Một số dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ MINH QUYÊN MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, 201

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ MINH QUYÊN

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ MINH QUYÊN

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng, 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đạo Dõng

Mọi tài liệu dùng trong luận văn được được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả

Phạm Thị Minh Quyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 3

1.1 NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP 3

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.1.2 Số phần tử của một số tập hợp 4

1.1.3 Các phép toán tập hợp 4

1.1.4 Tích Đề-các 5

1.2 QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN 5

1.2.1 Nguyên lý cộng 5

1.2.2 Nguyên lý nhân 5

1.3 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 6

1.3.1 Giai thừa 6

1.3.2 Hoán vị 6

1.3.3 Chỉnh hợp 6

1.3.4 Tổ hợp 7

1.4 NHỊ THỨC NEWTON 7

1.4.1 Nhị thức Newton 7

1.4.2 Tam giác Pascal 8

1.5 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 9

1.5.1 Phép thử và các loại biến cố 9

1.5.2 Mối quan hệ và các phép tính về biến cố 10

1.5.3 Xác suất của biến cố 11

1.6 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 11

1.6.1 Quy tắc nhân xác suất 11

1.6.2 Phát triển định lí cộng và nhân xác suất 13

1.7 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 13

1.7.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc 13

1.7.2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 14

1.7.3 Kỳ vọng 14

1.7.4 Phương sai và độ lệch chuẩn 14

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 16

2.1 BÀI TOÁN TÌM SỐ TỔ HỢP 16

2.1.1 Bài toán lập số tự nhiên 17

2.1.2 Bài toán chọn các phần tử từ các tập hợp 21

2.1.3 Bài toán sắp xếp các phần tử từ các tập hợp 23

2.1.4 Bài toán phân chia các phần tử từ các tập hợp 27

2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 30

2.2.1 Bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp 30

2.2.2 Bài toán chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 31

2.3 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 34

2.3.1 Bài toán giải phương trình 35

2.3.2 Bài toán giải bất phương trình 37

2.3.3 Bài toán giải hệ đại số tổ hợp 38

2.4 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON 40 2.4.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng chứa xtrong khai triển nhị thức Newton 40 2.4.2 Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh một số hệ thức, tính tổng tổ hợp 46 2.5 TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 66 2.5.1 Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển 66 2.5.2 Tính xác suất của một biến cố bằng quy tắc cộng, quy tắc nhân 68 2.5.3 Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 76 2.5.4 Xác định kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc 78

KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán đại số tổ hợp và xác suất là một trong các nội dung quan trọng của toán học, có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… Do vậy đại số tổ hợp và xác suất đã được đưa vào chương trình toán từ lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh bậc phổ thông trung học những kiến thức cơ bản quan trọng liên quan đến lĩnh vực này

Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy đối với đa số học sinh việc tiếp thu kiến thức về đại số tổ hợp và xác suất là rất khó khăn Sách giáo khoa đổi mới trình bày phần kiến thức này khá đầy đủ và dễ hiểu, tuy nhiên học sinh làm bài lại không đạt yêu cầu do các em thường áp dụng máy móc, đặc biệt nếu gặp bài toán lạ hoặc thay đổi đề bài trong một dạng toán thường không biết cách xử lý

Một trong các nguyên nhân là do học sinh chưa nắm bắt kiến thức, phân loại bài toán để giải quyết nên kết quả học tập không cao, kiến thức

dễ quên Để hiểu sâu, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về đại số tổ hợp

và xác suất vào giải quyết các bài toán, học sinh cần phải nắm vững các khái niệm, các công thức cơ bản, nhận dạng và phân loại các bài toán để tìm phương pháp giải thích hợp

Với mong muốn được tìm hiểu thêm về chủ đề đại số tổ hợp và xác suất cùng các phương pháp giải tương ứng thể hiện trong chương trình toán bậc phổ thông trung học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học của

bản thân và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Một

số dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu, tìm hiểu và nhận dạng các bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông, từ đó thể hiện phương pháp giải tương ứng qua một số chủ đề cụ thể

Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương:

- Chương 1: Các kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp và xác suất

- Chương 2: Các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải

Trong mỗi dạng bài toán sẽ đưa vào các ví dụ minh họa và phương pháp giải tương ứng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các dạng bài toán về đại số tổ hợp

và xác suất

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương pháp giải toán thích hợp cho các dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp và xác suất

Chương 2 Các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

VÀ XÁC SUẤT

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton, biến cố, xác suất của biến cố, các quy tắc tính xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc, nhằm làm

cơ sở cho chương tiếp theo Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [2], [4], [7], [14], [16], [20]

1.1 NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

+ Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa Tập hợp thường được ký hiệu bằng chữ cái A, B, C, … Các phần tử của tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ a, b,c, …

Để chỉ x là phần tử của A: x A ( x thuộc A)

Để chỉ x không là phần tử của A: x A ( x không thuộc A)

Tổng quát: Cho A , A , , A1 2 n là n tập hợp hữu hạn ( n1)

Khi đó: │A1… An │=

1

n i i

Cho hai tập hợp A, B Ta định nghĩa các phép toán sau:

+ Phép hiệu: Hiệu của A và B, ký hiệu A\B là tập hợp

+ Phân hoạch: Nếu AB =  ta nói A và B rời nhau

Nếu các tập X1, X2, ., Xn thỏa A = X1X2 Xn và chúng rời

nhau từng đôi một, ta nói { X1, X2, , Xn } là một phân hoạch của tập hợp A

Giả sử một công việc được thực hiện qua k phương án Phương án thứ i

(i 1, k) có ni cách thực hiện Khi đó số cách hoàn thành công việc là:

k i

i 1



 

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

- Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì:

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

- Nếu A ,A , ,A1 2 n là n tập hợp hữu hạnn 1 , khi đó số phần tử của

tích Đề - các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

- Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích

1.3.4 Tổ hợp

Định nghĩa 1.4: Giả sử tập A có n phần tử ( n  1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 k

Đổi i thành k với tƣ cách là biến câm và công thức Pascal

k

n

C +Ck 1n =Ckn 1 ta đƣợc:

=

n

k 1



=

n 1

k (n 1) k k

n 1

k 0



 





n

k 0





n n x n n

(1 x) C C C x  ( 1) C x

Chú ý:

- Số các số hạng của sự khai triển (x 1) n là n 1

- Tổng các số mũ của x và y trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng

số mũ n

- Số hạng tổng quát Tk 1 của khai triển là: k n k k

k 1 n

T C x  y (k 0,1, , n)

- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do

C C  (0 k n)

1.4.2 Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển Newton (a b) n có thể đƣợc sắp xếp thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal)

n0 1

n 1 1 1

n2 1 2 1

n3 1 3 3 1

n4 1 4 6 4 1

n5 1 5 10 10 5 1

… …

a Phép thử: Việc thực hiện một nhóm điều kiện cơ bản để quan sát

một hiện tượng nào đó có thể xảy ra hay không gọi là thực hiện một phép thử Phép thử thường được kí hiệu: T Hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố (sự kiện)

Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu Kí hiệu: 

* Nhận xét: Mỗi hiện tượng đều gắn liền với một nhóm điều kiện cơ

bản và nó chỉ có thể xảy ra khi các điều kiện gắn liền với nó được thực hiện Như vậy biến cố luôn gắn liền với phép thử, biến cố chỉ xảy ra khi phép thử được thực hiện

b Các loại biến cố

+ Biến cố chắc chắn:

Là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện một phép thử

Ký hiệu: 

+ Biến cố không thể (bất khả):

Là một biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện một phép thử

Ký hiệu: 

+ Biến cố ngẫu nhiên:

Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử

Kí hiệu biến cố ngẫu nhiên bằng chữ in hoa : A, B, C, A1, A2,

1.5.2 Mối quan hệ và các phép tính về biến cố

b Biến cố xung khắc, biến cố độc lập

* Hai biến cố A, B không cùng xảy ra trong một phép thử gọi là xung khắc với nhau Tức là A.B = 

* Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến biến cố kia Hay P(A.B) = P(A).P(B)

* Nhóm biến cố A1, A2, …, An độc lập với nhau từng đôi một nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm độc lập với nhau

* Nhóm biến cố A1, A2, …, An độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố bất

kỳ trong nhóm độc lập với tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

c Biến cố bù (đối lập): Nếu A và A là hai biến cố đầy đủ thì A là

biến cố không xảy ra A (còn gọi là biến cố bù của biến cố A)

Công thức về biến cố:

A   = A ; A   = 

A   =  ; A   = A

1.5.3 Xác suất của biến cố

- Xác suất của biến cố A trong 1 phép thử là một số dùng để đo khả năng xảy ra biến cố A trong phép thử đó Kí hiệu là: P(A) và thoả mãn:

- Định nghĩa cổ điển về xác xuất: Xác suất xuất hiện biến cố A trong

một phép thử là tỷ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A với tổng số các

kết quả duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó

Ta có công thức:

P(A) =

n

m (0  m  n)

Trong đó: m: Là số kết quả thuận lợi cho biến cố A

n: Là tổng số kết quả đồng khả năng xảy ra

1.6 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

1.6.1 Quy tắc nhân xác suất

a Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.5: Cho A và B là hai biến cố (giả sử P(A) >0), xác suất

của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra đƣợc gọi là xác suất có điều kiện của B

Ký hiệu P(B/A) và đƣợc tính theo công thức: .

)A(P

)B.A(P)A/B(

* Chú ý:

1 Nếu A và B độc lập thì P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B)

2 P(Ω/A) = 1; P(Ø/A) = 0

b Quy tắc nhân xác suất

Định lí 1.2: Xác suất của tích hai biến cố A và B trong phép thử bằng

tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến

cố còn lại

Nếu A, B là hai biến cố trong phép thử và P(A)>0 (P(B)>0) thì:

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

1 P(B) > 0 thì P(A/B) = P(AB)/P(B)

P(A) > 0 thì P(B/A) = P(AB)/P(A)

2 Nếu A và B độc lập thì P(A.B) = P(A).P(B)

P(A1 A2 An ) = P(A1).P(A2/A1)…P(An/A1,…,An-1)

2 Nếu A1, A2, …, An là nhóm biến cố độc lập toàn phần thì:

P(A1 A2 An ) = P(A1).P(A2)…P(An)

c Quy tắc cộng xác suất

Định lí 1.3: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng các xác suất từng

biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố Giả sử A, B là hai biến cố trong phép thử Khi đó: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

AA(P)

A(P)

A

(

k j i

k j i j

i

j i n

1 i

i n

3 Nếu A1 và A2 xung khắc thì : P(A1+A2) = P(A1) + P(A2)

4 Nếu A1, A2, …, An xung khắc từng đôi một thì ta có:

P( A ) P ( A )

n 1 i

i n

5 Nếu A1, A2, …, An là nhóm biến cố đầy đủ thì ta có:

P(A1) + P(A2)+…+ P(An)=1

1.6.2 Phát triển định lí cộng và nhân xác suất

Từ định lí P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) ta suy ra:

Nếu A, B độc lập thì: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)

Nếu A, B phụ thuộc thì: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B/A)

Định lí 1.4: A1, A2, …, An là nhóm biến cố không xung khắc từng đôi

i n

1 i

i) 1 P(A )A

(

1.7 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

1.7.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

- Xét một phép thử, gọi  là không gian các biến cố sơ cấp liên kết với

phép thử, một ánh xạ X:   với là tập số thực đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên liên kết với phép thử

- Một đại lƣợng ngẫu nhiên hay một biến ngẫu nhiên là một đại lƣợng

có thể nhận giá trị này hay giá trị khác phụ thuộc vào kết quả của phép thử

- Đại lƣợng X đƣợc gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị X nhận là ngẫu nhiên

1.7.2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x , x , , x1 2 n

X nhận giá trị x ktức là các số P(X  x )k  pk với k = 1,2, ,n Khi đó bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X như sau:

Định nghĩa 1.6: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là

D(X), được xác định bởi công thức D(X) = E[X-E(X)]2

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị x , x , , x1 2 n Phương sai của X được tính theo công thức:

i 2

i ) px

Trong đó = E(X); pi P(Xx ), ii  1, n

Trong thực tế ta tính D(X)= E(X2) – [E(X)]2 vì:

Theo định nghĩa D(X) = E[X-E(X)]2 = E(X2 – 2 XE(X) + [E(X)]2)

= E(X2) + E(– 2 XE(X)) + E([E(X)]2)

= E(X2) – 2 E(X)E(X) + [E(X)]2 = E(X2) - [E(X)]2 = x p [E(X)]2.

n

1 i

Định nghĩa 1.7: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị

x , x , , x1 2 n Độ lệch chuẩn của X, ký hiệu (X) là một số đƣợc tính theo

công thức: (X) = D(X)

Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên phản ánh mức độ phân tán trung bình của biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán của nó

CHƯƠNG 2CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp giải và ví dụ minh họa một số bài toán như: Tìm số tổ hợp; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp; giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số tổ hợp; bài toán ứng dụng nhị thức Newton; bài toán tính xác suất của một biến cố Các bài toán này thường gặp trong các đề thi tuyến sinh Đại học, Cao đẳng, Phần kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [1], [6], [7], [8], [9], [10] , [11] , [12] , [13] , [14] , [15] ,[16], [17] , [18] , [19] , [20] , [21]

2.1 BÀI TOÁN TÌM SỐ TỔ HỢP

Ứng dụng đặc trưng của các công thức tổ hợp là đếm số phương án Nhờ các công thức này mà việc đếm số phương án trở nên đơn giản và chính xác Tùy theo mỗi bài toán khác nhau mà ta đưa ra phương pháp giải cho phù hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, Đa số các bài toán dạng này đều đưa về hai phương

- Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên

Phương pháp loại trừ: Đối với nhiều bài toán, phương pháp trực tiếp

rất dài Ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán :

A A =X⇒A=X\ A

- Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X và yêu cầu riêng A Xét A là phủ định của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu

- Tính số |X| và | A | Đáp án là |X| - | A |

Ta có thể xét một số ví dụ cụ thể liên quan đến việc vận dụng công thức

tổ hợp vào một trong hai phương pháp trên như sau:

2.1.1 Bài toán lập số tự nhiên

Phương pháp: Có nhiều phương pháp giải trong đó phương pháp giải

thông thường nhất:

- Gọi số cần tìm là: n = a a a 1 2 n

- Liệt kê các tính chất của số n thỏa mãn yêu cầu

- Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không

- Đếm các chữ số theo thứ tự như sau:

+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất

+ Đếm chữ số đầu tiên (nếu chưa đếm), lưu ý chữ số 0 không được đứng đầu tiên

+ Đếm các chữ số còn lại

- Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp

 Bài toán lập số tự nhiên (không có chữ số 0)

Ví dụ 2.1 (ĐH khối A 2005)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8

Phân tích: Tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8 gồm các trường hợp {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, vai trò các chữ số như nhau

Giải:

Gọi a a a a a a1 2 3 4 5 6 là số cần lập

Ta có: a3 + a4 + a5 = 8  a3, a4, a5  {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5  {1, 3, 4}

5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ nhất

4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai

3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba

Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số

Nhận xét: Ngoài ra ta có thể dùng công thức chỉnh hợp giải như sau:

Ví dụ 2.3 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ

số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

Phân tích: Nếu ta tính các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau thì bài toán chia nhiều trường hợp phức tạp Ta chọn phương pháp loại trừ thì bài toán trở nên đơn giản hơn

Lưu ý: Những bài toán lập số tự nhiên không có chữ số 0 thường đơn giản

hơn những bài toán có chữ số 0 Trong quá trình chọn thì ta phải tránh trường hợp chữ số 0 đứng đầu Xét các ví dụ sau:

 Bài toán lập số tự nhiên (có chữ số 0)

Ví dụ 2.4 (ĐH Huế khối ABV 2001)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

Phân tích: Nếu ta tính số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ

số nào lặp lại đúng 3 lần, thì bài toán chia các trường hợp phức tạp Ta nên giải bài toán theo phương pháp loại trừ

Giải:

Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số

Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:

- Chữ số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a 

- Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao

cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần

ba lần tương tự như số 1 lặp lại ba lần

Ví dụ 2.5 (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm

6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

Phân tích: Số 4 phải có mặt trong nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau thì

ta chia trường hợp số 4 đứng đầu và số 4 không đứng đầu

+ TH2: a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1 Xếp chữ số 4 vào một trong các vị trí a2, a3, a4, a5, a6: có 5 cách Khi đó còn 4 vị trí và các vị trí

đó không có chữ số 4 xếp 6 chữ số còn lại vào 4 vị trí đó: có 4

- Khi gặp dạng bài toán này cần để ý chọn chữ số 0 sao cho nó không

được đứng đầu tiên

- Tùy theo mỗi bài toán mà ta chọn phương pháp tính trực tiếp hay loại trừ để giải bài toán một cách ngắn gọn, dễ hiểu,…

Ngoài những bài toán lập số tự nhiên, một trong những bài toán cần thiết phải sử dụng công thức tổ hợp để giải quyết bài toán một cách nhanh gọn, chính xác,…đó là:

2.1.2 Bài toán chọn các phần tử từ các tập hợp

Phương pháp:

- Liệt kê các tính chất của tập con cần chọn

- Phân chia trường hợp, giai đoạn (nếu có)

- Tính số cách chọn bằng cách áp dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp,

- Áp dụng quy tắc nhân, quy tắc cộng, để tìm kết quả bài toán

Ví dụ 2.6 (ĐH Văn Lang 2001)

Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 học sinh

để đi làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:

a Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

b Một học sinh nữ và một học sinh nam

Giải:

a Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam

đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2

Giải:

Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau: TH1: Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó  có C C C152 102 15

đề TH2: Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó  có C C C152 110 25 đề

TH3: Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó  có C C C153 110 15 đề Vậy có tất cả:

C C C C C C C C C 23625 + 10500 + 22750 = 56875 đề

Nhận xét:

- Đặc trưng của bài toán chọn các phần tử: Chọn một tập hợp gồm có

k phần tử từ n phần tử khác nhau, k phần tử không có tính chất gì thay đổi nếu hoán vị k vị trí của nó

- Tùy theo điều kiện bài toán ta có thể chọn các phần tử sao cho phù hợp, khi giải bài toán phải xem xét các phần tử giống nhau hay khác nhau

- Việc chọn các phần tử mà không quan tâm đến thứ tự của các phần tử

Tôi xin minh họa giải bài toán chọn các phần tử từ các tập hợp qua một

số ví dụ sau:

Ví dụ 2.8 (ĐH Cần Thơ 2001)

Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau

Giải:

Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau nhƣ một vị trí , số cách để bố trí 7

học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!

Nhƣng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách

Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách

Ví dụ 2.9 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta đƣợc một cách xếp mới)

Giải:

Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9

Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9) Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ Cách xếp

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu

b Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách

Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách

Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu

 Bài toán sắp xếp n vật trong đó có m vật giống nhau (m < n):

Có tất cả n vật trong đó có m vật giống nhau loại A; k vật giống nhau loại B;…, (m+k+⋯<n); các vật còn lại đôi một khác nhau; thì số cách xếp

chúng thành một hàng ngang là !

! !

n

k m Cụ thể qua các ví dụ sau:

Ví dụ 2.11 Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 viên bi trắng giống nhau

và 3 viên bi đỏ đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp số bi trên vào

12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi?

Giải:

Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì chúng tạo thành P12=12! hoán

vị Nhưng các hoán vị của 5 bi xanh và các hoán vị của 4 bi trắng cho cùng một cách sắp xếp

Đối với 12 viên bi nên số cách xếp phải là: 12

 Bài toán sắp xếp theo bàn tròn

Ví dụ 2.12 Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một bàn 5 chỗ Tính số cách

sắp xếp sao cho:

a A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn có đánh số

b A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn không đánh số

Ví dụ 2.13 Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3 học sinh

nữ quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? hai cách xếp khác nhau về vị trí nhưng có cùng thứ tự như đối với các học sinh trên được coi là một

Giải:

- Xếp chỗ cho 5 học sinh nam: Cố định vị trí cho một học sinh nam nào

đó, số hoán vị của 4 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 4!

- Xếp chỗ cho 3 bạn nữ: Vì 3 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 3 trong 5 vị trí xem kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là 3

5

A Theo quy tắc nhân, số khả năng phải tìm là A35.4!=1440 cách

Ví dụ 2.14 Tìm số cách sắp xếp n cặp vợ chồng ngồi quanh một bàn

tròn sao cho:

a Đàn ông và đàn bà ngồi xen kẽ

b Mỗi người đàn bà ngồi bên cạnh chồng mình

Giải:

a Xếp chỗ cho n đàn ông (cố định một người): (n-1)!

Xếp xen kẽ n người đàn bà vào n chỗ trống mà 10 đàn ông tạo ra: n! Vậy có: (n-1)!.n! cách

b Coi một cặp là một người, xếp 10 người này vào chỗ : (n-1)!

Mỗi cặp vợ chồng có 2 cách xếp (vợ - chồng hoặc chồng - vợ): 2n

Vậy có: (n-1)!.2n cách

Nhận xét:

- Phân biệt sự khác nhau giữa xếp theo đường thẳng và theo vòng tròn

- Khi xếp n đối tượng theo một vòng tròn với hai cách xếp khác nhau bởi một phép quay ta có thể coi là một, thì ta có thể cố định trước một vị trí cho một đối tượng bất kì trong chúng Sau đó tính số cách xếp vị trí cho (n-1)

đối tượng còn lại

2.1.4 Bài toán phân chia các phần tử từ các tập hợp

Đặc trưng của bài toán là phân chia một tập hợp n phần tử khác nhau thành k nhóm, mỗi nhóm gồm n i phần tử Việc chọn n i phần tử trong n phần

tử là phép chọn và loại trừ dần các phần tử đã chọn

Phương pháp:

- Chọn các phần tử có tính chất thỏa mãn đề bài để chia cho mỗi nhóm (chia cho đến nhóm thứ k-1, nhóm thứ k là tất cả các phần tử còn lại)

- Phân chia trường hợp, giai đoạn (nếu có)

- Áp dụng các quy tắc cộng, quy tắc nhân, …

Ví dụ 2.15 (HV Kỹ thuật quân sự 2001)

Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người, trong ngày cần cử 3 người làm nhiện vụ ở điểm A, 2 người làm nhiện vụ ở điểm B, 4 người làm nhiện vụ ở điểm C Hỏi có bao nhiêu cách phân công nhiệm vụ

Giải:

Giai đoạn 1: Phân công 3 người làm nhiện vụ ở điểm A: 3

9

C Giai đoạn 2: Phân công 2 người làm nhiện vụ ở điểm B: 2

6

C

Còn lại 4 người làm nhiện vụ ở điểm C

Vậy có: 3

9

C .C26.1= 1260 cách

Ví dụ 2.16 (ĐH khối B 2005)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi

có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ

* Phương pháp tạo vách ngăn:

- Xếp m vật giống nhau vào m vị trí theo hàng ngang giữa chúng sẽ tạo

ra m-1 chỗ trống

- Đặt bất kỳ n-1 vạch vào m-1 chỗ trống ta sẽ được n nhóm khác nhau, mỗi nhóm có ít nhất 1 vật

- Số cách chia m vật giống nhau thành n nhóm thỏa mỗi nhóm có ít nhất 1 vật là: Cm n11.

Ví dụ 2.17 Có bao nhiêu cách phân chia 100 đồ vật giống nhau cho 4

người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật

Giải:

Ta xếp 100 đồ vật thành hàng ngang, giữ chúng có 99 khoảng cách để

đặt bất kỳ 3 vạch bất kỳ vào, ta sẽ được 4 phần để lần lượt chia cho 4 người

và tổng các vật của 4 người là 100 Vậy số cách chia là C399 = 156849 cách

Ví dụ 2.18 Có bao nhiêu cách chia 10 viên kẹo đỏ giống nhau cho 3

em bé, mỗi em có ít nhất 1 viên

Giải:

Xếp 10 viên kẹo thành hàng ngang, giữa chúng tạo ra 9 khoảng trống Đặt 2 vạch bất kỳ vào 9 chỗ trống ta được cách chia 10 viên kẹo cho 3 em bé, mỗi em bé có ít nhất một viên Vậy số cách chia là: C92 36 cách

Lưu ý:

- Khi phân chia các phần tử vào k nhóm thì ta chia cho đến nhóm thứ

k-1 (thứ tự các nhóm không cần quan tâm), nhóm thứ k là tất cả các phần tử còn lại (tức là chỉ có 1 cách chia các phần tử còn lại vào nhóm thứ k)

- Phân biệt các dạng bài toán phân chia và sắp xếp để giải quyết bài toán tốt hơn

chỉnh hợp và tổ hợp Khi dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp

2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn cách

Ví dụ 2.20 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: A3n2C2n 16n (2.2)

Giải: Điều kiện: *

n 1 n

Giải: Ta ưu tiên dùng phương pháp quy nạp toán học cho các bài toán

chứa mũ và giai thừa:

Khi n = 3 thì 6 > 4, (2.5 ) đúng

Giả sử bài toán đúng với n=k, k ,k3 nghĩa là k! 2 k 1 (2.6)

Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k+1

Thật vậy:

Nhân 2 vế của (2.6) với (k+1) ta được: k!(k 1) 2k 1 (k 1).

k ,k3 nên (k 1)! 2  k 1 2(k 1)! 2   k (2.7) Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta suy ra n! 2 n 1 ,n ,n3

Giải:

Cho n cố định, xét dãy số(Un): Un = Cnnk n

k n

C  Khi đó bất đẳng thức viết dưới dạng Uk  Uo , 0 k .

Ta chứng minh dãy (Un) luôn đơn điệu giảm

Thật vậy:

Uk+1  Uk 

)!

1kn(n

)!

1kn2(

)!

1kn2(

)!

kn2(





)!kn(n

)!kn2(

1kn2

kn2

C  Cnnk (Cnn)2

Nhận xét:

- Việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp không phụ thuộc vào cách giải, vì mỗi người chuyên một mảng kiến thức khác nhau, nên hướng giải quyết bài toán cũng khác nhau Vấn đề là áp dụng các công thức liên quan đến đại số tổ hợp trong khi giải quyết bài toán Mỗi bài toán chứng minh đều phải lựa chọn phương pháp giải ngắn gọn và dễ hiểu nhất

- Dạng bài tập này rèn luyện cho học sinh tư duy nhanh, cách lựa chọn phương pháp hợp lý

2.3 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Phương pháp:

- Đặt điều kiện bài toán

- Vận dụng các công thức liên quan đến đại số tổ hợp và rút gọn chúng

- Đưa về phương trình, bất phương trình, hệ đại số tổ hợp về các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cơ bản (đặt ẩn phụ nếu cần) Giải tìm nghiệm và chọn nghiệm thích hợp