Bộ 4 đề thi thử vào lớp 10 THPT môn Toán trường THCS Bắc Phú

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]

TRƯỜNG THCS BẮC PHÚ ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021

MÔN TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề 1

A= sin −cos sin +cos +2cos 

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (HBC) Biết BH =3cm BC, =9cm Tính

độ dài AB

Câu 3: Tính thể tích một hình cầu có diện tích mặt cầu bằng 144 cm 2

Câu 4: Rút gọn biểu thức B 6 2

Câu 5: Cho phương trình 2 ( )

x − m 3 x+ + − =m 1 0 (ẩn x, tham số m) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x sao cho 1 2 x1 1 x2

2

−

Câu 6: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O , vẽ tiếp tuyến AB(Blà tiếp điểm) và cát tuyến ACD không đi qua tâm O (C nằm giữa A và D) Gọi E là trung điểm của CD Chứng minh ABOE là tứ giác nội tiếp

ĐÁP ÁN

Câu 1

A sin cos sin cos 2 cos

sin cos 2 cos

Câu 2

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AHta có:

( )

2

2

AB BH.BC

AB 3.9

AB 27 3 3 cm

=

Câu 3

Bán kính của hình cầu là

C H

B

A

2 2

S 4 R

144 4 R

6cm R

= 

Tính thể tích hình cầu V 4 R3 4 .63 288 cm3

Câu 4

B

2 7 4 3 7

7 1

Câu 5

Ta có

2

 = − = − +  − −

= + + − + = + + = + +  với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 1 2 ( )

1 2

1

x x m 1





Theo đề x1 1 x2

2

−

2

1

2

 + 

 + 



Từ ( )1 và ( )2 suy ra

Câu 6

Trong đường tròn ( )O có:

*OElà một phần đường kính; CD là dây không đi qua tâm O; E là trung điểm của CD

O E D

C

B A

OE CD OEC 90

*AB là tiếp tuyến (Blà tiếp điểm) ABO=900

Suy ra OEC ABO 180+ = 0

Vì OEC và ABO là hai góc đối nhau suy ra tứ giác ABOE nội tiếp

Đề 2

Bài I

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n4 + 2015n2 chia hết cho 12

2) Giải hệ phương trình sau :







Bài II

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = 0

2) Giải phương trình:

2

Bài III

Cho x y là các số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ,

2 2 2 2

2 2 2 2

P

=

Bài IV

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm, C  (O),

D  (O’)) Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O’) tại F Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và BC với EF Gọi I là giao điểm của EC với FD Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng tứ giác BCID nội tiếp

b) CD là trung trực của đoạn thẳng AI

b) IA là phân giác góc MIN

Bài V (1điểm)

Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt quá 2015 trong đó không có số nào gấp 2 lần số khác Chứng minh rằng trong các số được chọn luôn tìm được 3 số sao cho tổng của 2 số bằng số còn lại

ĐÁP ÁN Bài I :

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n 4 + 2015n 2 chia hết cho 12

Ta có: n4 + 2015n2 = n2(n2 + 2015)

Nếu n chẵn thì n2 chia hết cho 4

Nếu n lẻ thì n2 + 2015 chia hết cho 4

 n4 + 2015n2 chia hết cho 4

Nếu n chia hết cho 3 thì n4 + 2015n2 chia hết cho 3

Nếu n chia 3 dư 1 hoặc dư 2 thì n4 + 2015n2 chia hết cho 3

Vậy n4 + 2015n2 chia hết cho 3

Vì (4, 3) = 1 nên n4 + 2015n2 chia hết cho 12

2) Giải hệ phương trình







Suy ra : 10x2+45xy−25y2 = 0

2 5

y x

 =







= −



Với

2

y

x = ta được 1 1

;

Với x= −5y ta được

;

Bài II :

1) Tìm các cặp số nguyên (x, y)… (1,5 điểm)

2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = 0  (2y + 1)(x + y + 1) = 14

 2y + 1 và x + y + 1 là các ước của 14

Vì 2y + 1 là số lẻ nên ta có các trường hợp sau:

TH 1: 2y + 1 = 1 và x + y + 1 = 14  (x, y) = (13, 0)

TH 2: 2y + 1 = -1 và x + y + 1 = - 14  (x, y) = (-14, -1)

TH 3: 2y + 1 = 7 và x + y + 1 = 2  (x, y) = (-2, 3)

TH 4: 2y + 1 = - 7 và x + y + 1 = - 2  (x, y) = (1, - 4)

2) Giải phương trình

2

(1,5 điểm)

Điều kiện: x 0

Ta có

2

3

6

2

x

x  + , suy ra

2

( )

2

6

x x

 = Thử lại x =6vào thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệmx =6

Bài III:

Ta có :

4

) (a + b 2

 a.b a b, (1) Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b

y x

y x

= + +

+

) 1 )(

1

2 2

y x

y x

= + +

−

) 1 )(

1 (

1

2 2

2 2

Theo (1) ta có :

2

4

a b

P ab=  + Suy ra:

2

2 2 2 2

P



2

P

2 2 2

y P

y

+

Ta có : 0 

2

2 2

1

1











 +

−

y

y

 1y

Do đó : max 1

4

Dấu “=” xảy ra 

1 0

y y

a y

=



=





Bài IV:

a)

Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp ( 1 điểm )

TH1: Điểm A và đoạn thẳng CD nằm về cùng một phía với đường OO’

Ta có

0 180

ABC AEC ICD

DBC AED IDC

DBA DIC ABC DBC DIC ICD IDC DIC

 Tứ giác BCID nội tiếp

TH2: Điểm A và đoạn thẳng CD nằm khác phía nhau so với OO’

K I

M N

F

E

A

B

C

D

Vì tứ giác ABCE nội tiếp (O) nên BCE+BAE=1800  BCE =BAF

Tương tự BAF=BDI

 BCE BDI=  BCI+BDI =BCI+BCE=1800

 Tứ giác BCID nội tiếp

 ∆ ICD = ∆ ACD

 CA = CI và DA = DI

 CD là trung trực của AI

b)

Chứng minh CD là trung trực của AI (1,0 điểm)

(Hai trường hợp chứng minh như nhau)

Ta có ICD=CEA=DCAICD=DCA

Tương tự IDC CDA=

 ∆ ICD = ∆ ACD

 CA = CI và DA = DI

 CD là trung trực của AI

c)

Chứng minh IA là phân giác góc MIN ( 1 điểm)

(Hai trường hợp chứng minh như nhau)

K

N M

I

F

E

A

B

C

D

Ta có CD ⊥ AI  AI ⊥ MN

Gọi K = AB  CD Ta chứng minh được

CK2 = KA.KB = KD2

 KC = KD (1)

Vì CD // MN nên KC KD KB

AN = AM = AB

Từ (1)  AN = AM

Mà AI ⊥ MN  ∆ IMN cân tại I

 IA là phân giác góc MIN

Bài V:

Giả sử 0   a a1 2  a3   a1010  2015là 1010 số tự nhiên được chọn

Xét 1009 số : b ai = 1010− a ii, = 1, 2, ,1009 suy ra:

1009 1008 1

0  b  b    b 2015

Theo nguyên lý Dirichlet trong 2019 số a bi, ikhông vượt quá 2015 luôn tồn tại 2 số bằng nhau, mà các số

i

a và bikhông thể bằng nhau, suy ra tồn tại i,j sao cho:

b =a a − =a a a = +a a dpcm

(Chú ý i do trong 1010 số được chọn không có số nào bằng 2 lần số khác ) j

Đề 3

Câu 1

1) Rút gọn các biểu thức sau:

a) 3 4+2 25−4 9

b) 3 3 5 12+ −2 27

2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x2−6x+ =5 0

+ =





x y

x y

4

−

x M

x

1) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?

2) Rút gọn biểu thức

3) Tính giá trị của M biết x =16

Câu 3: Quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định Sau

khi đi được nửa quãng đường người đó giảm vận tốc 5km/h trên nửa quãng đường còn lại Vì vậy, người

đó đã đến B chậm hơn quy định 1 giờ Tính vận tốc và thời gian quy định của người đó

1) Cho phương trình: 2x2+(2m−1)x m+ − =1 0 (1) trong đó m là tham số

2) Giải phương trình (1) khi m = 2

3) Tìm m để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa mãn: 4x12+4x22+2x x1 2 =1

Câu 4: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam

giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của EF với BC

1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp

2) Chứng minh: KB KC =KE KF

3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) (M  A) Chứng minh MH ⊥AK

Câu 5: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

a b+ + c b c+ + + a c a+ + + b  + +

ĐÁP ÁN Câu 1:

1) a) 3 4+2 25−4 9=3.2 2.5 4.3+ − =4

b) 3 3 5 12+ −2 27=3 3 5.2 3+ −2.3 3=3 3 10 3 6 3+ − =7 3

2) a) x2−6x+ = 5 0 x2−5x x− + = 5 0 x x( − − − =5) (x 5) 0

( 5)( 1) 0

x x

b) 2+ =− =213 = −=23  == −12 1 ==11

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; )x y là (1;1)

Câu 2:

1) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?

Điều kiện:

0

2 0 0 (*)

4

2 0

x

x x

x

 









 − 

 Vậy x0,x0 thì biểu thức M có nghĩa

2) Rút gọn biểu thức

Điều kiện: x  và 0 x  4

1 1

4

=

( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)

−

x M

x

Vậy

2

=

−

x M

x

3) Tính giá trị của M biết x=16

Điều kiện: x  và 0 x  4

Với x=16thì 16 4 2

4 2

16 2

−

−

M

Vậy với x=16thì M = 2

Câu 3

1) Gọi vận tốc quy định của người đó là x (km/h), (x > 5)

 Thời gian quy định để người đó đi hết quãng đường là 60 ( )h

x

Nửa quảng đường đầu là: 60 : 2 30( )= km nên thời gian đi nửa quãng đường đầu là: 30 ( )h

x

Nửa quãng đường sau, vận tốc của người đó giảm 5km/h nên vận tốc lúc sau là: x−5(km h/ )

 Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30 ( )

5 h

x −

Vì người đó đến chậm so với thời gian dự định là 1 giờ nên ta có phương trình:

2 2

2

30 30 1 60 30 30 1 0

30 30( 5) ( 5) 0

( 5)

30 30 150 5 0

5 150 0

15 10 150 0

( 15) 10( 15) 0

( 15)( 10) 0

15 0 15 (tm)

10 0 10 (ktm)

x x

x x

−

 − =  =

Vậy vận tốc quy định của người đó là 15km/h và thời gian quy định của người đó là: 60 : 15 = 4 giờ

2) Cho phương trình 2x2+(2m−1)x m+ − =1 0 (1) trong đó m là tham số

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

Khi m = 2 thì (1) trở thành: 2x2+3x+ =1 0 có hệ số a=2;b=3;c=1

Dễ thấy a b c− + = − + =2 3 1 0 nên phương trình có hai nghiệm 1 1; 2 1

2

= − = − = −c

a

Vậy vớim=2 thì phưng trình có tập nghiệm 1; 1

2

= − − 

S

b) Tìm m để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa mãn: 2 2

1 2 1 2

4x +4x +2x x =1 Phương trình (1) có nghiệm    0

Ta có:  =(2m−1)2−4.2.(m− =1) 4m2−4m+ −1 8m+ =8 4m2−12m+ =9 (2m−3)2

Dễ thấy  =(3m−3)2 0, m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1, 2

Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

1 2 2 1 2

m

x x

m

x x





Theo đề bài ta có:

2

2

1

4

=





 =



m

m

Vậy 1;3

4

  

m thỏa mãn bài toán

Câu 4

1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp

Do

0

0

90 90







BE AC BEC

CF AB CFB

Tứ giác BCEF có BEC=CFB=900 nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

2) Chứng minh: KB KC =KE KF

Tứ giác BCEF nội tiếp (câu a) nên KFB=ECB (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét tam giác KFB và KCE có:

chung

(cmt)





=



K

KFB KCE

 KFB KCE (g - g)

 KF = KB

KC KE (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) KF KE =KB KC (đpcm)

3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) (M  A) Chứng minh MH ⊥AK

Kéo dài AH cắt BC tại D thì AD⊥BCADB=900

Xét tam giác AFH và ADB có:

0

chung

AF = 90





=



A

H ADB

AFH

  ADB(g - g)  AF = AH

AD AB (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

(1)

 AF AB=AD AH

Dễ thấy tứ giác AMBC nội tiếp (O) nên AMB+ACB=1800 (tính chất) (2)

Tứ giác ABCF nội tiếp (cmt) nên BFE+BCE =1800

Mà BFE= AFK (đối đỉnh)

0 = 180 (3)

AFK+ACB

Từ (2) và (3) suy ra AMB=AFK (cùng bù với ACB)

Xét tam giác AMB và AFK có:

chung

AMB (cmt)





=



A

AFK

AMB

  AFK(g - g)  AM = AB

AF AK (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

(4)

AM AK =AB AF

Từ (1) và (4) suy ra AM AK =AD AH  AM = AD

AH AK

Xét tam giác AMH và ADK có:

chung

= (cmt)









A

AM AH

AD AK

AMH

  ADK(c - g - c) AMH =ADK (hai góc tương ứng)

Mà ADK=900AMH=90 hay 0 HM ⊥AK

Câu 5

Ta chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1

4

  + 

x y x y với x, y > 0

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

x y

x y xy x xy y xy

x y x y x y xy

x − xy+y   −x y  (luôn đúng)

Do đó: 1 1 14 +1

x y x y với x, y > 0

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

ab ab

a b c a c b c a c b c a b c a c b c

Tương tự ta có:





bc bc

b c a b a c a

ca ca

c a b c b a b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b

1

4

a c b c b a c a c b a b

ab bc ab ca bc ca b a c a b c c b a a b c

Do đó 1

4



VT VP (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

ĐỀ 4

Câu 1 Giải các phương trình sau:

a) 2

2x−x =0

b) x+ = − 1 3 x

Câu 2

a) Rút gọn biểu thức

2

x y y x x y xy

A

− với x0;y0;x y

b) Cho hệ phương trình:

x y m

x y



 − =

 (m là tham số)

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn đẳng thức x2+2y2 = 2

Câu 3

a) Tìm m để đồ thị hàm số 2

( 4) 2 7

y= m − x+ m− song song với đồ thị hàm số y=5x−1 b) Một tam giác vuông có chu vi 24 cm Độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm Tính diện tích của tam giác vuông đó ?

Câu 4

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B)

Trên tia đối của tia NM lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K khác A Hai dây MN và BK cắt nhau ở E Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh:

a) Tứ giác AHEK nội tiếp

b) Tam giác NFK cân và EM.NC=EN.CM

c) Giả sử KE =KC Chứng minh OK // MN và 2 2 2

4

KM +KN = R

Câu 5: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn x + + = y z 3 Chứng minh:

( 1) ( 1) ( 1)

4

x− + y− + −z  −

ĐÁP ÁN Câu 1 :

a) 2x−x2 =0

 (2x −x)=0

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x=0;x=2

b) x+ = − 1 3 x

Điều kiện: 1 0 1 1 3

x

2

1 (3 )

1 9 6

2

x x

Giải phương trình tìm được 1 7 17

2

x = +

(loại)

2 7 17

2

x = −

(thỏa mãn)

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 2 7 17

2

x = −

Câu 2:

a)

2

x y y x x y xy

A

−

= xy( x y) x 2 xy y 4 xy

−

−

=

2 ( x y)

x y

x y

−

−

= x+ y− x+ y =2 y

Kết luận: Vậy A = 2 y

x y m

x y



 − =



Thay x=2 ;m y= −m 1 vào đẳng thức x2+2y2 = ta có: 2

b) 4m2+2(m−1)2 = 2 4m2+2(m2−2m+ = 1) 2

4m 2m 4m 2 2 6m 4m 0

3m 2m 0

0 0

3 2 0

3

m m

m m

=



=



Kết luận: Vậy 0; 2

3

m= m=

Câu 3:

a) Để đồ thị hàm số 2

( 4) 2 7

y= m − x+ m− song song với đồ thị hàm số y=5x−1 ta có:

3

3 3

m

m m

= 

Kết luận: Vậy m = − 3

b) Gọi độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là x (cm; 0 x 24)

Độ dài cạnh góc vuông thứ hai là x + (cm) 2

Vì chu vi tam giác vuông bằng 24 cm, nên độ dài của cạnh huyền là: 24 (− x+ +x 2)=22−2x (cm)

Theo Định lý Pi ta go ta có phương trình:

( 2) (22 2 )

x + +x = − x

4 4 484 88 4

46 240 0

 − + = (1) Giải phương trình (1) tìm được: x =1 40 (loại)

x = (thỏa mãn) 2 6

Kết luận: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm

Diện tích tam giác vuông là: 1.6.8 24 2

Câu 4:

a) Vẽ hình đúng

Xét tứ giác AHEK có: AHE=90 ( )0 gt

0 90

AKE = (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

0 180

AHE AKE

 + =  Tứ giác AHEK nội tiếp

b) *Do đường kính AB ⊥ MN nên B là điểm chính giữa cung MN

MKB NKB

 = (1)

Ta lại có: BK/ /NF (cùng vuông góc với AC)

NKB KNF

 = (so le trong) (2)

h

k

o

n m

f

b a

MKB=MFN (đồng vị) (3)

Từ (1);(2);(3)MFN =KNF hay KFN=KNF

KNF

  cân tại K

*MKNcó KE là phân giác của góc MKN ME MK

EN KN

 = (4)

Ta lại có:KE⊥KC ; KE là phân giác của góc MKN  KC là phân giác ngoài của MKN tại K

CM KM

CN KN

 = (5)

Từ (4) và (5) ME CM ME CN EN CM

EN CN

Câu 5:

* Ta có AKB=900BKC=900  KEC vuông tại K

Theo giả thiết ta lại có KE=KC KEC vuông cân tại K

45

KEC=KCE=

Ta có BEH =KEC =450OBK=450

Mặt khácOBKcân tại O OBKvuông cân tại O

/ /

OK MN

 (cùng vuông góc với AB)

* Gọi P là giao điểm của tia KO với (O)

Ta có KP là đường kính và KP/ /NM ; KP = 2R

Ta có tứ giác KPMN là hình thang cân nên KN=MP

H E N

B A

0 90

PMK = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác vuông KMP, ta có: MP2+MK2 =KP2

Mà KN=MP KN2+KM2 =4R2

Ta có (x−1)3 =x3−3x2+3x− =1 x x( 2−3x+ − 3) 1

= ( 3)2 3 1

x x− + x−

Vì x  0 3 2

2

x x −   3 3

4

x−  x− (1)

Tương tự ta có: 3 3

4

y−  y− (2)

3 3

4

z−  z− (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

( 1) ( 1) ( 1)

4

x− + y− + −z −

Dấu đẳng thức xảy ra khi

2

2

2

3 0

3

2 3

0, 2

2

3

x x

y y



+ + =



Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí