Toán tử Owa trong một số bài toán tối ưu

Toán tử Owa trong một số bài toán tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

ĐỖ THÙY NINH

TOÁN TỬ OWA TRONG MỘT SỐ

BÀI TOÁN TỐI ƯU

3.1 Ra quyết định dựa trên độ quan trọng 363.2 Thuật toán phân cụm 403.3 Bài toán áp dụng 43

Mở đầu

Toán tử trung bình trọng số có sắp xếp (Ordered Weighted Averagingoperater- OWA) được Yager giới thiệu năm 1988 là một công cụ hữu íchnhằm tích hợp các thuộc tính của đối tượng theo các tiêu chí khác nhau.Toán tử này đã được sử dụng trong nhiều dạng bài toán và đã thu đượcnhững kết quả tốt [7] [8]

Tiếp sau Yager, nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu, pháttriển toán tử OWA và đạt được nhiều thành công như: O'Hagan [6], PerterMajlender [3], Robert Fuller [4],

Mục đích của đề tài này là nghiên cứu về toán tử OWA, các tính chấtquan trọng của nó và bước đầu ứng dụng trong một số bài toán cụ thể.Nội dung bản luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương, phần kết luận

và tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày về toán tử OWA cùng một số tính chất đặc trưng của

nó và được dẫn giải bởi các ví dụ cụ thể Chương này cũng nêu một số dạngkhác của toán tử OWA

Chương 2 trình bày các thuật toán nhằm tối ưu độ phân tán của các trọng

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trường Đạihọc Khoa học, khoa Toán - Tin và các giáo sư đã hết lòng giảng dạy, truyền

đạt cho em nhiều kiến thức khoa học trong suốt thời gian em học tập tại

đây

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, những người bạncủa tôi đã động viên và cổ vũ tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua.

Do điều kiện về thời gian và trình độ có hạn nên bản luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng gópquý báu của các quý thầy cô và toàn thể các bạn

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009

Đỗ Thuỳ Ninh

Chương 1

Toán tử OWA

Quá trình tích hợp thông tin xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng của các

hệ tri thức chẳng hạn như trong mạng nơron, điều khiển mờ, hệ chuyêngia và hệ trợ giúp quyết định, đặc biệt trong các bài toán phải xử lý nhữngthông tin bất định Năm 1988, R.Yager [8] [9] đã định nghĩa toán tử trungbình trọng số có sắp xếp (Ordered Weighted Averaging operator) viết tắt làOWA nhằm cung cấp một phương pháp kết hợp các thuộc tính gắn với sựthoả mãn những tiêu chí nào đó Chương này trình bày về toán tử OWA,các tính chất cơ bản và một số dạng khác của toán tử này

Định nghĩa 1.1.2 Toán tử OWA với vectơ trọng số W là một ánh xạ F :

Rn −→ R được xác định như sau: Với mỗi vectơ a = (a1, a2, , an) ∈ Rn

F (a) =

nX

j=1

wjbj,trong đó bj là phần tử lớn thứ j của vectơ a

Ví dụ 1.1.1 Giả sử cho vectơ

W = (0, 4; 0, 3; 0, 2; 0, 1)T và a = (0, 7; 1; 0, 3; 0, 6) Khi đó, ta có vectơ

b = (1; 0, 7; 0, 6; 0, 3),

và toán tử OWA:

F (a) =

4X

j=1

wjbj = 0, 4.1 + 0, 3.0, 7 + 0, 2.0, 6 + 0, 1.0, 3 = 0, 76

ý nghĩa cơ bản của toán tử này là sắp xếp lại vectơ cần tích hợp, nghĩa

là phần tử cần tích hợp ai không liên kết với trọng số wi mà trọng số wi sẽkết hợp với một phần tử ở vị trí tương ứng của tập các phần tử tích hợp saukhi đã được sắp xếp Sự khác nhau giữa các toán tử OWA được phân biệtbởi các trọng số này

Tính tổng quát của toán tử OWA là ở chỗ bằng việc lựa chọn những trọng

số, ta có thể thực hiện các dạng toán tử kết hợp khác nhau Bằng cách lựachọn thích hợp các trọng số trong vectơ W , ta có thể nhấn mạnh các tham

số khác nhau trên cơ sở vị trí của chúng trong thứ tự sau khi xếp Nếu ta

đặt hầu hết các trọng số gần đầu của W , ta có thể nhấn mạnh các điểm caohơn, trong khi đó, nếu đặt các trọng số gần cuối của W sẽ nhấn mạnh các

điểm thấp hơn

1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt

• Nếu trọng số w1 = 1 và wj = 0 với mọi j 6= 1, vectơ trọng số ký hiệu

là W∗ = (1, 0, , 0)T, ký hiệu toán tử OWA ứng với trọng số W∗ là F∗

Ta có F∗(a) = F∗(a1, , an) = maxj(aj) Như vậy toán tử chọn số lớnnhất (max) là một dạng của toán tử OWA

• Nếu trọng số wn = 1và wj = 0 với mọi j 6= n, vectơ trọng số ký hiệu

là W∗ = (0, 0, , 1)T, ký hiệu toán tử OWA ứng với trọng số W∗ là F∗

Ta có F∗(a) = F∗(a1, , an) = minj(aj) Như vậy toán tử chọn số bé nhất

j=1

aj

Từ đó toán tử trung bình đơn giản cũng là một dạng của toán tử OWA

•Nếu wk = 1và wj = 0với mọi j 6= k, toán tử OWA F (a1, , an) = bk( giá trị lớn thứ k của vectơ a) Như vậy việc chọn một thành phần củavectơ cũng là trường hợp đặc biệt của họ toán tử OWA Trường hợp riêng

ta thu được phần tử ở giữa vectơ a bằng cách:

Nếu n là lẻ lấy wn+1

2 = 1 và đặt wj = 0, j 6= n+12 Nếu n là chẵn lấy wn

2 và đặt wj = 0 cho tất cả các số hạngkhác

1.1.3 Một số tính chất

Sau đây ta đều giả thiết W = (w1, , wn)T là vectơ trọng số

Tính chất 1.1.1 Đối với mỗi toán tử OWA, ta có:

F∗(a1, , an) 6 F (a1, , an) 6 F∗(a1, , an),

⇔ min(ai) 6 F (a1, , an) 6 max(ai)

(Hay giá trị của toán tử OWA bị chặn bởi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củavectơ a)

Chứng minh Giả sử toán tử OWA với vectơ trọng số W = (w1, , wn)T

đã cho như trên và b = (b1, , bn) là vectơ sắp xếp lại của vectơ a (Nghĩa

là b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn.) Ta có

F∗(a1, , an) = b10 + b20 + + bn1 = bn = min(ai),

F (a1, , an) = b1w1 + b2w2 + + bnwn =

nX

i=1

wibi ≥

nX

i=1

wibn = bn

nX

i=1

wi = bn = min(ai),

nX

wibi ≤

nX

wib1 = b1

nX

wi = b1 = max(ai)

Từ đó

min(ai) 6

nX

i=1

wibi 6 max(ai) hay F∗ 6 F 6 F∗

2Tính chất 1.1.2 (Tính hoán vị)

Ta có

F (a1, , an) = F (d1, , dn),với mọi hoán vị d = (d1, , dn) của a = (a1, , an)

Chứng minh Vì sự sắp xếp là duy nhất nên vectơ cần tích hợp a và hoán

vị d đều có chung vectơ sau khi sắp xếp là b = (b1, , bn) Vậy

F (a1, , an) = F (d1, , dn)

2Tính chất 1.1.3 (Tính đơn điệu)

Giả sử a = (a1, a2, , an)và c = (c1, c2, , cn)là hai vectơ của toán tửOWA thoả mãn ai ≥ ci (i = 1, , n) Thế thì F (a1, , an) ≥ F (c1, , cn)Chứng minh Giả sử vectơ sau khi sắp xếp của vectơ a là b = (b1, , bn),vectơ sau khi sắp xếp của vectơ c là d = (d1, , dn) Vì hai vectơ a, c thoảmãn ai ≥ ci, nên bi ≥ di với mọi i

Nếu vectơ c = (c1, , cn) với c1 = c2 = = cn = a thì ta có

F (c1, , cn) = a

Chứng minh Ta có

F (c1, , cn) = a.w1 + + a.wn = a.(w1 + + wn) = a.1 = a

21.1.4 Đặc trưng của toán tử OWA

Trong phần này ta nghiên cứu hai phép đo quan trọng, phụ thuộc vàovectơ trọng số, hữu ích cho việc đặc trưng hoá các toán tử OWA [1]

i=1(n − i)wi

Ví dụ 1.1.2 Ta xét một ví dụ sau

xa nhau thì Disp càng nhỏ Điều đó chứng tỏ nếu ta xét các thuộc tính mộtcách đồng đều nhau thì Disp lớn và ngược lại Nói cách khác, độ đo Dispchỉ mức độ sử dụng các thuộc tính

Với độ đo Orness, nếu trọng số cao ở đầu thì Orness lớn, trọng số cao

ở cuối thì Orness nhỏ Nếu các trọng số đều bằng nhau thì Orness tiến tới0.5 Nghĩa là độ đo Orness xác định điểm nhấn mạnh

Ngoài hai độ đo cơ bản trên, người ta còn phát triển thêm một số độ đokhác [3], chẳng hạn

Hs(W ) = −

nX

i=1

wiR

1 R

.Nhận xét: Sử dụng công thức tính giới hạn ta có:

1.2.1 Xác định vectơ trọng số qua các lượng tử mờ

1 Xác định hàm định lượng từ mờ Q (chẳng hạn "thoả mãn đa số cáctiêu chuẩn")

2 Tính wi theo công thức wi = Q(i/n) − Q((i − 1)/n)

3 Tính vectơ a, trong đó ai = Ai(x)

4 Sử dụng toán tử OWA với vectơ trọng số W và vectơ a vừa xác định

Ví dụ 1.2.1 Cho lượng tử mờ Q được xác định Q(i) = i2, và n = 3

Khi đó vectơ trọng số W xác định như sau:

1.2.2 Xác định vectơ W gắn với độ quan trọng

Giả sử ta có n cặp (u , a ) trong đó u ∈ [0, 1]là trọng số quan trọng và

(ai ∈ [0, 1]) là thuộc tính tương ứng Có thể xem uj là sự quan trọng của

điều kiện thứ j và aj là sự thoả mãn của một lựa chọn đã cho đối với tiêuchuẩn thứ j

Trước hết ta sắp xếp lại các aj, kí hiệu bi là giá trị lớn nhất thứ i củacác ai Kí hiệu vi là sự quan trọng gắn với điểm có giá trị lớn nhất thứ i.Khi đó ta có thể xem xét tập n cặp (vi, bi) trong đó các bi được sắp xếptheo thứ tự giảm Bước tiếp theo là thu nhận các trọng số OWA như sau

wi = Q(Si/T ) − Q(Si−1/T ) với i = 1, , n trong đó Q là một lượng từ

mờ như nêu trên,

Si =

iX

k=1

vk, T = Sn =

nX

"hầu hết") Sử dụng thuật toán trên ta được:

vectơ trọng số W có thể là mô hình tốt nhất cho quá trình kết hợp được sửdụng trong tập dữ liệu này Điều này có nghĩa là tìm một vectơ trọng số Wsao cho với toàn bộ tập dữ liệu, ta thoả mãn điều kiện một cách chính xácnhất có thể với mọi quan sát

F (a1, a2, , an) = dk,trong đó F chỉ ra sự kết hợp OWA của các tham số sử dụng W Ta ký hiệucác đối tượng đã được sắp lại thứ tự của mẫu thứ k là (bk1, bk2, , bkn)trong

đó bkj là thành phần lớn nhất thứ j của tập tham số (ak1, ak2, , akn) Sửdụng những tham số có thứ tự này, bài toán trở thành tìm vectơ trọng số

W = (w1, w2, , wn)T thoả mãn tốt nhất

bk1w1 + bk2w2 + + bknwn = dk,với mọi k chạy từ 1 tới m

Sử dụng kỹ thuật giảm độ dốc gradient ta tìm một vectơ trọng số

W = (w1, w2, , wn)T

tối thiểu hoá những sai số ek

ek = 1

2((bk1w1 + bk2w2 + + bknwn) − dk)

2,

và các wi phải thoả mãn các điều kiện:

nX

eλi, i = 1, , n

Như vậy đối với bất kỳ giá trị nào của các tham số λi thì các trọng số

wi sẽ dương và tổng bằng 1 Bởi vậy bài toán tối thiểu hoá có rằng buộc cóthể chuyển thành bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc tìm kiếm

eλ1+ bk2 e

λ2nPi=1

eλ2+ + bkn e

λnnPi=1

eλn

− dk

2

Sử dụng phương pháp độ dốc gradient, ta có thể thu được luật sau choviệc cập nhật các tham số

λi(l + 1) = λi(l) − βwi(l)(bki − bdk)( bdk− dk),trong đó λi(l + 1) là ước lượng mới của chúng ta về λi Kí hiệu β là mộthằng số chỉ tỉ lệ học (0 ≤ β ≤ 1), với mỗi i, wi(l) = e

λi(l)nPi=1

eλi(l)

là ước lượngcủa wi sau lần lặp thứ l và

1.3 Một số biến thể của OWA

Ngoài dạng cơ bản trên của toán tử OWA, người ta còn xét một số dạngkhác của nó tuỳ thuộc vào các ứng dụng cũng như khả năng tổng quát hoá.Sau đây sẽ trình bày một số dạng thường gặp

1.3.1 Toán tử WOWA

Trước hết xét một số khái niệm sau:

Định nghĩa 1.3.1 Một hàm Q : [0, 1] −→ [0, 1] là mộtLượng hoá mờ khônggiảm đơn điệu chính quy nếu thoả mãn:

(i)Q(0) = 0,(ii)Q(1) = 1,(iii)x > y ⇒ Q(x) ≥ Q(y)

Hai lượng hoá đặc biệt là:

(i)Qx(0) = 0, Qx(x) = 1, x 6= 0,(ii)Qn(1) = 1, Qn(x) = 0, x 6= 1

Định nghĩa 1.3.2 Cho P là một vectơ n chiều thì ánh xạ W M : Rn

Định nghĩa 1.3.3 Cho Q là một lượng hoá mờ không giảm, ánh xạ cho bởi

OW AQ(a1, , an) =

nX

i=1(Q(i/n) − Q((i − 1)/n))aσ(i),

trong đó {σ(1), , σ(n)} là một hoán vị của {1, , n}, tức là ta có

aσ(i−1) ≥ aσ(i) với mọi i = {2, , n}, hay aσ(i) là phần tử lớn thứ i của tập(a1, , an)

lượng hoá mờ không giảm là tương đương nhau vì wi có thể định nghĩa qua

nội suy các điểm {i/n, Q(i/n)} với i ∈ {0, 1, , n}

Để thừa nhận hai trọng số trong một bài toán ta xét một dạng toán tửOWA trọng số (WOWA) Toán tử này tập hợp một tập các giá trị sử dụnghai vectơ trọng số: một tương ứng tới vectơ P trong ý nghĩa trọng số, vàmột tương ứng tới W trong toán tử OWA

Định nghĩa 1.3.4 Đặt P và W là hai vectơ trọng số của không gian n

Or-dered Weighted Averaging) của không gian n chiều nếu:

Cũng tương tự như toán tử OWA, ta có thể định nghĩa WOWA sử dụnglượng hoá mờ (thay cho vectơ trọng số w)

Định nghĩa 1.3.5 Cho Q là một lượng hoá mờ không giảm, P là một vectơ

thoả mãn tiên đề sau:

1 à(∅) = 0, à(X) = 1, ( điều kiện biên)

2 A ⊆ B kéo theo à(A) ≤ à(B), ( tính đơn điệu)

Độ đo mờ thay thế tiên đề của tính chất cộng độ đo bởi tính đơn điệu.Suy ra những tính chất độ đo cũng là độ đo mờ

hàm f : X −→ R được định nghĩa:

nX

i=1(f (xs(i)) − f (xs(i−1)))à(As(i)),trong đó f(xs(i)) chỉ ra tính hoán vị, 0 ≤ f(xs(1)) ≤ ≤ f (xs(N )) ≤ 1,

Các toán tử WOWA có thể được biểu thị như là tích phân Choquet khixấp xỉ độ đo mờ được định nghĩa

Ta có thể định nghĩa độ đo tính tuyển của lượng hoá Q như sau:

định nghĩa:

Orness(Q) =

Z 1Q(x)dx

1.3.2 Toán tử LOWA

Sử dụng khái niệm tổ hợp lồi của J.Delgado, F.Herrera và cộng sự đã

định nghĩa một lớp toán tử LOWA trực tiếp suy rộng toán tử OWA củaR.Yager và áp dụng trong các bài toán quyết định tập thể Tuy nhiên trongquá trình tìm cách ứng dụng định nghĩa vào trong bài toán đánh giá và ướclượng các dự án công thức đã cho tỏ ra không phù hợp Với gợi ý đó, tácgiả đã sử dụng công thức dưới đây [1]:

Cho S = {s1, s2, , sT}là tập nhãn, sắp toàn phần s1 < s2 < < sT.Cho a = {a1, a2, , am} là tập các phần tử cần tích hợp, mỗi ai nhậngiá trị trong S Tập b = {b1, b2, , bm} là tập a đã sắp xếp, trong đó

bj là phần tử lớn thứ j của a Như vậy b = {sim, si(m−1), , si1} với

im ≥ im−1 ≥ ≥ i1

Cho W = {w1, w2, , wm}là vectơ trọng số, wi ∈ [0, 1]và Piwi = 1

Định nghĩa 1.3.8 Cho tập a = {a1, a2, , am}, W = {w1, w2, , wm}

là vectơ trọng số, toán tử LOWA là một tổ hợp thực của vectơ a với trọng

số w, Low : (a, w) −→ S cho bởi công thức truy toán sau:

Low(a, W ) = C{(wim, aim), (1 − wim, Low(a0, w0))},

ở đây a0

= {ai(m−1), , ai1}, w0 = {w0i1, w0i2, , wi(m−1)0 }, w0j = wj

1 − wim,

C là phép tổ hợp của hai nhãn (sj, si), j ≥ i với trọng số wj > 0, wi > 0,

wj + wi = 1, C{(wj, sj), (wi, si)} = sk, với k = i + round(wj, (j − i)).Nhận xét: Rõ ràng nếu tập S nhận các giá trị trên R1 thì toán tử Low chophép lấy trung bình có trọng số quen biết, (do vậy Low(a,W) sẽ là kỳ vọngtoán học khi W là vectơ xác suất)

Ví dụ 1.3.1 Cho a = (s1, s2, s3), w = (0.2; 0.3; 0.5)

Khi đó ta tính được b = (s3, s2, s1), w3 = 0.5, w2 = 0.3, w1 = 0.2 vàLow(a, w) = C{(0.5, s3), (0.5, Low((s2, s1), (0.2/0.5, 0.3/0.5)))}

liªn kÕt víi vect¬ träng sè W vµ

GOW A(a1, , an) =

nX

wjbλj

1

λ,

trong đó Pn

j=1

wj = 1, wj ∈ [0, 1], bj là giá trị ai của cặp IGOWA (ui, ai) lớnthứ j, ui biến thứ tự cảm sinh, ai là biến đối số, λ ∈ (−∞, ∞) là tham sốToán tử IOWA được giới thiệu bởi Yager và là một mở rộng của toán tửOWA ý nghĩa khác biệt của toán tử này không phải là việc phát triển vớigiá trị của đối số ai mà là việc phát triển thứ tự biến cảm sinh

R được liên kết bởi các vectơ trọng số n chiều và

IGOW A((u1, a1), , (un, an)) =

nX

Chương 2

Tối ưu các trọng số

Ta đã biết việc xác định véc tơ trọng số W quyết định đến hiệu quảcủa toán tử OWA Người ta thường quan tâm đến hai khía cạnh: Sử dụnghầu hết các thuộc tính hay chỉ sử dụng một số thuộc tính đặc trưng của đốitượng Điều này dẫn đến việc khảo sát độ phân tán của véc tơ trọng số.Ngoài ra việc sử dụng các thuộc tính còn phụ thuộc vào điểm nhấn trongvéctơ trọng số, nghĩa là cần thoả một ràng buộc nào đó về độ đo tính tuyển.Chương này trình bày hai bài toán tối ưu véc tơ trọng số W theo hai hướngcực đại và cực tiểu độ phân tán [3] [6]

2.1 Độ phân tán cực đại

Trong chương trước ta đã biết đọ đo Disp đo độ phân tán vectơ trọng số

vectơ kết hợp là tương đối đều nhau Tuy nhiên việc đánh giá cũng cần thoả

điều kiện nào đó về điểm nhấn, nghĩa là cho trước một giá trị α ∈ [0, 1] để

đánh giá mức độ cực đại này Từ đó ta có bài toán sau

Cực đại hoá:

Disp(W ) = −

nX

i=1

wiln wi,với điều kiện:

n − 1

nX

i=1(n − i)wi, 0 ≤ α ≤ 1,

nX

Cực đại hoá:

Disp(W ) = −

nX

i=1

wiln wi,với điều kiện:

Orness(W ) = α, 0 ≤ α ≤ 1,

w1 + + wn = 1, 0 ≤ wi ≤ 1, i = 1, , n

Nếu n = 2 thì từ Orness(w1, w2) = α,chúng ta đặt w1 = α, w2 = 1 − α.Ngoài ra nếu α = 0 hoặc α = 1 thì vectơ trọng số liên kết là duy nhất

và được định nghĩa: (0, 0, , 0, 1)T và (1, 0, , 0, 0)T

Nếu n > 3 và 0 < α < 1, với λ1, λ2 là các số thực ta đặt:

L(W, λ1, λ2) = −

nX

i=1

wiln wi+ λ1

nX

i=1

n − i

n − 1wi− α+ λ2

nX

1 , un = w

1 (n−1)

n ,th× (2.3) ®­îc viÕt l¹i

wj = un−j1 uj−1n víi mäi 1 ≤ j ≤ n Tõ ®iÒu kiÖn Orness(W ) = α ta t×m

®­îc:

nX

i=1(n − i)un−i1 ui−1n = (n − 1)α,

un−j1 uj−1n = 1 ⇔ u

n

1 − un n

u1 − un = 1

⇔ un1 − unn = u1 − un

(2.5)

nX

w1[(n − 1)α + 1 − nw1]n = [(n − 1)α]n−1[((n − 1)α − n)w1 + 1] (2.8)Vì thế giá trị tối ưu của w1 sẽ thoả mãn phương trình (2.8) w1 được tínhtheo wn có thể xác định từ phương trình (2.7) và trọng số khác tính được từphương trình (2.3)

Ví dụ 2.1.1 Xác định vectơ cực đại với n = 5, α = 0, 4:

Ta có bài toán cực đại hoá:

−

nX

i=1

wiln wi,thoả điều kiện:

n − 1

nX

i=1(n − i)wi, 0 ≤ α ≤ 1,

nX

w3∗ = 4

q(w1∗)2(w∗5)2 = 0.192

w4∗ = 4

q(w1∗)(w∗5)3 = 0.2353

wiln wi,