21

x x

Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị của Q khi x = 4 + 2 3

1 1

: 1

1 1

1

2

x x

x

x x

1 :

2 1

1 1 4

5 2

x x

x

x x

1 : 1

x x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức F – x nhận giá trị nguyên

Bài 25 Cho biểu thức: P = 

1

a

a a a

a a

4 :

1

2

x

x x

x x x

x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M b) Tìm x để M < 1

c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 27 (2 điểm) Cho biểu thức: M =  

x x

1 1

(với x  0 và x  1)a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M ≥ 2

Bài 28 Cho biểu thức: P = 

2

3 2

4

x

x x

x x x

x x

a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 3x – 3 x

c) Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn điều kiện: P. x 1 xa

Bài 29 Cho biểu thức: A =  

1 :

1 1

1

x

x x

x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) So sánh A với 1

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng

d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình A.x = m có một nghiệm

Bài 30 Cho biểu thức: M = 

x x

1

1 1

1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định

Trang 15

c) Tìm các giá trị của x để: M x < 2

d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm

Bài 31 Cho biểu thức: P =

x x

x

x x

1 1

c) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình m.P = 1 có 1 nghiệm

Bài 32 (3 điểm) Cho biểu thức: E = 1

2

1 1

Tìm điều kiện của x để biểu thức E có nghĩa c) Rút gọn biểu thức E

x x x

x x

x

3

2 4 3

5 : 9

4 3

3 3

: 2

3 4

x x

x x x

x x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M

b) Coi M là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số M

Bài 36 (2 điểm) Cho biểu thức : A =

a a

a

a a

1

1 1 1

1

1 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn nhận giá trị dơng với mọi a thuộc ĐKXĐ

Bài 37 Cho biểu thức: B =  

2 2

2 : 2

3 2

2

x

x x

x

x x

Hãy tính giá trị của B

Bài 38 Cho biểu thức: E =    

1 : 1 1

2

2 3

a a

a

a a a

a

a a

a) Rỳt gọn E b) Tỡm a để: 1

8

1 1

3 :

1

8 1

1 1

1

x x

x x x

x x

b b ab

5 10

3

25 :

1 25

25

a

a a

a

a a

a) Rút gọn M b) Tìm tất cả các giá trị của a để M < 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Bài 42 Cho biểu thức P =  

1

2 1

1 2 3 1 3

2 2

a

a a

Trang 16

a) Rút gọn P b) So sánh P với biểu thức Q =

1

1 2

1 1

1 :

1

1 1

3

a

a a

a

a a

x

x x x x x

x x

1 :

2 2

3 2

x x

x

x x

x x x

x

x x x

x x

1

1 1

1 : 1

xy xy

x

xy y

x

y xy x

: 2

2 1

x

x x

x x x

x

x x x x

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = P

x x

x



 3 5

c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 thoả mãn điều kiện: P.x x 1 3 m.(x 1 )  x

1 : 1

2 2 1

1

x x

x x x x

x x

a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1

c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

: 3

2 2

3 6

5

2

x

x x

a) Rút gọn P b) Tìm x để:

2

5 1

3 2

3 3

x x

x

x x

1 2 2

1 2

3 3

x x

x

x x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c) Tìm các giá trị của x để P = x

Bài 53 Cho biểu thức P =

x

x x

3 6

5

9 2

a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P < 1 c) Tìm x  Z để P  Z

Trang 17

Bài 54 1) Cho biểu thức: M = 

3 2

3

 2) Tớnh : 40 2  57  40 2  57

Bài 55 Cho biểu thức: N = 

1

a

a a a

a a

a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị của a để N = - 2010

c) M = A

1

1 ) 1 (

x x

1

1 1 1

1 1

x

2 1

1 ) 1

Vì khi x > 1 thì x 1  0nên áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dơng ( x 1 )và

1 ).

1 ( 2 1

) ( 4 1

1

1 1 1

) 1

Loai x

TM x

x

x x

Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4

1

x x

x

0 ) 2 )(

1 ( 0

b) Khi a =

25

1 thì C = 36

a

a a

a

1 1

Trang 18

Tæng hîp c¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 PTTH =@=GV: NguyÔn B¸ Phóc

b) Ta cã E =

1

1 1 1

1 ) 1 (

1

x F

2

4 2 2

4 ) 4 (

x

) 4 ( 2

4 ) 2

0 ) 4 ( 4 ) 4 ( 2

4 )

DÊu “=” x¶y ra khi ( x 2 ) =

) 2 ( ) 1 (

x x

4

) ( 0 2

0

TMDK x

loai x

x

3 1

3 1 3

1

x x

x Q x

x nguyªn  x 1 ph¶i lµ íc cña

3  x 4 ; x 16(TM§K) Víi x = 4 th× N = 3 (tho¶ m·n), Víi x = 16 th× N = 1 (tho¶ m·n)

0 0

) 5

4 ( 0 5

4 5

2

S

S S

S S S

Trang 19

) ( 2 17 5 21

4 17 5 4 17 5 0

1 5 2 ) 1 ( 2 5 5

4

1

2

TM x

x

x x

x

1

) 1 ( 1

) 1 2 ( 1

) 1 ( 2 1

1 1

2 1 1

x x x

x x

Để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (2) phải có nghiệm dơng khác 1

TH1.Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dơng khác1

0 ) 1 ( 0 1 0 2

0 ) 1 ( 0 0 0

m m

f a c a

(VN)

TH2 Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu khác 1 1

0 1 0 )1 ( 0 )1

0 2 1 0 2

0 ) 1 (

0 2 0

m m

f a b

0 ) 1 ( 0 1 0 2

4

5 1

2 4

16 2 2

16 ) 4 ( 2

12 2

1 1

12 1

1

x x

x P x

16 ).

2 ( 2 2

) 2

x x

Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4

Bài 14 a) ĐKXĐ: x  0 và x 1 Kết quả rút gọn: A =

1



x x

Trang 20

b) Thay x =

4

9 vào biểu thức A ta đợc A = 3

2 1 2 3

1 2

32

3

1 4 9 4

x x

2 1 2

2 )

2 0

4 4 3 ) 1 ( 4 3 3

8 1

2 3

x x

x A

4 1 3

4 )

3 4

4 4 2

1 2

a a

a

) 2 )(

2 (

4 4 )

2 )(

2 (

) 2 )(

1 ( ) 2 )(

2 (

) 2 )(

3 (

a a

a

a a

2

4 ) 2 )(

2 (

4 4 )

2 )(

2 (

2 3 )

2 )(

2 (

6 5

a

a a

a

a a a

a

a a

b) Thay a = 9 vào C ta đợc C = 4

1

4 2 9

3 )

( 0

) ( 1

) ( 2

) ( 3

x

loai x

TM x

Trang 21

c) N =

4

1 ) 2

1 (

1 4

1 ) 4

1 (

1 1

1 ) 2

1 (

) 1 )(

1 ( )

1 (

) 1 )(

1 ( 2

2 : 1 1

a

a a a a

a

a a a a

a a a

a a a a

a a

2

4 2 2

2

2 2

2 ) 1 (

) 1 (

a a

a a a

a a

b) H

2

8 2 2

8 2

) 2 ( 2 2

8 ) 4 2 ( 2

a

a a

a

.Để H nguyên thì a + 2 phải là ớc của 8

6

) ( 10

) ( 6

) ( 2

) ( 4

) ( 0

) ( 3

) ( 1

8 2

8 2 4 2 4 2

2 2 2 2 1 2

1 2

TM a

loai a

a a a a a a a a

Chuyeõn ủeà II Haứm soỏ – Haứm soỏ baọc nhaỏt

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc

Hàm số là chơng học tơng đối khó và chứa đựng nhiều khái niệm mới, đồng thời hàm chứa nhiều dạng bài tập hay Trong các kì thi vào lớp 10 THPT kiến thức về hàm số luôn đóng mộtvai trò quan trọng về điểm số (Từ 1 đến 2 điểm) Song Học Sinh lại hay mất điểm về phần này vì dể lẩn lộn giửa các khái niệm Chính vì thế, mà bài viết này với mong muốn giúp các

em Học Sinh phần nào khắc phục đợc một số sai sót không đáng có, từ đó có kết quả tốt hơn trong quá trình học tập và thi cử của mình

2 Tính chất chung của hàm số.

Với x1 và x2 bất kì thuộc R:

- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R

- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

3 Hàm số bậc nhất.

a) Khái niệm hàm số bậc nhất.

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = a.x + b trong đó a, b là các số cho trớc và a 0

b) Tính chất: (tính đồng biến, nghịch biến của hàm số)

c) Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0)

*) Nhận xét: Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) là một đờng thẳng.

*) Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0)

Dựa vào nhận xét trên ta có thể vẽ Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b(a 0) nh sau:

Trang 22

B

ớc 1 Xác định hai điểm thuộc đồ thị của hàm số bằng cách:

Cho x = 0 rồi tính y = ? để có điểm thứ nhất

Cho x = k rồi tính y = ? để có điểm thứ hai

(thông thờng ta nên cho x = 1 để việc tính y đợc dể dàng)

a) Khái niệm hệ số góc: Nếu đờng thẳng y = ax + b tạo với trục hoành một góc  thì tg

đ-ợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

Trang 23

Với hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2 thì:

+) (d1) cắt (d2)  a1  a2.

+) (d1) // (d2)  a1 = a2 và b1  b2.

+) (d1) trùng với (d2)  a1 = a2 và b1 = b2

Chú ý: (d1) vuông góc với (d2)  a1 a2 = - 1

B Các dạng bài tập liên quan.

Dạng 1 Tìm diểm cố định mà đờng thẳng (d) hoặc đồ thị hàm số y = ax + b luôn đi qua.

Bớc 1 Giả sử điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x0; y0)

Bớc 2 Thay x = x0 và y = y0 vào (d), rồi biến đổi để đa phơng trình đó về dạng:

A.m + B = 0 (1)Bớc 3 Cho các hệ số của phơng trình (1) bằng 0 để tìm đợc x0 và y0

Bớc 4 Kết luận

Ví dụ 1 Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng y = m.x – 2m + 3 (d) luôn đi qua.

(Với m là tham số) Giải:

Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x0; y0)

0 2

0 0

y x

 



 3 2

0 0

y x

Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (2; 3)

Ví dụ 2 Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m – 2)x – 3m – 1 luôn đi qua

Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m – 2)x – 3m – 1 luôn đi qua là (x0; y0).Thay x = x0 và y = y0 vào hàm số đã cho ta đợc: y0 = (m – 2)x0 – 3m – 1

2

0 3

0 0

0

y x

0 0 0

x y x

 





 7 3

0 0

y x

Vậy điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m – 2)x – 3m – 1 luôn đi qua là (3; –7)

Ví dụ 3 Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng y = (3 – 1

2 m)x – m +2 (d) luôn đi qua.

Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x0; y0)

Trang 24

3

0 1 2 1

0 0

0

y x

0 0 0

x y x

0 0

y x

Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (–2; –4)

Ví dụ 4 Chứng minh rằng: Họ đồ thị của hàm số y = (3m – 1)x + m – 4 luôn đi qua một

điểm cố định với mọi giá trị của tham số m

Vì (x0; y0) là điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m – 1)x + m – 4 luôn đi qua nên

ph-ơng trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

0 1 3

0 0

0

y x

0 0

0

x y

0 0

y x

 Họ đồ thị hàm số y = (3m – 1)x + m – 4 luôn đi qua điểm cố định là (

Chú ý: Nếu I(x0; y0) là toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) thì:

+) Điểm I nằm về phía bên phải trục tung Oy  x0 > 0

+) Điểm I nằm về phía bên trái trục tung Oy  x0 < 0

+) Điểm I nằm về phía trên trục hoành Ox  y0 > 0

+) Điểm I nằm về phía dới trục hoành Ox  y0 < 0

+) Điểm I nằm ở trên trục tung Oy  x0 = 0

+) Điểm I nằm ở trên trục hoành Ox  y0 = 0

Ví dụ 1 Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1): y = x – 1 và (d2): y = 2x – 3

Vậy toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là (2; 1)

Ví dụ 2 Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x + 2 và y = 2 – x

Trang 25

Ví dụ 3 Cho 2 đờng thẳng (d1): y = m.x – 3 và (d2): y = x + 1 (với m là tham số, m  1)Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2) theo m

Giả sử giao điểm của (d1) và (d2) là A Tìm các giá trị của tham số m để:

1) Điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy

2) Điểm A nằm về phía trên trục hoành Ox

3) Điểm A nằm trên trục hoành Ox

m m



 ) b) Theo câu (a) ta có toạ độ của điểm là A( 4

1

m  ;

3 1

m m



 ) 1) Ta có: Điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy  x0 > 0  4

1

m  > 0

 m – 1 > 0  m > 1

Vậy với m > 1 thì điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy.

2) Tơng tự: Điểm A nằm về phía trên trục hoành Ox  y0 > 0  3

1

m m

m m m m

Vậy với m > 1 hoặc m < -3 thì điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy.

3) Điểm A nằm trên trục hoành Ox  y0 = 0  3

1

m m

Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b

Vì (d) đi qua điểm A(1; 2) nên thay x = 1 và y = 2 vào (d) ta đợc: a + b = 2 (1)

Vì (d) đi qua điểm B(4; - 1) nên thay x = 4 và y = - 1 vào (d) ta đợc: 4a + b = -1 (2)

Trang 26

Ví dụ 2 Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm M(2; - 3) và cắt trục hoành

Ox tại điểm có hoành độ bằng 4

a) Phân tích tìm lời giải:

Thông thờng, để viết đợc phơng trình đờng thẳng (d) thì phải biết đợc (d) đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) Song bài toán này lại mới chỉ cho ta biết (d) đi qua một điểm M(2; - 3)

Do đó ta phải đi tìm điểm còn lại

Các em biết rằng, “mọi điểm nằm trên trục hoành đều có tung độ bằng 0” Vì thế, theo giả thiết “đờng thẳng (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 4

3” thì củng có nghĩa là

(d) sẽ đi qua điểm có toạ độ (4

3; 0) Hay điểm thứ hai cần tìm của chúng ta là (

4

b) Giải:

Vì (d) đi qua điểm M(2; - 3) nên thay x = 2 và y = – 3 vào (d) ta đợc: 2a + b = – 3 (1)Mặt khác: Vì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4

3 nên (d) sẽ đi qua điểm có toạ

Vì (d) đi qua điểm I(1

Trang 27

Vì (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 2

3 nên (d) sẽ đi qua điểm (

Vì (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 nên (d) sẽ đi qua điểm (0; 3)

Thay x = 0 và y = 3 vào (d) ta đợc 0.a + b = 3

Thay x = x0 và y = y0 vào (1) để có phơng trình chỉ còn lại ẩn b

Bớc 3 Giải hệ phơng trình ẩn b vừa thu đợc để tìm đợc b.

Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y = ( 3 1 ).x + 3 3 – 2.

Ví dụ 2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I(2

5; 3

4) và song song với

Trang 28

đờng thẳng y = 3x + 2

Phân tích tìm lời giải:

Các em đã biết “hệ số của đờng thẳng (d1): y = a1.x + b1 là a1còn hệ số góc của đờng thẳng (d2): y = a2.x + b2 là a2 Mà hai đờng thẳng (d1) và (d2) song song với nhau khi

a1 = a2” nên từ giả thiết (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 2 ta tìm đợc a = 3

Do đó, ta có lời giải bài toán nh sau:

b) Giải:

Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b

Vì (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 2 nên ta có: a = 3

Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b

Vì (d) tạo với trục hoành Ox một góc  = 300 nên ta có:



Dạng 4 Bài toán tính diện tích và chu vi của tam giác

Trang 29

Công thức cần nhớ:

S  = 1

2a.ha (Trong đó S là diện tích của tam giác, a là cạnh đáy, ha là đờng cao tơng ứng)

C = a + b + c (với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)

Trong tam giác vuông: a2 = b2 + c2 (Trong đó a là cạnh huyền, còn b, c là 2 cạnh góc vuông)

b) Cách giải

Bớc 1 Vẽ các đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ

Bớc 2 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác

Bớc 3 Tính độ dài các cạnh tơng ứng

Bớc 4 Thay vào công thức liên quan để tính

Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng (d1): y = x + 2 và (d2): y = 2 – x Gọi A, B, C lần lợt là giao

điểm của (d1) với (d2), (d1) với trục hoành Ox và (d2) với trục hoành Ox

Vẽ 2 đờng thẳng (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục toạ độ

Tìm toạ độ của các điểm A, B, C

Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

 Đồ thị đờng thẳng (d1) sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0)

b) Vì (d1) và (d2) cùng đi qua điểm (0; 2)  A(0; 2)

Theo câu (a) ta có ngay B(-2; 0) và C(2; 0)

Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của (d1) với (d2), (d2) với (d3) và (d3) với (d1)

a) Vẽ 3 đờng thẳng (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục toạ độ

Trang 30

b) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C

c) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

b) Theo câu (a) ta có: (d1) và (d2) cùng đi qua điểm (0; 3)  A(0; 3)

(d1) và (d3) cùng đi qua điểm (-3; 0)  C(-3; 0)

Trang 31

Tìm toạ độ của các điểm A, B, C

Tìm các giá trị của tham số m để tam giác ABC có diện tích bằng 2009

Tìm các giá trị của tham số m để diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất

 1 2 14 41

1 2 14 41

m m

14 41 1 2

m m

TMDK Loai

Trang 32

Vậy với m = 0 thì SABC đạt giá trị nhỏ nhất Và giá trị nhỏ nhất đó là 1

12.

Dạng 5 Bài toán tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số (hoặc đờng thẳng (d) ) đi qua điểm I(x 0 ; y 0 )

Bớc 1 Thay x = x0 và y = y0 vào hàm số để có phơng trình chỉ còn lại ẩn m

Bớc 2 Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để tìm đợc m

3

 )

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số (1) luôn:

Đi qua điểm M(9

2 ; 1)Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 1

 m2 = 4

9  m =

23

Trang 33

2 3 2 3

13 1 3.

2 3 2 3

m m

2 3

1 13 3.

2 3

m m

1 13 6

m m

Ví dụ 3 Cho họ đờng thẳng (d): y = (1 – m)x – m + 2 (Với m là tham số)

Tìm các giá trị của tham số m để họ đờng thẳng (d) luôn:

Cắt đờng thẳng y = 2x + 1 tại điểm A có hoành độ bằng 1

Cắt đờng thẳng y = x – 2 tại điểm B có tung độ bằng 3

Tiêu đề	Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Tác giả	Nguyễn Bá Phúc
Trường học	Trường THCS Mã Thành
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu ôn tập
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	3,86 MB