Tập mở và tập đóng suy rộng trong không gian tôpô

Năm 1963, N.levine giớithiệu một lớp mới các tập mở trong không gian tôpô, đó là các tập nửa mở, các tập nửa đóng.. Mục đích nghiên cứu Trong bài khóa luận, tôi nghiên cứu những vấn đề t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐÀ NẴNG, 2017

LỜI CẢM ƠN

Trải qua 4 năm học tập và rèn luyện tại trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Đà Nẵng, em đã học tập rất nhiều điều bổ ích, thiết thực trong cuộcsống Được học tập và làm việc trong một môi trường trong sạch và lànhmạnh, giúp em trưởng thành hơn rất nhiều cả về tri thức lẫn nhận thức.Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin chân thànhcảm ơn trường Đại học Sư phạm và khoa Toán đã luôn tạo mọi thuận lợi

để em hoàn thành khóa học Xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán đãgiảng dạy nhiệt tình, luôn tiếp lửa và truyền cảm hứng cho em trên conđường khó khăn sắp đến

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lương Quốc Tuyển,thầy đã tận tình dẫn dắt và đốc thúc để em có thể hoàn thành bài khóaluận tốt nghiệp

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn

Đà Nẵng, ngày 07 tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Đào

Mục lục

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 61.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô 61.2 Không gian Hausdorff 151.3 Không gian compắc 15

CHƯƠNG 2 TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG 182.1 Tập nửa mở và tập nửa đóng 182.2 Tập mở chính quy và tập đóng chính quy 29

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Từ những khái niệm cơ bản trong lý thuyết tôpô đại cương, bằng conđường tương tự hóa, khái quát hóa các nhà toán học đã đề xuất nhữngkhái niệm, những phép toán, những kết quả mới Năm 1963, N.levine giớithiệu một lớp mới các tập mở trong không gian tôpô, đó là các tập nửa

mở, các tập nửa đóng Dựa trên kết quả và hướng đi của N Levine các nhàtoán học đã mở rộng và nghiên cứu theo nhiều chiều hướng khác nhau.Năm 1990 P Ayra và T Nour dựa trên khái niệm các tập đóng đãđưa ra khái niệm các tập nửa - đóng suy rộng Năm 1997, A Rani và

K balachansdran đã nghiên cứu các tính chất của các tập đóng suy rộngchính quy

Trên cơ sở các bài báo của A Rani và K Balachansdran (1997) cùngvới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyếtđịnh chọn nghiên cứu đề tài ” Tập mở và tập đóng suy rộng trong khônggian tôpô”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong bài khóa luận, tôi nghiên cứu những vấn đề trong Tôpô đại cương

về tập mở và tập đóng suy rộng với các mục đích sau:

(1) Hệ thống lại một số kiến thức về tôpô đại cương

(2) Tìm hiểu và chứng minh chi tiết các tính chất của các tậpnửa mở, tập nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chínhquy trong không gian tôpô

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tôpô đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng, tập

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trìnhthực hiện đề tài với quy trình nghiên cứu như sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống lại một số kiến thức củatôpô đại cương

(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứuliên quan đến ”tập mở và tập đóng suy rộng”

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

(4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướngdẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh khóa luận

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu thamkhảo dành cho những ai quan tâm nghiên cứu về tập mở và tập đóng suyrộng trong không gian tôpô

6 Cấu trúc của khóa luận

Nội dung khóa luận gồm có 2 chương Ngoài ra khóa luận còn có Lờicảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết thúc, Tài liệu tham khảo.Chương 1 Cơ sở lý thuyết Trong chương này chúng tôi trình bàymột số khái niệm cơ bản của không gian tôpô

Chương 2 Tập mở và tập đóng suy rộng Chương này dành choviệc trình bày một số khái niệm và mối quan hệ giữa các tập nửa mở, tậpnửa đóng, tập nửa chính quy; mối quan hệ giữa tập mở chính quy và tậpđóng chính quy, tập trù mật địa phương và các tính chất của những tậphợp trên

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày các vấn đề về tôpô đại cương,các định nghĩa, định lý nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quảtrong Chương 2 của khóa luận

tôpô

Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một tập hợp và τ là họ các tập hợp con nào

đó của X Ta nói τ là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiệnsau

Ví dụ 1.1 (1) Giả sử X là tập không rỗng và τ = {∅, X} Khi

đó, τ là một tôpô trên X và được gọi là tôpô tự nhiên trên

Chứng minh (3) Giả sử X là tập vô hạn, đặt

Do đó, X\U hữu hạn Bởi vậy, ∪ {Ui : i ∈ I} ∈ τ

Cuối cùng, giả sử U1, U2 thuộc τ Khi đó, nếu U1 ∩ U2 = ∅ ta suy ra

U1 ∩ U2 ∈ τ Giả sử, U1 ∩ U2 6= ∅ Khi đó,

U1 6= ∅ và U2 6= ∅

Bởi vì U1, U2 thuộc τ nên X\U1 và X\U2 hữu hạn Mặt khác, vì

X\ (U1 ∩ U2) = (X\U1) ∪ (X\U2)

nên X\ (U1 ∩ U2) hữu hạn Do vậy, (U1 ∩ U2) thuộc τ

Định nghĩa 1.2 Giả sử X là không gian tôpô và x ∈ X Ta nói tập con

U ⊂ X là lân cận của x nếu tồn tại tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U

Nhận xét 1.1 U là tập mở ⇔ U là lân cận của mọi điểm thuộc nó

Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử U ⊂ X và U là tập mở Khi đó,đặt V = U Do đó, với mọi x ∈ U, x ∈ V ⊂ U Bởi vậy, U là lân cận củamọi điểm thuộc nó

b) Điều kiện đủ Giả sử U ⊂ X và U là lân cận của điểm x thuộc U.Khi đó, tồn tại tập mở Vx sao cho x ∈ Vx ⊂ U với mọi x ∈ U Suy ra

(1) x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x.

(2) x được gọi là điểm ngoài của A nếu X\A là lân cận của x.Định nghĩa 1.4 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và F ⊂ X Ta nói F

là tập hợp đóng trong X nếu X\F là tập hợp mở trong X

Định lý 1.1 Gọi D là họ tất cả tập đóng trong không gian tôpô (X, τ ).Khi đó,

X\ (F1 ∪ F2) = (X\F1) ∩ (X\F2)

nên X\ (F1 ∪ F2) là tập mở Do vậy, F1 ∪ F2 là tập đóng

(3) Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ gồm các tập đóng trong X Khi đó, vì mỗi

Fi là tập đóng nên X\Fi là tập mở Mặt khác, với mọi i ∈ I vì

S

i∈I

(X\Fi) = X\

T

i∈I

Fi



a) Điều kiện cần Bởi vì cl (A) là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng

là tập đóng chứa A nên cl (A) ⊂ A Mặt khác, theo (2), ta có A ⊂ cl (A)

Do vậy, A = cl (A)

b) Điều kiện đủ Hiển nhiên

(4) Giả sử A ⊂ B Khi đó, theo (2), ta có B ⊂ cl (B), kéo theo

A ⊂ cl (B) Mặt khác, theo (1), ta suy ra cl (A) là tập đóng nhỏ nhấtchứa A Do vậy, cl (A) ⊂ cl (B)

Định lý 1.2 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, F là tập đóng trong X và

x ∈ X Khi đó, x ∈ F khi và chỉ khi tồn tại lân cận U của x sao cho

b) Điều kiện đủ Giả sử x /∈ F và U là lân cận của x sao cho U ∩ F 6= ∅.Khi đó, vì x /∈ F nên x ∈ X\F Lại vì F là tập đóng nên X\F là tập mở.

Do đó, theo Nhận xét 1.1, ta suy ra U = X\F là lân cận của x Bởi thế,

U ∩ F = ∅ Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng U ∩ F 6= ∅ Do vậy,

Chứng minh (1) và (4) Hiển nhiên

(2) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.2, ta suy ra

cl (A ∪ B) ⊂ cl (A) ∪ cl (B).

Do vậy, cl (A ∪ B) = cl (A) ∪ cl (B)

Định nghĩa 1.6 Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi

đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong của A Kíhiệu là int(A)

Nhận xét 1.3 (1) int(A)là tập mở và là tập mở lớn nhất nằm

trong A

(2) int(A) ⊂ A;

(3) A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi int(A) = A;

(4) x ∈ int(A) khi và chỉ khi x là điểm trong của A;

(5) Nếu A ⊂ B, thì int(A) ⊂ int(B)

Chứng minh (1) và (2) Suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.6

(3) Giả sử A ⊂ X Khi đó,

a) Điều kiện cần Giả sử A là tập mở Khi đó, vì int(A) là tập mở lớnnhất nằm trong A và A cũng là tập mở nằm trong A nên A ⊂ int(A).Mặt khác, theo (2), ta có int(A) ⊂ A Do vậy, A = int(A)

b) Điều kiện đủ Hiển nhiên

(4) Giả sử A ⊂ X và x ∈ X Khi đó,

a) Điều kiện cần Giả sử x ∈ int(A) Khi đó, x ∈ int(A) ⊂ A Do vậy,

x là điểm trong của A

b) Điều kiện đủ Giả sử x là điểm trong của A Khi đó, tồn tại tập mở

U sao cho x ∈ U ⊂ A Mặt khác, vì int(A) là tập mở lớn nhất trong A

nên U ⊂ int(A) Do vậy, x ∈ int(A)

(5) Giả sử A ⊂ B Khi đó, vì int(A) ⊂ A nên int(A) ⊂ B Mặt khác,

vì int(B) là tập mở lớn nhất nằm trong B nên int(A) ⊂ int(B)

Định lý 1.4 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X Khi đó,

int(A) = X\cl (X\A)

Chứng minh Bởi vì

X\cl (X\A) ⊂ X\ (X\A) = A

và X\cl (X\A) là tập mở nên theo Nhận xét 1.3(1), ta suy ra

X\cl (X\A) ⊂ int(A)

Mặt khác, vì X\A ⊂ X\ int(A) và X\int(A) là tập đóng nên

cl (X\A) ⊂ cl (X\int(A)) = X\int(A)

Từ đó ta suy ra

int(A) ⊂ X\cl (X\A)

Do vậy, int(A) = X\cl (X\A)

Định lý 1.5 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô (X, τ ) và A, B ⊂ X Khiđó,

(1) int(X) = X; int(∅) = ∅;

(2) int(A ∩ B) =int(A) ∩int(B);

(3) int( int(A)) = int(A);

(4) int(A) ∪int(B) ⊂ int(A ∪ B)

Chứng minh (1) và (3) Suy ra từ định nghĩa 1.6

(2) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.3(5), ta suyra

int(A ∩ B) ⊂ int(A) và int(A ∩ B) ⊂ int(B)

Do đó,

int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩int(B)

Mặt khác, vì int(A) ⊂ A và int(B) ⊂ B nên

int(A) ∩int(B) ⊂ A ∩ B

Hơn nữa, vì int(A) ∩int(B) là tập mở và int(A ∩ B) là tập mở lớn nhấtchứa trong A ∩ B nên

int(A) ∩int(B) ⊂ int(A ∩ B)

Do vậy,

int(A ∩ B) =int(A) ∩int(B)

(5) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo Nhận xét 1.3(5),

int(A) ⊂ int(A ∪ B) và int(B) ⊂ int(A ∪ B)

Suy ra

int(A) ∪int(B) ⊂ int(A ∪ B)

Định nghĩa 1.7 Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là trùmật trong X nếu cl (A) = X

Ví dụ 1.2 (1) Giả sử X = R với tôpô thông thường Khi đó,

X Suy ra cl (A) = X Do vậy, A là tập trù mật trong X

Nhận xét 1.4 Tập con A trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập mởkhác rỗng trong X đều có điểm chung với A

Chứng minh Giả sử A ⊂ X và U ∈ τ, U 6= ∅ Khi đó,

a) Điều kiện cần Giả sử A trù mật trong X Khi đó, ta chứng minhrằng U ∩ A 6= ∅ Giả sử ngược lại U ∩ A = ∅ Khi đó, A ⊂ X\U Mặtkhác, vì U mở nên X\U là tập đóng, kéo theo

cl (A) ⊂ cl (X\U ) = X\U

Hơn nữa, vì A trù mật trong X nên cl (A) = X Do đó, X ⊂ X\U,kéo theo U = ∅ Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng U 6= ∅ Do vậy,

U ∩ A 6= ∅

b) Điều kiện đủ Giả sử mỗi tập mở khác rỗng trong X đều có điểmchung vớiA Khi đó, với mỗi x ∈ X vàV là lân cận tùy ý củax, theo Địnhnghĩa 1.2, tồn tại tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ V Theo giả thiết, ta suy ra

U ∩ A 6= ∅, kéo theo V ∩ A 6= ∅ Lại vì A ⊂ cl (A) nên V ∩ cl (A) 6= ∅ Bởi

vì, cl (A) là tập đóng nên theo Định lí 1.2, x ∈ cl (A) với x ∈ X Bởi thế,

cl (A) = X Do vậy, A là tập trù mật

Định nghĩa 1.8 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và U là họ các tập connào đó của X

(1) Ta nói U là phủ của X nếu X = ∪ {U : U ∈ U}

(2) U được gọi là phủ mở của X nếu nó là phủ của X và mỗi

(2) Trong không gian tôpô các số thực với tôpô thông thường

Họ các khoảng mở (−n, n) với n ∈ ω là một phủ mở của Rnhưng không có phủ con hữu hạn

1.2 Không gian Hausdorff

Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó, (X, τ ) đượcgọi là không gian Hausdorff nếu x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại lân cận U của

x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅

Ví dụ 1.4 (1) Nếu X là tập khác rỗng với tôpô rời rạc thì

(X, τ ) là không gian Hausdorff

(2) Nếu X là không gian mêtric thì X là không gian Hausdorff

Định nghĩa 1.10 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X Khi đó,tập A được gọi là compắc nếu với mọi phủ mở của A đều có một phủ conhữu hạn

Định nghĩa 1.11 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó, (X, τ ) đượcgọi là không gian compắc nếu với mọi phủ mở U của X có phủ con hữuhạn

Ví dụ 1.5 (1) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô với tôpô rời

rạc Khi đó, (X, τ ) là không gian compắc khi và chỉ khi X

hữu hạn

(2) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô với tôpô đối hữu hạn Khi

đó, (X, τ ) là không gian compắc

(3) Giả sử(X, τ ) là không gian tôpô với tôpôτ có hữu hạn phần

tử Khi đó, (X, τ ) là không gian compắc

Định lý 1.6 Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff Khi đó, mọi tậpcompắc đều là tập đóng

Chứng minh Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff và A là tập compắctrong X Khi đó, với mỗi x ∈ A và y ∈ X\A, bởi vì x 6= y nên có một lâncận mở Vx của x và một lân cận mở Vx(y) của y sao cho Vx∩ Vx(y) = ∅.Bởi vì họ {Vx : x ∈ A} là một phủ mở của A và A là tập compắc nên cóhữu hạn phần tử x1, x2, , xn của A sao cho

n

S

i=1

Vxi là phủ mở của A Đặt

(X\A) ∪ (∪ {Ui : i ∈ I}) = X

là phủ mở của X Lại vì X là không gian compắc nên tồn tại tập con hữuhạn I0 của I sao cho

X = (X\A) ∪ (∪ {Ui : i ∈ I0})

Do đó, {Ui : i ∈ I0} là phủ con hữu hạn của A Bởi vậy, A là tập compắc

Mệnh đề 1.1 (1) Giả sử A1, A2 là hai tập compắc trong không

gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A1 ∪ A2 là tập compắc

(2) Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff Khi đó, giao một sốhữu hạn các tập compắc là tập compắc

Chứng minh (1) Giả sử A1, A2 là hai tập compắc trong không gian tôpô

(X, τ ) và {Ui : i ∈ I} là phủ mở tùy ý của tập A1 ∪ A2 Khi đó, vì

Bởi vì J1, J2 hữu hạn nên J là tập con hữu hạn của I Do đó, {Ui : i ∈ J }

là phủ con hữu hạn của A1 ∪ A2 Bởi vậy, A1 ∪ A2 là tập compắc

(2) Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff và {Ui : i ∈ I} là họ tất cảcác tập compắc trong X Khi đó, đặt

U = ∩ {Ui : i ∈ I}

Bởi vì X là không gian Hausdorff nên theo Định lý 1.6, Ui là tập đóngvới mọi i ∈ I Do đó, theo Định lí 1.1, ta suy ra U là tập đóng Mặt khác,

vì U ⊂ Ui với mọi i ∈ I nên U là tập đóng trong Ui với mọi i ∈ I Lại vì

Ui là tập compắc với mọi i ∈ I nên theo Định lí 1.7, ta suy ra U là tậpcompắc Do vậy, ∩ {Ui : i ∈ I} là tập compắc

Định nghĩa 1.12 Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô vàA là tập con khácrỗng của X Đặt τA = {V : V = A ∩ U, U ∈ τ } Khi đó, τA là một tôpôtrên A và không gian (A, τA) được gọi là không gian con của (X, τ ), τA

được gọi là tôpô cảm sinh của tôpô τ trên X lên tập hợp A

CHƯƠNG 2

TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG

2.1 Tập nửa mở và tập nửa đóng

Định nghĩa 2.1 Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là nửa

mở (semi − open) nếu tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl (U )

Kí hiệu SO (X, τ ) là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ )

Ví dụ 2.1 Cho X = {a, b, c} và τ = {∅, a, X} Khi đó, A ⊂ X và

A = {a, b} là tập nửa mở trong X

Chứng minh Giả sử X = {a, b, c} với τ = {∅, a, X} và A = {a, b} Khi

đó, U = {a} ⊂ A là tập mở trong X Mặt khác, vì cl (U ) = X nên

A ⊂ cl (U ) Suy ra U ⊂ A ⊂ cl (A) Do vậy, A là tập nửa mở

Nhận xét 2.1 (1) Nếu A là tập mở trong không gian tôpô

Mệnh đề 2.1 Hợp của một họ tùy ý các tập nửa mở là tập nửa mở

Chứng minh Giả sử {Ai : i ∈ I} là một họ các tập nửa mở trong khônggian tôpô (X, τ ) Khi đó, với mỗi i ∈ I tồn tại tập mở Ui sao cho

Ui ⊂ Ai ⊂ cl (Ui)

Ui



(semi−interior) của A và kí hiệu là sint(A)

Mệnh đề 2.2 Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi đó,

sint (A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A

Chứng minh Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X Khi đó, theoMệnh đề 2.1, hợp các tập nửa mở là tập nửa mở cho nên sint(A) là tậpnửa mở Mặt khác, theo Định nghĩa 2.2, ta suy ra sint(A) là tập nửa mởlớn nhất nằm trong A

Định nghĩa 2.3 Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là tậpnửa đóng (semi − closed) nếu X\A là tập nửa mở

Kí hiệu SC (X, τ ) là họ tất cả các tập nửa đóng trong (X, τ )

Ví dụ 2.2 Giả sử X là không gian các số thực với tôpô thông thường.Khi đó,

A = (−∞; a) ∪ [b; +∞)

với a, b ∈ R là tập nửa đóng.

Chứng minh Giả sử X là không gian các số thực với tôpô thông thường

và A = (−∞; a) ∪ [b; +∞) với a, b ∈ R Khi đó, X\A = [a; b) Mặt khác,

vì U = (a, b) là tập mở trong X và cl(U ) = [a; b] nên

U ⊂ (X\A) ⊂ cl(U )

Do đó, X\A là tập nửa mở Bởi vậy, A là tập nửa đóng

Nhận xét 2.2 Nếu A là tập đóng trong không gian tôpô (X, τ ), thì A làtập nửa đóng

Chứng minh Giả sử A là tập đóng Khi đó, X\A là tập mở Theo Nhậnxét 2.1, ta suy ra X\A là tập nửa mở Do vậy, A là tập nửa đóng.

Định nghĩa 2.4 Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi

đó, giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi là bao nửa đóng

(semi−closure) của A và kí hiệu là scl (A)

Mệnh đề 2.3 Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi đó,

scl (A) là tập nửa đóng bé nhất chứa A

Chứng minh Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ tất cả các tập nửa đóng chứa A.Khi đó,

X\scl (A) = X\

T

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử A là tập nửa mở Khi đó, theo Mệnh đề

2.2, sint(A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A và A là tập nửa mởnằm trong A nên A ⊂ sint(A) Mặt khác, theo Định nghĩa 2.2, ta suy rasint(A)⊂ A Do vậy, sint(A)= A

(2) ⇒ (1) Giả sử sint(A)= A Khi đó, theo Mệnh đề 2.2, sint(A) làtập nửa mở lớn nhất nằm trong A Do vậy, A là tập nửa mở

(1) ⇒ (3) Giả sử A là tập nửa mở trong (X, τ ) Khi đó, tồn tại tập mở

U sao cho U ⊂ A ⊂ cl (U ) Mặt khác, vì U mở nên ta có

A ⊂ cl (U ) = cl (int(U )).

Hơn nữa, vì U ⊂ A nên int(U ) ⊂ int(A) Suy ra

cl (int(U )) ⊂ cl (int(A))

Do vậy, A ⊂ cl (int(A))

(3) ⇒ (1) Giả sử A ⊂ cl (int(A)) Khi đó, nếu đặt int(A) = U ta suy

ra U là tập mở Bởi vì, int(A) ⊂ A nên U ⊂ A Suy ra U ⊂ A ⊂ cl (U )

Do vậy, A là tập nửa mở

(1) ⇒ (4) Giả sử A là tập nửa mở Khi đó,

A = sint(A) và A ⊂ scl (A)

Do vậy,

A ⊂ scl(A) = scl(sint(A))

(4) ⇒ (1) Giả sử A ⊂ scl(sint(A) ) Khi đó, đặt U = sint(A) NhờMệnh đề 2.2 và Mệnh đề 2.3, ta suy ra U là tập nửa mở và