Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Khối trụ môn Toán 12 có đáp án chi tiết

Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính đáy r của lon sữa bò bằng bao nhiêu.. A..[r]

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ KHỐI TRỤ

MÔN TOÁN 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khái niệm: Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ

Đường thẳng AB được gọi là trục

Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh

Độ dài đoạn thẳng ABCDh được gọi là chiều cao của hình trụ

Hình tròn tâm A, bán kính rAD và hình tròn tâm B, bán kính rBC được gọi là hai đáy của hình

trụ

Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ

Công thức tính diện tích của hình trụ và thể tích của khối trụ:

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r

Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq 2rh

Diện tích toàn phần của hình trụ: S tp S xq 2.S Ðay 2rh2r2

Thể tích khối trụ: V B h r h2

2 BÀI TẬP

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)Cho hình trụ có bán kính đáy bằng3 Biết rằng khi cắt hình trụ đã

cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông Diện tích xung quanh của hình

A 18 B 36 C 54 D 27

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm các yếu tố của hình trụ

………

3 HƯỚNG GIẢI:

B1: Theo giả thiết ta có r3 Vì thiết diện là hình vuông nên độ dài đường cao là l2r6

B2: Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq 2rl36

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết ta có r3

Vì thiết diện là hình vuông nên độ dài đường cao là h2r6

Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq 2rh36

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Bài 1 Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và

CD thuộc hai đáy của khối trụ Biết AB4 , a BC3a Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A 3

8 a

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có 2

2

AB

r   a

Độ dài đường cao là hBC3a Thể tích khối trụ: 2  2 3

r h a

V   a a

Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC2a Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng

ABCD quanh trục AB

A 3

8 a

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có r BCa

Độ dài đường cao là hAB2a Thể tích khối trụ: V r h2  .2a2 a2a3

Bài 3 Cắt hình trụ  T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích

bằng 30cm2 và chu vi bằng 26cm Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của

hình trụ  T Diện tích toàn phần của hình trụ  T là

A  2

2 cm



C 69  2

2 cm



D  2

Lời giải Chọn C

Gọi r là bán kính mặt đáy, h là đường cao của hình trụ

Thiết diện là hình chữ nhật có kích thước là 2r và h Hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm2 và chu vi bằng 26cmnên có:

2 30

2 2 26

rh

r h





3 2 10

r h

 





 



(Vì chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy)

Diện tích toàn phần của hình trụ

2

2 2 2 10 2

tp

S rh r   



Bài 4 Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh a Diện tích toàn phần của hình trụ đã

cho bằng

A 2 a 2 B

2 3 2

a

 C 4 a 2 D 3 a 2

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết ta có

2

a

r 

Độ dài đường cao là ha Diện tích toàn phần của khối trụ

tp

rh r a

S          

 





Bài 5 Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy Tính bán kính r của đường tròn đáy

A 5 2

2

r B r5 C 5 2

2

r 

D r5 

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có diện tích xung quanh S xq 2rh50 rh25

Độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy nên l2r Đường sinh và đường cao của hình trụ bằng nhau nên: h l 2r

Suy ra: 25 2 25 2 25 5 2

rh r r r   r

Bài 6 Cho hình trụ  T có diện tích xung quanh bằng 24cm2,bán kính đường tròn đáy bằng 4cm Tính

thể tích của khối trụ  T

A 24cm3 B 12cm3 C 48cm3 D 86cm3

Lời giải Chọn C

Ta có: S xq  2 rh 24  rh 12  V r h2  rh r 48

Bài 7 Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng   vuông góc với mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16 Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng   bằng 3 Tính thể tích khối trụ

A 52

3



B 52 C 13 D 2 3

Lời giải Chọn B

Gọi O O là hai tâm của mặt đáy , ' Thiết diện là hình vuông ABB A' ' với A B thuộc mặt đáy chứa tâm , O; A B thuộc mặt đáy ', ' chứa tâm O'

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' ' Thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16Cạnh hình vuông bằng 4 Khoảng cách từ tâm O đáy hình trụ đến mặt phẳng   bằng 3OI 3

Ta có: OA IA2IO2  2232  13 Thể tích khối trụ:  2

2

13 4 52

V r h  

Bài 8 Một hình trụ có chiều cao bằng 5 3 Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng song song với trục, và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

Lời giải Chọn C

Gọi O O là hai tâm của mặt đáy , ' Thiết diện là hình chữ nhật ABB A' ' với A B thuộc mặt đáy chứa tâm , O; A B thuộc mặt ', ' đáy chứa tâm O'

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' ' Hình trụ có chiều cao bằng 5 3AA'5 3

Mặt phẳng song song với trục, và cách trục một khoảng bằng 1OI1 Thiết diện thu được có diện tích bằng 30AB AA '30

3 1 2

OA IA IO    Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq 2rh2 2 5 320 3

Bài 9 Cho AA B B' ' là thiết diện song song với trục OO' của hình trụ (A B, thuộc đường tròn tâm

O) Cho biết AB4,AA'3 và thể tích của hình trụ bằng V24 Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  AA B B ' '  là

A d 1 B d 2 C d 3 D d 4

Lời giải Chọn B

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' '

Ta có: AB4,AA'3 Thể tích khối trụ: V r h2 r2324  r 2 2

Ta có: OA2 IA2IO2  2

2 2 2 =2

OI OA IA

Vậy khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ABB A' ' bằng 2

Bài 10 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A B, nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ góc  45o Tính diện tích xung quanh hình trụ

A

2

5

xq

a

2

3 3

xq

a

S 

2

3 4

xq

a

S 

2

3 2

xq

a

S 

Lời giải Chọn D

Gọi M N I, , lần lượt là trung điểm của AB CD OO, , ' Dễ chứng minh M N I, , thẳng hàng

Góc giữa ABCD và mặt đáy là góc  OMI 45o

Ta có:

2

a

IM  , do đó 2

4

a

OM OI 

Suy ra ' 2

2

a

hOO  và ' 6

4

a

rO C

Diện tích xung quanh của hình trụ:

2

2

2 2

4 2

xq

a

S  rh  a a

Bài 11 Cho một khối trụ có bán kính đáy ra và chiều cao h2a Mặt phẳng  P song song với

trục OO' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục

'

OO , V2 là thể tích phần còn lại của khối trụ Tính tỉ số 1

2

V

V , biết rằng  P cách OO' một

khoảng bằng 2

2

a

A 3 2

2







2







2







2









Lời giải Chọn A

Gọi  H là phần khối trụ chứa trục 1 OO';  H2 là phần còn lại của khối trụ

Gọi ABB A' ' là thiết diện do mặt phẳng  P khối trụ

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' ' Thể tích khối trụ: V r h2 a22a2a3

Ta có:  P cách OO' một khoảng bằng 2 2

OI

Ta có: 2 2 2

OA IA IO

2

=

IA OA OI a  

Diện tích hình quạt AOB là

.90

360 4

a a

Diện tích tam giác AOB là 1 2

2a

Suy ra diện tích hình viên phân ứng với  H2 là:

2

a

a a

   

Diện tích hình viên phân ứng với  H là: 1 2 2 2 3 2 2

Vì  H và 1  H2 có cùng chiều cao nên 1 2 2

2

:

V

V





Bài 12 Một khối trụ có thể tích bằng 6 Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?

A 54 B 162 C 27 D 18

Lời giải Chọn A

Gọi r r1; 2 lần lượt là bán kính của mặt đáy hình trụ trước và sau khi tăng bán kính đáy

1

2 1

2

1 3

3

r

r r

r

Ta có:

2

2

2 1

2

1 9

V r h r

r h r V





 

  V2 9V154

Bài 13 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò có hình trụ với thể tích bằng V , nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất thì chiều cao h của lon sữa bò bằng bao nhiêu?

A 3 4V

h



3

V h



4

V h



5

4V

h



Lời giải Chọn A

Ta có: 2

h

V r h r V



Diện tích toàn phần của lon sữa là:

 

2 2

Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số: S h  2 Vh 2V h 0

h



S h      

  2

2

S h

h h



h h



h



h



Bảng biến thiên của hàm số S h  2 Vh 2V h 0

h



Từ bảng biến thiên suy ra S h đạt giá trị nhỏ nhất khi   3 4V

h



Bài 14 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò có hình trụ với thể tích bằng V , nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính đáy r của lon sữa bò bằng bao nhiêu?

A 3

2

V r



r



2

V r



r





Lời giải Chọn A

Gọi r r 0 là bán kính đáy của lon sữa

Khi đó 2

2

V r h h V

r







Diện tích toàn phần của lon sữa là:

2

2



Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số:   2 2 

V

r 

2

r 

  

2

2

2

r





Bảng biến thiên của hàm số   2 2 

V

r 

Từ bảng biến thiên suy ra S r đạt giá trị nhỏ nhất khi   3

2

V r



Bài 15 Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

3

1000cm Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng:

A 3 5 10

r cm



r cm



10

r cm



r cm



Lời giải Chọn B

Gọi r r 0 là bán kính đáy của lon sữa

Khi đó 2

2

V r h h V

r







Diện tích toàn phần của lon sữa là:

2

2



Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số:   2 2 

V

r 

2

r 

  

2

2

2

r





2

r

Bảng biến thiên của hàm số   2 2 

V

r 

Từ bảng biến thiên suy ra S r đạt giá trị nhỏ nhất khi   3 500

r cm

Bài 16 Mặt phẳng chứa trục của một hình trụ cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 12 cm Tìm

giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ tương ứng

A  2

Lời giải Chọn A

Ta có: 2

h

V r h r V



Gọi r (cm) là bán kính đáy, h (cm) là đường cao của hình trụ

Thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 2r và h

Ta có: 4r12h122r    h 6 h 6 2r Thể tích của khối trụ: 2 2  6 2 3

3

V r hr  r       

Dấu bằng xảy ra khi r 6 2r r 2

Vậy giá trị lớn nhất của của thể tích khối trụ là 8

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí