Đề cương ôn tập Đại số và giải tích Toán 11 năm học 2020-2021

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hàng động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhấ[r]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TOÁN 11

NĂM HỌC 2020-2021

A Lý thuyết

I Lượng giác

1 Hàm số lượng giác

a) Hàm số y = sin x

TXĐ: D = R

Nhận xét: Hàm số y = sin x là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2 và  1 sinx1 hay nói cách khác

là tập giá trị của hàm số này là [-1;1]

Đồ thị hàm số y = sin x trên R

b) Hàm số y = cos x

TXĐ: D = R

Nhận xét: Hàm số y = cos x là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2 và  1 cosx1 hay nói cách

khác là tập giá trị của hàm số này là $[-1;1]$

Đồ thị hàm số y = cos x trên R (tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vecto ( ; 0))

2

u 

c) Hàm số y = tan x

2

D  k k 

Đồ thị hàm số y = tan x

d) Hàm số y = cot x

TXĐ: D k,k 

Nhận xét: Hàm số y = cot x là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì  Tập giá trị của hàm số = cot x là

khoảng ( , )

Đồ thị hàm số y = cot x

2 Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình sin x = a

Trường hợp 1: |a| > 1

Phương trình vô nghiệm vì | sin | 1x 

Trường hợp | | 1a 

Nếu asin thì sin sin 2 ,

2 ,

x k k x

x k k







Nếu a không viết thành sincủa một góc đẹp thì sin arcsin 2 ,

arcsin 2 ,

x a k k

x a

x a k k







b) Phương trình cos x = a

Trường hợp 1: |a| >1

Phương trình vô nghiệm vì | cos | 1x 

Trường hợp | | 1 a 

Nếu acos thì sin sin 2 ,

2 ,

x k k x

x k k







Nếu a không viết thành cos của một góc đẹp thì cos arccos 2 ,

arccos 2 ,

x a k k

x a

x a k k









c) Phương trình tan x = a

2

x  k k

Nếu atan thì tanxtan   x  k,k

Nếu a không viết được thành tan của một góc đẹp thì tanx  a x arctana k ,k

d) Phương trình cot x =a

Điều kiện xk,k

Nếu atan thì cotxcot  x  k,k

Nếu a không viết được thành cot của một góc đẹp thì cot x a x = arccot a+k,k

3 Một số phương trình lượng giác thường gặp

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at + b = 0 trong đó a, b là các hằng số (a  0) và t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác

cơ bản

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2

+ bt + c = 0 Trong đó a, b, c là các hằng số (a khác 0) và t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn

phụ này Cuối cùng, ta đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

c) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

( ),

asinx bcosx  a b sin x a với

a cos

a b

 

b sin

a b





Phương trình dạng asinx + bcosx = c

Xét phương trình: asinx + bcosx = c

Với a, b, c  R ; a, b không đồng thời bằng 0 ( a2 + b2  0)

Nếu a = 0, b  0, hoặc a  0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ

bản Nếu a  0, b  0, ta áp dụng công thức (1)

II Tổ hợp Xác suất

1 Quy tắc đếm

Quy tắc cộng:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hàng động này có m cách thực hiện,

hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc

đó có m + n cách thực hiện

Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất

và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc

2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Hoán vị:

Pn = n(n - 1)(n - 2) 2 1 = n!

Chỉnh hợp:

Akn = n(n – 1)…(n – k + 1)

Tổ hợp:

k n k

C C 

3 Nhị thức Niu - tơn

(a + b)n = C0n an + C1n an – 1b + C2n an – 2b2 + … + Cn n – 1 abn – 1 + Cnnbn

4 Phép thử và biến cố

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định

được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử T được gọi là không gian mẫu của

phép thử T và kí hiệu là Ω ( đọc là ô - mê - ga)

Định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu

5 Xác suất của biến cố

Cổ điển của xác suất

P(A) = ( )

( )

n A

n 

Tính chất của xác suất:

a) P(Φ) = 0; P(Ω) = 1

b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A

c) Nếu A và B xung khắc với nhau, thì ta có

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Hai biến cố độc lập:

A và B là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

P(A B) = P(A) P(B)

B Bài tập

LƢỢNG GIÁC

Bài 1 Giải các phương trình:

2

x x x b) sin2xcos 22 xsin 32 xcos 42 x2 c) sinxcos 2x1 d) tan 2xsin 2xcos 2x 1 0

e) 2sin 2 x 15 cos 2  x  15  1 f) cos 2x3cosx 2 0

g)

sin 2sin 2 5cos

0

x

5 cos 2 4cos

     

Bài 2 Tìm m để phương trình msinxcos 2x m  1 0 có đúng một nghiệm thuộc ; 0

3



 

2sinx1 2cos 2x2sinx m  3 4cos x có đúng hai nghiệm

thuộc 0;

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) sin 3 2 cos 3 1

sin 3 cos 3 2

y



y

c) y 3 sin 2x2sin2x1 d) 3sin 3 4 cos 3

y  x   x

Bài 5 Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có 6 4 108

sin cos

3125

x x

Bài 6 Nhận dạng tam giác ABC biết sin sin 1 1

cos cos 2 cot 2 cot



TỔ HỢP XÁC SUẤT

Bài 1 Từ các số 0,1, 2,3, 4,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau

và

bé hơn 25000

Bài 3 a Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 31  315

3xx

b Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 2

3

n x

x

  với

121

C C C 

Bài 4 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức New-Tơn của biểu thức (39 x)n biết

C C 

Bài 5 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton 2 2

n

x x

  biết rằng

2

36

n

C 

Bài 6 Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển nhị thức Newton 2 53

n

x x

  Biết rằng

1

C  C  n

Bài 7 Có 30 đề thi trong đó có 10 đề thi khó và 20 đề thi trung bình Tìm xác suất để một học sinh

bốc ra đồng thời hai đề thi được ít nhất một đề trung bình

Bài 8 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập ra tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau

a) Trong các số lập ra có bao nhiêu số chẵn

b) Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập ra Tìm xác suất để chọn được số có mặt các chữ số 1; 2 và 1 đứng trước 2

Bài 9 Gieo một con xúc xắc bốn lần độc lập Tính xác suất để

a) Không có lần nào xuất hiện mặt chẵn

b) Mặt chẵn xuất hiện đúng một lần

c) Mặt chẵn xuất hiện ít nhất một lần

Bài 10 Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ, các quả cầu chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu

nhiên 5 quả cầu

a) Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ?

b) Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ

HƯỚNG DẪN GIẢI LƯỢNG GIÁC

2

x x x

x x x    x  





b) sin2xcos 22 xsin 32 xcos 42 x2

sin cos 2 sin 3 cos 4 2

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8

2

cos8x cos 2x cos 6x cos 4x 0

2sin 5 sin 3x x 2sin 5 sinx x 0

sin 5x sinx sin 3x 0

sin 3 sin

k

x

x

x













 c) sinxcos 2x1

sinxcos 2x 1 sinx 1 2sin x 1 sinx2sin x0

sin 0

2 1

6 sin

2

5 2 6

x k x

x





 





d) tan 2xsin 2xcos 2x 1 0 Điều kiện: cos 2x0

Khi đó, phương trình đã cho tương đương tan 2xtan 2 cos 2x xcos 2x 1 0

tan 2 1 cos 2x x 1 cos 2x 0

1 cos 2xtan 2x 1 0

cos 2 1 tan 2 1

x x





 (thỏa điều kiện)

2 4

x k

x k













, k

8 2

x k

k x











  



, k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: xk hoặc

8 2

k

x  

  , k

e) 2sin 2 x 15 cos 2  x  15  1

2sin 2x 15 cos 2x  15 1

sin 4x 30 1

4x 30 90 k360

x k

   , k Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x 15 k90, k

f) cos 2x3cosx 2 0 cos 2x3cosx 2 0 2

2cos x 3cosx 1 0

cos 1

1 cos

2

x x











2 2 3

x k





 









   

, k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: xk2 hoặc 2

3

x  k 

3

x  k 

   k 

g)

sin 2sin 2 5cos

0

x





 

sin 2sin 2 5cos

x

 Điều kiện xác định của phương trình  1 là:

2

5

2 4



   





, k

Khi đó,

+ Nếu cosx0 thì sin2x1 Khi đó,  2 trở thành 1 0 (vô lí)

+ Nếu cos 0

2

x   x  k

, k , chia 2 vế của phương trình  2 cho 2

cos x ta được:

arctan 5

x x

x









Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình  1 là: 3 2

4

x  k 

hoặc arctan 5

x k, k

     

x   x x   x  

3 sin

3

sin

x

x





   



  



1 sin

x 

5



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 2

6

x  k 

2

x  k 

  ,k

sin 1

sin

2

x

x









2

   

x x k Dễ thấy họ nghiệm này không có nghiệm nào thuộc ; 0

3



 

Do đó sin 2

2



m

x phải cho ra đúng một nghiệm thuộc ; 0

3



 

3



   



Vậy 2 3 m 2

Bài 3 Ta biến đổi

2

2

2sin 1 2 cos 2 2sin 3 4 cos 2sin 1 2 cos 2 2sin 2sin 1 2sin 1

2

sin

5 2

2 6

  



  



x

Ta có hai nghiệm thuộc0;là ;5

6 6

 

Để phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm thuộc0;thì phương trình (*) vô nghiệm hoặc

(*) có nghiệm sin 1

2



x

Tức là ta có:

+TH1: (*) vô nghiệm

1 1

1 4

0 4





m

m

+TH2: (*) có nghiệm sin 1 1 1 0



Thử lại, với m0 thì (*) 2

2 6 5 1

2 sin

sin

1 4

7 2 6

  











x x

Dễ thấy 4 họ lượng giác này chỉ cho được 2 nghiệm thuộc 0; Vậy nhận giá trị m0 Kết luận:

0 1 3





  



 



m m m

Bài 4 a) sin 3 2 cos 3 1

sin 3 cos 3 2

x x y

x x



Ta có sin 3xcos3x 2 0 x Tập xác định D

Giả sử y là một giá trị hàm số, khi đó tồn tại x0  sao cho:

0 sin 3 cos3 2 sin 3 2cos3 1

y x x  x x

y0 1 sin 3 x y0 2 cos 3 x 1 2y0

Phương trình có nghiệm khi:

y   y    y

2

2y 2y 4 0

0

   

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, khi 3sin 3 4 cos 3 5 2 ,

x x x   k  k

(với cos 3;sin 4

   )

Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, khi cos 3 1 2 ,

3

x x k  k

b) sin 2 2 cos 4 2 1

y

Tập xác định D

 Đặt 2 2

1

t x x



 , ta có:

2

2

1;1 1

x

x

t x

x t

      





 Hàm số trở thành ysintcos2t1,   t  1;1

2

2sin sin 2

y t t

Đặt asint suy ra asin 1 ;sin 1  Hàm số trở thành y 2a2 a 2

Ta có bảng biến thiên:

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là    2  

y     

Giá trị lớn nhất của hàm số là 17

8

y

c) y 3 sin 2x 2sin 2x 1 Tập xác định D

3 sin 2 2sin 1 3 sin 2 cos 2 2sin 2

4

y x x  x x  x 

2 y 2

   

Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi:

4

x 

  

3

x   k  x  k k

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 khi:

4

x 

   

d) 3sin 3 4 cos 3

y  x  x 

Tập xác định D

3sin 3 4 cos 3 5sin 3

y  x   x   x  

(với cos 3;sin 4

5 y 5

   

Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số là 5 khi:

6

x  

2

x    k  x   k  k

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5 khi:

6

x  

    

x    k  x   k  k

Bài 5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm 2

sin x, 2

sin x, 2

sin x, 3cos2

2 x và

2

3 cos

2 x ,

ta có

2 2 2 3 2 3 2 5 2 2 2 3 2 3 2

x x x x x x x x x x

5 9

sin cos

3125

x x

cos cos 2 cot 2 cot

A B





sin sin

2 cos 2 cos

2 cos cos

sin

sin 2

2 cos cos cos

2

A B

A B





2 cos cos cos

2



2

cos cos cos

2

A B

2cos cosA B 1 cos A B

2cos cosA B 1 cos cosA B sin sinA B

cos A B 1

A B

Vậy tam giác ABC cân tại C

TỔ HỢP XÁC SUẤT

Bài 1 Giả sử từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 lập được số na a a a a1 2 3 4 5 a10, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi

một khác nhau n25000,n chẵn

TH 1: a1 1 Chọn a từ các chữ số 5 0 , 2 , 4 , 6 có 4 cách Chọn a a a có 2 3 4 A cách 53

Suy ra có : 4.A số 53

TH 2: a1 2

+ Chọn a từ các chữ số 2 1, 3 có 2 cách Chọn a từ các chữ số 5 0, 4 , 6 có 3 cách Chọn a a 3 4

có A cách Suy ra có : 42 2.3.A số 42

+ Chọn a từ các chữ số 2 0, 4 có 2 cách Chọn a từ các số chẵn bỏ 5 2, a có 2 2 cách Chọn

3 4

a a có A cách Suy ra có : 42 2.2.A số 42

Vậy tất cả có: 4.A532.3.A422.2.A42  360 số

Bài 2 a) Giả sử từ các chữ số thuộc tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 , lập được số tự nhiên

1 2 3 4 5

na a a a a a10, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi một khác nhau

Chọn a có 7 cách Chọn 1 a a a a có 2 3 4 5 A cách 74

Suy ra có : 7.A74 5880 số

b) Tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 có 4 chữ số chẵn là 0 , 2 , 4, 6 và  4 chữ số lẻ là 1 ,3 ,5, 7  Lấy 2 chữ số lẻ từ 1 ,3 ,5, 7 có  C cách 42

Lấy 3 chữ số chẵn từ 0 , 2 , 4, 6 có  C cách 43

Hoán vị 5 chữ số vừa lấy có 5! cách

Suy ra có 5!.C C số ( trong đó có cả trường hợp chữ số 0 đứng ở đầu) 42 43 Trường hợp chữ số 0 đứng ở đầu có: 2 2

4!.C C số Vậy có: 5!.C C42 434!.C C42 32 2448 số

c) Giả sử từ các chữ số thuộc tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, lập được số tự nhiên

1 2 3 4 5

na a a a a (a1 0, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi một khác nhau , n24000)

TH 1: a1 1 Chọn a a a a có 2 3 4 5 A cách 74

Suy ra có: A số 74

TH 2: a1 2

+ Chọn a từ các chữ số 2 0,1, 3 có 3 cách Chọn  a a a có 3 4 5 A cách 63

Suy ra có : 3.A số 63

Vậy có A743.A631200 số

Bài 3 a Xét:

x x C x  x C  x 

Hệ số của số hạng chứa 31

x trong khai triển ứng với k thỏa mãn: 15 2 k31 k 8 (tm)

 Hệ số của số hạng chứa x31trong khai triển là: 7 8

15

3 C

b C n0 C1n C n2 121 ĐK:

2

n n





 

 

 

2

1!.( 1)! 2!.( 2)!

15 ( 1)

C C C

n tm

n n

n l







 



k k

Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k thỏa mãn:

 

30 3 k   0 k 10 tm Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 3 2 C 5 10 1510

Bài 4 C n36 C n3 440 Điều kiện: n 3

n





 

2

440 3!.( 3)! 3!.( 3)!

( 6)( 5)( 4).( 3)! ( 1)( 2).( 3)!

440

( 6)( 5)( 4) ( 1)( 2) 2640

18 72 2520 0 10

14( )

n







   



Ta có:

10

10 0

k

x C  x



Hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển ứng với k 9

Bài 5 Điều kiện x0 *

,n ;n2

Ta có: C n2 36

 2 !.2!! 36

n n



 1

36 2

n n

72 0

9

n L

n n

n TM

 





Suy ra   2 2 9

P x x

x

  

Số hạng tổng quát trong khai triển là :  2 9   18 3  

2

k

k

x

Số hạng không chứa x 18 3 k   0 k 6 TM

Vậy số hạng cần tìm là  6 6 6

9

1 C 2 5376

Bài 6 Điều kiện x0,n *

C  C  n

1 !.3! !.3!

n



 4 3 2  3 2 1  

n

n 4n 2 n 2n 1 42

 

3n 36 n 12 TM

3

5

P x x

x

Số hạng tổng quát trong khai triển là

5

k

k

x

Vì số hạng cần tìm chứa 9

x nên 24 5 k   9 k 3  TM Vậy hệ số của số hạng chứa 9

x là  3 3 3

12

1 C 5 27500

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí