Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về tích phân xác định

TRẦN THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018... TRẦN THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI T

TRẦN THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO

CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

TRẦN THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO

CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Luận văn này được hoàn thiện tại Khoa Toán, Trường đại học Sư phạm

Đà Nẵng, dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Quý Mười Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy về sự chỉ bảo và hướngdẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm luận văn này

Trong suốt quá trình tác giả nghiên cứu, tác giả luôn nhận được sựquan tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy,

cô giáo ở Khoa Toán, Trường đại học Sư phạm Đà Nẵng Từ đáy lòngmình, tác giả xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo của Khoa Toán vàTrường đại học Sư phạm Đà nẵng, Ban giám hiệu Trường THPT NgũHành Sơn đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập và nghiêncứu

Xin chân thành cảm ơn các anh, chị em trong lớp cao học Phương pháptoán sơ cấp khoá 32 và các bạn bè đồng nghiệp xa gần đã luôn bên cạnhđộng viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tạiTrường đại học sư phạm Đà Nẵng

Luận văn này là món quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đìnhthân yêu của mình với tất cả tấm lòng biết ơn, yêu thương và trân trọng

Tác giả luận văn

TRẦN THỊ THU THỦY

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH4 1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4

1.2 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 6

1.2.1 Khái niệm tổng Darboux và các tính chất 6

1.2.2 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 7

1.3 CÁC LỚP HÀM KHẢ TÍCH 9

1.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 9

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 10

1.5.1 Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm 11

1.5.2 Phương pháp đổi biến 11

1.5.3 Phương pháp tích phân từng phần 12

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 13

2.1 BÀI TOÁN XÉT TÍNH KHẢ TÍCH CỦA HÀM SỐ 13

2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 15

2.2.1 Bài toán tính tích phân bằng định nghĩa 15

2.2.2 Dùng tích phân cơ bản và công thức Newton - Leibnitz để tính tích phân 17

2.2.3 Bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến 20 2.2.4 Bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 25

29

2.3.1 Bài toán tính diện tích hình phẳng 29

2.3.2 Tính thể tích khối tròn xoay 35

2.4 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 38

2.4.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân 38

2.4.2 Định lý về giá trị trung bình trong chứng minh bất đẳng thức tích phân 44

2.5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BẰNG TÍCH PHÂN 46

2.6 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CHỨA C k n BẰNG TÍCH PHÂN 48

CHƯƠNG 3 SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 52

3.1 SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN 52

3.1.1 Sáng tạo bài toán mới bằng phương pháp đổi biến 52

3.1.2 Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa trong sáng tạo bài toán tích phân 54

3.1.3 Sử dụng phương pháp tổng quát hóa trong sáng tạo bài toán tích phân 58

3.2 SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 62

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong toán học,

lí thuyết tích phân được ứng dụng rộng rãi như tính diện tích hình phẳng,thể tích khối tròn xoay, nó còn là đối tượng nghiên cứu của ngành giảitích, là nền tảng cho lí thuyết hàm, lí thuyết phương trình vi phân, phươngtrình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, vật lí Trong chương trình toán

ở trường trung học phổ thông, lí thuyết tích phân được đưa vào đầu học

kì II lớp 12 với thời lượng 16 tiết, bao gồm các nội dung: Nguyên hàm,tích phân và ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, tính thể tíchkhối tròn xoay Lí thuyết tích phân cũng được giảng dạy phổ biến tronghầu hết các trường đại học, cao đẳng cho sinh viên các năm nhất, năm haivới lượng kiến mở rộng hơn Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng đa

số học sinh đều khó khăn, lúng túng trong việc nhận dạng và giải các bàitoán về tích phân Bản thân giáo viên cũng có hạn chế trong việc tự ra cácbài toán liên quan về tích phân Bên cạnh đó, trong các đề thi tốt nghiệpTHPT, học sinh giỏi cấp thành phố, cấp Quốc gia, Olympic luôn xuấthiện các bài toán về tích phân Hơn nữa, một trong những yêu cầu của

đề thi là các câu hỏi trong đề thi chưa có từ bất cứ tài liệu nào Vì thế,bên cạnh kiến thức về lí thuyết tích phân và kĩ năng giải các bài toán vềtích phân, thì kĩ năng sáng tạo các bài toán mới về tích phân cũng là mộtyêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên Với tầm quan trọng của tíchphân và với mong muốn hệ thống lại kiến thức về tích phân, hiểu sâu hơnnữa về các kĩ năng và phương pháp giải, đặc biệt kĩ năng sáng tạo các bàitoán về tích phân – một yêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên, tôi đãchọn đề tài :” PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN

VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH” làm đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ chomình Luận văn chủ yếu chuyên sâu vào củng cố lí thuyết về tích phân xác

định và phương pháp giải Luận văn cũng trình bày một vài phương phápsáng tạo ra các bài toán mới về tích phân.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức về Tích phân và các phương phápgiải trong các tài liệu tham khảo khác nhau, luận văn trình bày, tổng hợp,sắp xếp lại lí thuyết về tích phân và các phương pháp giải cho các bài toántích phân Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thức sángtạo ra các bài toán về tích phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Lí thuyết về tích phân xác định

• Các phương pháp giải các bài toán và ứng dụng của tích phân xácđịnh

• Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về tích phân

• Nghiên cứu lí thuyết về tích phân, các phương pháp giải và sáng tạocác bài toán về tích phân xác định

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về tích phân xácđịnh ” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

• Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp

• Nghiên cứu các phương pháp giải đã có trong bài toán về tích phân

• Nghiên cứu các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết và thực tiễn Tạo được một chuyên đềphù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Có

thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngànhtoán, giáo viên phổ thông giảng dạy toán và các đối tượng quan tâm đến

lí thuyết tích phân, đem lại niềm đam mê sáng tạo các bài toán mới xuấtphát từ các dạng toán cơ bản nhất

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành 3 chương, trong đó:

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trình bày các kiến thức về định nghĩa tích phân xác định, điều kiệnkhả tích, các lớp hàm khả tích và nhắc lại các tính chất của tích phân xácđịnh

Chương 2: CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Trình bày các phương pháp giải các bài toán về xét tính khả tích củahàm số, các phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa, công thức New-ton - Leibnitz, phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân từng phần,phương pháp tính diện tích hình phẳng, phương pháp chứng minh bấtđẳng thức tích phân và tính giới hạn của một tổng

Chương 3: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNHTrình bày một số hướng sáng tạo ra các bài toán mới về tính tích phân

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trong chương này, tôi trình bày lại các khái niệm cơ bản, các tính chất,kết quả về tích phân xác định Nội dung trong chương được trình bày baogồm các nội dung:

1 Định nghĩa về tích phân xác định

2 Điều kiện khả tích

3 Các lớp hàm khả tích

4 Nhắc lại các tính chất của tích phân xác định

Những định nghĩa, tính chất, định lý và các chứng minh ở chương nàyđược tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3]

1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định nghĩa 1.1.1 Cho đoạn [a; b] Ta chia đoạn [a; b] thành n đoạn conbởi các điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Khi đó, tập hợp hữu hạncác điểm {xi}n

i=0, ký hiệuT = {x0, x1, , xn}được gọi là phép phân hoạchbất kỳ của đoạn [a; b]

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử hàm f(x) xác định trên [a; b] và phép phânhoạch

T = {a = x0 < x1 < x2 < < xn = b}

Ký hiệu ∆xi = xi+1 − xi, λ = max

i ∆xi, i = 0, n, λ gọi là đường kínhphân hoạch, kí hiệu λ = d (T )

Trong mỗi đoạn [xi; xi+1] (i = 0, 1, 2, , n) chọn một điểm ξ tùy ý vàlập biểu thức Sn =

Nếu tồn tại giới hạn I = lim

λ →0Sn (không phụ thuộc vào phép phân hoạch

T và cách chọn ξi) thì số I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x)

trên đoạn [a; b] và ký hiệu

Như vậy, theo định nghĩa, nếu f là hàm khả tích trên [a; b], ta có

Chứng minh Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a; b].Bởi vì hàm f không bị chặn trên [a; b] nên với một phân hoạch T ={x0, x1, , xn} bất kỳ của đoạn [a; b], hàm f không bị chặn ít nhất trênmột đoạn con nào đó Không mất tính tổng quát, ta giả sử nó không

bị chặn trên [x0; x1] Khi đó trong các đoạn còn lại [x1; x2], [x2; x3]; ;

[xn −1; xn], ta chọn các điểm tùy ý ξ1, ξ2, , ξn và ký hiệu

Do đó, tổng tích phânSn không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa

là tích phân xác định của hàm f không tồn tại

Định lý trên là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ để hàm số

là khả tích, nghĩa là tồn tại hàm số bị chặn mà không khả tích

Ví dụ 1.1.4 Ta xét hàm Dirichlet, D : R →R được cho dưới dạng

D(x) =



0 nếu x vô tỷ

1 nếu x hữu tỷGiải Giả sử [a; b] là đoạn tùy ý còn T là một phân hoạch bất kỳ củađoạn này Chọn trên mỗi đoạn [xi; xi+1] của phân hoạch một điểm vô tỷ

1.2.1 Khái niệm tổng Darboux và các tính chất

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trên [a; b] Xétphân hoạch T = {x0, x1, , xn = b} trên đoạn này

ωi = Mi− mi, ωi gọi là đại lượng dao động của f trên [xi; xi+1]

Sn và Sn lần lượt được gọi là tổng Darboux dưới và trên của hàm f(x)

trên đoạn [a; b] Nếu đặt Sn = nP−1

i Tính chất 1 Tổng Darboux trên (dưới) tương ứng với phân hoạch

T = {xi}ni=0 của đoạn [a; b] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phânRieman với phân hoạch T Tức là với mỗi cách chọn điểm ξi ∈ [xi; xi+1],

ii Tính chất 2 Khi tăng số điểm chia trong phân hoạch T = {xi}ni=0

thì tổng Darboux dưới tăng lên và tổng trên giảm xuống

iii Tính chất 3 GọiS1,S1 lần lượt là tổng dưới, tổng trên ứng với phânhoạch T1 và S2,S2 lần lượt là tổng dưới, tổng trên ứng với phân hoạch T2.Khi đó, S1 ≤ S2

Giả sử Sn và Sn là tập hợp tất cả các tổng Darboux dưới và trêncủa hàm f(x) giới nội trên [a; b]

Từ Tính chất 2 và 3 suy ra tập hợp tất cả các tổng Darboux dưới {Sn}ứng với các phân hoạch T khác nhau của [a; b] là tập hợp bị chặn trên nên

có cận trên đúng hữu hạn: I∗ = sup{Sn}, I∗ ≥ Sn Tương tự tập hợp cáctổng Darboux trên {Sn} bị chặn dưới, nên có cận dưới đúngI∗ = inf{Sn}

Ta có bất đẳng thức

Sn ≤ I∗ ≤ I∗ ≤ Sn

1.2.2 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định

Định lí 1.2.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) khả tích trên [a; b] là

Chứng minh • Điều kiện cần Giả sử f(x) khả tích trên [a; b], khi đó tồn

tại giới hạn lim

λ →0Sn = I với mọi phân hoạch T = {xi}, ∀ξi ∈ [xi; xi+1]

≤ Sn− I ≤ Sn − Sn

,∀T = {xi}, ∀ξi ∈ [xi; xi+1].Theo (1.8), ta thu được lim

λ →0Sn = I, tức là tích phân xác định tồntại

Nhận xét: Nếu f(x) khả tích theo Rieman trên đoạn [a; b] thì

I∗ = I∗ = I

1.3 CÁC LỚP HÀM KHẢ TÍCH

Trong phần này, chúng ta xét một vài lớp hàm khả tích, tức là các hàm

mà tích phân xác định của nó tồn tại

Định lí 1.3.1 Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) khả tích trên [a; b].Chứng minh Do f(x) liên tục trên [a; b] nên liên tục đều trên [a; b], tức là

∀ξ > 0, ∃δ > 0, ∀x′, x” ∈ [a; b] sao cho |x′− x”| < δ thì |f(x′) − f(x”)| <

Vậy hàm f(x) khả tích trên [a; b]

Nhận xét Điều kiện của định lý này quá khắt khe đối với hàm dưới dấutích phân Sau đây chúng ta sẽ đưa ra một số hàm khả tích rộng hơnĐịnh lí 1.3.2 Hàm bị chặn và có cùng lắm một số hữu hạn điểm giánđoạn loại một trên [a; b] thì khả tích trên [a; b]

Định lí 1.3.3 Hàm f(x) đơn điệu, bị chặn trên [a; b] thì khả tích trênđoạn này

1.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNHĐịnh lí 1.4.1 Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b] Ta có:

(trong đó α, β là hằng số) cũng khả tích trên [a; b] và

1.5.1 Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàmĐịnh nghĩa 1.5.1 Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] Hàm F(x) được gọi

là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a; b] nếu

b

a = F (b) − F (a) (1.14)Công thức (1.14) được gọi là công thức Newton - Leibnitz

1.5.2 Phương pháp đổi biến

Định lí 1.5.3 Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] Giả sử hàm số x =

ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] sao cho ϕ(α) = a, ϕ(β) = b và

ii Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên [−a; a] thì

Z

−T2

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Chương này trình bày một số dạng toán cơ bản của tích phân xác định.Đối với mỗi dạng toán, trước tiên trình bày sơ lược về phương pháp giải

và sau đó trình bày một số ví dụ, bài tập minh họa Cấu trúc chương 2bao gồm các nội dung chính sau:

- Bài toán xét tính khả tích của hàm f(x)

- Bài toán tính tích phân bằng định nghĩa, bằng phương pháp đối biến

và phương pháp tích phân từng phần

- Bài toán chứng minh bất đẳng thức tích phân

- Bài toán tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

- Bài toán tính giới hạn của dãy và tính tổng của chuỗi

- Bài toán tính tổng bằng tích phân

Các ví dụ trong chương này, được tác giả tham khảo ở các tài liệu [1],[3], [4], [5], [6], [7], [8]

2.1 BÀI TOÁN XÉT TÍNH KHẢ TÍCH CỦA HÀM SỐ

Bài toán: Xét tính khả tích của hàm số f(x) trên [a; b]

Phương pháp

Để xét tính khả tích của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] ta có thể dựa vàocác định lý về các lớp hàm khả tích đã được trình bày trong chương I Đólà

i Hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó

ii Hàm bị chặn và có cùng lắm một số hữu hạn điểm gián đoạn loạimột trên [a; b] thì khả tích trên [a; b]

iii Hàm f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a; b] thì khả tích trên đoạn đó.Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng định lý về điều kiện cần và đủ để hàm

số f(x) khả tích Tuy nhiên việc sử dụng định lý này khá phức tạp nênluận văn không đề cập đến trường hợp này.

1 − t liên tục trên khoảng đó

Tại các điểm x = 0, x = 1 hàm số f(x) liên tục

Suy ra hàm số liên tục tại x = t

Vậy f(x) liên tục trên [0; 1], do đó f(x) khả tích trên [0; 1]

Ví dụ 2.1.2 Xét tính khả tích của hàm số sau trên [0; 1]

2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN2.2.1 Bài toán tính tích phân bằng định nghĩa

Bài toán Tính tích phân

.Một số ví dụ minh họa

Theo định nghĩa tích phân, ta có



π2n =

π2n

n −1

X

i=0

sin π2n.i

(n − 1)π4sin π4n

Newton - Leibnitz Trong trường hợp hàm số f(x) không phải là hàm số

cơ bản thì ta phân tích tích phân đã cho về tổng, hiệu các tích phân cơ

bản và áp dụng công thức Newton - Leibnitz để tính tích phân

Z

−1

2x2 − 5x − 3

x3 + x2 − 2xdx.Giải Ta sử dụng phương pháp tính tích phân hàm hữu tỷ, phân tích

tích phân về dạng tổng của các tích phân cơ bản

B = −2

C = 52

Suy ra

I =

−1 2

− 1 +

52

−1 2

−1 = −1

2ln 3.

Ví dụ 2.2.7 Tính

π 2

5

+



1 − cos 2x2

Z

0

sin x + 7 cos x + 5

4 sin x + 3 cos x + 5dx.Phương pháp giải

Đây là bài toán có dạng I =

a1sin x+b1cos x+c1 = A (a2sin x + b2cos x + c2)′+B (a2sin x + b2cos x + c2)+C

Cân bằng hệ số 2 vế để đưa về một hệ phương trình gồm 3 ẩn A, B, C

sin x + 7 cos x + 5 = A (4 cos x − 3 sin x) + B (4 sin x + 3 cos x + 5) + C

⇔ sin x + 7 cos x + 5 = (−3A + 4B) sin x + (4A + 3B) cos x + 5B + C

Cân bằng hệ số hai vế, ta có

( −3A + 4B = 14A + 3B = 75B + C = 5 ⇔

0 + x

π 2

Từ định lý về phương pháp đổi biến đã nêu trong chương 1, ta có:

Phương pháp đổi biến dạng 1 như sau:

Bước 1: Đặt x = u(t) ( với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [α; β],

f[u(t)] xác định trên (α; β) và u(α) = a, u(β) = b) và xác định α; β

Bước 2: Thay vào I =

π 2

Đặt cos x = t, suy ra dt = − sin xdx.

3 arctan

t

√3

1

−1

π√39

Suy ra I = π

2.

π√3

π2√3

Giải Xét hàm số f(x) = lnsin x +p1 + sin2x liên tục trên [0; 2π]

tuần hoàn với chu kỳ 2π

0

ln (cos x) dx

Tuy nhiên, trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp

đổi biến loại 1 không thực hiện được thì ta có thể sử dụng phương pháp

đổi biến dạng 2 sau đây:

Phương pháp đổi biến dạng 2 Nếu tích phân có dạngI =

Khi đó dx = t

2 − 2t + 22(t − 1)2 dt.Đổi cận x = 0 ⇒ t = √2 và x = 0 ⇒ t = 2

1(t − 1)2 + 1dt

= 2 ln |t|

|t − 1|

1(x − 1)2 + 1dx

Đặt x− 1 = tan t suy ra dx= 1

cos2tdt

π 4

Z

π 8

Giải Đây là tích phân có dạng

Đặt 2x + 1 = t suy ra x = t− 1

2 , khi đó dx = 1

2dt.Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 3

3

1

= 132

Z

0

sinnxsinnx+ cosnxdx

Giải Nhận xét: ta có

sinnxsinnx+ cosnx + cos

nxsinnx+ cosnx = 1

Ta xét J =

π 2

Z

0

cosnxsinnx+ cosnxdx.

Đặt x = π

2 − t suy ra dx = −dt.Đổi cận x = 0 ⇒ t = π2 và x = π2 ⇒ t = 0

⇒ J =

0

Z

π 2

− cosnπ

2 − tsinnπ

Z

0

sinntsinnt+ cosntdt =

π 2

Z

0

sinnxsinnx+ cosnxdx = I

Mà I + J =

π 2

sẽ chọn từ f(x)dx hai đại lượng u và dv thỏa 3 điều kiện

• udv = f(x)dx với u 6= 1 và dv phải chứa dx

• Chọn dv sao cho tính được v dễ dàng

• Chọn u sao cho u′ đừng quá phức tạp, nhờ đó tính được

Dấu hiệu sử dụng tích phân từng phần trong trường hợp tổng quát là

• Không nhìn thấy dấu hiệu của các phương pháp khác

Z

0

e2x.cos2xdx.Giải Ta biến đổi

π 2

0 + 12

π 2

π 2

Z

0

e2x.cos 2xdx.Đặt u = e2x suy ra du = 2e2xdx,

0−

π 2

Z

0

e2xsin 2xdx = −

π 2

Z

0

e2xsin 2xdx.Đặt u = e2x, suy ra du = 2e2xdx,

0 +

π 2

+ 34dx

1

0 + 32

2

+ 34dx

= 3

4ln 3 +

32

2

+ 34dx

Đặt x+ 1

2 =

√3

2 tan t, suy ra dx =

√3

2 1 + tan

2t

dt.Đổi cận

6

π3

dx =

π 3

Z

π 6

√3

2 .

1 + tan2t
3

Z

π 6

3

4ln 3 +

π√3

2

2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG - THỂTÍCH KHỐI TRÒN XOAY

2.3.1 Bài toán tính diện tích hình phẳng

Bài toán 2.3.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong.Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

b) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

( (C1) : y = f (x)(C2) : y = g(x)(C3) : y = h(x)

Phương pháp

• Bước 1 Giải phương trình tương giao để tìm hoành độ giao điểm

( f(x) = g(x)g(x) = h(x)

Ví dụ 2.3.4 (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A, 2002)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  y = ... nhiên, số trường hợp tính tích phân phương pháp

đổi biến loại khơng thực ta sử dụng phương pháp

đổi biến dạng sau đây:

Phương pháp đổi biến dạng Nếu tích phân có dạngI =

Khi... data-page="37">

2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG - THỂTÍCH KHỐI TRỊN XOAY

2.3.1 Bài tốn tính diện tích hình phẳng

Bài tốn 2.3.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong.Diện tích. ..

π 2

Từ định lý phương pháp đổi biến nêu chương 1, ta có:

Phương pháp đổi biến dạng sau: