- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh [r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
I Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
2
a b
ab
+
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”
+ Bất đẳng thức: ( )2 ( 2 2)( 2 2)
ac bd+ a +b c +d (BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b
c =d + a + + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab b a b 0
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
( )
y= +a f x thì min y = a khi f(x) = 0
( )
y= −a f x thì max y = a khi f(x) = 0
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2)
II CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
* Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A=4x2+4x+11
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c) C=x2−2x+y2−4y+ 7
Giải:
A= x + x+ = x + x+ + = x+ +
Min A = 10 khi 1
2
x = − b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5
c) C=x2−2x+y2−4y+ 7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2
Min C = 2 khi x = 1; y = 2
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
Trang 2a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21
Max A = 21 khi x = -4
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7
Max B = 7 khi x = 1, 1
2
y = −
Bài toán 3: Tìm GTNN của:
a) M = − + − + − + − x 1 x 2 x 3 x 4
b) ( )2
N = x− − x− +
Giải:
a) M = − + − + − + − x 1 x 2 x 3 x 4
Ta có: x− + − = − + − − + − = 1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay 1 x 4
x− + − = − + − − + − = x x x x x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay 2 x 3
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3
N = x− − x− + = x− − x− +
Đặt t= 2x− thì t 1 0
Do đó N = t2 – 3t + 2 = 3 2
2
1 ( )
4
4
N
−
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 0 3
t− = =t
Do đó 1
4
N = − khi
2 1
2 1
2 1
− = − = −
N = − =x hay 1
4
x = −
Bài toán 4: Cho x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2
2 2
1
Trang 32 2
1
2
Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó 2 2 1
2
x +y = = =x y
Ta có: 1( 2 2)
2
M x +y và ( 2 2) 1 1 1 1
x +y M =
Do đó 1
4
M và dấu “=” xảy ra 1
2
x y
= =
M = = =x y
• Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài toán 1:
Tìm GTLN và GTNN của: 42 3
1
x y x
+
= +
Giải:
* Cách 1:
2
Ta cần tìm a để −ax2+4x+ −3 alà bình phương của nhị thức
Ta phải có: ' 4 (3 ) 0 1
4
a
a
= −
= + − = =
- Với a = -1 ta có:
y
1
y
− Dấu “=” xảy ra khi x = -2
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2
- Với a = 4 ta có:
y
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
2
Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1
2
* Cách 2:
Trang 4Vì x2 + 1 0 nên: 2
2
1
x
x
+
y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm
- Nếu y = 0 thì (1) 3
4
x
= −
- Nếu y 0 thì (1) có nghiệm ' 4 = −y y( − 3) 0 (y+1)(y−4)0
1 0
4 0
y
y
+
−
1 0
4 0
y y
+
−
1 y 4
− Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2
Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1
2
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:
2 2
1 1
x x A
x x
− +
= + +
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
2
2
1 1
x x
a
x x
− +
=
+ + (1)
Do x2 + x + 1 = x2 + 2.1
2.x +
2
0
+ = + +
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
• Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là , tức là: 0
2
( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0
1
3
Với 1
3
a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 1
2( 1) 2(1 )
x
Với 1
3
a = thì x = 1
Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của 1
3
A = khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3:
Trang 5a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 4
a b
+
b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 1
2m+ =n 3 Tìm GTLN của B = mn
Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
2 2 2 2
a +b a b = ab= (vì ab = 1)
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4
a b+
Ta có: (a + b) + 4 2 (a b) 4 4
Mặt khác: a b+ 2 ab= 2
Suy ra: A 2 (a b 4 ) (a b) 2 4 2 8
a b
+ Với a = b = 1 thì A = 8
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1
b) Vì 1 1 1
2m+ =n 3 nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương Nếu có một trong hai số là âm thì B
< 0 Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương
Ta có: 1 1 1 3(2 ) 2 (2 3)( 3) 9
2m+ = n 3 m+n = mn m− n− =
Vì m, n N* nên n – 3 -2 và 2m – 3 -1
Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
và B = mn = 2.12 = 24
và B = mn = 3.6 = 18
và B = mn = 6.4 = 24
Vậy GTLN của B = 24 khi 2
12
m n
=
=
hay
6 4
m n
=
=
Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
A
+
=
−
Trang 6Giải:
Ta có thể viết:
A
Do x > y và xy = 1 nên:
2
Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có:
2
A
x y
−
2
x y
x y
−
Từ đó: 2 2 3
2
A + =
Vậy GTNN của A là 3 2
1
x y xy
− =
=
x
y
= +
= − +
x y
= −
= − −
Thỏa điều kiện xy = 1
* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC
Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y= x− +2 4−x
Giải:
* Cách 1:
Điều kiện: 2 0 2 4(*)
x
x x
−
−
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b
c =d Chọn a= x−2;c=1;b= 4−x d; =1 với 2 x 4
Ta có:
2
2
− + −
Vì y > 0 nên ta có: 0 y 2
Dấu “=” xảy ra x− =2 4− − = − = (Thỏa mãn (*)) x x 2 4 x x 3
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3
Trang 7* Cách 2:
Ta có: y= x− +2 4−x
Điều kiện: 2 0 2 4
x
x x
−
−
Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN
Ta có: y2 = − + − +x 2 4 x 2 (x−2)(4−x)y2 = +2 2 (x−2)(4−x)
x x
x
−
−
nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta:
2 (x−2)(4−x) − + − = (x 2) (4 x) 2
Do đó 2
2 2 4
y + =
Dấu “=” xảy ra − = − = (thỏa mãn điều kiện) x 2 4 x x 3
Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3
Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y=3 x− +1 4 5−x(1 x 5)
Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:
(3; 4) và (( x−1; 5−x) ta có:
( ) (2 )2
<=> y 2 100
=> y 10
Dấu “=” xảy ra <= 1 5
x− − −x
hay 1 5
x− = −x
=> x = 61
25 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTLN của y là10 khi x = 61
25
* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = 3 x− +1 4 5− =x 3 x− +1 3 5− +x 5− x
= 3( x− +1 5−x)+ 5− x
Đặt: A = x− +1 5− thì tx 2 = 4 + 2 (x−1 5)( −x) 4
=> A và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 2
Vậy y 3 2 + 0 = 6
Trang 8Dấu “=” xảy ra khi x = 5
Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5
Tìm GTNN của biểu thức: M = ( )2 2
1994 ( 1995)
Giải:
1994 ( 1995)
Áp dụng bất đẳng thức: a + + ta có: b a b
M = x−1994+ +x 1995 = −x 1994+1995+ x
=> M −x 1994 1995+ − = x 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) (1995 – x) 0
<=> 1994 x 1995
Vậy GTNN của M = 1 1994 x 1995
Bài toán 4:
Tìm GTNN của B = 3a + 4 1 a− 2 với -1 a 1
Giải:
− = + −
Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
2
2
1
=> B
9 25 41 25
2 25
=> Do đó B 5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
3
5
16
1
25
a
a
=
= −
<=> a = 3
5
Vậy GTNN của B = 5 <=> a = 3
5
Trang 9Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí