Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá trong việc giải toán sơ cấp

Khi gặp một bài toán mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khăn thì ta nên xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp tương tự hay tổng quát của nó vì có thể xét bài toán theo các khía cạn

ĐOÀN VĂN AN

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ,

TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2016

ĐOÀN VĂN AN

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ,

TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

ĐÀ NẴNG - NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn Các kết quả của luận văn là trung thực

và chưa từng được ai công bố trên bất kì công trình nào khác

Tác giả

Đoàn Văn An

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đóng góp của đề tài 2

6 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ 4

1.1 CÁC KHÁI NIỆM 4

1.1.1 Khái quát hóa 4

1.1.2 Đặc biệt hóa 6

1.1.3 Tương tự hóa 8

1.2 VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SƠ CẤP 10

1.2.1 Vai trò khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự hóa trong việc giải toán sơ cấp 10

1.2.2 Các ví dụ minh họa 12

CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC GIẢI TOÁN SƠ CẤP 26

2.1 MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 26

2.1.1 Giới thiệu tóm tắt lý thuyết về bất đẳng thức 26

2.1.2 Một số vận dụng trong đẳng thức và bất đẳng thức 28

2.2 MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC 47

2.2.1 Giới thiệu một số công thức lượng giác 47

2.2.2 Một số vận dụng trong lượng giác 49

2.2.3 Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 60

2.3 MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG HÌNH HỌC 65 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG (SỐ HỌC) 75

KẾT LUẬN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải toán sơ cấp ở bậc học phổ thông là một hoạt động quan trọng Chúng ta biết rằng không phải bài toán nào cũng có thể giải được một cách dễ dàng Khi gặp một bài toán mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khăn thì ta nên xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp tương tự hay tổng quát của nó vì

có thể xét bài toán theo các khía cạnh đó lại dễ hơn và từ các trường hợp đó ta suy ra cách giải bài toán ban đầu

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa, đó là những thao tác tư duy

có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa hiện nay chưa được rèn luyện đúng mức trong dạy học ở trường phổ thông

Việc áp dụng trong lượng giác; trong hình học; chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức; vào việc giải toán sơ cấp ngày càng phát triển, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học toán, vận dụng toán vào cuộc sống, tạo hứng thú đối với những học sinh yêu thích toán học, đam mê sự sáng tạo, tìm tòi cho môn toán

Vì những lý do đó, tôi chọn đề tài: “Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá trong việc giải toán sơ cấp” cho luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học toán và dạy học trong lượng giác, trong hình học chứng minh bất đẳng thức

Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh vào giải toán trong lượng giác; trong hình học; chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức; một số dạng toán khác hay gặp trong bậc phổ phổ thông

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá để giải bài toán

sơ cấp ở phổ thông

- Một số bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức (Đại số)

- Một số bài toán về lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tổng hợp từ sách, báo, tài liệu có đề cập đến khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hóa, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chí giáo dục,

5 Đóng góp của đề tài

ây dựng, hệ thống đề xuất một số biện pháp nhằm áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa cho học sinh phổ thông chứng minh về một

số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức, lượng giác và hình học, một số dạng toán thường gặp ở bậc phổ thông (số học)

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, hai chương và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá

Chương 2 Áp dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá trong việc giải toán sơ cấp vào chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, lượng giác, hình học và các dạng thường gặp khác bậc phổ thông (số học)

CHƯƠNG 1 KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ

1.1 CÁC KHÁI NIỆM

1.1.1 Khái quát hóa

Theo G Pôlya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” 3, tr.21 

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” 7, tr.31 

Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa, khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang về nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng cho n số tùy ý,

Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta khái quát hóa chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó

Xét ví dụ: Ở lớp 9 ta có định lí sau: "Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn"

Ta có ba trường hợp:

Hình 1a

B O

x A

Hình 1a: Tâm O nằm bên ngoài góc

Hình 1b: Tâm O nằm trên cạnh góc

Hình 1c: Tâm O nằm bên trong góc

Trong ba trường hợp trên ta đều chứng minh được góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung do đó cũng bằng một nửa số đo của cung bị chắn Từ đó bằng khái quát hóa chúng ta đi đến quy luật phổ biến đối với mọi góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm đều bằng một nửa số đo của cung bị chắn Như vậy trên cơ sở nghiên cứu ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp mà thôi) ta đã khái quát hóa vấn đề đặt ra

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn toán có thể biểu diễn theo sơ đồ sau:

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở

so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau

Khái quát hóa từ cái riêng

1.1.2 Đặc biệt hóa

Theo G Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [7, tr22]

Có thể hiểu đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa

Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt có số cạnh bằng 3), ta tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là một tam giác đặc biệt có ba cạnh bằng nhau)

Trong hai bước đặc biệt hóa trên đã tiến hành theo các bước sau Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng số cụ thể

n  3 ; trong lần thứ hai (từ tam giác bất kỳ sang tam giác đều) chúng ta quy định những điều hạn chế (tam giác phải có ba cạnh bằng nhau)

Ta dùng đặc biệt hóa để minh họa, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hóa thường được

sử dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quỹ tích, phương pháp này giúp ta

mò mẫm, dự đoán quỹ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán

Ta xét ví dụ sau: "Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn"

Ta chỉ xét hai đường tròn không cắt nhau có bán kính R2  R1 Nếu giải bài toán này rất khó khăn, ta xét trường hợp đường tròn O R là đường 1; 1

tròn điểm Lúc đó cách dựng như sau: dựng đường tròn đường O O1 2, đường tròn này cắt  O tại A và B thì 2 O A và 1 O B là hai tiếp tuyến của đường tròn 1

 O qua điểm2 O1 (hình 2a)

Hình 2a

O2

O1

B A

Trở lại bài toán ban đầu, ta vận dụng bài toán bằng cách dựng tiếp tuyến

từ O đến đường tròn 1 O2; R2 – R1 Sau đó dựng hai đường thẳng lần lượt song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta dựng được tiếp tuyến ngoài chung của hai đường tròn Tương tự ta dựng hai tiếp tuyến trong bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm O đến đường tròn 1 O2; R2  R1 rồi cũng dựng hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường thẳng đó, đó chính là hai tiếp tuyến chung trong hai đường tròn

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn theo sơ đồ sau:

Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ chưa biết

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ,

cụ thể

Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán

- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự

Chẳng hạn đường thẳng, tam giác, đường tròn trong hình học phẳng tương tự như mặt phẳng, tứ diện, mặt cầu trong hình học không gian

Ví dụ trong hình học phẳng ta có bài toán: "Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của một tam giác đều tới ba cạnh của nó là

không đổi" Ta có bài toán tương tự trong không gian: "Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của tứ diện đều tới bốn mặt của nó là không đổi"

Người ta cũng thường xem những trường hợp đặt biệt của cùng một vấn

đề là tương tự nhau Chẳng hạn tam giác và tứ giác là tương tự nhau – đều là trường hợp đặc biệt của đa giác

Kết luận dựa theo sự tương tự có thể mô tả như sau:

A có tính chất a, b, c

B có tính chất a, b

- Thế thì B có thể có tính chất c

Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh Bên cạnh đó cũng giống như khái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lưu ý với học sinh những kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai

Chẳng hạn, trong mọi tam giác các đường cao đồng quy tại trực tâm Nếu cho rằng, tương tự, mọi tứ diện có các đường cao đồng quy tại trực tâm

là sai, vì điều đó chỉ đúng với tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau mà thôi (gọi là tứ diện trực tâm)

Tóm lại cùng một yếu tố hay một đối tượng có thể xác lập những tương

tự khác nhau tùy thuộc vào vấn đề ta nghiên cứu

Như vậy ta chú ý rằng một hình có thể tương tự với nhiều hình khác nhau tùy theo ta xét tính chất của hình, mối quan hệ giữa các phần tử của nó

về phương diện nào đó Có khi trong vấn đề này ta xét hai đối tượng nào đó là tương tự nhưng ở chỗ khác phải biết xem đối tượng này là trường hợp đặc biệt của đối tượng kia Điều đó đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp giải toán khái quát hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa

1.2 VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SƠ CẤP

1.2.1 Vai trò khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự hóa trong việc giải toán sơ cấp

Trong toán học, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trở thành một phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa có thể vận dụng để mò mẫm dự đoán kết quả bài toán, tìm phương hướng giải bài toán, để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Khi giải một bài toán, phương pháp chung là đưa nó về một bài toán đơn giản hơn sao cho khi giải bài toán này thì có thể giải được bài toán đã cho Khi đó các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa có nhiều tác dụng

Trong lịch sử toán học, có những bài toán mà suốt hàng chục năm, thậm chí hàng trăm năm biết bao thế hệ các nhà toán học trên thế giới với bao công sức chỉ mới giải được một số trường hợp đặc biệt

Chẳng hạn bài toán nổi tiếng: “Chứng minh rằng phương trình

x  y  z không có nghiệm nguyên dương khi n3” Đây gọi là định lý

Fetmat do nhà toán học Fetmat đề ra khoảng năm 1630 (thế kỉ XVII) Lời giải chỉ có sau hơn 300 năm, đã tốn không biết bao nhiêu thời gian và trí tuệ của hàng trăm nhà toán học lớn khắp thế giới

Chính Fetmat đã chứng minh cho trường hợp đặc biệt n  4 Năm

1770 Euler đã chứng minh với n  3 A Legende (1725 – 1833) và Dirichet

đã chứng minh với n = 5 (1825) Khi n = 6 quy về n = 3 và tổng quát chỉ cần

chỉ cần chứng minh định lí cho số mũ nguyên tố Năm 1839, nhà toán học

người Pháp G Lame (1795 – 1870) đã chứng minh cho n = 7, kết quả đáng kể

nhất là của nhà toán học người Đức E Kummer (1810 – 1893) đã chứng định

lí với mọi n < 100 Đầu năm 1960, với sự giúp đỡ của máy tính điện tử người

ta đã chứng minh được định lý với mọi n < 2521 Đến những năm 1970, 1980

của thế kỷ , định lí được chứng minh cho các con số n < 100 000, nhưng như vậy định lí mới chỉ chứng minh cho một số lớn các trường hợp đặc biệt Nhà toán học Hà Lan G Faltings đã có công đóng góp lớn với việc chứng minh rằng phương trình x n  y n  z n với n > 2 nếu có nghiệm nguyên

thì chỉ có hữu hạn nghiệm mà thôi

Năm 1993 nhà toán học người Anh là Andrew Wiles đã công bố chứng minh định lí lớn Fermat Tuy nhiên đến tháng 9/1993 các trung tâm toán học tại Hoa Kỳ và Pháp đã phát hiện ra lỗ hổng trong chứng minh Hơn một năm sau, tháng 10/1994, Andrew Wiles và học trò là R Taylor trình bày lời giải thật hoàn chỉnh chỉ có 25 trang Định lí lớn của Fermat đã được chứng minh Như vậy suốt hơn 300 năm con người đã tìm tòi, mò mẫn để chứng minh định lí từ những trường hợp đặc biệt đến chứng minh trường hợp tổng quát cho định lí

Đặc biệt trong các bài toán dựng hình và tìm quỹ tích thì cái khó đầu tiên

là phải biết dự đoán kết quả, sau đó dùng đặc biệt hóa để kiểm tra lại kết quả

Đối với nhà trường phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự đã thâm nhập vào mọi khâu của quá trình dạy học Trong dạy học toán ở bậc phổ thông: khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho

chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được

1.2.2 Các bài toán minh họa

Bài toán minh họa 1:

Trong chương trình hình học ở bậc phổ thông, chúng ta đã biết những tính chất đặc điểm của ba đường cao; đường trung tuyến; đường phân giác trong một tam giác Một đặc điểm mà ai cũng biết là ba đường cùng loại xuất phát từ ba đỉnh của tam giác, đồng quy tại một điểm lần lượt được gọi là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác Suy ra chúng có điều gì đó chung Sau đây ta xét các trường hợp đặc biệt đó

a Xét giao điểm ba đường trung tuyến

B1

A1

C1

C B

A

1 1

c Xét giao điểm ba đường cao

Xét các cặp tam giác đồng dạng sau:

B1

A1

C1

C B

d Bài toán tổng quát

Từ 3 trường hợp trên ta có bài toán tổng quát hơn như sau :

- Bài toán tổng quát : Nếu A1, B1, C1 là ba điểm lần lượt thuộc ba cạnh

BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho AA1, BB1, CC1 đồng quy thì:

- Hướng dẫn chứng minh bài toán tổng quát (1.2) như sau:

Dựng đường thẳng d qua A và song song với BC

Không dừng lại ở đó, ta xét tiếp Nếu A1BC ; B1 CA ; C1AB và

AA1, BB1, CC1 không đồng quy thì tỉ số trên như thế nào ?

Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ACC1 và tam giác BCC1 ta có:

B1

A1

C1

C B

A

1

sinsin

AC ACC

CC  A và 1

sinsin

sin sinsin sin

A B C BAA

sin sinsin sin

mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được Có thể thấy phát triển tư duy về toán theo phương pháp này làm cho mỗi chúng ta hứng thú hơn

Bài toán minh họa 2:

Từ ví dụ 1, ta suy nghĩ đến bài toán sau:

Xét bài toán :

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

B

C A’

C’

B’

H A

B

C A’

b Ta xét bài toán H là giao điểm của 3 đường phân giác tam giác ABC

Hệ thức (1.5) liệu còn đúng nếu AA BB CC là các đường phân giác ', ', '

của tam giác ABC ?

c Bài toán tổng quát

Các đường cao, trung tuyến, phân giác của một tam giác có tính chất đồng quy tại một điểm Từ đó ta có thể đề xuất một bài toán tổng quát hơn

+ Bài toán tổng quát: Cho tam giác ABC , O là một điểm tùy ý trong

tam giác Kéo dài AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tại A , B , C Khi đó ' ' '

ABC OBC

AO B O C O S S S

+ Bài toán mới:

Cho tứ diện ABCD , O là một điểm trong tứ diện Các đường thẳng

Bài toán minh họa 3:

+ Xét bài toán sau:

Cho , a b  0 Chứng minh rằng: a +b3 3 a b+b a.2 2 (1.11) Chúng ta có thể giải bài toán này theo 2 cách sau:

a Bài toán tương tự hóa, ta có bài toán

Nhìn theo góc độ số mũ của hai vế của bất đẳng thức (1.11):

Xét riêng a3 và a b ta thấy trong số hạng 2 a3 số mũ của a là 3, trong số hạng a b thì số mũ của 2 a là 2, số mũ của b là 1 Như vậy số mũ của a đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số mũ của a và b trong số hạng a b bằng số mũ 2của a trong a 3

Từ đó ta có những bài toán bất đẳng thức tương tự sau:

b Bài toán đặt biệt hóa

Đặc biệt hóa các giá trị của m, n ta lại có những bất đẳng thức mới

c Từ khái quát hóa, ta có các bài toán tương tự sau

Tiếp tục quan sát số biến của các bất đẳng thức, các bài toán trên chỉ áp dụng cho 2 biến ta hoàn toàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến, …và khái quát hóa lên n biến Ta có thể xây dựng những bất đẳng thức tương tự sau: + Cho , , a b c0, chứng minh rằng:

Cho n số dương a a1, , ., 2 a3 a , n m k,  , mk Chứng minh rằng:

a a  a a a a a  a a (1.11.9) (Bất đẳng thức này chứng minh tương tự như ở cách giải 2 ví dụ này) Bằng những cách làm đó ta có thể hướng học sinh độc lập suy nghĩ để không ngừng rèn luyện trí thông minh và sự sáng tạo

Ta có thể sáng tạo được bất đẳng thức (1.11.1), (1.11.2), (1.11.3), (1.11.4), (1.11.5), (1.11.6), (1.11.7) từ bài toán ban đầu bất đẳng thức (1.11) Đối chiếu sự tương ứng giữa các bất đẳng thức tìm ra dấu hiệu bản chất của chúng để xây dựng được bài toán tổng quát Từ đó bằng khái quát hóa để được bất đẳng thức (1.11.4), (1.11.5) và (1.11.9) ta thấy mức độ khái quát hóa ở đây tăng dần

Tính sáng tạo sẽ phát triển cao hơn nếu ta biết đề xuất và giải quyết các bài toán mới từ những bài toán đã biết

Bài toán minh họa 4:

Bài toán ban đầu nhƣ sau:

Bây giờ, ta đưa ra một số hướng khai thác bài toán trên

a Khai thác nhờ đặc biệt hóa

Từ bài toán ban đầu (1.12) ta sáng tác các bài toán sau:

Bài toán 1.12.1 Cho , ,x y z0 thỏa mãn x  y z 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

sin sin sin

Chứng minh: tam giác ABC là tam giác đều

b Khai thác nhờ tương tự hóa

Bài toán 1.2.4 Cho , ,x y z 0.Chứng minh rằng:

Tương tự với các trường hợp còn lại, rồi cộng các bất đẳng thức vế theo

c Khai thác nhờ tổng quát hóa

Bài toán 1.12.6 Cho , ,x y z0, n ,n2

Ở nhà trường phổ thông, trong dạy học khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm

ra lời giải của bài toán; mở rộng đào sâu, hệ thống hóa kiến thức Với các phương pháp suy nghĩ sáng tạo, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh giúp họ làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học, góp phần đào tạo và bồi dưỡng năng khiếu toán học

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ

HOÁ TRONG VIỆC GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1 MỘT SỐ VẬN DỤNG TRONG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

2.1.1 Giới thiệu tóm tắt lý thuyết về bất đẳng thức

 Định nghĩa: Giả sử a và b là hai số thực Các mệnh đề “ ab”,

“ a b ”, “ a b ”, “ a b ” được gọi là những bất đẳng thức

Cũng như các mệnh đề lôgic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai

 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

n

a a a a n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a3   a n

- Bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực:

- Bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

n n

Bài toán ban đầu 1:

Cho a, b dương thỏa mãn a b 1, chứng minh rằng:

+ Phát trển bài toán ban đầu (2.1):

Giả thiết của bài toán là tổng của hai số dương bằng 1 Với cách nhìn đó

ta thử tăng thêm số lượng biến trong bài toán sao cho các biến vẫn ràng buộc với nhau bởi điều kiện có tổng bằng 1

Ta sáng tác được các bài toán sau:

Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b c 1, khi đó ta có:

Cho n số dương tùy ý a a1, , ., 2 a3 a thỏa mãn n

1

1

n i i

a k





 thì ta có bất đẳng thức tổng quát hơn

a  a   a  n k

Ngoài ra ta còn có thể mở rộng bài toán bằng cách tăng số mũ của biến

Cho n số dương tùy ý a a1, , ., 2 a3 a thỏa mãn n

1

n m i i

 3 3 3 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi a  b  c

Áp dụng đặt biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa ta sáng tác ra các bài toán sau:

Nhận xét hai cách giải này ta thấy:

+ Với cách giải 1, ta có các bài toán sau:

6 Cho a, b, c dương thay đổi

+ Hướng dẫn gải bài toán (2.3.8) và bài toán (2.3.9)

x  y z Vì giả thiết là xyyzzx  15 nên ta

dự đoán vế trái của bất đẳng thức đƣợc so sánh với một biểu thức có chứa xy+yz+zx Bởi vậy có lời giải cân bằng bậc hai cho một biến với điểm rơi nhƣ sau:

Theo Cauchy ta có: x4 y4 252520 xy 20xy

x4  y4 5020xy

Đánh giá tương tự các bất đẳng thức còn lại Cộng các vế của bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh

+ Từ (2.3.10) ta có bài toán tổng quát của bất đẳng thức (2.3.11) sau:

9 Cho các số thực dương a i i,  1, 2, , k thỏa mãn

1

1

k i i

 thì kết quả của bất đẳng thức không thay đổi

Bài toán ban đầu 4: