y (ngày) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc. Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc.. Một đường thẳng song song với SA cắt dây AB, AC lần lượt tại[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS KHÁNH BÌNH ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II
MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2021
ĐỀ 1
Câu 1: Cho biểu thức: A = x x 1 x x 1 2 x 2 x( 1)
:
x 1
−
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A < 0
Câu 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?
Câu 3: Cho hệ phương trình: mx y 5
2x y 2
+ =
− = −
a) Giải hệ (I) với m = 5
b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và thỏa mãn: 2x + 3y = 12
Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và
B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
1 Chứng minh rằng: AEMB là tứ giác nội tiếp và AI2 = IM.MB
2 Chứng minh BAF là tam giác cân
3 Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= −a 2 ab+3b 2 a− +1
ĐÁP ÁN Câu 1
−
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
x 1
1
A
x
−
b)
Trang 20
0 1 0 1
x
x
x x
+
−
−
Câu 2
Gọi x (ngày) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc
y (ngày) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc
(ĐK: x, y > 4)
Trong một ngày người thứ nhất làm được1
x(công việc), người thứ hai làm được
1
y(công việc)
Trong một ngày cả hai người làm được1
4(công việc)
Ta có phương trình:1 1 1
4
x+ = (1) y
Trong 9 ngày người thứ nhất làm được9
x (công việc)
Theo đề ta có phương trình:9 1 1
4
x+ = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
1 1 1
4
9 1
1 4
x
+ =
+ =
(*)
Giải được hệ (*) và tìm được 12
( ) 6
x
tmdk y
=
=
Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì xong công việc
Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc
Câu 3
Ta có: 5 mx + 2x = 3 (m + 2)x = 3 (1)
+ =
− = − − = − − = −
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất <=> PT (1) có nghiệm duy nhất <=> m + 2 ≠ 0 <=> m ≠ - 2
Khi đó hpt (I) <=>
3
m + 2
10 2
2
m
m
Thay vào hệ thức ta được: 6m = 12 m = 2
Câu 4
Trang 31 Tứ giác AEMB nội tiếp vì 2 góc:AEB=AMB =900
Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)Ax⊥AB
AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường trònAMB=900
ABI
làvuông tại A có đường cao AMAI2 =IM.IB
2, IAF là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AE
FAM là góc nội tiếp chắn EM
Ta có: AF là tia phân giác của IAMIAF=FAMAE=EM
Lại có:ABH và HBI là hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung AE và EM
=> ABH=HBI BE là đường phân giác của BAF
AEB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 0
BE là đường cao của BAF
BAF
làcân tại B (BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác)
3, BAFcân tại B, BE là đường caoBElà đường trung trực của AF
H, KBEAK=KF; AH=HF (1)
AF là tia phân giác củaIAM vàBE ⊥ AF
AHK
có AE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác AHK cân tại AAH=AK (2)
Từ (1) và (2)AK=KF=AH=HFTứ giác AKFH là hình thoi
Câu 5
Biểu thức: P= −a 2 ab+3b 2 a 1− + (ĐK:a; b0)
Ta có
3P 3a 6 ab 9b 6 a 3 3P a 6 ab 9b 2a 6 a 3
3P a 6 ab 9b 2 a 3 a 3
3P a 2 a 3 b 3 b 2 a 2 a
= − + + − + + −
Trang 4( ) 2
2
− vớia; b0Dấu “=” xảy ra <=>
9 a
a 3 b 0
4
2
4
− =
(thỏa mãn ĐK)
VậyMinA 1
2
= − đạt được <=>
9 a 4 1 b 4
=
=
ĐỀ 2
Câu 1
Cho đường tròn (O; R) đi qua 3 đỉnh tam giác ABC, 0
A = 60 , B = 700
1) Tính số đo các góc BOC, COA, AOB
2) So sánh các cung nhỏ BC, CA, AB
3) Tính BC theo R
Câu 2
Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC với đường tròn (O), SB < SC Một đường thẳng song song với SA cắt dây AB, AC lần lượt tại N, M
1) Chứng minh: Tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC
2) Chứng minh: BCMN là tứ giác nội tiếp
3) Vẽ phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D Chứng minh: SD2= SB.SC
4) Trên dây AC lấy điểm E sao cho AE = AB Chứng minh: AO vuông góc với DE
ĐÁP ÁN Câu 1
ACB 180= − BAC ABC+
70 0 H
60 0
O
A
Trang 5( )
180 60 70 50
Theo hệ quả góc nội tiếp
0 1
BAC BOC BOC 2.BAC 120
2
0 1
ABC AOC AOC 2.ABC 140
2
0 1
ACB AOB AOB 2.ACB 100
2
AC=AOC 140=
Do 1000 1200 1400 nên ABBCAC
3) Kẻ OH⊥BC, OB = OC nên OBC cân tại O nên OH đồng thời là tia phân giác của tam giác OBC
và HB = HC (quan hệ đường kính dây cung)
0 0
120
2
HB OB.sin 60
2
BC 2.HB R 3
Câu 2
1) Do MN // SA nên ANM=SAB(SLT)
mà ACB=SABANM=ACB
Xét AMN và ABC có
ANM=ACB, BAC chung
AMN
đồng dạng với ABC (g.g)
E
D
N
B O
C
A
Trang 62) Theo phần a) có ANM=ACB
0
BCMN là tứ giác nội tiếp
3) Do BAD=CAD, ACB=SAB ta có SAD=SAB BAD+ =ACB CAD+
mà SDA=ACD CAD+ SAD=SDA SADcân tại S SA=SD(1)
Xét SAB và SCA có ACB=SAB, S chung
SAB đồng dạng với SCA (g.g) SA SB SA2 SB.SC
Từ (1) và (2) suy ra SD2 =SB.SC
4) Ta có AED= ABD c.g.c( )ADE=ADB=SAD(theo3)
mà SAD OAD+ =SAO=900ADE OAD+ =900
ĐỀ 3
Câu 1: Giải các phương trình:
1) x2+ 8x = 0
2) x2− 2x 2 + = 2 0
3) 3x2 − 10x + = 8 0
4) 2x2 − 2x 1 + = 0
Câu 2: Cho phương trình bậc hai: x2− 6x + 2m 1 0 − = (1) Tìm m để:
1) Phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
3) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 2 Tìm nghiệm còn lại
4) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệtx1 và x2, thỏa mãn: x1− x2 = 4
Câu 3: Chứng tỏ rằng parabol y = x2và đường thẳng y = 2mx 1 + luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
có hoành độ giao điểm là x1 và x2 Tính giá trị biểu thức: A = x1 + x2 − x12 + 2mx2 + 3
Trang 7ĐÁP ÁN Câu 1
x +8x= 0 x x 8+ = 0
x 0
= hoặc x = - 8
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =0; x2 = − 8
2)x2−2x 2+ = có ' 2 2 02 0 = − =
Nên phương trình có nghiệm kép x1=x2 = 2
3) 3x2−10x 8+ = có ' 25 24 10 = − = = ' 1
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
1
5 1 4
x
3 3
−
= = ;x2 5 1 2
3
+
4) 2x2−2x 1+ = có ' 1 20 = − = − nên phương trình vô nghiệm 1 0
Câu 2
Phương trình (1) có nghiệm kép khi ' 0 = −10 2m= = 0 m 5
Khi đó phương trình có nghiệm kép là:x1=x2 = 3
2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 2m 1 0−
1
m
2
3) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 2 nên 2
2 − +12 2m 1− = 0 2m 9
9
m
2
Theo hệ thức Vi ét ta có x1+x2 = 6
mà x1=2 x2 = 4
Vậy nghiệm còn lại là x2 = 4
4) Theo phần (1) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi
Trang 8Theo hệ thức Vi-et ta có 1 2
1 2
x x 2m 1
x −x = 4 x −x =16 x +x −4x x =16
36 4 2m 1 16
36 8m 4 16
m 3
= (Thỏa mãn)
Câu 3
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol 2
y=x và đường thẳng y=2mx 1+ là 2
x −2mx 1− = (1) 0
có =' m2+ với mọi m 1 0
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x và 1 x 2
Parabol y=x2 và đường thẳng y=2mx 1+ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Theo Hệ thức Vi-ét ta có: 1 2
1 2
Do x là nghiệm phương trình (1) 1
Nên x12−2mx1− = 1 0 x12 =2mx1+1
x +2mx + =3 2m x +x +4 2
x + x = x + x = x +x +2 x x
Từ (1) và (2) suy ra A= 4m2+ −4 4m2+ =4 0
ĐỀ 4
Bài 1
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
b) x2 − 4x + 3 = 0
Trang 9Bài 2
Cho (P): y = x2 và (d): y = x+2
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Tìm t o ạ đ ộ gi ao đi ểm củ a (P ) và (d) bằng phép tí nh
Bài 3: M ột ô tô d ự đ ịnh đi t ừ A đ ến B vớ i v ận t ốc đã đ ịnh N ếu ô t ô đó t ăng v ận tốc
thêm 10km m ỗi giờ t hì đ ến B sớm hơ n d ự định 1 giờ 24 phút, n ếu ô tô gi ảm v ận tốc đi 5
km mỗi giờ thì đ ến B muộn hơ n 1 gi ờ Tính độ dài quãng đư ờng AB và v ận tố c dự đ ịnh
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P
Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp
b) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
c) H và M đối xứng nhau qua BC
Bài 5: Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2(m+1)x+ m – 2 = 0 (1) (m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
ĐÁP ÁN Bài 1
- Giải đúng nghiệm (x; y) = (-1;2) và kl
- Giải đúng và kl tập nghiệm: S = { 1; 3}
Bài 2
a) Lập bảng giá trị và vẽ (P), (d) đúng
b) Xác định đúng tọa độ giao điểm của (P) và (D)
Bài 3
- Chọn đúng 2 ẩn số và đặt đk đúng
- Lập hệ phương trình đúng
- Giải đúng hệ phương trình
- Trả lời đúng quãng đường AB là 280km, vận tốc dđ là 40 km/h
Trang 10Bài 4
H
( (
2
1
1
1
P
N
F
E
M
B
A
O
Vẽ hình đúng, viết gt, kl
a) Cm đúng phần a
b) CM:
=>…….=>AE.AC = AH.AD
CM:
=>…….=>AD.BC = BE.AC
c) CM: BC là đường trung trực của HM => M đối xứng với H qua BC
Bài 5
Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:
Đề 5
Câu 1
1 Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 1)
2 Giải các phương trình sau:
a) x2− 2 x = 0
b) x2 + 3 x + = 2 0
Trang 11c) 1 5
1
− + =
x
Câu 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình)
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì
chu vi của hình chữ nhật là 480 m Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó
Câu 3
Cho phương trình 2
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x12 + x22 = 10
Câu 4
Cho parabol ( ) 2
P : y = x và đường thẳng ( ) d : y = 2 m 3 x ( + ) − 2m + 2
Chứng minh rằng với mọi m parabol (P) và đường thẳng ( )d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương
ĐÁP ÁN Câu 1
1) Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 1)
Thay x = -1; y = 1 vào hàm số y = ax2 ta được 1 = a.(-1)2
Tính được a = 1
2) Giải các phương trình sau:
a) x2−2x=0
<=> x(x - 2) = 0
2
x 0
x 2
=
=
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 ; x = 2
b) x2+3 x + = 2 0
Có a – b + c = 0 ( Tính cũng cho điểm như vậy )
Trang 12 1
2
x 1
x 2
= −
= −
Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 ; x = - 2
1
x
− + =
− − Điều kiện x 2
1 + x – 2 = 5 – x
2x = 6
x = 3 (Thỏa mãn ĐK)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
(Nếu thiếu ĐK, giải ra không đối chiếu ĐK hoặc thiếu cả hai thì trừ 0,25 điểm)
Câu 2
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì
chu vi của hình chữ nhật là 480 m Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó
Gọi chiều dài của hình chữ nhật x (m)
Chiều rộng của hình chữ nhật y ( m )
(điều kiện x > y >0 )
Chiều dài hơn chiều rộng 20 m nên ta có phương trình x – y = 20 (1)
Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m nên ta có phương
trình: ( 2x + 3y ).2 = 480 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y 20
(2x 3y).2 480
− =
Giải hệ ta được x 60
y 40
=
=
Đối chiếu với điều kiện ta thấy x, y thỏa mãn
Vậy chiều dài của hình chữ nhật 60 (m)
Chiều rộng của hình chữ nhật 40 ( m )
Câu 3
1) x2−2mx− =3 0
Trang 13( )2 2
' m 1.( 3) m 3
= − − − = +
Có m2 0 m =' m2+ 3 0 m
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m
2) Với m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2
1 2
x x 2m
x x 3
+ =
= −
(x +x ) −2 x x =10
(2m) − − =2.( 3) 10
4m2 = 4
m 1
=
= −
Vậy m = 1 ; m = -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12+x22 =10
Câu 4
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )p :
2
x =2 m 3 x 2m 2+ − +
2
x 2 m 3 x 2m 2 0 1
' m 3 2m 2 m 4m 11 m 2 7 0 m
= − + − − = + + = + +
Do đó ( )1 có hai nghiệm phân biệt m ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt với m
1 2
x , x là hai nghiệm phương trình ( )1 , áp dụng định lý Viete ta có: 1 2 ( )
1 2
x x 2 m 3
x x 2m 2
+ = +
= −
Hai giao điểm đó có hoành độ dương x , x1 2> 0 1 2
1 2
x x 0
x x 0
+
Trang 14( )
2 m 3 0 m 3
m 1
m 1 2m 2 0
+ −
−
Vậy với m1 thì ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương
Trang 15Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí