Chuỗi số Giải tích Đại học Giao Thông Vận Tải

Giáo trình chuỗi số giải tích đại học Giao thông vận tải.....................................

CHƯƠNG 6:

CHUỖI SỐ

Nội dung:

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

6.2 Tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi số

6.4 Một số ứng dụng của chuỗi số

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

Những ký hiệu cơ bản

Cho dãy số sau: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…có số hạng tổng quát:

1

1 2

n n

a



 

    

Khi đó, dãy số được viết như sau: a1, a2, a3, a4, a5, …an

• Tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi

• an thể hiện dạng chung các số hạng của chuỗi số nên được gọi là số hạng tổngquát hay số hạng thứ n của chuỗi số

0

0 1

k k

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

• Chuỗi số: Chuỗi số là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn (n tiếnđến vô cùng) Chuỗi số có thể là chuỗi số dương, chuỗi đan dấu hoặc chuỗi có dấu

11) ( 1)

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

• Chuỗi hội tụ: Nếu tổng sn tiến đến một giá trị hữu hạn L khi n  , khi đó ta nói chuỗi

• Chuỗi phân kỳ: Nếu tổng sn không tiến

đến giá trị hữu hạn nào hoặc không tồn

tại khi n   thì ta nói rằng chuỗi số

phân kỳ

1

1 1

2k k

1 )

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

Ví dụ 1: Chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ Nếu chuỗi hội tụ, hãy tính tổng?

Khi n   thì 2 n   mà sn> 2 n nên sn  Chuỗi phân kỳ

Định nghĩa về chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ:

Chuỗi số nhân (the infinite geometric series):

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

• phân kỳ nếu | r |  1 r được gọi là công bội

Chuỗi Dirichlet (the p series):

6.1 Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số

Chứng minh sự hội tụ của chuỗi số nhân:

1

n n

rs

         khi n   thì sn  Chuỗi số phân kỳ

• Với r = - 1: Chuỗi số có giá trị bằng 0 (n lẻ) hoặc 1 (n chẵn) Chuỗi số phân kỳ.

Hình 3 Chuỗi số nhân

Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi số:

n   nên r n+1  0, tổng của n số hạng đầu tiên:

Một số chuỗi số thường gặp

6.2 Tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi số

Nếu chuỗi số

0

k ka

Các tính chất của chuỗi số hội tụ (tiếp):

6.2 Tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi số

Tính chất 4: Nếu chuỗi số

0

k k

Nếu thì chuỗi phân kỳ.

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi số

k

kk





, 1 0 1

k k







vẫn có thể phân kỳ.

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Điều kiện cần và đủ để chuỗi dương hội tụ sn của nó phải bị chặn trên

2 1

Chuỗi số bị chặn trên nên hội tụ

Chuỗi số dương, tiêu chuẩn hội tụ

Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Cho 2 chuỗi số dương

  (với L hữu hạn) thì 2 chuỗi ấy đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kỳ

Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau:

1

1

5k 3k

n

a b



Tính chất 2: So sánh

Tính chất 3: Quy tắc D’Alembert (The ratio test)

1

k k

•  = 1, chưa đánh giá được tính hội tụ hoặc phân kỳ

Ví dụ 7: Xét tính hội tụ của chuỗi số dương sau:

Cho chuỗi số dương

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ

Tính chất 4: Quy tắc Cauchy (The root test)

• Quy tắc D’lambert có thể sử dụng cho cả số hạng tổng quát dạng hàm số mũ và giai thừa.

• Quy tắc Cauchy chỉ thích hợp cho số hạng tổng quát là hàm số mũ

• Trước khi sử dụng một quy tắc kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi dương nào đó, kiểm tra số hạng tổng quát là điều đầu tiên Nếu ak tiến đến một giá trị khác 0 khi k , hiển nhiên chuỗi phân kỳ.

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ

( 1)k

k k

a





 phân kỳ nhưng chuỗi

được gọi là bán hội tụ (hội tụ bán tuyệt đối)

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số đan dấu, các tiêu chuẩn hội tụ

Định nghĩa hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ (đặc tính hội tụ):

1

k k

a







Ví dụ 9: Xét tính hội tụ của chuỗi số sau:

1 2 1

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số đan dấu, các tiêu chuẩn hội tụ

Dấu hiệu Leibnitz: Cho ak là dãy số đơn điệu giảm (khi k đủ lớn) và lim n 0

k là dãy số đơn điệu giảm dần về 0 khi k  

Theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi

 chuỗi số này phân kỳ vì nó là chuỗi Dirichlet (p = ½ < 1)

6.2 Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số đan dấu, các tiêu chuẩn hội tụ

1 1

Lưu ý: Nếu dùng Quy tắc D’Alembert (the ratio test) hoặc quy tắc Cauchy xét chuỗi số dương

mà chuỗi này phân kỳ thì chuỗi đan dấu phân kỳ 1

k k

6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa đối với biến thực x là chuỗi có dạng:

Chuỗi lũy thừa

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi lũy thừa thì được gọi là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Đối với phương trình (2) luôn tồn tại một số dương R sao cho:

Phương trình (1) thường được dùng biểu diễn chuỗi lũy thừa, phương trình (2) là dạng tổng quát

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa có thể xác định bằng công thức sau:

được gọi là chuỗi Taylor

• Chuỗi lũy thừa dạng:

n

được gọi là các hệ số của chuỗi Taylor của hàm f(x)

• Khi x0 = 0 được gọi là chuỗi Maclaurin.

6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa (tiếp)

(Theo tiêu chuẩn D’Alembert)

(Theo tiêu chuẩn Cauchy)

Chuỗi Maclaurin cơ bản và miền hội tụ:

Bảng 1 Các chuỗi Maclaurin cơ bản và bán kính hội tụ (Source: Caculus 7 th Edition, James Stewart, P 786)

6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

• Giải các phương trình vi phân

• Biến đổi dạng gần đúng của hàm số

• Sự truyền nhiệt, sóng điện từ, dao động, bài toán động lực

• Các bài toán về bức xạ

• Tạo hàm (to create functions)

• Tính các số nhân (fiscal multipliers)

6.4 Một số ứng dụng của chuỗi số

1 Ứng dụng trong toán học:

Hình 4 Hàm f(x) và một vài tổng của x

1 ( ) , |x| < 1 1

thành chuỗi lũy thừa tương ứng Khi đó, các hàm số phức tạp sẽ

được biến đổi thành các chuỗi lũy thừa, từ đó có thể thuận tiện

Hàm Bessel được diễn tả là một chuỗi hàm với biến x (x  R)

Biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân một biến

Một số phương trình vi phân có dạng nghiệm là chuỗi lũy thừa Khảo sát

phương trình vi phân cấp 2 một biến sau:

1 Ứng dụng trong toán học:

Với một hàm tuần hoàn khả tích ƒ(x) trên

đoạn [−π, π] Phân tích chuỗi Fourier của f(x)

6.4 Một số ứng dụng của chuỗi số

Ví dụ về xử lý tín hiệu âm thanh

Hình 11 Bộ chuyển đổi Analogue to digital signal

2 Ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật