Phương pháp ẩn phụ trong giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Trong chương trình toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, học sinh được làm quen với phương pháp ẩn phụ khi giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, tuy nhiên với một thời l

TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM

XOKTILATH CHANLANOUVONG

P H NGăPHÁPăẨNăPHỤăTRONGă

LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOA H C

ĐƠăN ngă- N mă2018

TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM

XOKTILATH CHANLANOUVONG

P H NGăPHÁPăẨNăPHỤăTRONGă

Chuyên ngành: Ph ngăpháp Toán s ăc p

Mưăsố:ă60.46.01.13

LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOA H C

Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăNGUYỄNăNG CăCHÂU

ĐƠăN ngă- N mă2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa rừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

XOKTILATH CHANLANOUVONG

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của luận văn 2

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 KHÁI NIỆM BIẾN, ẨN, ẨN PHỤ 3

1.2 PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 4

1.3 CÁC KẾT QUẢ CẦN THIẾT 5

1.3.1 Một số kết quả đại số 5

1.3.1.1 Hai bất đẳng thức cơ bản 5

1.3.1.2 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 5

1.3.2 Một số hệ thức lượng giác 6

Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 9

2.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 9

2.1.1 Giải phương trình đa thức, phương trình hữu tỉ 9

2.1.1.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 9

2.1.1.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 15

2.1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình 17

2.1.1.4 Đặt ẩn phụ lượng giác 19

2.1.2 Giải phương trình vô tỉ 21

2.1.2.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 21

2.1.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 25

2.1.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 26

2.1.3.1 Giải phương trình hàm số mũ 34

2.1.3.2 Giải phương trình hàm số logalit 36

2.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 38

2.2.1 Giải hệ phương trình bằng ẩn phụ đại số 38

2.2.2 Giải hệ phương trình bằng ẩn phụ lượng giác 42

Chương 3 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁPẨN PHỤ 46

3.1 Giải bất phương trình đa thức, bất phương trình hữu tỉ 46

3.1.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 46

3.1.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 49

3.2 Giải bất phương trình vô tỉ 53

3.2.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 53

3.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 58

3.2.3 Đặt ẩn phụ đưa bất phương trình về hệ bất phương trình 60

3.2.4 Đặt ẩn phụ lượng giác 62

3.3 Giải bất phương trình hàm số mũ, hàm số logalit 64

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là những nội dung cơ bản

và quan trọng của chương trình toán bậc phổ thông Có nhiều phương pháp giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, trong đó phương pháp ẩn phụ tỏ ra có hiệu quả đối với một số lớp phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Trong chương trình toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, học sinh được làm quen với phương pháp ẩn phụ khi giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở mức độ nhất định Việc vận dụng phương pháp ẩn phụ vào giải toán cũng như rèn luyện kỹ năng này là cần thiết đối với học sinh phổ thông

Là một giáo viên giảng dạy toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, là một học viên đang học sau đại học ngành phương pháp toán sơ cấp tôi muốn tìm hiểu kĩ phương pháp ẩn phụ trong giải toán, nên tôi chọn đề tài: “Phương pháp

ẩn phụ trong giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình” cho luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu các dấu hiệu để nhận biết một phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có thể giải được bằng phương pháp ẩn phụ

2 Hệ thống và phân loại các lớp bài toán giải được bằng phương pháp ẩn phụ

3 Đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán, cùng với những ví dụ minh hoạ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1 Khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ trong giải toán

2 Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thuộc chương trình phổ thông (của Việt Nam và Lào)

4 Phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua các sách giáo khoa, sách tham khảo, các tạp chí toán và các tài liệu trên internet

2 Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống các tài liệu sưu tầm được để thực hiện luận văn

3 Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn và các chuyên gia

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày sơ lược khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ Nhắc lại một số hệ thức đại số và hệ thức lượng giác để làm cơ sở cho các chương sau

Chương 2 Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp ẩn phụ Trình bày phương pháp ẩn phụ để giải các phương trình và các hệ phương trình đại số

Chương 3 Giải bất phương trình bằng phương pháp ẩn phụ

Chương này trình bày phương pháp ẩn phụ để giải các bất phương trình đại số

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này giới thiệu sơ lượt khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ, và nhắc lại một số hệ thức đại số, hệ thức lượng giác để làm cơ sở cho các chương sau

1.1 KHÁI NIỆM BIẾN, ẨN, ẨN PHỤ

Thuật ngữ biến dùng để chỉ các đại lượng (chẳng hạn các đại lượng vật lý như khối lượng, thời gian, các đại lượng hình học như độ dài, diện tích, thể tích, ) có thể nhận các giá trị khác nhau trong một tập hợp nào đấy (được gọi

là miền biến thiên của nó) Theo quan điểm động, người ta gọi chúng là các đại lượng biến thiên, hay đơn giản là các biến Nếu tập hợp các giá trị của biến là tập hợp số thì nó được gọi là biến số Nói cách khác biến số là một đại lượng có thể nhận giá trị bất kỳ, không bắt buộc phải có duy nhất một giá trị (không có giá trị nhất định), biến số là đại lượng có thể thay đổi giá trị trong một tình huống có thể thay đổi Ngược lại với khái niệm biến số là khái niệm hằng số Hằng số là một số không thể thay đổi trong bất kỳ các tình huống nào Cũng có những biến không phải là biến số như: biến lôgic, biến Boolean, biến ký tự, Giá trị của các biến thường liên quan với nhau Khi xét quan hệ giữa các biến với nhau, các biến mà độc lập với các biến khác được gọi là các biến độc lập, các biến mà nhận giá trị phụ thuộc vào những biến khác, được gọi là biến phụ thuộc

Khi xét quan hệ phụ thuộc giữa các biến, mà đã biết giá trị của một số biến nào đó, ta có thể xác định giá trị của một hoặc nhiều biến chưa biết Khi đó các biến cần tìm giá trị được gọi là các ẩn (ẩn số), các biến đã biết giá trị được gọi là các tham biến (tham số), còn hệ thức biểu diễn mối liên hệ giữa các biến (thường là một đẳng thức, bất đẳng thức) được gọi là các phương trình, bất phương trình, việc tìm giá trị của các ẩn được gọi là giải phương trình, bất

phương trình Các giá trị tìm được của các ẩn được gọi là nghiệm của phương trình, bất phương trình

Ẩn phụ là ẩn mới, khác với ẩn đã cho ban đầu của bài toán, có tác dụng cải tiến hoặc chyển hóa bài toán, được đặt ra nhằm đơn giản hóa bài toán về dạng cơ bản hoặc những dạng đã biết cách giải Ẩn phụ đại diện cho những biểu thức nào đó với các điều kiện cụ thể, chúng thường được đặt ra khi bài toán chứa những biểu thức có quan hệ với nhau như: giống nhau, đối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch đảo nhau

1.2 PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp khá phổ biến đối với một số lớp bài toán như: giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Phương pháp ẩn phụ khá đa dạng, có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn (còn ẩn đã cho ban đầu), có thể đặt một hoặc nhiều ẩn phụ, có thể dùng ẩn phụ đại số hoặc ẩn phụ lượng giác Tùy vào từng bài toán cụ thể mà chọn ẩn phụ thích hợp

Có nhiều bài toán mà dấu hiệu ẩn phụ không xuất hiện ngay từ các dữ liệu ban đầu mà chỉ xuất hiện sau một quá trình biến đổi, trường hợp cần đến những kinh nghiệm mang tính kỹ thuật trong giải toán

Quy trình của phương pháp ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình

Bước 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ Từ giá trị của ẩn phụ vừa tìm được ta tìm ẩn chính ban đầu, đối chiếu với điều kiện

và kết luận

1.3.1.2 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

a ) Phương trình, bất phương trình chứa căn :

A B

b ) Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

Từ tính đơn điệu của hàm số mũ, ta có với mọi a0 thì:

a 1 M,N

0 1

0 1a

aMM

aM

10log log

0 11a

aMM

aM

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

tan tantan 1 tan tan

tan tantan 1 tan tan

c ) Công thức nhân đôi

sin 2 2 cos 1 22 tan 2 2 2 2 ,

g ) Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

h ) Công thức biến đổi tích thành tổng

1sin sin 2 os os

1sin cos 2 sin sin

Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ẨN PHỤ

Một bộ phận khá lớn các phương trình, hệ phương trình có thể giải được bằng cách dùng ẩn phụ Khi giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp ẩn phụ, ta có thể dùng một hoặc nhiều ẩn phụ; có thể dùng những ẩn phụ

có tính chất khác nhau, chẳng hạn ẩn phụ đại số hoặc ẩn phụ lượng giác Tùy thuộc vào từng phương trình, hệ phương trình mà lựa chọn việc đặt ẩn phụ cho thích hợp Nói chung việc dùng ẩn phụ để giải phương trình, hệ phương trình là khá đa dạng và phong phú

Từ đây về sau (kể cả chương sau) các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đều được giải trong trường số thực

2.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

2.1.1 Giải phương trình đa thức, phương trình hữu tỉ

2.1.1.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn

Đặt ẩn phụ hoàn toàn là phương pháp ẩn phụ mà phương trình mới thu được không còn ẩn ban đầu Ta có một số dạng phương trình như sau:

a) Các phương trình có đặc trưng “ trùng phương ” : ax2 nbxn   c 0

Ta đặt ẩn phụ t x ( nếu n chẵn thì có điều kiện t n 0 )

Bài toán 1 Giải phương trình 2x6   x3 3 0

Lời giải Đặt t x , phương trình đã cho trở thành 3 2t2   t 3 0

 1 3

2

tt

132

xx

Lời giải Đặt t x , điều kiện 4 t0

Phương trình trở thành t3   3 4 0t

 

  t 1 tháa ®iÒu kiÖn cña t4 0 kh«ng tháa ®iÒu kiÖn cña t

 t 1 x4   1 x 1 thỏa điều kiẹn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x 1

Bài toán 3 Giải phương trình  2  2 2 

1 2 4 4 1 27

     

x x x x (1) Lời giải Phương trình (1)   2  2 2 

1 8 1 33

x  x  x   x (2) Đặt t x    phương trình (2) trở thành t2 x 1 0, 2+ 8t – 33 = 0

 t 3 (11 0 ( kh ng t





   



tho¶ ®iÒu kiÖn cña t )

« tho¶ ®iÒu kiÖn cña t )Với 3t   x 1, x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 2 x1và x2.

2 2 64

t  t   t3 + 12t – 32 = 0  ( t – 2 )( t2+ 2t + 16 ) = 0

 t = 2  x = 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x5

Bài toán 5 Giải phương trình   4 4

3 5 16

x  x  Lời giải Đặt t = x– 4 ; phương trình trở thành    4 4

1 1 16

t   t   t4 6t2   7 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 3 x 5

Bài toán 6 Giải phương trình 2x3 3 x 4 3  1 3x3

Lời giải Đặt u = 2 x – 3; v = x + 4 suy ra u + v = 3 x + 1;

Phương trình đã cho trở thành 3 3  3

u   v u v  u3 + v3 = u3 + v3+ 3uv( u + v )  uv ( u + v ) = 0

Bài toán 7 Giải phương trình  2

4x3 ( x + 1 ) ( 2x + 1 ) = 9 (1) Lời giải 1 Phương trình (1)    2  

4x3 4x4 4x 2 9.8 (2) Đặt t 4x 3 phương trình (2) trở thành t2( t + 1 ) ( t –1 ) = 72

 t ( t2– 1 ) = 72  t4– t 2– 72 = 0

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x  và 2 x  2 10

d) Các phương trình có dạng đặc trưng "nghịch đảo"

   b 0

x

    , với ( ) x là một phân thức hữu tỉ theo x

Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ t  x

Bài toán 9 Giải phương trình 2 2 1

3

x

x + 2

2 1x

x  = 43 (1)

Lời giải: Điều kiện để phương trình được xác định là x 0

Đặt t 2x2 1 0

x

  , phương trình (1) trở thành 3t + 1

t = 43 (2) Phương trình (2)  t2  4 3 0t  t1, t 3

Với t 1 2x2    phương trình này không có nghiệm thực x 1 0

Với t 3 2x2     3 1 0x x 1, x12

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x 12

Bài toán 10 Giải phương trình 2 3 3 5

3

xt

2  x = 1 thỏa điều kiện

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x 2

Đối với các phương trình dạng này, ta chia tử và mẫu của hai hạng tử ở vế trái của phương trình cho x ( khix ), rồi đặt ẩn phụ 0 t ax c b

Dễ nhận thấy x không phải là nghiệm của phương trình Với 0 x0,

1

tt





  

Với t 1  x12     thỏa điều kiện 0 x 1

Với t 3  x12   0 x 1 thỏa điều kiện

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x  1

Bài toán 12 Giải phương trình 2 3 2 5 10

Phương trình (3)  5 2 54 315 0 15, 21

5

t  t   t t  Với t 15  x24x   3 0 x 1, x 3

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp đặt ẩn phụ mà phương trình

thu được vẫn còn ẩn chính (ẩn ban đầu), nghĩa là trong phương trình mới tồn tại

cả ẩn chính và ẩn phụ Để giải phương trình mới thu được ta có thể xem ẩn

chính là tham số, hoặc xem ẩn phụ là tham số

Bài toán 13 Giải phương trình    2 2 2

Với t  3x x  , 2 thỏa điều kiện 1

Với t2x  x2   không có nghiệm thực 2x 2 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

Lời giải 2 ( Đặt ẩn phụ hoàn toàn )

2

xt

Với 1

3

t   x2    , suy ra 3x 2 0 x1, x2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x 2

Bài toán 14 Giải phương trình 3 2 3 8 2 3 4 3 0

xx





  

 vô lý Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 2 và x2

Bài toán 15 Giải phương trình

2 2

3

xt

t , x 0



2 2

1

92

2 3

xx

xx

2.1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình

Đây là phương pháp đặt ẩn phụ để biến một phương trình thành một hệ phương trình gồm ẩn chính và ẩn phụ, thường là hệ phương trình đối xứng Bài toán 16 Giải phương trình x 1 2(1 2 ) x2 2 (1) Lời giải Đặt y 1 2x2, phương trình (1) trở thành x 1 2 y2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 1, 1, 1 5

x  x x  Bài toán 17 Giải phương trình 2 2 2 2

2x  2x 5 4x   3 5 0x (1) Lời giải Đặt y2x22x 5 , ta được

8 x 2x   x 3 0 (1) Lời giải Phương trình (1) 2 2 4 2 3

2



 x  x  x (2) Đặt y2x2 4x 1  y 1 2x2  4x

Phương trình (2) trở thành 3  1 2 2 2 1

2

Bài toán 19 Giải phương trình 3 3 3 2 1

3



  xx

xLời giải: Điều kiện của phương trình x 0

cho có 3 nghiệm tan 5 , tan , tan7

x    x  x 

 

Bài toán 20 Giải phương trình 8 2x x 21 8 x4 8x2 1 1 

Lời giải: Với x thì 1 8 2x x 21 8 x48x2  phương trình vô nghiệm 1 1

Với x  thì 1 8 2x x 21 8 x48x2  phương trình vô nghiệm 1 0

với 1   , đặt x 1 x c os ,  0, , phương trình (1) trở thành

 

8cos cos2 cos4 1

8sin cos cos2 cos4 sin , vì sin 0, 0,

        

8 k2

h2 , h9

a.1) Đối với các phương trình có dạng ax b cx dx e  2  0

thì đặt t ax b , từ đó ta có một phương trình đa thức theo t Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử ta được phương trình tích

Bài toán 22 Giải phương trình 2x   1 x2 3x 1 = 0 (1) Lời giải Điều kiện của phương trình là 1

2

x

Đặt t  2 1 0,x    tx 21

t  x   thỏa điều kiện

Với t 2 1  x  2 2 thỏa điều kiện

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  và 1 x  2 2

Bài toán 23 Giải phương trình x4 x2   (1) 3 3Lời giải Đặt t x  , phương trình (1) trở thành 2 0 t2   t 3 3

 t2      t 3 t t 3 0

 t t 3 1    t t 3 0

 t 1 t3     t 1t  2 0 lo¹i

Với t 1   x 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x   và 1 x  1

a.2) Đối với các phương trình có dạng

Bài toán 24 Giải phương trình 3 x 1 3 x  2 1 3 x2  3x 2

Lời giải Đặt u 3 x1, v 3 x , phương trình trở thành 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  và 0 x   1

Bài toán 25 Giải phương tŕnh 3 x2 3x 23 x 1 3 x 2 1 (1) Lời giải Phương trình (1) tương đương với

u  v  x   ; với u   không có nghiệm x v

Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm 3

2

x   Bài toán 26 Giải phương trình

u  v  x   thỏa điều kiện

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x  1, x  và 3 x   12

b) Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đẳng cấp

Bài toán 27 Giaỉ phương trình 2x2  2 5 x3 1

Lời giải Điều kiện của phương trình là x   1

Phương trình (1)  5x214x 9 5 x 1 x2  x 20

 2x2   5x 2 5 x2  4x 5 x 4

 2x2  4x 5  3 x 4 5 x2 4x 5 x (2) 4

5 61 5 2

 



  



tho¶ ®iÒu kiÖn

« tho¶ ®iÒu kiÖn

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  và 8 5 61

2

x  2.1.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Bài toán 29 Giải phương trình x2 3x  1  x3 x2 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  2 2 và x  2 2

Bài toán 30 Giải phương trình x2  3 x22x  1 2 x22

  (1) Lời giải Phương trình (1)  x2    3x 1  x 2 x2  (2) 2 0

Bài toán 31 Giải phương trình 3 2x2  1 3 x1 3 x8 2x21

2.1.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

a) Phương trình dạng xn  a b bx an 

Đối với phương trình dạng này ta đặt y  nbx (nếu n chẵn thì có điều akiện y  ), khi đó ta được 1 hệ phương trình đối xứng 0

0

0

n n

Đối với phương trình dạng này ta đặt u  na f x  , v  mb f x  

(nếu n chẵn thì u  , nếu m chẵn thì 0 v  ), khi đó ta được hệ phương 0trình đối xứng   u v c

 hoặc   u v c

giải hệ phương trình này, từ đó suy ra được nghiệm của hệ phương trình ban đầu Bài toán 33 Giải phương trình 4 x  8 4 x   7 3

Lời giải Điều kiện của phương trình là x  7

Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm x  8

Bài toán 34 Giải phương trình 2 33 x  2 3 6 5 x  8

Lời giải Điều kiện của phương trình là x  65

15 4 32 40 0

uv

 tho¶ ®iÒu kiÖn  x   2 tho¶ ®iÒu kiÖn

Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm x   2

Bài toán 35 Giải phương trình x2  4x  3 x  5

Lời giải Điều kiện của phương trình là x   5

Phương trình  2

     Đặt x   5 y 2 , y  2 , ta có hệ phương trình

 

2 2

Với 5 29

2

x  y  x   thỏa điều kiện

Với x  y 3  x   thỏa điều kiện 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x  1 và 5 29

Với

5

y =

35

tho¶ ®iÒu kiÖn

«ng tho¶ ®iÒu kiÖn

  tho¶ ®iÒu kiÖn

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 5

Lời giải. Điều kiện của phương trình là 5

4

x   Phương trình  4x2 12x  2 2 4x  5

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  2 3 và x  1 2

2.1.2.4 Đặt ẩn phụ lượng giác

Một số lớp phương trình vô tỉ khi giải bằng cách dùng ẩn phụ lượng giác sẽ thuận lợi hơn Vì các hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên khi đặt ẩn phụ lượng giác, cần chọn tập xác định sao cho việc khai căn được thuận tiện ( không có dấu trị tuyệt đối )

Bài toán 38 Giải phương trình 4x3  3x  1  x2

Lời giải Điều kiện của phương trình là 1 x2  , hay 0 x  1

Đặt x  cos ,t t   ( hoặc đặt 0, sin , ,

2 2

x  t t    

 

  ) phương trình trở thành 4cos3t  3cost  1 cos 2t

 cos3t  sin2t  sin ,t vì sint  0

ttt

xxx

Vậy phương trình có 3 nghiệm cos

 1 cos t  sin 1 2cost   t, vì cost  0

2 cos sin sin2

t    x  t    x  tho¶ ®iÒu kiÖn

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1

2

2

11

1

2 2 1

xx