Bộ 12 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021

Bộ 12 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 dưới đây sẽ là tài liệu luyện thi học sinh giỏi hiệu quả dành cho các bạn học sinh lớp 11. Thông qua việc giải đề thi, các em có thể tự đánh giá năng lực học tập của bản thân, từ đó có hướng ôn tập phù hợp giúp các em đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi sắp tới. Ngoài ra, quý thầy cô có thể sử dụng bộ đề làm tài liệu tham khảo phục vụ công tác giảng dạy và ra đề thi đánh giá năng lực học sinh trên lớp.

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 11 CẤP TRƯỜNG NĂM 2020-2021

11 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

12 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh

1

2

3

4

5

6

Câu 1( 2,0 điểm) Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – 5 = 0

Câu 2( 2,0 điểm) Với n là số nguyên dương thỏa mãn: 𝐶 + 𝐴 = 765 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: (𝑥 + )

Câu 3( 2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định như sau: 1

Câu 5 ( 2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD

= DC = a (a > 0) Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và BD Biết SD vuông góc với

AC Mặt phẳng   đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với đường thẳng

SD và AC Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng   biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất

Câu 6 ( 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A3;1, đỉnh

C nằm trên đường thẳng  : x  2 y   5 0 Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE CD  , biết

6; 2  

N là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

Câu 7 (2,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên các đoạn thẳng AD’ và C’D lần lượt lấy hai điểm

M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình bình hành ABB’A’ và trung điểm của cạnh BC Tính tỷ số

'

MN

A C Câu 8 (2,0 điểm) Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có bao nhiêu cách chọn ba số a,b,c khác nhau từ dãy số

để ba số đó lập thành cấp số cộng

Câu 9 (2,0 điểm) Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước4m x m4 , bằng cách

vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ) Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên? Biết tiền nước sơn để sơn 1m2 là 50.000đ

Câu 10 (2,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn abc1 Chứng minh bất đẳng thức

92

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

Có 04 trang

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 1 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN 10

Câu 1 Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – 5 = 0 2,0

điểm Phương trình đã cho tương đương với 3cos2x + 2cosx – 5 = 0 0,5

ttrong khai triển: (𝑥 + )

2,0 điểm

Xét số hạng Tk+1 = 𝐶 (𝑥 ) ( ) = 𝐶 2 𝑥 0,25 Khai triển không chứa x ứng với 30 – 5k = 0 ⇔ k = 6 0,5

Ta có : un 1  un  2012u2n  0 n  Suy ra dãy (un )tăng 0,25

- Giả sử có giới hạn là a thì : a 2012a  2     a a 0 2012 (vô lý)

Từ x3  x (2 y) x y(2x 1) 02       (x y)(x 1)   2  0 0,75 TH1: x = y thế vào pt : 5x2         5 0 x 1 y 1 0,5

Vậy nghiệm của hệ (1;1), ( 1; 1)   0,25

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB =

AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và

BD Biết SD vuông góc với AC Mặt phẳng   đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD

( M khác O và D) và song song với đường thẳng SD và AC Xác định thiết diện của

hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng   biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện

lớn nhất

2,0 điểm

Từ M kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB tại

Q và AB tại G, AC tại N Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA tại E,từ N kẻ

đường thẳng song song với SD cắt SC tại P Ta được thiết diện là ngũ giác GNPQE

0,25

Gọi I là trung điểm của BC Tứ giác ADIC là hình thoi, suy ra AC ⊥ ID Suy ra

AC ⊥ (SID) Suy ra SI ⊥ (ABCD) Ta có: SD SI2ID2 2a

S  x a x

0,5

Max 3 3 2

2MNPQE

S  a tại 3

4

a

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A3;1,

đỉnh C nằm trên đường thẳng  : x  2 y   5 0 Trên tia đối của tia CD lấy điểm E

sao cho CE CD  , biết N6; 2   là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE

Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

2,0 điểm

CB

IS

O

Tứ giác ADBN nội tiếp  AND ABD và  ABD ACD (do ABCD là hình chữ

nhật) Suy ra  AND ACD hay tứ giác ANCD nội tiếp được một đường tròn, mà

Tứ giác ABEC là hình bình hành, suy ra AC / / BE

Đường thẳng NE qua N và song song với AC nên có phương trình y   2 0.

Câu 7 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên các đoạn thẳng AD’ và C’D lần lượt lấy hai

điểm M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình

bình hành ABB’A’ và trung điểm của cạnh BC Tính tỷ số

'

MN

A C

2,0 điểm

Gọi P là trung điểm của BC, Q là tâm của hình bình hành ABB’A’ Xét tam giác

A’BC, ta có PQ là đường trung bình nên PQ || A’C suy ra MN ||A’C 0,25 Đặt       AB  x AD,  y AA, ' z AM,  m AD C N. ', ' m C D '

A'

D

CB

A

vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu,

và tô kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ) Quá trình vẽ và tô theo qui luật

đó được lặp lại 5 lần Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang

trí hình vuông như trên? Biết tiền nước sơn để sơn 1m2 là 50.000đ

2,0 điểm

Gọi Si là tổng diện tích tam giác được tô sơn màu ở lần vẽ hình vuông thứ

a) Tìm m để hàm số cos

3sin 5 4cos5 2 3

xy



   có tập xác định là  b) Giải phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 41 n 3 4( 2)

C  C   n Tìm hệ số của x5trong khai triển nhị thức Niu – tơn của P x (1 2 ) x nx2(1 3 )  x 2n

Câu 4 (2,0 điểm) Cho dãy số  u được xác định bởi: n

nu

Câu 5 (2,0 điểm) Giải bất phương trình

2 2

Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A( 5;2) M( 1; 2) 

là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDC MBC và MBMC Tìm tọa độ điểm D biết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020-2021 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 (Dành cho học sinh THPT không chuyên)

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó



   có tập xác định là  b) Giải phương trình:

54sin

2

x l l

 Suy ra (1)cos 2xtan2x 1 cosx (1 tan2x)

x   k  k



0,5

(Đáp án có 06 trang)

2 Câu 2 (2,0 điểm) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau

Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 4 4845

20 



n Trường hợp 1: Cả 4 cây được chặt ở gần nhau có 20 cách 0,5 Trường hợp 2: Trong 4 được chặt có đúng 3 cây gần nhau

- Với mỗi 2 cây gần nhau có 16 cây không ở gần hai cây này Trong 16 cây lại có 15 cặp

cây gần nhau Chọn hai cây không gần nhau trong 16 cây có: 2 15 105

16   C

Vậy trường hợp này có: 20.105 = 2100 cách

0,5

Trường hợp 4: Trong 4 cây được chặt có đúng hai cặp cây gần nhau

- Chọn một cặp cây gần nhau có 20 cách

- Mỗi cách chọn một cặp cây gần nhau lại có 15 cặp cây gần nhau được chọn từ 16 cây

Vậy trường hợp này có 150

2

15

20  cách Vậy n ( A )  4845  ( 20  300  2100  150 )  2275

Suy ra:

969

455 4845

2275 )

( A   P

0,5

3 Câu 3 (2,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 14 n 3 4( 2)

C  C   n Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niu – tơn của P x (1 2 ) x nx2(1 3 )  x 2 n

Vậy hệ số của x trong khai triển là: 5 a5 80 3240 3320.  0,5

4 Câu 4 (2,0 điểm) Cho dãy số  u được xác định bởi: n

n n

1

22

nu

( 1; 2)

M   là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho  MDCMBC và MBMC Tìm tọa độ điểm D biết tan 1

2DAM  Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình hành

nên  .MECMDC

Mà  MDCMBC suy ra  MECMBC hay tứ giác BECM nội tiếp

Suy ra BMC BEC  180o BEC 180o90o 90o

Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: ( 3; 4), (1;0). 

Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: D( 3; 4), (1;0).  D

0,5

E M

aMC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

HẾT

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÚ YÊN

TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH

-

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 11 2020-2021 Câu 1

x y xy

0 0

sin 724cos18 =

14

 từ gt => 1 2

2

a b

Câu 5

(3đ) Ta có AD=p-a, tan300= ID

AD =

36

a

pa=>p-a=2

a

=>b+c=2a (1)

Mặt khác theo định lí cosin ta có b2+c2=a2+2bccos600=a2+bc=>bc=a2 (2)

Từ (1) và (2) ta có b,c là nghiệm phương trình x2-2ax+a2=0.Phương trình này có nghiệm

duy nhất x=a Vậy b=c=a (đpcm)

1đ

1đ 1đ

    <=> tan tan 1 tan

1 tan tan 1 tan

MÔN THI: TOÁN 11

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm: 01 trang

cos 2x=2sin x+4 cosx

2020(2021 ) 2020lim

1

x

x I

b Cho một đa giác lồi ( )H có 30 đỉnh A A1 2 A30 Gọi X là tập hợp các tam giác có 3

đỉnh là 3 đỉnh của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X Tính xác suất để chọn được 2

tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H)

1

72

n n

n

u

n u

u

u

 +

u v u

−

=+ Chứng minh rằng dãy số ( )v n là một cấp số nhân lùi vô hạn

b Tính giới hạn của dãy số ( )u n

Câu 5 (5,0 điểm)

a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt phẳng thay đổi

qua AB và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại M N, (M khác ,S C và N khác ,S D Gọi K là

giao điểm của hai đường thẳng AN và BM Chứng minh rằng biểu thức AB BC

T

giá trị không đổi

b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên

đều là hình vuông Gọi M N E lần lượt là trung điểm của các cạnh , , AB AA A C, ', ' ' Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC A B C ' ' ' bởi mặt phẳng (MNE)

Câu 6 (2,0 điểm) ) Cho , ,x y z là 3 số thực dương thỏa mãn x+ + = Tìm giá trị lớn y z 2nhất của biểu thức:

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên học sinh: ……… … Số báo danh:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI

2.5

2cos 2x=2sin x+4 cosx

21cos

2

x x

2.b Tính giới hạn

2 1

2020(2021 ) 2020lim

1

x

x I

15 0

.2 3

k k

k k

3.b

Cho một đa giác lồi (H)có 30 đỉnh A A1 2 A Gọi X là tập hợp các tam 30

giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X

Tính xác suất để chọn được 2 tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của

Số phần tử của không gian mẫu n( ) =C40602

Gọi A là biến cố: ’’Hai tam giác được chọn là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của

đa giác ( )H ”

+)Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H):

- Chọn ra một cạnh của đa giác (H) có 1

( )

247( )

4

1

72

n n

n

u

n u

u

u

 +

u v u

−

=+ Chứng minh rằng dãy số ( )v n là một cấp số nhân lùi vô hạn

b Tính giới hạn của dãy số ( )u n

3.0

Ta có:

1 1

n

v u

5a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt

phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại M N, Gọi K là

giao điểm của hai đường thẳng AN và BM Chứng minh rằng biểu thức

5b Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các

mặt bên đều là hình vuông Gọi M N E lần lượt là trung điểm của các , ,

cạnh AB AA A C, ', ' ' Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC A B C ' ' '

A

H M

B

C A

Trên (ACC A' ') gọi ; ' AI=C'J=a

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm) Cho   2 2

2.Cho đa giác đều A A1 2 A2020 nội tiếp đường tròn tâm O, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh bất kỳ của đa giác đó Tính xác suất

để nhận được một tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác

Hỏi gia đình anh A để tiết kiệm tiền thì nên chọn cơ sở nào để thuê, biết rằng hai cơ sở trên có chất lượng khoan là như nhau

Câu 5 (6 điểm)

1.Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo BD và AC vuông góc với nhau tại H

và AD2BC Gọi M là điểm nằm trên cạnh ABsao cho AB3AM, N là trung điểm HC Biết B 1; 3, đường thẳng HM đi qua điểm T2; 3  , đường thẳng DN có phương trình x2y 2 0 Tìm tọa độ các điểm A,

C và D

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB CD AB// , 2CD Các cạnh bên có độ dài bằng 1 Gọi

O là giao điểm của AC và BD I là trung điểm của SO Mặt phẳng   thay đổi đi qua I và cắt SA SB SC SD, , , lần lượt tại M N P Q, , , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2 12 12

Câu 4 (2 điểm) Nhà anh A muốn khoan một cái giếng sâu 20 mét dùng để lấy nước cho sinh hoạt gia đình Có hai cơ sở

khoan giếng tính chi phí như sau:

Cơ sở I: Mét thứ nhất 200 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét tăng thêm 60 nghìn đồng so với giá của mỗi mét trước đó

Cơ sở II: Mét thứ nhất 10 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét gấp 2 lần so với giá của mỗi mét trước

đó

P yx  mx m m Biết rằng  P m luôn cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất

tại hai điểm A, B Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A, B lên Ox, A2, B2 lần lượt là hình

chiếu của A, Blên Oy Tìm m để tam giác OB B1 2có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác

điểm 1 Giải phương trình

2sin 2 cos 2 7 sin 4 3

26

.2

x

  Đối chiếu điều kiện (*) suy ra tập nghiệm hệ là S    1; 2 , 2; 3 

2 Cho đa giác đều A A1 2 A2020 nội tiếp đường tròn tâm O, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh bất kỳ của đa

giác đó Tính xác suất để nhận được một tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác 2,0

Xác định được không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu   4

2020

Xác định được biến cố, chỉ ra ứng vỡi mỗi cạnh có 2

2019

C (chia 2016 cái kẹo cho 3 bạn mà bạn nào cũng có

20192020

1 Nhà anh A muốn khoan một cái giếng sâu 20 mét dùng để lấy nước cho sinh hoạt gia đình Có hai

cơ sở khoan giếng tính chi phí như sau:

Cơ sở I: mét thứ nhất 200 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét tăng thêm 60 nghìn

đồng so với giá của mỗi mét trước đó

Cơ sở II: mét thứ nhất 10 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét gấp 2 lần so với

giá của mỗi mét trước đó

Hỏi gia đình anh A để tiết kiệm tiền thì nên chọn cơ sở nào để thuê, biết rằng hai cơ sở trên có chất

lượng khoan là như nhau

2,0

Cơ sở I: Gọi u n (nghìn đồng) là số tiền chi phí khoan giếng ở mét thứ n

Theo giả thiết ta có u1 200 và u n1 u n 60

Chứng minh dãy số u n là một cấp số cộng có công sai d 60

Cơ sở II: Gọi v n (nghìn đồng) là số tiền chi phí khoan giếng ở mét thứ n

Theo giả thiết ta có v110 và v n1 v n 2

Chứng minh dãy số v n là một cấp số nhân có công bội q 2

1 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo BD và AC

vuông góc với nhau tại H và AD2BC Gọi M là điểm nằm trên cạnh ABsao cho

3

AB AM, N là trung điểm HC Biết B 1; 3, đường thẳng HM đi qua điểm T2; 3 

, đường thẳng DN có phương trình x2y 2 0 Tìm tọa độ các điểm A, C và D

2,0

Gọi H t ;2t  7 HM Theo định lí Talet ta có: HD  AD  2

HB BC và HD HB, ngược hướng nên

Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình :

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình: 2 2  2; 0

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB CD AB// , 2CD Các cạnh

bên có độ dài bằng 1 Gọi O là giao điểm của AC và BD I là trung điểm của SO Mặt phẳng  

thay đổi đi qua I và cắt SA SB SC SD, , , lần lượt tại M N P Q, , , Tìm giá trị nhỏ nhất của

D T