Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN

NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng -Năm 2016

NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng -Năm 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đạo Dõng

Các tài liệu tham khảo trong luận văn được được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Nguyệt

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 3

1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 3

1.1.1 Các hệ thức lượng trong tam giác 3

1.1.2 Các bất đẳng thức trong tam giác 4

1.1.3 Công thức tính chu vi, diện tích của đa giác, đường tròn 4

1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 5

1.2.1 Tích vô hướng giữa hai vectơ 5

1.2.2 Đường thẳng và tương giao giữa các đường thẳng 6

1.2.3 Đường tròn và ba đường conic 7

1.3 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 8

1.3.1 Tích vô hướng giữa hai vectơ 8

1.3.2 Tích có hướng và tích hỗn hợp 9

1.3.3 Đường thẳng và mặt phẳng 10

1.3.4 Mặt cầu 13

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 14 2.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 14

2.1.1 Ứng dụng vào giải phương trình 14

2.1.2 Ứng dụng vào giải bất phương trình 31

2.1.3 Ứng dụng vào giải hệ phương trình 39

2.2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 50

2.2.1 Ứng dụng vào giải phương trình 50

2.2.2 Ứng dụng vào giải bất phương trình 58 2.2.3 Ứng dụng vào giải hệ phương trình 61

KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI(bản sao)

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI

ΔABC : Tam giác ABC

A,B,C : Các đỉnh hay các góc tương ứng của tam giác a,b,c : Độ dài các cạnh đối diện các góc A, B, C

a b c

h ,h ,h : Độ dài các đường cao xuất phát từ A, B, C

R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp

r : Bán kính đường tròn nội tiếp

p : Nửa chu vi tam giác // : Song song

 :Vuông góc

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán bậc phổ thông cũng như ở đại học, là một trong các kiến thức cơ sở có liên quan mật thiết với các môn học khác như đại số, lượng giác, Chính vì vậy, việc tìm hiểu và vận dụng các kiến thức của hình học giải tích là rất cần thiết và giúp việc học tập các môn học khác được hiệu quả hơn

Hình học giải tích được sáng lập ra đồng thời do hai nhà bác học người Pháp là Descartes (1596-1650) và Ferma (1601-1655) với đặc trưng của môn học này là ứng dụng phương pháp tọa độ và đại số vectơ để khảo sát các bài toán hình học Phương pháp này không chỉ ứng dụng để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng hay trong không gian ba chiều mà còn ứng dụng trong trong các không gian nhiều chiều với hình dạng phức tạp và việc vẽ hình để giải toán là điều rất khó thực hiện

Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, thi toán Olympic quốc tế hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan đến hình học nhưng có thể vận dụng kiến thức hình học để giải Một trong các dạng bài toán đó là bài toán giải phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình đại số với nhiều phương pháp giải đặc thù, mới lạ và tương đối khó vận dụng đối với học sinh lẫn giáo viên

Được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn và với mong muốn tìm hiểu thêm về chủ đề này nhằm nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số” cho đề tài luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán về phương

trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số, vận dụng các phương pháp thích hợp trong hình học giải tích để giải các bài toán nêu trên trong chương trình phổ thông trung học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích hợp trong hình học giải tích để giải quyết các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Bố cục của đề tài

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và phụ lục

Chương 1: Giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của hình học phẳng và hình học giải tích liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Chương 2: Trình bày các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình ứng dụng hình học giải tích

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trần Đạo Dõng, người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện triển khai luận văn này và chân thành cảm ơn quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, và giúp đỡ tôi trong quá trình đào tạo khóa cao học tháng 9 năm 2014 tại Đại Học Đà Nẵng

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về hình học phẳng và hình học giải tích liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3],[4],[5]

1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

1.1.1 Các hệ thức lượng trong tam giác

a Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Khi đó ta có:

* Công thức tính diện tích tam giác:

1.1.2 Các bất đẳng thức trong tam giác

Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng

lớn hơn độ dài cạnh còn lại

Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng

nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại

1.1.3 Công thức tính chu vi, diện tích của đa giác, đường tròn

- Chu vi của một đa giác được tính bằng tổng độ dài các cạnh của nó

- Chu vi của hình tròn bằng chu vi của đường tròn bao quanh nó tức là

bằng  nhân với hai lần bán kính

- Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương

ứng với nó

- Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích các cạnh góc vuông

- Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

- Diện tích của hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

của nó

- Diện tích của hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao

tương ứng với cạnh đó

- Diện tích của hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo

- Diện tích của đa giác bằng tổng đại số các diện tích của một số tam giác và tứ giác

- Diện tích của hình tròn bằng  nhân với bình phương bán kính của

đường tròn bao quanh

1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

1.2.1 Tích vô hướng giữa hai vectơ

a Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực, được xác định bởi:

 

a.b a b cos a, b

b Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c tùy ý và mọi số thực k  0, ta có:

2 2

a  a

a.bb.a (Tính chất giao hoán)

 k.a ba k.b   k a.b

 

a b c a.ba.c (Tính chất phân phối đối với phép cộng)

(Tính chất phân phối đối với phép trừ)

a.b  0 a b

c Các phép toán vectơ trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ: aa ;a ; b1 2 b ;b1 2

1.2.2 Đường thẳng và tương giao giữa các đường thẳng

a Phương trình đường thẳng

 Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

 2 2 

axby c 0 a b 0 , với n a;b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng có dạng

với uu ;u1 2 là vectơ chỉ phương của đường thẳng, t là tham số, t

 Phương trình theo đoạn chắn đi qua hai điểm A a;0  và B 0;b có  

b Sự tương giao giữa các đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng d ,d1 2có phương trình

b Phương trình đường elip

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của Elip  E có dạng:

c Phương trình đường parabol

Phương trình chính tắc của Parabol  P có dạng: 2  

y 2p.x p0 .

d Phương trình đường hypebol

Phương trình chính tắc của Hybebol  H có dạng:

1.3 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1.3.1 Tích vô hướng giữa hai vectơ

a Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực, được xác định bởi:

 

a.b a b cos a, b

b Tính chất của tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ a,b,c tùy ý và mọi số thực k, ta có:

(Tính chất giao hoán)

(Tính chất phân phối đối với phép cộng)

(Tính chất phân phối đối với phép trừ)

a.b  0 a b

c Các phép toán vectơ trong không gian

Cho hai vectơ: aa ;a ;a ,b1 2 3 b ;b ;b1 2 3 Ta có:

a Tích có hướng giữa hai vectơ

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ aa ;a ;a1 2 3,

Tính chất của tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng giữa hai vectơ có các tính chất sau:

i Vectơ a,b  vuông góc với cả hai vectơ a và b tức là:

a, b a a, b b 0

    

ii a,b  a b sin a,b  

iii a, b   0 khi và chỉ khi a và b cùng phương

b Tích hỗn hợp

Định nghĩa: Cho ba vectơ a,b,c Nếu lấy tích vectơ a,b  rồi nhân vô hướng với vectơ c ta được một số a,b c  Số này gọi là tích hỗn hợp của ba vectơ a,b,c và được kí hiệu a, b,c 

1.3.3 Đường thẳng và mặt phẳng

a Phương trình của đường thẳng trong không gian

Cho đường thẳng  d đi qua điểm M x ; y ;z 0 0 0, có vectơ chỉ phương

b Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x ;y ;z0 0 0 0 có dạng

A xx B yy C z z 0, với nA;B;C là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng bất kỳ trong không gian có dạng

AxByCz D 0 A B C 0 , với nA;B;C là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua ba điểm A a;0;0 , 

c Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

Cho đường thẳng  d1 đi qua M x ; y ;z có vectơ chỉ phương1 1 1 1

 1 2 3

u a ;a ;a , đường thẳng  d2 đi qua M x ; y ;z2 2 2 2 có vectơ chỉ phương

 1 2 3

v b ;b ;b

Khi đó ta có các trường hợp tương giao giữa  d1 và  d2 như sau:

 Nếu u, v M M 1 2 0 thì  d và1  d2 chéo nhau

 Nếu u, v M M 1 2 0 và a : a : a1 2 3 b : b : b1 2 3 thì  d và 1  d2 cắt nhau





 có vô số

nghiệm thì  d và 1  d2 trùng nhau

d Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Cho đường thẳng  d đi qua M x ; y ;z có vectơ chỉ phương0 0 0 0

f Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian

Cho đường thẳng  đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương là a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng :

b Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu  S tâm I bán kính Rvà đường thẳng d Ký hiệu d I,d  là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d Khi đó ta có các trường hợp sau:

- Đường thẳng d không có điểm chung với mặt cầud I,d R.

- Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầud I,d R.

- Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệtd I,d R

c Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu  S tâm I bán kính Rvà mặt phẳng  P Ký hiệu d I, P    là khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  P Khi đó ta có các trường hợp sau:

- Mặt phẳng  P không có điểm chung với mặt cầud I, P   R.

- Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầud I, P   R.

- Mặt phẳng  P cắt mặt cầud I, P   R Khi đó mặt phẳng  P cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng  P , có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên  P và có bán kính 2 2   

r R d I, P

CHƯƠNG 2ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong chương này chúng tôi vận dụng các kiến thức về hình học giải tích

để giải một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo từ các tài liệu [6], [7], [8], [9], [10]

2.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình là những phân môn quan trọng của Đại số Có rất nhiều phương pháp để giải như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, lượng giác hóa, phương pháp hàm số…Tuy nhiên thực tế có nhiều bài toán đại số nếu giải theo cách nhìn đại số thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyển sang cách nhìn hình học và sử dụng các kết quả đã biết của hình học thì lời giải sẽ ngắn gọn, đẹp

và dễ hiểu hơn so với các phương pháp khác Trong phần này chúng tôi khảo sát và ứng dụng hình học giải tích trong mặt phẳng để giải một số dạng bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

2.1.1 Ứng dụng vào giải phương trình

2 2

1 1

u  x y

Để giải phương trình f (x) g(x) , ta biến đổi đồng thời f (x) trở thành

vế trái, g(x) trở thành vế phải của một trong các hệ thức sau đây:

u.v u v

u  v  u v

u   v u v u.v u v

Phân tích: Đối với những bài toán giải phương trình chứa căn thức sao

cho biểu thức dưới dấu căn là một tam thức bậc hai không phân tích được

thành tích các nghiệm, ta biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành tổng bình phương, thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp, sau đó sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có tọa đô:

Ta có u  v  u v nên  2  2

x 1  4 2 x 36 5.Dấu “=” chỉ xảy ra khi một trong 3 trường hợp sau xảy ra: u 0 hoặc

v0 hoặc ukv k 0 Rõ ràng khả năng u và v bằng 0 không thể xảy

ra Vậy dấu “=” chỉ xảy ra khi ukv k 0, tức là:

Phân tích: Bài toán khó giải nếu đặt ẩn phụ hay đánh giá, ta có thể sử

dụng phương pháp vectơ giống như các bài toán trên Để xuất hiện các tổng

bình phương trước hết ta đưa 1

2 ra khỏi căn

E

D

Dấu “=” xảy ra

x1

4 x16x

5 14

x5

Phân tích: Bài toán này có nhiều hơn một ẩn nhưng ta cũng có thể giải

theo hướng như các bài toán ở trên

Phân tích: Ở bài toán này rõ ràng việc đưa các biểu thức chứa căn thành

độ dài vectơ gặp khó khăn vì các biểu thức không có dạng bậc hai Tuy thế trong bài toán này phương pháp hình học vẫn phát huy tác dụng Biến đổi phương trình một chút ta thu được:

Một số ví dụ tham khảo với phương pháp giải tương tự:

b Ứng dụng tương giao giữa đường thẳng và các đường conic

Một số phương trình đại số sau một số bước biến đổi sẽ xuất hiện dạng tọa độ giao điểm của các đường cong nên ta có thể xét sự tương giao của các đường cong để giải phương trình ban đầu Đối với các bài toán ứng dụng tương giao giữa đường thẳng và các đường conic thường là những bài toán có dạng xác định số nghiệm của phương trình Trước hết chúng ta biến đổi phương trình đã cho về một phương trình tương đương sao cho mỗi vế là phương trình của một đường quen thuộc trong mặt phẳng Từ đó tìm giao điểm của các đường tương ứng và suy ra số nghiệm của phương trình ban đầu Dưới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.14 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của phương trình:

2

4 x mx 2 m (2.10)

Phân tích: Vế phải là phương trình đường thẳng có dạng yaxb, biến đổi vế trái về phương trình đường tròn quen thuộc trong mặt phẳng Giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình

Giải:

Ta biết rằng số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của hai đường y mx 2 m   và 2

y 4 x Hơn nữa vì 2 2 2

y 4 x x y 4, y0 nên đồ thị y 4 x 2 là nửa đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính R  2và nằm phía trên trục hoành, còn ymx 2 m là một họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định A 1;2  

Ta nhận thấy có hai tiếp tuyến với đường (C ): y 4 x 2 , đó là đường thẳng y2 song song với trục hoành và tiếp tuyến AD

m 2

m 0

4m

Phân tích: Bài toán này khó hơn bài trên vì chưa thấy được dạng phương

trình đường cong quen thuộc nào cả Tuy nhiên ta thấy xuất hiện hai đại lượng đối nhau x, -x nên có thể chuyển phương trình đã cho về hệ phương trình với

2 ẩn là u và v Khi đó làm mất biến x ta thu được một phương trình của hệ có dạng phương trình của đường tròn Vận dụng xét sự tương giao để giải hệ phương trình, từ đó giải phương trình đã cho

Suy ra x  0 là một nghiệm của phương trình

m

22m m 4m

Phương trình (2.11) có hai nghiệm phân biệt:

y=x-4 y=x-m

* Nhận xét: Có thể sử dụng phép biến đổi y 3 12 3x 2 , khi đó phương trình (2.13) đưa về hệ:

Lý luận tương tự như trên ta cũng thu được kết quả

Ví dụ 1.17 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của phương trình:

2

thể biến đổi vế trái về phương trình đường hypebol trong mặt phẳng Số giao điểm của hai đường là số nghiệm của phương trình

 H có tâm là gốc O, phương trình thứ 2 của hệ (2.16) là phương trình đường thẳng  d song song với phân giác góc phần tư thứ nhất x y 0 và cũng chính là tiệm cận của  H

Ta tìm 2 vị trí tới hạn cho đường thẳng  d là:

Phân tích: Bài này rõ ràng dễ nhận thấy vế trái là một đường parabol, vế

phải là phương trình đường thẳng có dạng y = b Số giao điểm của hai đường

là số nghiệm của phương trình

Ta thấy: phương trình thứ 1 của hệ (2.18) là phương trình đường parabol

 P đỉnh A1;1, phương trình thứ 2 của hệ (2.18) là phương trình đường thẳng d song song với Ox

Phương trình (2.17) vô nghiệm m  3

Một số ví dụ tham khảo với phương pháp giải tương tự:

Ví dụ 1.19 Xác định tham số thực k để phương trình sau có hai nghiệm

2.1.2 Ứng dụng vào giải bất phương trình

a Ứng dụng phương pháp vectơ

Khi gặp các bài toán giải bất phương trình chứa căn thức bậc hai, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai đã cho

và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại Từ đó sử dụng bất đẳng thức

về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán

Khi chúng ta đã thiết lập được các hệ tọa độ vectơ, thông thường các bất phương trình sẽ rơi vào những trường hợp sau:

Nên bất phương trình đã cho có dạng: u.v u v .

Mặt khác ta luôn có u.v u v nên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2