Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

Luận văn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAMVIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TRƯƠNG HÀ HẢI

PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chuyên ngành : Toán học tính toán

Mã số : 62.46.30.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS.TS Đặng Quang Á

2 TS Vũ Vinh Quang

HÀ NỘI - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trungthực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác.Những kết quả viết chung với các cán bộ hướng dẫn đã được sự đồng ýkhi đưa vào luận án

Nghiên cứu sinh

TS Đặng Quang Á Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn

và kiên trì dìu dắt tôi từ một học viên còn rất non nớt trong công việcnghiên cứu khoa học cho đến khi hoàn thành được luận án Chính nhờ sựquan tâm và động viên của Thầy đã giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượtqua được những khó khăn, vất vả trong suốt quá trình nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trongViện Công nghệ thông tin Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo chotôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lờiđộng viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài.Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Viện Toán đã góp ý và nhiệttình chỉ bảo, cho tôi tham dự các buổi Seminar khoa học và các Hội thảoToán học giúp tôi bổ sung những kiến thức Toán học cần thiết cho luận

án trong quá trình nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường ĐH Công nghệ thông tin

và Truyền thông - Đại học Thái nguyên đã động viên và tạo điều kiện vềmặt thời gian cũng như công việc giúp tôi tập trung vào công việc nghiêncứu

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn của tôi đến tất cả các đồng nghiệp vàbạn bè của tôi đã chia sẻ buồn, vui và những kinh nghiệm hết sức quí báutrong cuộc sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học

Cuối cùng, luận án sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự độngviên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình Luận án này và những công việctôi đang cố gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, anh chị em và nhữngngười thân trong gia đình với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất

Xin chân thành cảm ơn

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

DDM Phương pháp chia miền

BAM Phương pháp xấp xỉ biên

SFBIM Phương pháp tích phân biên

LPIS Giá đỡ thẳng bên trong

Rn Không gian Euclide n chiều

Ω Miền giới nội trong không gian Rn

∂Ω Biên của miền Ω

∆ Toán tử Laplace

∇ Toán tử Gradient

Ck(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

L2(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích

Hs(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số s

k.kV Chuẩn xác định trên không gian V

(., )V Tích vô hướng xác định trên không gian V

I Toán tử đơn vị

Dαu Đạo hàm riêng của u cấp |α|

HA Không gian năng lượng của toán tử A

Danh sách hình vẽ

1.1 Các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến tại điểm P 16

1.2 Miền Ω và các ký hiệu biên tương ứng 22

2.1 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2 36

2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5 48

2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3 49

2.4 Miền hình học dạng L với các miền con Ω1 và Ω2 49

2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L 50

2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ 51

2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp không đồng nhất 52

2.8 Miền Ω với các miền con và các phần biên tương ứng 55

2.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với các hàm: a) Hàm u1; b) Hàm u2; c) Hàm u3 65

2.10 Hình miền và các điều kiện biên của bài toán Motz 65

2.11 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz 66

2.12 Dáng điệu đạo hàm tại điểm kỳ dị 66

3.1 Miền Ω và các phần biên của nó 72

3.2 Miền Ω với các điều kiện biên hỗn hợp 73

3.3 Miền Ω và các miền con của nó 80

3.4 Bài toán vết nứt 84

3.5 Đồ thị nghiệm của bài toán vết nứt 85

3.6 Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) và theo SFBIM (bên phải) 85

3.7 Bản với một giá đỡ bên trong 86

3.8 Bản với hai giá đỡ bên trong 86

3.9 Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản 87

3.10 Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản 87

3.11 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2 91

3.12 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ có độ dài khác nhau 96

3.13 Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ 96

3.14 Mặt võng của toàn bản có một LPIS 96

3.15 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.1 97

3.16 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.3 97

3.17 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2, Ω3 98

3.18 Độ dốc của bản theo hướng x dọc theo LPIS 101

3.19 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS 101

3.20 Mặt võng của 1/4 bản với hai LPIS 101

3.21 Mặt võng của toàn bản có hai LPIS 101

3.22 Độ dốc của bản theo hướng x với LPIS đặt tại vị trí tùy ý 102

3.23 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS 102

3.24 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý 102

3.25 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.1, e2/π = 0.2 103

3.26 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π =

0.2, e2/π = 0.4 103

Danh sách bảng

2.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.5 48

2.2 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.3 48

2.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán trong miền dạng L 50

3.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3 82

3.2 Sự hội tụ của quá trình lặp trong Ví dụ 3.2.5 83

3.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán vết nứt 84

3.4 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3 93

3.5 Sự hội tụ của quá trình lặp trong trường hợp không biết trước nghiệm đúng 94

3.6 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 1 LPIS 97

3.7 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 2 LPIS 103

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu iv

Danh sách hình vẽ iv

Danh sách bảng vii

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ 8

1.1 Không gian Sobolev 8

1.1.1 Một số ký hiệu và định nghĩa 8

1.1.2 Không gian Sobolev 10

1.1.3 Công thức Green và bất đẳng thức Poincare 12

1.2 Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa 13

1.2.1 Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với các điều kiện biên hỗn hợp, không thuần nhất 13

1.2.2 Bài toán biên của phương trình song điều hòa 15

1.3 Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp 19

1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp 19

1.3.2 Định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp 20

1.4 Xây dựng thư viện chương trình giải bài toán biên hỗn hợp yếu 21

1.4.1 Bài toán biên Dirichlet 23

1.4.2 Bài toán với điều kiện biên Neumann trên ít nhất một cạnh 25 Chương 2 Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai 31

2.1 Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31 2.1.1 Mô hình bài toán mặt phân cách 31

2.1.2 Một số hướng tiếp cận 33

2.1.3 Phương pháp lặp 35

2.1.4 Một trường hợp riêng 43

2.1.5 Các ví dụ thử nghiệm 46

2.2 Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 53

2.2.1 Mô tả phương pháp 54

2.2.2 Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp 56

2.2.3 Một trường hợp riêng 60

2.2.4 Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp 63 2.2.5 Áp dụng giải bài toán Motz 64

Chương 3 Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 68 3.1 Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa 68

3.2 Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên

hỗn hợp mạnh 72

3.2.1 Phát biểu bài toán 72

3.2.2 Mô tả phương pháp 73

3.2.3 Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp 75

3.2.4 Sơ đồ lặp kết hợp 79

3.2.5 Các ví dụ thử nghiệm 81

3.2.6 Giải gần đúng một bài toán vết nứt trong cơ học 83

3.3 Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong 86

3.3.1 Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong 86

3.3.2 Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS 89 3.3.3 Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS 97

Kết luận chung 106

Danh mục các công trình đã công bố 109

Tài liệu tham khảo 111

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trìnhđạo hàm riêng Trong lý thuyết các bài toán biên đối với các phương trìnhnày thì các bài toán biên hỗn hợp, trong đó dạng các điều kiện biên thayđổi trong phạm vi của một mặt hay một đường đủ trơn trên biên của miềnđược đặc biệt quan tâm, vì tại vị trí phân cách các dạng điều kiện biênthường xuất hiện kỳ dị của các đại lượng nào đó, ví dụ như luồng nhiệt,điện thế, ứng suất, môment lực hay lực cắt, Theo G I Popov và N A.Rostovtsev, các bài toán trên được gọi là các bài toán hỗn hợp thực sự

"Sobstvenno smexannye" [57] Trong luận án này, để thuận tiện chúng tôi gọicác bài toán này là các bài toán hỗn hợp mạnh (theo nghĩa trên một phầnbiên trơn có sự thay đổi các loại điều kiện biên) Nói chung rất khó để cóthể tìm được lời giải đúng của các bài toán này Vì vậy, việc giải gần đúngcác bài toán hỗn hợp bằng các phương pháp số trở thành công cụ phổ biếnnhư phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương phápphần tử biên, phương pháp không lưới, Bản chất của các phương pháp

số là rời rạc hóa bài toán vi phân trong miền hoặc trên biên và kết quảdẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói chung là cỡ lớn.Chất lượng của các phương pháp cho mỗi bài toán được đặc trưng bởi độchính xác của lời giải gần đúng của bài toán, độ phức tạp tính toán tứckhối lượng tính toán và dung lượng bộ nhớ cần thiết để thu được lời giải

gần đúng đó.

Trong khoảng ba thập kỷ nay để giải các bài toán trong miền hình họcphức tạp, phương pháp chia miền đã được đề xuất và phát triển nhằmđưa các bài toán trong các miền hình học phức tạp về các bài toán trongcác miền hình học đơn giản, mà đối với chúng đã sẵn có các thuật toánhữu hiệu và phần mềm tiện lợi Điều cốt yếu trong phương pháp này nhưHerrera đã chỉ ra trong [32] là "thu thập thông tin trên biên phân chia cácmiền con, đủ để các bài toán trong mỗi miền con là đặt chỉnh" Thôngthường, thông tin trên biên phân chia là giá trị của ẩn hàm Giá trị nàyđược cập nhật bởi một quá trình lặp Phụ thuộc cách cập nhật giá trị của

ẩn hàm người ta phân biệt hai cách tiếp cận chính (xem [59]): phương phápDirichlet-Neumann và phương pháp Neumann-Neumann Trong ngữ cảnhmiền Ω của bài toán biên Dirichlet được phân chia thành hai miền con

Ω1 và Ω2 bởi biên nhân tạo Γ thì trong phương pháp Dirichlet-Neumanntrên mỗi bước lặp đầu tiên bài toán Dirichlet với giá trị xấp xỉ đã biết của

ẩn hàm được giải trong một miền, sau đó giải bài toán với điều kiện biênNeumann trên biên Γ trong miền khác và cập nhật giá trị của ẩn hàmtrên Γ Phương pháp này đã được đề xuất và nghiên cứu bởi Bjostard vàWindlund (1986), Marini và Quadteroni (1989), Saito và Fujita (2001) [66].Trong phương pháp Neumann-Neumann đầu tiên các bài toán Dirichletđược giải trong mỗi miền con, sau đó để cập nhật giá trị của ẩn hàmtrên biên phân chia người ta phải giải hai bài toán chứa điều kiện biênNeumann trên phần biên đó Phương pháp này đã được đề xuất và nghiêncứu bởi Bourgat, Glowinski [28], Le Tallec và Vidrascu [47] Ngoài haiphương pháp nêu trên, với sự cập nhật điều kiện Dirichlet một số tác giảcòn sử dụng điều kiện hỗn hợp Robin dạng ∂ui

∂νi

+ λui trên biên chia miền

như Lions [43], Hou và Lee [34], Lube [49].

Mới đây trong luận án Tiến sĩ của Vũ Vinh Quang (2007) [78], các tácgiả đã đề xuất một phương pháp chia miền mới, trong đó khác với các tácgiả trước, đạo hàm pháp tuyến của ẩn hàm được cập nhật thay cho giátrị của ẩn hàm Các bài toán đã được xét đến trong luận án này là: Bàitoán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, bài toánbiên của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp yếu (theo nghĩatrên một phần biên trơn chỉ có một loại điều kiện biên) và bài toán biêncủa phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được giải bằngphương pháp lặp tuần tự Các thực nghiệm tính toán cho các miền hìnhhọc đơn giản và phức tạp đã chứng tỏ phương pháp này hội tụ nhanh hơncác phương pháp cập nhật ẩn hàm mặc dù về mặt lý thuyết chưa chứngminh được tính vượt trội của nó

Nhận thức được tính hữu hiệu của phương pháp chia miền mới này,luận án đặt mục đích tiếp tục phát triển phương pháp và kết hợp với các

kỹ thuật lặp để xây dựng các phương pháp mới, giải gần đúng các bài toánphức tạp hơn các bài toán trên và có tính ứng dụng trong thực tế Đó là:(1) Bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai với các hệ số gián đoạn,

ở đó có thể có các bước nhảy của hàm và đạo hàm qua một hoặc nhiềumặt phân cách (bài toán này được phát biểu cụ thể trong mục 2.1.3,chương 2)

(2) Các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai và phương trìnhsong điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh (phát biểu trongcác mục 2.2.1, chương 2 và mục 3.2.1, chương 3)

(3) Một số bài toán trong cơ học, đó là các bài toán vết nứt (Crack lems), bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ

Prob-bên trong (The bending of rectangular plates with line partial internalsupports).

Để giải gần đúng các bài toán trên, luận án sử dụng các phương pháptrong giải tích số cho phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp chiamiền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai, kỹthuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân Các phương pháptrên sẽ được kết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mớiphù hợp với từng bài toán cụ thể Để nghiên cứu sự hội tụ của các phươngpháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán tử biên thíchhợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác địnhdương hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và ápdụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng Việc hiện thực hóa các bước lặp nàychính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp hai trong các miềnhình học đơn giản

Phải nói rằng ý tưởng đưa các bài toán đối với phương trình cấp haiphức tạp về dãy các bài toán cấp hai đơn giản hơn và đưa các bài toánđối với phương trình cấp bốn về dãy các bài toán đối với phương trình cấphai là các ý tưởng chung rất tự nhiên và đã được phát triển bởi nhiều tácgiả như Palsev [58], Meller và Dorodnisyn [50], Glowinski và Pironneau[28], Abramov và Ulijanova [3], Đặng Quang Á [14], [16], [17] Tuy nhiênviệc vận dụng các ý tưởng chung này vào các bài toán cụ thể là khôngđơn giản, đặc biệt khi phải kết hợp cả hai ý tưởng hạ cấp phương trình

và chia miền của bài toán Vì vậy, việc nghiên cứu các phương pháp gầnđúng theo ý tưởng này để giải một số các bài toán biên của phương trìnhelliptic là nhiệm vụ xuyên suốt trong toàn bộ luận án

Nội dung chính của luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý

thuyết và thực nghiệm tính toán khi xây dựng các phương pháp mới, baogồm:

- Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnhgiá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số giánđoạn

- Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình ellipticvới các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz

- Phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệuchỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòavới điều kiện biên hỗn hợp mạnh

- Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hìnhchữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong

Luận án được viết trên cơ sở của các công trình [18, 19, 20, 21, 22, 76,

77, 75] đã được công bố trong vòng 4 năm qua và được bố cục thành 3chương:

• Chương 1 : Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị và kết quả

bổ trợ bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev vàphương trình elliptic, phương trình song điều hòa, lý thuyết về các sơ

đồ lặp và các kết quả xây dựng thư viện chương trình giải số bài toánbiên với điều kiện biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic với hệ

số hằng trong miền chữ nhật ứng với các điều kiện biên khác nhau,dựa trên thuật toán thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev.Các kiến thức cơ bản và các kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóngvai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trìnhbày trong chương 2 và chương 3

• Chương 2 : Trình bày các kết quả nghiên cứu mới, giải gần đúng một

số bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai Bao gồm: Pháttriển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giátrị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách giải bài toán biên củaphương trình elliptic với hệ số gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cáchtrong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toáncon trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục,phương pháp này đã được chứng minh hội tụ ở cả mức liên tục vàmức rời rạc, thiết lập được công thức cho tham số lặp tối ưu trongmột trường hợp riêng và bằng nhiều ví dụ thử nghiệm chứng tỏ đượctốc độ hội tụ nhanh của phương pháp Đồng thời, trong chương nàycũng trình bày một phương pháp lặp song song mới giải bài toán biêncủa phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, cho phépgiải bài toán hỗn hợp mạnh trên các hệ thống tính toán song song.

• Chương 3 : Trình bày các kết quả nghiên cứu mới về phương pháp kếthợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm giảibài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗnhợp mạnh (chênh nhau 3 cấp đạo hàm), trong đó các bài toán biên đốivới phương trình song điều hòa được dẫn về các bài toán cấp hai bởimột quá trình lặp, tại mỗi bước lặp các bài toán cấp hai với điều kiệnbiên hỗn hợp mạnh sẽ được giải bằng phương pháp chia miền đưa vềcác bài toán biên hỗn hợp yếu để sử dụng các thuật toán hiệu quả cósẵn cho các bài toán cuối Sự hội tụ của phương pháp được nghiêncứu bằng cách đưa vào một toán tử biên được định nghĩa một cáchthích hợp, từ đó việc chứng minh sự hội tụ của các phương pháp đượcthực hiện bằng việc nghiên cứu các tính chất liên tục, tuyến tính, đốixứng và dương của toán tử Trên cơ sở lý thuyết đã đạt được, luận

án đã đưa ra các sơ đồ lặp kết hợp giải bài toán vết nứt và bài toán

về độ uốn của bản với một hoặc hai giá đỡ bên trong Đặc biệt, vớibài toán bản có hai giá đỡ bên trong có thể đây là các kết quả đầutiên tìm được

Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các chươngtrình thử nghiệm dựa trên các hàm trong thư viện chương trình RC2009trong môi trường MATLAB

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

1 The 5th International Conference on High Performance Scientific puting, March 5-9, 2012-Hanoi, Vietnam

Com-2 The 9th Workshop on Optimization and Scientific Computing, April20-23, 2011-BaVi, Vietnam

3 Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ V "Nghiên cứu cơ bản và ứngdụng CNTT", tháng 08, 2011-Biên Hòa, Việt Nam

4 The 20th International Conference on Finite and Infinite DimensionalComplex Analysis and Applications, Hanoi, July 29-August 3, 2012

5 Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ 12 (2009), 13 (2010), 14 (2011):

"Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và Truyền thông"

6 Đề tài khoa học và công nghệ cấp Bộ, mã số B2010-TN07-02 đãnghiệm thu đạt loại xuất sắc, 2012

7 Các buổi Seminar khoa học của phòng Các phương pháp toán họctrong CNTT, Viện CNTT- Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam

1.1 Không gian Sobolev

là không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω ⊂ Rn.

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng:

Định nghĩa 1.1.1 [7] (Biên Lipschitz)

Biên ∂Ω là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hai hằng số c1 > 0 và c2 > 0,

và một số hữu hạn M hệ tọa độ địa phương (˜xm, xmN), và các ánh xạ địaphương Φm (m = 1, , M ) xác định trên tập

1.1.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.2 [61] Cho Ω là một tập mở của Rn và k là một sốnguyên dương Ta gọi không gian Sobolev cấp k trên Ω là không gian đượcxác định bởi các hàm thuộc L2(Ω), sao cho tất cả các đạo hàm (phân bố)đến cấp k thuộc L2(Ω):

γ0v được gọi là vết của v trên ∂Ω Kết quả vẫn đúng nếu xét toán tử vết

γΓ : Hk(Ω) 7−→ L2(Γ) trong đó Γ là một phần biên có độ đo dương củabiên của Ω

Cho γ0 là toán tử vết từ H1(Ω) vào L2(∂Ω) Ta ký hiệu

Giả sử Γ là một mặt chia Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2 Ta ký hiệu

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Sobolev Wk,p(Ω))

Cho k là số nguyên không âm và 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian Wk,p(Ω) đượcxác định như sau

Định nghĩa 1.1.5 Ký hiệu H−1(Ω) là không gian Banach được xác địnhbởi H−1(Ω) = (H01(Ω))0 với chuẩn

kF kH−1 (Ω) = sup

H 1 (Ω)\{0}

hF, uiH−1 (Ω),H 1 (Ω)

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz, ta ký hiệu

H−1/2(∂Ω)là không gian Banach được xác định bởiH−1/2(∂Ω) = (H1/2(∂Ω))0

với chuẩn

kF kH−1/2 (∂Ω) = sup

H 1/2 (∂Ω)\{0}

hF, uiH−1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω)

... uk−1,

Phương pháp lặp gọi phương pháp lặp bước hay phươngpháp lặp hai lớp giá trị lặp bước sau tính thơng qua giátrị lặp bước trước

Phương pháp lặp gọi phương pháp lặp bước tuyến...

1.2 Bài tốn biên phương trình elliptic cấp hai

và phương trình song điều hịa

Giả sử Ω ⊂ Rn miền giới nội với biên Γ = ∂Ω Xét phương trình đạohàm... (1.2.12).

1.2.2.2 Phương trình song điều hịa điều kiện biên< /small>

Xét phương trình song điều hòa

∆2u = f Ω (1.2.14)với điều kiện biên

Ngoài điều kiện biên nêu trên, phương trình