Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020

Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 giúp các bạn học sinh làm quen với cấu trúc đề thi HSG, các dạng bài tập. Mỗi đề thi có đáp án đi kèm hỗ trợ cho quá trình ôn luyện thi HSG của các em học sinh lớp 9, đồng thời giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng giải đề thi, chuẩn bị sẵn sàng kiến thức cho kì thi chọn HSG cấp huyện sắp tới. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo đề thi.

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM 2019-2020

MỤC LỤC

1 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Lục Ngạn

2 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Nghi Lộc

3 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Như Xuân

4 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Tân Kỳ

5 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Thạch Hà

6 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

7 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Yên Thành

PHÒNG GD-ĐT NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2019 - 2020 MÔN: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (5.0 điểm)

P

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm a để P P  0

c) Tìm a Z  để P Z

Bài 2 (5.0 điểm)

a) Giải phương trình : x 3 x  1 2

b) Giải phương trình :  x 5 x2 1   x27x10 3

c) Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình: xy – 4x = 35 – 5y

Bài 3.(4.0 điểm)

1 Tìm các số tự nhiên x sao cho 17 + x2 là một số chính phương

2 Chứng minh bất đẳng thức:  2

a b

a b

ab

b



với a > b > 0

Bài 4 (1.0 điểm)

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1 2

1 x1 y1 z 

   Tìm GTLN của P = xyz

Bài 5. (5.0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Lấy điểm E thuộc BC sao cho 1

2

BE EC Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AE và CD Trên tia đối của tia

DC lấy điểm I sao cho DI = BE

a) Chứng minh: AO.AC = a 2 và 12 1 2 12

AI AM a b) Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CM Chứng minh tam giác BOE đồng dạng với tam giác BND

c) Lấy điểm F thuộc tia đối của tia CD sao cho

2

a

CF  , gọi H là giao điểm của AM và BF

Chứng minh CH AM

- HẾT -

https://thcs.toanmath.com/

Họ và tên thí sinh: ……….……… Số báo danh: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2019 - 2020 MÔN: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (5.0 điểm)

Cho biểu thức 2 2 2 1

x

A



a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A

b) Tìm GTNN của A

c) Cho B 3 x

A

 tìm x để B Z

Bài 2 (4.0 điểm)

a) Cho m2 + 4 và m2 + 16 là các số nguyên tố với m là số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng m chia hết cho 5

b) Giải phương trình: x26x 8 2 x 3 x2  x 6 2 x 4

c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy

Bài 3. (3.0 điểm)

a) Cho ba số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:  2  

3

a b c   ab bc ca  b) Cho ba số thực x, y, z thõa mãn x2y2z2 Tìm GTNN của biểu thức: 3

2 1 2 1 2 1 1

M

 

Bài 4 (6.0 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Chứng minh: DE2 = BH.HC

b) Chứng minh DE vuông góc với AM

c) Giả sử diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tứ giác AEHD Chứng minh tam giác ABC vuông cân

2 Tính độ dài đường phân giác AD của tam giác ABC Biết tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 6cm, góc BAC = 1200

Bài 5 (2.0 điểm)

Một sân hình vuông được chia 25 ô vuông nhỏ, mỗi ô được chia một học sinh đứng Trống đánh, mỗi học sinh đều bước sang ô có cạnh chung với ô mình đang đứng Chứng minh rằng khi đó phải có ít nhất một ô trống

- HẾT -

https://thcs.toanmath.com/

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 01 trang

Ngày thi : 06/11/2019

Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1

x x x P

x x x x

    a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P0

Câu 2 (2 điểm) Cho biết  2 2

x x y y  Tính giá trị biểu thức 2019 2019

Ax y

Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: 1 1 2

Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên  x y; thỏa mãn:

 2    

x y y y y

Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4

1 p p p p là số tự nhiên

Câu 6 (2 điểm) Các cạnh a b c, , của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức:

1 1 1 1

a b c

p  

 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất củaP 12 12 12 2 12 2

   

 

Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O)

tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R) Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu của O trên d Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và

KB

a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH

b) Tính IH theo R

Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của AC Đường thẳng qua A vuông góc với BMcắt BCtại D Chứng minh DB2DC

Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt Hai điểm bất kì trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu

==== HẾT ====

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh SBD: Phòng thi

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2019 – 2020 Môn Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

1

Điều kiện để P xác định là : x0;x4;x9

     

  

x x x x x P

x x



        

3

x x

x

x x x x



0,25

0,25 0,5

Với x0;x4;x9, ta có 0 1 0 3 0 9

3

x

x



 Kết luận: 0 x 9 và x4 thì P0

0,5 0,5

2

Ta có: x 2019x2 2019x2 xy 2019y22019 2019x2 x

2 2

y y x x

      (1) Tương tự ta có: x 2019x2  2019y2 y (2)

Từ (1) và (2) suy ra x    y 0 x y

0

A

 

0,5

0,5 0,5 0,5

3

4

x 

 

2

2

         

x

     (vì 1 1 2 0

x    )

x

   (tmđk)

0,5

0,5

0,5 0,5

4

Phương trình đã cho tương đương  2  2  2 

3

x t t  x  t t

t          t t t t t t t t

2

t  x  t ( vô lí)

y  y  y y     y

Vì yZ nên y    3; 2; 1;0

Suy ra   x y;  2019;0 , 2019; 1 , 2019; 2 2019; 3         

0,5 0,5 0,5 0,5

5

1 p p  p  p n nN

4 4 p4p 4p 4p 4n (1)

0,5

Suy ra:  2  2  2

2p  p  2n  2p  p 2

2p p 2n 2p p 2 2n 2p p 1

Theo (1) ta có 2 3 4  2

4 4 p4p 4p 4p  2p p 1 2

p  p   p ( dop là số nguyên tố p0)

Thử lại với p3 ta có 2 3 4 2 3 4

1 p p p p  1 3 3   3 3 11 (tm)

0,5

0,5

0,5

6

  

    

  

  

a b c a b c a b  b c a a ba c b

   

        

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

0,5

0,5

0,5

0,5

7

Ta có:

2 2 2

a

   

P

ab bc ca

 

Áp dụng AM-GM ta

27 3

27

2 2 2

2 2 2

3

ta b c 

Khi đó 1 8 2 8 10

P

t

     

3 khi và chỉ khia  b c 1

0,5

0,5

0,5

0,5

8a

d I

A

O K

B M

N C

H

Chứng minh OHMN là hình chữ nhật,

KB AB K

0,5 0,5

8b

2

K

HOI= CKI( c-g-c)

Suy ra IH = IC (1)

R

IC 

Từ (1) và (2) Suy ra

2

R

IH 

0,5

0,5

9

A

D

H

K M

Gọi H là giao điểm AD với BM

Vì BH//CK nên DC CK (1)

DB  BH

Mặt khác DC CK 2HM (2)

Áp dụng hệ thức v ề cạnh và đường cao ta có:

2 2

2

 

    

  ,thay vào (2) ta được DB2DC

0,5

0,5

10

Giả sử 6 điểm A, B, C, D, M, N trên cùng 1 đường tròn

Từ 1 điểm vẽ đến 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng thì có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu Giả sử 3 đoạn thẳng AB, AC, AD cùng màu đỏ( nếu cùng màu xanh thì lập luận tương tự)

Xét tam giác BCD nếu có 1 cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ thì tam giác ABC có 3 cạnh màu đỏ Trái lại thì tam giác ABC có ba cạnh màu xanh.

0,5 0,5

PHÒNG GD-ĐT YÊN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2019 - 2020 MÔN: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3.0 điểm)

1 Tồn tại hay không các số nguyên tố a b2011 c

2 Tìm các giá trị nguyên của x ,y thỏa mãn: x2 – 4xy + 5y2 = 2 (x - y)

Bài 2 (6.0 điểm)

a) Giải phương trình: 10x23x 1 6x1 x2 3

b) Cho a, b, c thỏa mãn 2a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 2a3 b3 c3 3a a b c b    

Bài 3 (3.0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

a b c b c a c a b  a b c

Bài 4 (6.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi I là giao điểm EF

và AH Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB, BE lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh AEF ABC

b) Chứng minh IP = IQ

c) Gọi M là trung điểm của AH chứng minh I là trực tâm của tam giác BMC

Bài 5 (2.0 điểm)

Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A A A A A trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Với ba 1, 2, 3, 4, 5, 6 điểm bất kỳ trong sáu điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giửa chúng nhỏ hơn 673 Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ

hơn 2019

- HẾT -

https://thcs.toanmath.com/

Họ và tên thí sinh: ……….… Số báo danh: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC