Một số bài toán phương trình bậc hai có chứa tham số

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học t oán nói riêng trong trường THCS

1. Tên sáng kiến: Một số bài toán phương trình bậc hai có chứa tham số

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số 9

3. Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 20 tháng 01 năm 2018 đến ngày 20 tháng 5 năm 2018

4. Tác giả:

Họ và tên: Nguyễn Văn Thế

Năm sinh: 1980

Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng, huyện Xuân Trường, tỉnh Nam Định

Trình độ chuyên môn: Đại học Toán - Tin

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THCS Xuân Thượng

Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Văn Thế - Trường THCS Xuân Thượng

Điện Thoại: 0916752386

5. Đồng tác giả: Không

5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THCS Xuân Thượng

Địa chỉ: Xã Xuân Thượng, huyện Xuân Trường, tỉnh Nam Định

Điện Thoại: 02283.886.518

MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ CHỨA THAM SỐ

ĐẠI SỐ 9

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi

chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì thế nếu

chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại cùng với trí tuệ nhân tạo, giàu tính nhân văn của nhân loại

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học t oán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích

cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng

cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,

rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn

II Thực trạng (trước khi tạo ra sáng kiến)

Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng toán phương trình bậc hai là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như,giải phương trình, các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai không những thế phần này học còn được học lên ở chương trình Toán lớp 10 và lớp 12 Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 9(đ ang giảng dạy), việc giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

là không khó, nhưng vẫn

còn nhiều học sinh làm sai hoặc còn lúng túng và chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng cách làm bài một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể

Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi

và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 9, do chây lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt

để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ

Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con

em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà

dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Một số bài toán phương trình bậc hai có chứa tham số - Đại số 9”

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nh

ư hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ

và thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh,

con đường duy nhất là nâng

cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh

của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo,

rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

SGK, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút

ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phương trình bậc hai là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 9 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm

cơ sở để học sinh học tiếp lên các lớp trên, nhất là trong các đề thi vào lớp 10 các năm

Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà

chương trình chỉ đề cập đến một số bài toán phương trình bậc hai cơ bản thông qua các ví dụ cụ thể

Vấn đề đặt

ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách

cao Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên

cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặ

c biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh,

mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và t hực hành giải toán, phần lớn do các em tư duy yếu, không nhớ kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 9, do lười họ

c, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém

có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phươ

ng pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

Giáo viên đôi lúc chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới

chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng các phương tiện dạy học mới vào giảng dạy

Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con

em mình việc học tập của các em hầu như khoán trắng cho giáo viên

III Các giải pháp (trọng tâm)

1.Trước hết, để làm tốt các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số học sinh phải nhuần nhuyễn việc giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, hệ thức Vi – ét và ứng dụng của nó.

a, Công thức nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

= b2 – 4ac

+Nếu > 0, Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

+ Nếu = 0 ,Phương trình có nghiệm kép:

x1 = x2 =

+ Nếu < 0, phương trình vô nghiệm

b, Công thức nghiệm thu gọn của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

Có : b = 2b’

= b’2 – ac

+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2=

+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.

c, Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x1, x2thì

* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 =

* Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = -1; x2 = -

Học sinh phải nắm chắc các kiến thức trên để vận dụng vào các bài tập đơn giản Chẳng hạn:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x2 + 5x – 1 = 0

Có: a = 3; b = 5; c = -1

= b2 – 4ac

= 52 – 4.3.(-1) = 37 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1= ; x2 =

Ví dụ 2 :

Giải pt: 5x2 + 4x - 1 = 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 =

Sau khi học sinh làm tốt các bài toán giải phương trình bậc hai, chúng ta mới cho học nghiên cứu các dạng bài toán liên quan đến phương trình

ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (1) có chứa tham số

2 Bài toán 1: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu:

Để phương trình(1) có 2 nghiệm trái dấu thì ac < 0

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu

3x2 + 5x – 2m – 1 = 0

Giải: Để phương trình(1) có 2 nghiệm trái dấu thì

3 Bài toán 2: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

3x2 + 5x – 2m – 1 = 0

Giải: Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

4 Bài toán 3: Tìm m để phương trình có 2nghiệm kép:

Để phương trình có nghiệm kép thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép

Giải: Để phương trình có nghiệm kép thì

5 Bài toán 4: Tìm m để phương trình có nghiệm

Để phương trình có nghiệm thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Giải: Để phương trình có nghiệm thì

6 Bài toán 5 : Tìm m để phương trình vô nghiệm

Để phương trình vô nghiệm thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

Giải: Để phương trình vô nghiệm thì

7 Bài toán 6 : Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều dương

Để phương trình có 2 nghiệm đều dương thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm đều dương

x2 + 3x + m -2 = 0

Giải: Để phương trình sau có 2 nghiệm đều dương thì

8 Bài toán7 : Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt đều dương

x2 - 3x +2 m - 1 = 0

Giải: Để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì

9 Bài toán 8 : Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm

Để phương trình có 2 nghiệm đều âm thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm đều âm

x2 + 5x - 3m + 2 = 0

Giải: Để phương trình sau có 2 nghiệm đều âm thì

10 Bài toán 9: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt đều âm

x2 + 3x - m + 3 = 0

Giải: Để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt đều âm thì

11 Bài toán 10: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Để phương trình có 2 nghiệm đối nhau thì

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm đối nhau

x2 + (2m-1)x + m2 - m + 3 = 0

Giải: Để phương trình sau có 2 nghiệm đối nhau thì

12 Bài toán 11: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức giữa 2 nghiệm của phương trình

Dạng này ta phải hướng dẫn học sinh sử dụng hệ thức Vi –ét để làm bài

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm x1;x2 thỏa mãn x1 + x2 – x1x2 = 15

x2 - 2mx + m2 - m + 1 = 0

Giải: Để phương trình sau có 2 nghiệm x1;x2 thì

Theo hệ thức Vi – ét ta có:

Theo bài ra:

Kết hợp với điều kiện

Ta có : m =3

** Bài tập áp dụng :

1)Bài tập 1: Cho phương trình :x2 -5x + m + 3 = 0

a, Giải phương trình với m= 1

b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c,Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm

e, Tìm n để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

f, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương

g, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia

2) Bài tập 2: Cho phương trình :x2 –2(2m-1)x + 3m2 - 4 = 0

a, Giải phương trình với m= 2

b, Chứng minh rằng:Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m.

c,Gọi x1;x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm m để x1+2x2=-2

Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng các giải pháp tôi nhận thấy học sinh

nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán

ở dạng bài tập này Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu n

ắm vững chắc về cách làm bài trong chương trình đã học, được học và

rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức

ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp

cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu một số phương pháp giải khác,

các dạng toán khác nâng

cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo

của học sinh trong học toán

Khảo sát chất lượng qua bài kiểm tra một tiết thu được kết quả như sau:

Khi chưa áp

Sau khi chưa áp

dụng chuyên đề

IV Hiệu quả do sáng kiến đem lại:

4.1 – Hiệu quả kinh tế:

Nếu so sánh với các ngành nghề khác thì hiệu quả kinh tế của các sáng kiến

kinh nghiệm giảng dạy là ít hơn, khó nhận biết hơn Tuy nhiên cũng không phải là

không có giá trị kinh tế cho mỗi sáng kiến giảng dạy

Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm kết hợp với quá trình giảng dạy trên lớp, kết

quả cho thấy hiệu quả của sáng kiến cao Cụ thể là học sinh có kỹ năng giải các bài

toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, sáng tạo hơn trong việc giải

toán, đặc biệt là biết giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích nhanh

hơn, hiệu quả hơn Hạn chế được rất nhiều những sai lầm mà trước kia hay mắc

phải, hiểu rõ được bản chất của mỗi bài toán dẫn đến có kết quả cao sau mỗi bài

kiểm tra Từ đó, học sinh hứng thú hơn khi làm các bài toán về phương trình bậc hai

có chứa tham số nói riêng và quá trình học toán nói chung, tiết kiệm cho học sinh rất

nhiều về quỹ thời gian, giáo viên truyền thụ được tới học sinh nhiều kiến thức hơn

trong cùng một dung lượng thời gian

4.2 – Hiệu quả về mặt xã hội:

a, Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của

bộ môn đối với học sinh đại trà

Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán phương trình bậc hai được áp dụng qua các giai đoạn ở lớp 9 năm học 2017 – 2018 như sau:

* Chưa áp dụng giải pháp: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích

bài toán, các điều kiện theo yêu cầu bài toán, cách trình bày bài giải còn lung tung

* Áp dụng giải pháp:

- Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng khá tốt các phương

pháp giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, biết nhận xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý

- Học sinh nắm vững chắc các kiến về phương trình bậc hai có chưa tham số, vận

dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài toán đã biết cách giải truớc đó, linh hoạt trong trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống và logic, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt

- Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới

Do đó từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán

V Đề xuất, kiến nghị:

Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy thực ra là những kinh nghiệm, bài học được nảy sinh từ thực tế giảng dạy của giáo viên Tuy nhiên, để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong thực tế giảng dạy cần phải có những điều kiện khách quan và chủ quan xung quanh nó thì mới phát huy được giá trị và tính thực tiễn của sáng kiến

KẾT LUẬN CHUNG

Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kết luận sau: