Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử bị giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn trong trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ CAO THỊ HỒNG NHUNG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ

CAO THỊ HỒNG NHUNG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN TRONG TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng, 2017

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ

CAO THỊ HỒNG NHUNG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN TRONG TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Sư phạm Vật Lý

Khóa học: 2013-2017

Người hướng dẫn: TS HOÀNG ĐÌNH TRIỂN

Đà Nẵng, 2017

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến TS Hoàng Đình Triển đã hướng dẫn và dạy bảo, giúp đỡ chúng em rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện bài khóa luận tốt nghiệp này

Qua đây, em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn học trong Khoa Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã động viên, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành tốt nhất bài khóa luận

Lời cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ đã nuôi dạy chúng con, động viên chúng con trong suốt quãng thời gian học tập, làm việc, đặc biệt là quãng thời gian hoàn thành bài báo cáo nghiên cứu khoa học này

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2017

Cao Thị Hồng Nhung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của đề tài 3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ 4

1.1 Lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai [5] 4

1.2 Tổng quan về hệ bán dẫn hai chiều 9

1.2.1 Siêu mạng hợp phần 10

1.2.2 Siêu mạng pha tạp 12

1.2.3 Hố lượng tử 15

1.3 Tổng quan về hệ bán dẫn một chiều 17

1.3.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường 18

1.3.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài 19

1.3.3 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế Parabol khi vắng mặt từ trường 19

1.4 Tổng quan về hệ bán dẫn không chiều 20

1.5 Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối 20

1.3.1 Sự hấp thụ sóng điện từ 20

1.3.2 Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối 22

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HÀM PHÂN BỐ ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 24

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài 24

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài 25

2.3 Hàm phân bố điện tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài 37

CHƯƠNG 3: HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỬ TRONG DÂY

LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 40 3.1 Hệ số hấp thụ sóng điện từ bởi điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài 40 3.2 Khảo sát sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn tại các giá trị khác nhau của bán kính dây 50

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, ngành vật lý hệ thấp chiều đang được nhiều nhà vật lý rất quan tâm bởi tính ưu việt mà cấu trúc tinh thể ba chiều không có được Với sự phát triển của công nghệ chế tạo vật liệu, đặc biệt công nghệ Epitaxy chùm phân tử, rất nhiều hệ vật liệu với cấu trúc nano như cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng bán dẫn, các dây lượng tử và các chấm lượng tử được chế tạo

Dây lượng tử là cấu trúc đặc trưng của hệ một chiều (1D), nó có thể được tạo ra nhờ kỹ thuật lithography (điêu khắc) và photoetching (quang khắc) từ các lớp giếng lượng tử Bằng kỹ thuật này, các dây lượng tử có hình dạng khác nhau được tạo thành như dây lượng tử hình chữ nhật, dây lượng tử hình trụ… Đặc điểm chung của các loại dây lượng tử là chuyển động của điện tử bên trong

nó bị giới hạn trong các hố thế giam cầm theo hai chiều ứng với các chiều bị giới hạn của dây Có nghĩa điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo trục của dây lượng tử (chiều không gian bị giới hạn) Sự giam cầm điện tử trong các dây lượng tử làm thay đổi đáng kể các tính chất vật lý của hệ, các hiệu ứng vật lý bên trong có nhiều sự khác biệt với cấu trúc chiều và hai chiều

Sự hấp thụ sóng điện từ của vật chất đã và đang được nghiên cứu và phát triển cả trên lý thuyết và cả thực nghiệm với nhiều ứng dụng mạnh mẽ và sâu rộng trong khoa học kỹ thuật Đặc biệt là lĩnh vực kỹ thuật quân sự, vật liệu hấp thụ sóng điện từ đặc biệt được quan tâm nghiên cứu nhằm ứng dụng cho

kỹ thuật “tàng hình” cho các phương tiện quân sự

Gần đây, bài toán hấp thụ sóng điện tử giam cầm trong các hệ bán dẫn thấp chiều cũng đã được nghiên cứu [2, 6, 7, 8, 9] Để có những hiểu biết nhiều hơn về hệ bán dẫn thấp chiều cũng như lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ sóng điện từ, đồng thời tiếp cận phương pháp phương trình động lượng tử cho việc

nghiên cứu vật lý lý thuyết, tôi chọn đề tài: “Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ

phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến vào các tham số như năng lượng photon và bán kính của dây

3 Phương pháp nghiên cứu

Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong dây dẫn hình trụ

hố thế cao vô hạn được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng

tử cho toán tử số hạt điện tử Xuất phát từ việc giải phương trình động lượng tử cho điện tử trong các hệ bán dẫn thấp chiều, hàm phân bố điện tử không cân bằng được tìm thấy, từ đó có được biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong dây lượng tử Sau khi thu được biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ, kết quả giải tích được tính toán số bằng phần mềm Matlab, đây là phần mềm tính số và mô phỏng được sử dụng nhiều trong vật lý cũng như các ngành khoa học khác

4 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Bằng những công nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể chế tạo rất nhiều loại bán dẫn thấp chiều Với mục đích đã đề ra, đề tài nghiên cứu lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm

5 Cấu trúc của đề tài

Ngoài lời cảm ơn, danh mục hình ảnh, danh mục bảng biểu , các tài liệu tham khảo và phần mục lục, nội dung của đề tài gồm 3 chương tổng cộng 49 trang Nội dung của các chương như sau:

Chương 1: Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều và sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ

Chương 2: Phương trình động lượng tử và hàm phân bố điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

Chương 3: Hấp thụ phi tuyến sóng điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố

thế cao vô hạn

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ SỰ

HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ

Hệ bán dẫn thấp chiều là hệ bán dẫn mà trong đó các hạt mang điện (electron, lỗ trống, hoặc các giả hạt (hạt phonon âm, hạt phonon quang)) chuyển động tự do theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều Kích thước của những

hệ này theo chiều giới hạn cỡ bước sóng De Broglie (10-9 – 10-10 m) Khi đó phổ năng lượng hàm sóng mô tả trạng thái, mật độ trạng thái thay đổi một cách

rõ rệt dẫn đến các tính chất điện, quang của hệ thấp chiều khác biệt với hệ bán dẫn ba chiều Các quy luật chuyển động không tuân theo cơ học cổ điển mà tuân theo quy luật lượng tử

1.1 Lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai [5]

Phương trình Schrodinger mô tả hệ N hạt đồng nhất ở trong trường ngoài V(x), trường hợp các hạt này không tương tác với nhau :

𝑖ħ𝜕𝜓(𝑞1,𝑞2,…,𝑞𝑛,𝑡)

𝜕𝑡 = {∑𝑁𝑖=1𝐻̂𝑖}𝜓(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, 𝑡) (1.1)

Trong đó 𝑞𝑖 là tập hợp các tọa độ, 𝐻𝑖(𝑞𝑖) = −ℎ2

2𝑚∆𝑖 + 𝑉(𝑞𝑖) là toán tử Hamilton của hạt thứ i Giả sử {𝜑𝑘(𝑞)} là hệ trực chuẩn và đủ các hàm riêng của toán tử ecmite nào đó của hạt Hàm sóng 𝜑𝑘(𝑞) mô tả hạt ở trạng thái lượng tử k nào đó Các hàm này có thể là hàm riêng của Hamilton tự do Hàm sóng 𝜓 theo hệ các hàm riêng:

𝜓(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁, 𝑡)

= ∑𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑁𝐶(𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑁, 𝑡)𝜑𝑘1(𝑞1)𝜑𝑘2(𝑞2) … 𝜑𝑘𝑁 (1.2) Tập hợp các số 𝐶(𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑁, 𝑡) này hoàn toàn đặc trưng cho trạng thái của hệ Thật vậy, biết được các hệ số này ta có thể khôi phục được hàm sóng của hệ theo công thức (1.2) Ngược lại biết hàm sóng 𝜓(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, 𝑡) sử dụng hệ trực chuẩn các hàm {𝜑𝑘(𝑞)} ta có thể tính được các hệ số:

𝐶(𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑁, 𝑡) =

∫ 𝜑𝑘∗1(𝑞1)𝜑𝑘∗2(𝑞2) … 𝜑𝑘∗𝑁(𝑞𝑁) 𝜓(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁, 𝑡)𝑑𝑞1𝑑𝑞2… 𝑑𝑞𝑁 (1.3) Tập hợp các hệ số này được gọi là hàm sóng trong biểu diễn của toán tử

đã cho Dễ dàng nhận được phương trình cho hàm sóng biểu diễn mới Ta thay khai triển (1.2) vào phương trình (1.1):

𝐻𝑚𝑖𝑘𝑖 = ∫ 𝜑𝑚∗ 𝑖(𝑞𝑖)𝐻𝑖𝜑𝑘𝑖(𝑞𝑖)𝑑𝑞1𝑑𝑞2… 𝑑𝑞𝑁 (1.6)

Sự đối xứng của hệ số tùy thuộc vào các loại hạt đồng nhất Đối với các boson, các hàm sóng là đối xứng với phép hoán vị hai hạt, đối với các fermion,

các hàm sóng là phản đối xứng Đầu tiên chúng ta xét hệ các boson Trong trường hợp này, sự hoán vị hai hạt bất kỳ không thay đổi hàm sóng, ví dụ:

𝐶(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑁, 𝑡) = 𝐶(𝑚2, 𝑚1, … , 𝑚𝑁, 𝑡) (1.7) Công thức (1.7) có nghĩa là hàm sóng không phụ thuộc vào điều những hạt nào ở trạng thái 𝑚1 và những hạt nào ở trạng thái 𝑚2, sự phụ thuộc ở đây

là bao nhiêu hạt trong tổng số hạt N ở trạng thái 𝑚1 và bao nhiêu hạt ở trạng thái 𝑚2,… Và thực tế những hàm sóng (1.7) là hàm số của số hạt (của số lấp đầy) trong từng trạng thái Chúng ta kí hiệu là 𝑁1 và 𝑁2,… tương ứng là số hạt

ở trạng thái lượng tử thứ nhất 𝑚1 và trạng thái thứ 𝑚2, … Đối với các hạt boson các số 𝑁𝑖 là các số nguyên tùy ý, đối với các hạt fermion 𝑁𝑖 bằng không hoặc bằng 1 Hàm sóng 𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑡) Trong biểu diễn này có dạng:

|𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑡)|2 = ∑𝑁1,𝑁2,….|𝐶(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑁, 𝑡)|2 (1.8)

Ở đây phép lấy tổng theo tất cả các trạng thái, mà trong đó 𝑁1 hạt ở trạng thái thứ nhất, 𝑁2 ở trạng thái thứ hai,… Số lượng các trạng thái lượng tử như vậy bằng 𝑁! (𝑁1! 𝑁2! … )−1

Hàm sóng của hệ các hạt boson là đối xứng, có nghĩa là không thay đổi khi hoán vị các hạt Vậy hệ thức (1.8) có thể viết dưới dạng:

|𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑡)|2 = (𝑁 𝑁!

1 !𝑁2!… )|𝐶(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑁, 𝑡)|2 (1.9) Hay:

𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑡) = √(𝑁 𝑁!

1 !𝑁2!… ) 𝐶(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑁, 𝑡) (1.10) Tổng theo tất cả các trạng thái khả dĩ của hạt thứ i:

∑𝑖,𝑘𝐻𝑚𝑖𝑚𝑘𝐶(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑡) (1.11) Nếu hàm sóng:

tương ứng với trạng thái mà ở đó:

× 𝑓(𝑁1, 𝑁2, … 𝑁𝑚𝑖− 1 … , 𝑁𝑘𝑖+ 1 … , 𝑡) (1.18)

Ở đây tổng lấy theo m và k được tiến hành theo tất cả các trạng thái khả

dĩ của hạt Lúc đó phương trình Schrodinger trong biểu diễn các số lấp đầy sẽ

số lượng hạt ở các trạng thái riêng biệt Phương trình (1.19) có thể viết dưới dạng thuận tiện hơn, nếu đưa vào các toán tử sinh và hủy hạt 𝑎̂𝑘+ và 𝑎̂𝑘 Các toán tử sinh và hủy hạt có tác dụng lên hàm sóng được xác định trong biểu diễn của các số lấp đầy:

𝑎̂𝑘+𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘, … ) = √𝑁𝑘 + 1𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘 + 1, … )

𝑎̂𝑘𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘, … ) = √𝑁𝑘𝑓(𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘 − 1, … ) (1.20) Toán tử 𝑎̂𝑘 được gọi là toán tử hủy hạt ở trạng thái k, toán tử liên hợp ecmite 𝑎̂𝑘+ là toán tử sinh hạt của hạt Boson cũng ở trạng thái đó Từ định nghĩa các toán tử này suy ra các toán tử này thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau đây:

𝑎̂𝑙𝑎̂𝑘+ − 𝑎̂𝑘+𝑎̂𝑙 = [𝑎̂𝑙, 𝑎̂𝑘+]= 𝛿𝑙𝑘 (1.21) [𝑎̂𝑙, 𝑎̂𝑘] = [𝑎̂𝑙+, 𝑎̂𝑘+] = 0

Nhờ các toán tử (1.21) có thể biểu diễn phương trình (1.19) dưới dạng:

H gọi là Hamiltonian được lượng tử hóa thứ cấp Phương trình (1.22) hoàn toàn tương đương với phương trình (1.1) cho N hạt ở không gian cấu hình Phương trình (1.22) là phương trình trong “N” biểu diễn, có nghĩa là biểu diễn

mà trong đó người ta lấy số lấp đầy các hạt 𝑁1, 𝑁2, … 𝑁𝑚 trong các trạng thái lượng tử khác nhau 1,2,… m là các biến số

Phương trình (1.22) là phương trình tổng quát và tổng số hạt không được chứa trong đó dưới dạng hiện Ở đây N = const, song phương trình (1.22) sẽ đúng cho bất kỳ số lượng nào của các hạt boson đồng nhất

1.2 Tổng quan về hệ bán dẫn hai chiều

Trong hệ bán dẫn hai chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một chiều có kích thước cỡ bước sóng De Broglie, trong khi chuyển động của điện

tử tự do theo hai chiều còn lại Năng lượng theo (Oxy) liên tục, theo Oz gián đoạn Hàm sóng theo (Oxy) sóng phẳng đơn sắc, theo Oz sóng đứng

Đối với hố lượng tử, sự giới hạn điện tử trong một chiều khiến cho năng lượng là tổng các trạng thái lượng tử hóa đi kèm với sự giam giữ:

1.2.1 Siêu mạng hợp phần

Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày 𝑑1, ký hiệu là A,

độ rộng vùng cấm hẹp 𝜀𝑔𝐴 (ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng

có độ dày 𝑑2 ký hiệu là B có vùng cấm rộng 𝜀𝑔𝐵 (ví dụ như AlAs) Các lớp mỏng này xen kẽ vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên)

Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung và thể mạng tinh thể Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng

Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:

Trong biểu thức là độ rộng của vùng mini; 𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2 là chu kỳ siêu mạng; 𝑘𝑥, 𝑘𝑦là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ x, y trong mặt phẳng siêu mạng Phổ năng lượng của mini vùng có dạng:



Trong đó ∆𝑛 là độ rộng của vùng mini thứ n, xác định bởi biểu thức:

|𝜀𝑣𝐴 − 𝜀𝑣𝐵| là độ sâu của hố thế giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe năng lượng giữa hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng;

Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể Do đó, ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng Tại các mép của vùng năng

lượng, quy luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm thấy trong gần đúng khối lượng hiệu dụng

Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:

− ħ2

Vì ∆(𝑟) là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử 𝜓(𝑟) có dạng hàm Block thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế Hàm sóng tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết mạnh) có dạng:

𝜓(𝑟 ) = 1

√𝐿 𝑥 𝐿 𝑦 𝑁 𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑘𝑥𝑥 + 𝑘𝑦𝑦)] ∑𝑁𝑑 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑧𝑚𝑑)𝜓𝑠(𝑧 − 𝑚𝑑)

Trong đó 𝐿𝑥, 𝐿𝑦 là độ dài chuẩn hóa theo hướng x, y; d và 𝑁𝑑 là chu kỳ

và số chu kỳ siêu mạng hợp phần; 𝜓𝑠(𝑧) là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập

1.2.2 Siêu mạng pha tạp

Siêu mạng pha tạp là siêu mạng bán dẫn bao gồm một chuỗi tuần hoàn các lớp tinh thể mỏng đan xen kế tiếp nhau, trong đó lớp đan xen là các hợp chất giống nhau được pha tạp khác nhau (ví dụ như GaAs:Be, GaAs:Si) Như vậy, siêu mạng pha tạp là siêu mạng bán dẫn trong một khối đồng chất, mà khối đồng chất này chỉ bị điều biến bằng cách pha tạp theo chu kỳ xen kẽ giữa lớp n

đó, thế tuần hoàn trong siêu mạng pha tạp gây bởi điện tích trong không gian khác hẳn với siêu mạn hợp phần Ưu điểm của siêu mạng pha tạp về mặt cấu trúc điện tử là: có thể sử dụng một bán dẫn thuần chất được điều biến bằng cách chập nó lên một chu kỳ siêu mạng Thế điện tích không gian biến đổi chậm theo khoảng cách thứ tự của hệ số mạng khối và những phần năng lượng ta xét những giải này đủ gần ở mép giải Do đó ta có thể bỏ qua các lượng hiệu chỉnh

do tính không parabol của các giải Như vậy, thế duy trì không đổi 𝑣𝑠𝑐(𝑧) của siêu mạng pha tạp bao gồm phần đóng góp của thế ion trần (bare ion) 𝑣𝑖(𝑧), thế Hartree 𝑣𝐻(𝑧), thể trao đổi tương quan 𝑣𝑥𝑐(𝑧)

Trong gần đúng mật độ cục bộ đối với hàm mật độ của các hạt tải tự do thì thế trao đổi tương quan có dạng:

𝑣𝑥𝑐(𝑧) ≈ 𝑣𝑥 ≈ 0.611𝑒2ư

𝑘𝑜 ( 4𝜋3𝑛(𝑧))

−1 3

Trong trường hợp này, phương trình Schrodingr cho một hạt có dạng:

{− ( ħ2

2𝑚𝑖) ∆ − 𝑣𝑠𝑐(𝑧)} ɸ𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑟 ) = 𝜀𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑘⃗ )ɸ𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑟 ) (1.39)

Trong các công thức trên, chỉ số i=e ứng với điện tử; i=vl ứng với lỗ trống

nhẹ; i=vh ứng với lỗ trống nặng; chỉ số n=0, 1, 2, … ; 𝑘⃗ = (𝑘⃗ ⏊, 𝑘⃗ 𝑧) là vector sóng với −𝜋

𝑑 ≤ 𝑘𝑧 ≤𝜋

𝑑

Nếu chúng ta bỏ qua các vùng đan xen với nhau bởi thế 𝑣𝑠𝑐(𝑧) thì sẽ tách được nghiệm của các hạt gần tự do truyền song song với lớp pha tạp với động năng là ħ2𝑘⏊2

2𝑚𝑖 (cho các hạt chuyển động theo trục siêu mạng được chọn hướng

Công thức trên chỉ áp dụng với độ dày các lớp đủ mỏng (𝑑𝑝 = 𝑑𝑛 <70𝑛𝑚) và nồng độ pha tạp 𝑛𝐷 = 𝑛𝐴 < 1018𝑐𝑚−3

1.2.3 Hố lượng tử

Một trong những tham số quan trọng của chất bán dẫn là độ vùng cấm năng lượng Nếu chúng ta tạo ra các lớp tiếp xúc của chất bán dẫn bằng phương pháp Epitaxy thì có thể xảy ra một số khả năng [14] Khả năng thứ nhất, các điện tử trong lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp sẽ bị phản xạ khi chúng đi đến dị tiếp xúc bên phải, vì thế chúng bị giam giữ trong lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp

Vì các điện tử trong lớp bán dẫn có vùng cấm rộng là ở trong miền có thế năng cao hơn nên khi tiến tới lớp dị tiếp xúc từ bên trái các điện tử được gia tốc bởi điện trường tại mặt phân cách và hiệu thế năng chuyển thành động năng của chúng Chuyển động của các điện tử này được tăng tốc theo chiều vuông góc với mặt tiếp xúc Khả năng thứ hai, hai lớp dị tiếp xúc được ghép cạnh nhau tạo thành một hàng rào thế hoặc tạo thành một hố lượng tử Các cấu trúc này rất được chú ý khi các kích thước của chúng nhỏ hơn bước sóng De Broglie đối với điện tử

Trong trường hớp hai lớp dị tiếp xúc ghép cạnh nhau tạo thành một hố lượng tử, đó là cấu trúc một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp chất bán dẫn khác có cấu trúc mạng gần như nhau Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo nên một hế lượng tử đối với điện tử Các hạt tải nằm trong vùng bán dẫn có vùng cấm này không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh Vì vậy, trong các cấu trúc này hạt tại

bị định xứ mạnh và gần như bị cách li lẫn nhau trong các hố lượng tử hai chiều Hàm sóng của điện tử sẽ bị phản xạ tại các thành của hố và phổ năng lượng của

nó bị lượng tử hóa Các giá trị xung lượng được phép của điện tử theo chiều vuông góc với mặt tiếp xúc cũng bị giới hạn Sự lượng tử hóa năng lượng của điện tử trong hố lượng tử thành các mức năng lượng gián đoạn, người ta có thể điểu chỉnh hoặc tối ưu hóa bằng cách lựa chọn độ rộng và độ sâu của hố thế

(hay độ cao của hàng rào thế) của các vật liệu cho một mục đích ứng dụng cụ thể hoặc điều khiển chính xác sự dịch chuyển của điện tử trong các thiết bị kiểu transistor

Chúng ta xem xét phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử tự do trong hố thế lượng tử Trước hết, về mặt hình thức, ta thấy cấu trúc với hệ điện tử chuẩn

về hai chiều đều có thể xem như hố thế một chiều V(z) theo hướng mà chuyển động của các điện tử bị giới hạn theo hướng z Sự khác biệt giữa cấu trúc này

là dạng của V(z)

Theo cơ học lượng tử, chuyển động của điện tử trong hố thế đó bị lượng

tử hóa và năng lượng của điện tử sẽ được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào

đó 𝜀𝑛 (n= 1, 2, …) Trong khi đó, chuyển động của các điện tử trong mặt phẳng (x, y) là tự do, phổ năng lượng của điện tử sẽ có dạng parabol thông thường:

𝜀𝑘⊥ = ℏ2

Ψ𝑒(𝑟 ) = Ψ0𝑒𝑖𝑘⃗ ⊥ 𝑟 ⊥sin (𝑘𝑧𝑛𝑧) (1.48) Trong đó Ψ0 là hằng số chuẩn hóa , 𝑟 ⊥ , 𝑘⃗ ⊥ tương ứng là vị trí và vector sóng của của điện tử trong mặt phẳng (x, y), 𝑘𝑧𝑛 =𝑛𝜋

𝐿 là các giá trị của vector

sóng của điện tử theo chiều z, L là độ rộng của hố lượng tử, 𝑛 = 1, 2, … là chỉ

số các mức năng lượng gián đoạn trong hố lượng tử

Như vậy, trong hố lượng tử xuất hiện hiệu ứng lượng tử kích thích, tách các vùng năng lượng thành các “mini” vùng và khí điện tử mang đặc trưng điện tử hai chiều

1.3 Tổng quan về hệ bán dẫn một chiều

Dây lượng tử cũng như ống nano cacbon đều thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều Trong dây lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn lại

Sự giam cầm điện tử trong dây lượng tử làm xuất hiện các hiệu ứng giảm kích thước, hàm sóng và phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều

Mật độ trạng thái của hệ một chiều có dạng:

ρ1D(E) = (2𝑚∗

ħ 2 𝜋 2)

1 2

Người ta có thể tạo ra các dây lượng tử có hình dạng khác nhau, như dây hình trụ, dây hình chữ nhật,… Mỗi dây lượng tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau

Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể được tìm thấy nhờ giải phương trình Schrodinger cho điện từ trong hệ một chiều:

tử phương vị, l= 1,2,3, là số lượng tử xuyên tâm, 𝑝 = (0,0, 𝑝𝑧) là vector sóng của điện tử dọc theo trục z của dây, 𝜓𝑛,𝑙(𝑟) là hàm sóng xuyên tâm của điện tử chuyển động trong mặt phẳng (Oxy) có dạng:

𝜀𝑛,𝑙(𝑝 ) = 𝜀(𝑝𝑧)+ 𝜀𝑛,𝑙 (1.54) Trong đó, 𝜀(𝑝𝑧) = 𝑝𝑧2⁄2𝑚∗ là động năng theo phương chuyển động tự do (Oz) của electron, 𝜀𝑛,𝑙 = 𝐵𝑛,𝑙2 ⁄2𝑚∗𝑅2 là năng lượng bị lượng tử theo các phương còn lại, 𝑚∗là khối lượng hiệu dụng của điện tử (chọn ℏ = 1)

1.3.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài

Hàm sóng và phổ năng lượng điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn là nghiệm của phương trình Schrodiger và được viết dưới dạng:

là kích thước của dây lượng tử theo hai phương x, y

1.3.3 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế Parabol khi vắng mặt từ trường

Giả sử hố thế giam giữ dạng Parabol đối xứng trong mặt phẳng xy:

Với 𝜔0∗ là tần số hiệu dụng của hố thế

Hàm sóng và phổ năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger cho hố thế dạng Parabol như sau:

Ψ = 𝑒𝑖𝑘𝑧

√𝐿 √(𝑛+|𝑙|)!2! 1

𝑎0𝑒−

𝑟2 2𝑎02(𝑟

𝑎0)|𝑙|𝐿|𝑙|𝑛 (𝑟2

1.4 Tổng quan về hệ bán dẫn không chiều

Chấm lượng tử có kích thước bé nên tính chất của chấm lượng tử ngoài yếu tố do kích thước vật lý thì tính chất của bề mặt rất quan trọng Một chấm lượng tử tiêu chuẩn thường có kích thước nhỏ hơn bán kính của exciton (10nm),

và lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể ( ~ 0,5nm)

Chấm lượng tử thường được chế tạo nằm trong một tinh thể khác, trong

ma trận thủy tinh (1nm < R < 100nm, R là bán kính chấm), trong dung dịch hoặc được cấy lên một hố lượng tử …

Trong hệ không chiều, về cơ bản, điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian và không thể chuyển động tự do Do đó, các mức năng lượng hoàn toàn bị gián đoạn theo 3 phương và với một hệ lý tưởng, mật độ trạng thái là tổng các hàm Delta:

Hình 1.1: Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ (1) sóng tới, (2) sóng phản xạ, (3) sóng truyền qua, (4) sóng hấp thụ

Phổ hấp thụ sóng điện từ của bán dẫn rất phức tạp, bao gồm ba phần chính: Chuyển dịch trực tiếp, chuyển dịch gián tiếp giữa các vùng hóa trị hoặc chuyển dịch nội vùng

Sự hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp giữa các vùng bán dẫn và cùng hóa trị xuất hiện khi điện tử tại vùng hóa trị hấp thụ một photon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm và dịch chuyển lên vùng dẫn với vector sóng 𝑘⃗ gần như không đổi, khi đó vùng hóa trị xuất hiện một lỗ trống có vector sóng -𝑘⃗ Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe vùng cấm trực tiếp như InSb, InAs, GaAs, GaSb

Sự hấp thụ do chuyển dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được thực hiện với sự hấp thụ hay phát xạ một phonon Điện tử vùng hóa trị hấp thụ một photon, đồng thời nó hấp thụ hoặc phát xạ một phonon để có thể di chuyển tới đáy vùng dẫn Chuyển dịch gián tiếp của điện tử thường xuất hiện ở tinh thể bán dẫn có khe vùng dẫn có khe vùng cấm gián tiếp như Si, Ge, Ga,…

Ngoài hấp thụ do chuyển dịch giữa các vùng, sự hấp thụ sóng điện từ còn phụ thuộc vào chuyển dịch nội vùng, được thể hiện rõ khi tần số sóng điện từ nhỏ hơn độ rộng vùng cấm Sự chuyển dịch nội vùng là hấp thụ sóng điện từ bởi các điện tích do có sự đóng góp của phonon Khi đó các điện tử tự do hấp thụ hay phát xạ phonon liên tục để có thể chuyển dịch lên các trạng thái khác

3

4

Như vậy, sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn có đóng góp đáng kể các phonon, cụ thể là tương tác giữa điện tử và phonon

Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ xảy ra khi chiếu một bức xạ điện từ mạnh vào tinh thể bán dẫn Lúc này phổ hấp thụ sóng điện tử phụ thuộc vào bậc cao của cường độ sóng điện từ mạnh

1.3.2 Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối

Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khố đã được V.V Pavlovich và EM Enstein nghiên cứu và công bố năm 1977 [10], tác giả bắt đầu từ việc xây dựng Hamiltonian của hệ điện tử - phonon (phonon quang) trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ:

Trong đó c là vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền sóng điện từ), 𝐸⃗⃗⃗⃗ và Ω là 0vector cường độ và tần số của sóng điện từ mạnh Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện từ bởi điện tử trong bán dẫn khối được tính bởi công thức:

𝑐√x∞𝐸𝑜2〈𝑗 (𝑡)𝐸𝑜𝑠𝑖𝑛(𝛺𝑡)〉

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HÀM PHÂN BỐ ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 2.1 Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường ngoài

Giả sử một dây lượng tử được đặt trong trường laser có vector cường độ điện trường 𝐸⃗ = 𝐸⃗⃗⃗⃗ sin(𝛺𝑡) vuông góc với phương truyền sóng Bỏ qua tương 0tác của các hạt cùng loại, Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng

tử được viết như sau:

Trong đó, Hamiltonian của điện tử không tương tác:

𝐻𝑒 = ∑ 𝜀𝑛,𝑙(𝑝 − 𝑒

𝑐 𝑛,𝑙,𝑝 𝐴 (𝑡))𝑎𝑛,𝑙,𝑝 + 𝑎𝑛,𝑙,𝑝 (2.2) Hamiltonian của phonon không tương tác:

𝐻𝑝ℎ = ∑ 𝜔𝑞⃗ 𝑞⃗ 𝑏𝑞⃗ + 𝑏𝑞⃗ (2.3) Hamiltonian tương tác điện tử - phonon:

và tần số của sóng điện từ, 𝑎𝑛,𝑙,𝑝 + (𝑎𝑛,𝑙,𝑝 ) là toán tử sinh (hủy) của một điện tử ở trạng thái có vector sóng 𝑝 , 𝑏𝑞⃗ +(𝑏𝑞⃗ ) là toán tử sinh (hủy) của một phonon ở trạng thái có vector sóng 𝑞 , 𝜔𝑞⃗ là tần số của phonon, 𝐶𝑞⃗ là hệ số tương tác điện tử - phonon, 𝐼𝑛,𝑙,𝑛′ ,𝑙′(𝑞) là thừa số dạng đặc trưng cho sự giam cầm điện

tử trong dây lượng tử được cho bởi: