Một số công thức tính xác suất và ứng dụng

Qua thực tiễn giảng dạy bộ môn Xác suất – thống kê ở trường Cao đẳng công nghệ - kinh tế và thủy lợi miền Trung, mặc dù sinh viên đã được làm quen với một số quy tắc tính xác suất ở trườ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng – Năm 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Cao Văn Nuôi

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Lê Thị Kim Oanh

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 4

1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ 4

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu 4

1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên 5

1.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 5

1.2.1 Biến cố kéo theo 5

1.2.2 Biến cố bằng nhau 5

1.2.3 Biến cố xung khắc 5

1.2.4 Biến cố đối lập 5

1.2.5 Biến cố đồng khả năng 6

1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ 6

1.3.1 Phép hợp 6

1.3.2 Phép giao 6

1.3.3 Hiệu của hai biến cố 7

1.4 HỆ ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ 7

1.5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TOÁN VỀ BIẾN CỐ 7

1.6 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT 8

1.7 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 8

2.1.2 Công thức cộng xác suất cho trường hợp các biến cố tùy ý 14

2.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 18

2.3 SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ 23

2.4.1 Công thức xác suất toàn phần 30

2.4.2 Công thức Bayes 32

2.5 CÔNG THỨC BERNOULLI 35

2.5.1 Lược đồ Bernoulli và công thức Bernoulli 35

2.5.2 Số lần có khả năng lớn nhất 38

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ÁP DỤNG 39

3.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 39

3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 43

3.3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ 46

3.4 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES 49

3.5 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC BERNOULLI 58

KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết xác suất là bộ môn nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên ra đời vào cuối thế kỉ XVII ở Pháp Năm 1982, nhà toán học Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người” Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, môi trường …Vì vậy lý thuyết xác suất nói riêng và bộ môn xác suất – thống kê nói chung đã được vào giảng dạy ở hầu hết các trường cao đẳng, đại học Trong lý thuyết xác suất cũng như hầu hết các lĩnh vực việc xác định được khả năng xảy ra của các sự kiện nhất định nào đó là quan trọng và cần thiết

Do đó nhiều phương pháp tính xác suất đã được ra đời, trong đó các công

thức tính xác suất là một trong những công cụ cơ bản và hiệu quả

Các bài toán xác suất thường rất hay, thú vị nhưng khá trừu tượng nên khi giải các bài toán xác suất người đọc cảm thấy khó, rất dễ nhầm lẫn, dễ bị sai và thường lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp hay công thức phù hợp nếu người đọc không phân tích vấn đề một cách chặt chẽ, chính xác Qua thực tiễn giảng dạy bộ môn Xác suất – thống kê ở trường Cao đẳng công nghệ - kinh tế và thủy lợi miền Trung, mặc dù sinh viên đã được làm quen với một số quy tắc tính xác suất ở trường trung học phổ thông song đa

số sinh viên thường thiếu các kĩ năng, cảm thấy khó khăn khi vận dụng các công thức tính xác suất vào việc giải quyết một bài toán xác suất cụ thể

Ngoài ra việc tìm hiểu các công thức tính xác suất cũng là nhu cầu cần thiết cho việc giảng dạy của tác giả Chính vì những lý do đó mà tác giả đã

nghiên cứu và chọn đề tài:”Một số công thức tính xác suất và ứng dụng” làm

đề tài luận văn của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là hệ thống hóa các công thức tính xác suất nhằm tạo điều kiện cho sinh viên học tập môn Xác suất – thống kê được dễ dàng, thuận lợi hơn Đồng thời giúp người đọc hiểu sâu sắc hơn về các công thức cơ bản của xác suất và vận dụng tốt hơn vào việc giải quyết các bài toán xác suất

từ đơn giản đến phức tạp

Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên khi nghiên cứu các kiến thức liên quan đến đề tài

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tổng quan về các kiến thức liên quan đến các công thức tính xác suất

Phạm vi nghiên cứu: Công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes, công thức Bernoulli, các dạng bài toán áp dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu, tìm hiểu các tài liệu, giáo trình, sách tham khảo có liên quan đến luận văn

Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy của giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng quan các kiến thức cơ bản, trọng tâm liên quan đến các công thức tính xác suất và các áp dụng thông qua các ví dụ, bài tập cụ thể

Chứng minh chi tiết các định lý cũng như xây dựng một hệ thống các bài toán cùng lời giải với mức độ khó dễ khác nhau nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập

Đồng thời tạo được một tài liệu phù hợp cho việc học tập, nghiên cứu của sinh viên khi tiếp cận với môn học Xác suất – thống kê

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Các khái niệm mở đầu

Trong chương này tôi trình bày các khái niệm về phép thử ngẫu nhiên và biến cố, mối quan hệ giữa các biến cố, các phép toán trên biến cố, hệ đầy đủ các biến cố, một số tính chất của phép toán về biến cố, không gian xác suất

Chương 2: Một số công thức tính xác suất

Trong chương này tôi trình bày các định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ

về công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, công thức Bernoulli

Chương 3: Một số dạng bài toán áp dụng

Trong chương này tôi trình bày một số dạng bài toán liên quan đến các

công thức tính xác suất, ứng dụng để giải các bài toán liên quan đến công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, công thức Bernoulli

CHƯƠNG 1CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất mà dựa vào đó người ta xây dựng định nghĩa xác suất Cũng giống như các khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng,… phép thử là khái niệm không có định nghĩa Ta có thể hiểu phép thử là một thí nghiệm, một sự quan sát hay một

phép đo … để ta nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó

Các phép thử chỉ xảy ra khi nhóm các điều kiện xác định cho trước gắn liền với nó được thực hiện Nhóm này phải rõ ràng, ổn định trong quá trình nghiên cứu và có thể được lặp lại nhiều lần Chẳng hạn, khi muốn quan sát việc xuất hiện mặt sấp hay ngửa của một đồng xu ta phải tung đồng xu đó; hay khi muốn kiểm tra chất lượng của một lô sản phẩm ta phải lấy một hoặc một vài sản phẩm từ lô đó để kiểm tra

Do vậy, việc thực hiện một nhóm các điều kiện xác định nào đó để nghiên cứu một hiện tượng có xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử Hay nói cách khác cứ mỗi khi làm cho nhóm điều kiện này được thỏa mãn là ta đã làm một phép thử

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử, ký hiệu là 

Mỗi phần tử của  được gọi là một biến cố sơ cấp, ký hiệu là  Do đó, không gian mẫu còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp

Không gian mẫu có thể được mô tả theo các cách sau:

- Khi không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta có thể liệt kê các phần tử

đó

- Khi không gian mẫu có vô hạn phần tử, hoặc các phần tử có cùng một

thuộc tính, ta có thể mô tả không gian mẫu bằng mệnh đề hoặc quy tắc

- Không gian mẫu còn có thể được mô tả bằng sơ đồ cây

1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên

a Biến cố (hay còn gọi là sự kiện)

Kết quả của phép thử được gọi là biến cố hay sự kiện Dùng các chữ cái

A, B, C, … để ký hiệu cho các biến cố

b Phân loại biến cố

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, biến cố này tương ứng với không gian mẫu nên ký hiệu là 

Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu là 

Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra và cũng có thể không xảy ra

khi thực hiện phép thử

1.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

Cho A và B là hai biến cố của cùng một phép thử

1.2.1 Biến cố kéo theo

Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B , ký hiệu là A  , nếu biến cố A B

xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra

khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra

Như vậy A và A đối lập .

1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ

Cho A và B là hai biến cố của cùng một phép thử với không gian mẫu

tương ứng là 

1.3.1 Phép hợp

Tổng (hay hợp) của hai biến cố A và B , ký hiệu là A B  hoặc A B ,

là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B

xảy ra

Tổng quát: Tổng của n biến cố A A1, , , 2  A n là biến cố xảy ra nếu ít

nhất một trong n biến cố đó xảy ra Ký hiệu tổng của n biến cố là

A A   hoặc A

1

n k k

A



1.3.2 Phép giao

Tích (hay giao) của hai biến cố A và B , ký hiệu là AB hay A B , là

một biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.

Tổng quát: Tích của n biến cố A A1, , , 2  A n là biến cố

1

n i i

A



 , biến cố

này xảy ra nếu tất cả n biến cố đó đều xảy ra Tích của n biến cố đó còn

được ký hiệu là A1A2   hoặc A n A A A hoặc 1 2 n

1

n k k

A



Đến đây ta có thể thấy rằng hai biến cố A và B xung khắc nhau khi và

1.3.3 Hiệu của hai biến cố

Hiệu của hai biến cố A và B, ký hiệu là \ A B , là biến cố xảy ra khi A

xảy ra còn B không xảy ra

Với A   , biến cố đối lập của biến cố A là A \A

A



 

 và ( ) 0,P A i   i

Đặc biệt với mọi biến cố A sao cho ( ) 0 P A  , hệ { , }A A là hệ đầy đủ

1.5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TOÁN VỀ BIẾN CỐ

1.6 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Định nghĩa 1.1 Cho một phép thử có ( )N  ( ( )N   ) kết quả đồng khả năng, trong đó có ( )N A kết quả thuận lợi cho biến cố A Khi đó tỉ số

gọi là không gian đo được Nếu A thì ta nói A đo được

Định nghĩa 1.3 Cho không gian đo được ( , )  Một hàm :P    được gọi là một xác suất (hay độ đo xác suất ) trên  nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

-/ 0P A( ) 1,  A .

-/ ( ) 1.P  

-/ (s- cộng tính) Nếu A A1, , ,2 A n,  và chúng xung khắc từng đôi thì

 

1 1

k k

Với mỗi biến cố A  , ( ) P A được gọi là một xác suất của biến cố A

Bộ ba ( , , )  P được gọi là một không gian xác suất

Tập  được gọi là không gian các biến cố sơ cấp hay không gian mẫu

 - đại số được gọi là - đại số các biến cố

Mỗi A được gọi là một biến cố

Nếu A B AB    thì ,A B được gọi là biến cố xung khắc

Biến cố  được gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố  được gọi là biến cố không thể

Nhận xét 1.1

1/ Không gian xác suất  còn được gọi là không gian mẫu và nó là mô hình toán học trừu tượng cho vấn đề tính toán xác suất đang được quan tâm Mỗi phần tử của  có thể được gọi là biến cố (sự kiện) thành phần Nếu A là

một phần tử của  thì ta cũng có thể viết ( )P A và hiểu là P A , trong đó  { }

A là một tập con của  chứa duy nhất một phần tử A Mỗi biến cố là một

tập con của  và có thể gồm nhiều (thậm chí vô hạn) biến cố thành phần 2/ Trong toán học một đại số là một tập hợp với các phép toán cộng, trừ, nhân (không nhất thiết phải có phép chia) Các tính chất của lớp  trong không gian xác suất khiến nó là đại số theo nghĩa như vậy:

Phần tử 0 trong  là tập rỗng Phần tử đơn vị trong  là  , phép cộng

trong  là A B : ( A B ) \ (A B ) ( \ ) ( \ ) A B  B A , phép nhân trong 

là :A B   Ta muốn  là một đại số để cho việc làm các phép tính số A B

học với xác suất được thuận tiện

Từ Định nghĩa 1.3 trên người ta chứng minh được các tính chất của xác suất sau (các tính chất này dùng để tính toán xác suất)

Định lý 1.1 Trên không gian xác suất ( , , )  P ta có:

n n

n n

g) Tính liên tục của xác suất

(i) Nếu dãy { ,E n n 1} là dãy đơn điệu tăng các biến cố,

c) Do AB nên B A ( \ )B A

Ngoài ra vì A( \ )B A   nên ( )P B P A( )P B A( \ ) Suy ra P B A( \ ) P B( )P A( )

n n

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

Ví dụ 2.1 Một lô hàng chứa 15 linh kiện điện tử trong đó có 3 linh kiện

bị hỏng Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra 5 linh kiện thì có không quá 1 linh kiện bị hỏng

Lời giải.

A là biến cố trong 5 linh kiện lấy ra có 1 linh kiện bị hỏng 2

A là biến cố trong 5 linh kiện lấy ra có không quá 1 linh kiện bị

hỏng

Khi đó A A 1 A2

Vì A và 1 A là hai biến cố xung khắc nhau nên 2

1 4 5

3 12 12

Trong trường hợp hai biến cố định lý đúng như đã chứng minh trong Định lý 2.1 Bây giờ ta giả sử Định lý 2.2 đúng với n – 1 biến cố Tức là

Ta cần chứng minh nó đúng với n biến cố

Thật vậy nếu kí hiệu B A 1A2A n1 thì

P A







Chứng minh Vì các biến cố A A1, , ,2 A tạo nên một hệ đầy đủ các biến n

cố nên việc xảy ra của ít nhất một trong các biến cố đó là một biến cố chắc

1

1

n i i

P A





2.1.2 Công thức cộng xác suất cho trường hợp các biến cố tùy ý

Định lý 2.3 Giả sử ( , , )  P là một không gian xác suất Nếu A và B

 thì

Ví dụ 2.2 Một lớp có 35 sinh viên trong đó có 15 sinh viên biết tiếng Anh, 10 sinh viên biết tiếng Nhật và 5 sinh viên biết cả hai thứ tiếng trên Chọn ngẫu nhiên một sinh viên Tính xác suất để sinh viên đó biết ít nhất một ngoại ngữ

Lời giải. Gọi A là biến cố sinh viên đó biết tiếng Anh, B là biến cố sinh viên đó biết tiếng Nhật, C là biến cố sinh viên đó biết ít nhất một ngoại ngữ

Theo giả thiết ta có ( ) 0,09; ( ) 0,12; (P A  P B  P AB) 0,07

Xác suất để người đó mắc cả hai bệnh tim và bệnh huyết áp là

Theo Định lý 2.5 công thức trên đúng với 2.n

Giả sử công thức trên đúng với n , ta chứng minh nó đúng với 1 n Thật vậy, ta có

thư được bỏ vào đúng phong bì

Lời giải. Gọi A là biến cố lá thư thứ i bỏ đúng phong bì i (i1, )n và A

2.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố và điều kiện khác nhau Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về xác suất của biến cố A nào đó

phụ thuộc vào biến cố B ra sao ta đưa ra khái niệm xác suất có điều kiện

Điều kiện B cũng được hiểu là một biến cố, tức là biến cố “Có B” Ta xét ví

dụ sau

Một nhà máy sản xuất lốp xe ôtô gồm hai phân xưởng sản xuất Trong

một tháng nhà máy sản xuất được N chiếc lốp, trong đó phân xưởng I sản

xuất được n chiếc và phân xưởng II sản xuất được 1 n chiếc Trong 2 n chiếc 1

lốp do phân xưởng I sản xuất có m chiếc không đạt tiêu chuẩn, trong 1 n 2

chiếc do phân xưởng II sản xuất có m chiếc không đạt tiêu chuẩn Chọn 2

ngẫu nhiên 1 chiếc lốp của nhà máy Tính xác suất để chiếc lốp đó không đạt tiêu chuẩn, biết rằng chiếc lốp đó do phân xưởng I sản xuất

Bây giờ ta gọi A là biến cố chọn được chiếc lốp không đạt tiêu chuẩn và

B là biến cố chọn được chiếc lốp do phân xưởng I sản xuất

Khi đó xác suất cần tìm chính là tỉ lệ lốp không đạt tiêu chuẩn của phân

xưởng I, tức là xác suất của A với điều kiện B đã xảy ra là 1

P A B

N

điều kiện của A với điều kiện B đã xảy ra Như vậy ta thấy xác suất có điều

kiện được tính thông qua xác suất không điều kiện

Định nghĩa 2.1 Giả sử ( , , )  P là một không gian xác suất, P(B) > 0,

,

A B  Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy

ra, ký hiệu là P A / B được định nghĩa bởi

B

P A P A

Tương tự: VớiP A  , xác suất có điều kiện của biến cố 0 B với điều

kiện biến cố A đã xảy ra, ký hiệu là P B A cũng được xác định bởi công  / 

Ví dụ 2.5 Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp và

quan sát thấy rằng tổng T của hai số xuất hiện trên hai con xúc sắc là số lẻ

Tính xác suất để T là số nhỏ hơn 8

Lời giải. Gọi A là biến cố T  và B là biến cố T là số lẻ 8

Khi đó AB là biến cố mà T là các số 3, 5 hoặc 7

xác suất có điều kiện ( / )P A B có thể xem như xác suất của A xét trong

không gian B Do đó xác suất có điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông

tin về sự xảy ra của một biến cố để dự báo xác suất xảy ra của biến cố khác

- Xác suất có điều kiện P A B có thể được tính trực tiếp dựa vào các  / 

điều kiện đã cho trong bài toán mà không cần phải sử dụng công thức trên

Định lý 2.6 Giả sử ( , , )  P là một không gian xác suất Cho các biến

Suy ra công thức (2.5) đã được chứng minh

Định lý 2.7 Xác suất có điều kiện thỏa mãn ba tiên đề của xác suất:

1 0P A B( / ) 1.

2 ( / ) 1 P  B 

3 Nếu các biến cố A A1, , ,2 A n, đôi một xung khắc Khi đó

1 1

( i / ) ( / ).i

i i

3 Ta có nếu A A1, , ,2 A là dãy các biến cố xung khắc từng đôi thì dãy n

các biến cố A1B A, 2B, ,A n B cũng xung khắc từng đôi Do đó

tập hợp dạng A B  , ở đây A Từ Định lý 2.7 suy ra rằng ( ,B B, ( / ))P B

là một không gian xác suất

Định lý 2.8 Cho hai biến cố A và B của cùng một phép thử và ( ) 0, P A >

Ví dụ 2.6 Từ một hộp chứa r quả cầu đỏ và b quả cầu xanh, người ta

lấy ra ngẫu nhiên liên tiếp hai quả cầu (lấy không hoàn lại) Tính xác suất để lần thứ nhất lấy được quả cầu màu đỏ và lần thứ hai lấy được quả cầu xanh

Lời giải. Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được quả cầu đỏ và B là biến

cố lần thứ hai lấy được quả cầu xanh

Theo công thức nhân xác suất ta có

Định lý 2.9 Cho các biến cố A A1, , 2 A n n( 2) của cùng một phép thử

sao cho P A A( , , 1 2 A n1) 0 Khi đó ta có

Ví dụ 2.7 Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (không hoàn lại) bốn quả bóng từ

một hộp chứa r quả bóng đỏ và b quả bóng xanh ( r2,b2) Tính xác suất

để bốn quả bóng được chọn ra có thứ tự đỏ, xanh, đỏ, xanh

Lời giải. Gọi R lần lượt là biến cố chọn được quả bóng đỏ ở lần chọn j

thứ j (j1,4) và B lần lượt là biến cố chọn được quả bóng xanh ở lần chọn j

thứ j (j1,4)

Xác suất cần tìm là

Định nghĩa 2.2 Giả sử ( , , )  P là một không gian xác suất Hai biến cố

A và B A, B được gọi là độc lập với nhau nếu

Tức là biến cố B có xảy ra hay không xảy ra đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố A và ngược lại

Hai biến cố A và B không độc lập ta nói chúng phụ thuộc

Ví dụ 2.8 Một thị trấn nhỏ có một xe cấp cứu và một xe cứu hỏa sẵn sàng dùng cho các trường hợp khẩn cấp Xác suất để chiếc xe cứu hỏa sẵn có

để dùng cho trường hợp khẩn cấp là 0,95 và xác suất để chiếc xe cấp cứu được dùng khi được gọi là 0,9 Có một người bị thương do một tòa nhà đang cháy Tính xác suất để hai chiếc xe cấp cứu và cứu hỏa đều sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ

Lời giải. Gọi A là biến cố chiếc xe cấp cứu sẵn sàng thực hiện nhiệm 1

vụ, A2 là biến cố chiếc xe cứu hỏa sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ, A là biến cố

cả hai xe đều sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ

Thật vậy, nếu A và B độc lập nhau, thì

- Trong lý thuyết và tính toán người ta nhận biết tính độc lập của các biến

cố bằng công thức, còn trong thực tế tính độc lập của các biến cố được nhận biết bằng trực giác

Ví dụ 2.9 Rút ngẫu nhiên một quân bài từ bộ bài 52 quân Gọi A là biến

cố quân bài rút được là quân át, B là biến cố quân bài rút được là quân cơ Khi đó A và B là hai biến cố độc lập với nhau Vì ( ) 1 ( ) ( )

Suy ra A và (B1B2) độc lập với nhau

Định nghĩa 2.3 Dãy biến cố A A1, , ,2  A n được gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu (P A A i j)P A P A( ) ( ) ,i j  i j i j, ( , 1, ).n

Định nghĩa 2.4 Dãy biến cố A A1, , ,2  A n, được gọi là độc lập toàn phần hay độc lập toàn thể nếu

Ví dụ 2.11 Xét  {s , , , }1 s s s2 3 4 với các kết quả đồng khả năng Các

biến cố A{s , },1 s2 B{s , },1 s C3 {s , }1 s4 độc lập từng đôi nhưng không độc

Ví dụ 2.12 (Bài toán Bernstein)

Tung một khối tứ diện đều lên mặt phẳng Ba mặt của tứ diện sơn 3 màu

đỏ, xanh, vàng, còn mặt thứ tư sơn cả ba màu đỏ, xanh, vàng Giả sử Đ là biến cố xuất hiện màu đỏ khi tung tứ diện, X là biến cố xuất hiện màu xanh, V

là biến cố xuất hiện màu vàng

b/ Trong thực hành để giải các bài toán tính xác suất của các biến cố

phức tạp ta phải biểu diễn các biến cố đó dưới dạng tổng (hợp) hay tích (giao) của biến cố đơn giản đã biết xác suất

Ví dụ 2.13 Hai thợ săn cùng bắn độc lập vào một con thú Xác suất bắn trúng của thợ săn thứ nhất và thứ hai tương ứng là 0,4 và 0,5 Biết rằng con thú sẽ bị bắn trúng nếu có ít nhất một thợ săn bắn trúng nó Tính xác suất để con thú đó bị bắn trúng

Lời giải. Gọi A1 là biến cố thợ săn thứ nhất bắn trúng con thú, A2 là biến

cố thợ săn thứ hai bắn trúng con thú và A là biến cố con thú bị bắn trúng

Lời giải. Gọi A 1 là biến cố động cơ thứ nhất bị trúng đạn; A 2 là biến cố

động cơ thứ hai bị trúng đạn; A 3 là biến cố phi công bị trúng đạn; B là biến cố

máy bay bị rơi

Ví dụ 2.15 Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,15 Tìm xác suất để trong một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng

Lời giải.

Gọi A i là biến cố “Ô tô thứ i bị hỏng trong một ngày” (i1,3)

A là biến cố “Trong một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng”

Ví dụ 2.16 Trong một hộp có 7 bi đỏ, 5 bi đen, 8 bi vàng Lần lượt lấy ra

4 bi từ hộp Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ 3 màu

Lời giải. Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra không đủ 3 màu Suy ra A là biến