Bộ 4 đề thi thử vào lớp 10 THPT môn Toán Trường Thịnh Quang

Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lã[r]

TRƯỜNG THCS THỊNH QUANG ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021

MÔN TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

ĐỀ 1

Câu 1

1) Rút gọn biểu thức: A 3 2 6 3 2 2

1 1

2) Giải phương trình: 2

3) Xác định hệ số a của hàm số 2

y = a x , biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A (− 3;1)

Câu 2 Cho phương trình: 2

x − ( 2 m − n ) x + ( 2 m + 3 n − 1) = 0 (1) (m, n là tham số)

1) Với n = 0, chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

2) Tìm m, n để phương trình (1) có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn x1 + x2 = − 1 và 2 2

x + x = 1 3

Câu 3

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: y x 2

2

= − + Gọi A, B lần lượt là

giao điểm của d với trục hoành và trục tung; H là trung điểm của đoạn thẳng AB Tính độ dài các đoạn

thẳng OH (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

2) Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 1 2 cm, bán kính đáy là 2cm, lượng nước trong cốc cao 8

cm Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước

làm nước trong cốc dâng lên Hỏi sau khi thả 6 viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao

nhiêu xentimét? (Giả sử độ dày của cốc là không đáng kể)

Câu 4

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao

B O M = 3 0 Gọi N là giao điểm của CM và OB Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD

kéo dài lần lượt tại E và F Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P

1) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh tam giác EMN là tam giác đều

3) Chứng minh N C = O P

4) Gọi H là trực tâm của tam giác AEF Hỏi ba điểm A, H, P có thẳng hàng không? Vì sao ?

Câu 5 Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn: x + 2 y + 3 z = 2

ĐÁP ÁN Câu 1

1) A 3 2 6 3 2 2 4 2 2 3 3 2 2

1 1

1 1

4 2 3 2 2

x − 2 x = 0  x x − 2 = 0

=





=



 

=



3) Đồ thi hàm số 2

y = a x đi qua điểm A(− 3;1)khi và chỉ khi 2

a ( 3 ) − = 1

1

a

9

Câu 2

1) Với n = 0, phương trình (1) trở thành: 2

x − 2 m x + ( 2 m − 1) = 0

' 2

2 ( m 1)

'

0 , m

   nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

2)

1 2

1 2

2

2 2





1 2

1 2



 

= −



Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn

1 2

2 2

1 2







 



= −



 

= −



Câu 3

2

=  = Do đó, giao điểm của d với trục hoành làA 2 ; 0

2

2

=  = Do đó, giao điểm của d với trục tung là B 0 ; 2

2

2

2

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:

A B = O A + O B = 1 (cm)

O H

2) Thể tích nước dâng lên chính là tổng thể tích của 6 viên bi thả vào và bằng:

4

6 1 8 ( c m )

3

=

Dễ thấy phần nước dâng lên dạng hình trụ có đáy bằng với đáy của cốc nước và có thể tích bằng

3

8  ( c m )

Chiều cao của phần nước dâng lên là 8 2 2 ( c m )

2

=



Vậy mực nước dâng cao cách miệng cốc là: 1 2 − 8 − 2 = 2(cm)

Câu 4

O N P = 9 0 (P N ⊥ O B )

0

O M P = 9 0 (EF là tiếp tuyến tại M của đường tròn (O))

Tứ giác ONMP có N, M cùng nhìn OP dưới một góc vuông nên là tứ giác nội tiếp

2) Ta có:

0

+

M O E = 3 0  O E M = 9 0 − 3 0 = 6 0

N M E = N E M = 6 0 nên là tam giác đều

3) Tứ giác ONMP nội tiếp nên N M E = N O P , mà N M E = M N E (tam giác EMN đều)

N O P M N E O P / / C M

Tứ giác OCNP có O P / / C N ; N P / / C O nên là hình bình hành  O P = C N

4) Tam giác ENM đều, N M / / O P nên suy ra tam giác EOP đều

0

A P ⊥ E F  A P / / O M  P A O = M O E = 3 0 (đồng vị)

E

F P

N

M

D

C

B O

A

Suy ra tam giác AOP cân  O P = O A (mâu thuẫn vì P nằm trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) nên

P không thuộc đường tròn (O))

Vậy ba điểm A, H, P không thẳng hàng

Câu 5

Đặt a = x ; b = 2 y ; c = 3 z , ta được: a , b , c  0 ; a + b + c = 2

Xét

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

=

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b c

=

=

Vậy giá trị lớn nhất củaS bằng 3

2

khi và chỉ khi a b c 2

3

= = = hay giá trị lớn nhất củaS bằng 3

2

khi và

chỉ khi x 2; y 1; z 2

ĐỀ 2

Câu 1

3

x A x

+

=

− và

9 3

B

x x

− +

1 Tính A khi x = 25

2 Rút gọn biểu thức B

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A

B

Câu 2

1 Giải phương trình:

a) 2

x − x+ =

x + x − =

2 Giải hệ phương trình: 2 7

x y

x y







Câu 3

Cho phương trình: 2

x +a x+b+ = (a, b là các tham số) Tìm a, b để phương trình có 2 nghiệm x1, x2

thỏa mãn: 1 2

3 3

1 2

3 9

x x

x x







Câu 4

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O) Kẻ đường kính CE

1 Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân

A B + C D + B C + A D = R

3 Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K Tứ giác ABKF là hình gì?

Câu 5

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 3 2

1

y = x + x + x+

2 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: A = ( 2) ( 2) ( 2)

1 + a 1 + b 1 + c là một số chính phương

ĐÁP ÁN Câu 1

ĐKXĐ: x 0 ,x 9

1 Với x = 25 (TMĐK) =>

1 5

2 5 3

−

−

2

B

3

:

ĐK: x > 0

A x

+

Dấu "=" xảy ra khi

5

x

VậyM i n A= 2 5  x = 5

Câu 2

1 a)

4

x

x x

x

=



 b)

2

2

x V o l y



2

Câu 3 Ta có:

Để phương trình có nghiệm thì:

2

Theo Vi-Et ta có:

1 2

1 2 1

x x a

x x b







Mà:

x x x x

x x x x x x x x

4

=>

;

x − +  − + − + x − −  − − − +

Do:

2

1

1

a

a

=



= −



3

a

b

= 





= −



thì pt có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 4

O K

F

C B

E

D I

M

N A

1 Có: 0

9 0

E A C = E B C = E D C =

(Góc nt chắn nửa đường tròn)

E A A C

 ⊥  E A B D ( ⊥ A C)  E A D B

là hình thang (1)

Mà:

0

0

9 0

9 0

B E C B C E

I D C I C D





Do:

1 2

I D C = B D C = A D C = B C

(Góc nt chắn B C )

=> I C D = A C D = B C E =>  E B = A D  E B = A D (2)

Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân (đpcm)

2 Có:

A B + C D + B C + A D = E D + C D + B C + E B

(Vì: AB = ED, AD = EB (cmt))

A B C D B C A D E D C D B C E B

(đpcm)

3 Giả sử : A F ⊥C D = M ; B K ⊥C D = N

=> M C A = IFA (Cùng phụ với C A M )

A F B

 

cân tại A => AB = AF (3)

IA F

I A B

Mà: BK // AF (cùng ⊥ D C )

I K B S L T

 =  I K B = IA B ( = IA F )

A B K

  cân tại B => BA = BK (4)

Từ (3) và (4) => AB = BK = AF

=> AF//=BK => ABKF là HBH

Mặt khác: => ABKF là hình thoi

Câu 5

x + x + x+ =  x + x + =

<=>

2 (x+ 1) = 0 (D o x: +  1 0  x) <=> x = -1

Với y 0 => y.y2 = (x + 1)(x2 + 1)

=> 2 2

1 1

y x

y x





x y  y  y x+  x +

(x+ 1) =x +  1 x + 2x + = 1 x +  1 x= 0

=> y = 1 Vậy pt có nghiệm là: (x;y) = (-1; 0) ; (0; 1)

2 Vì: ab+bc+ca = 1 => 1 + a2 = ab+bc+ca + a2 = (a+b)(a+c) (1)

Tương tự: 1 + b2 = ab+bc+ca + b2 = (a+b)(b+c) (2)

1 + c2 = ab+bc+ca + c2 = (c+b)(a+c) (3)

Từ (1), (2) và (3) => A = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 => A là số CP (đpcm)

Đề 3

Câu 1

1) Giải phương trình 2x2 7x 6 0

x y

x y

3) Giải phương trình x4 7x2 1 8 0

Câu 2

1) Vẽ đồ thị của hai hàm số 1 2

2

2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng 2

1

3) Tìm các số thực x để biểu thức

3 2

1

4

x

xác định

Câu 3

1) Cho tam giác M N P vuông tại N có M N 4 ,a N P 3a với 0 a Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác M N P quay quanh đường thẳng M N

2) Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx2 3x 1 0 Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn

có hai nghiệm là 2 x1 x2 2 và 2x2 x1 2.

3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm Lẽ ra đúng 1 năm sau

bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ Hết 2 năm bác

B phải trả tất cả 121 triệu đồng Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1

năm?

Câu 4

a a a a P

2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn

2

2

.

x x y

y x y

Câu 5 Cho tam giác A B C nội tiếp đường tròn O có hai đường cao B D và C E cắt nhau tại trực tâm

H Biết ba góc C A B A B C B C A, , đều là góc nhọn

1) Chứng minh bốn điểm B C D E, , , cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh D E vuông góc với O A.

3) Cho M N, lần lượt là trung điểm của hai đoạn B C A H, Cho K L, lần lượt là giao điểm của hai

đường thẳng O M và C E, M N và B D Chứng minh K L song song với A C

Câu 6 Cho ba số thực a b c, , Chứng minh rằng:

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

ĐÁP ÁN Câu 1

1) Giải phương trình: 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

2

2 2

.

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 3 ; 2

2

S

2) Giải hệ phương trình : 2 3 5

x y

x y

.

2 2

y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x y; 2 ; 3

3) Giải hệ phương trình: 4 2

Đặt 2

0

Ta có: 7 2 4 1 8 1 2 1 0

1 có hai nghiệm phân biệt:

1

2

2

9

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S 2 ; 2

Câu 2: 1)Vẽ đồ thị hai hàm số 1 2, 2 1

2

2

Ta có bảng giá trị:

x -4 -2 0 2 4

2 1 2

2

y x là đường cong đi qua các điểm 4 ; 8 , 2 ; 2 , 0 ; 0 , 2 ; 2 ,

4 ; 8 và nhận trục O y làm trục đối xứng

+) Vẽ đồ thị hàm số y 2x 1

Ta có bảng giá trị:

Vậy đường thẳng y 2x 1 là đường thẳng đi qua hai điểm: 0 ; 1 , 2 ; 5

2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y m2 1 x m và y 2x 1 song song với nhau

1

1

m

m

Vậy m 1 thỏa mãn bài toán

3) Tìm các số thực x để biểu thức

3 2

1

4

x

xác định

.

Vậy biểu thức M xác định khi và chỉ khi 5 , 2

3

Câu 3:

1)Cho tam giác M N P vuông tại N có M N 4 ,a N P 3a với 0 a Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác M N P quay quanh đường thẳng M N

Khi xoay tam giác M N P vuông tại N quanh đường thẳng M N ta được hình nón có chiều cao

4

h M N a và bán kính đáy R N P 3 a

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông M N P ta có:

2

Do đó hình nón có độ dài đường sinh là l M P 5 a

x q

2) Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx2 3x 1 0 Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn

có hai nghiệm là 2 x1 x2 2 và 2x2 x1 2.

Phương trình 2

x x có 2 nghiệm x1,x2( gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

3 1

x x

x x

Xét các tổng và tích sau:

S 2x1 x2 2 2x2 x1 2 2 x1 x2 x12 22

2

2

2 x x và 2 x2 x1 2 là 2 nghiệm của phương trình

3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm Lẽ ra đúng 1 năm sau

bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ Hết 2 năm bác

B phải trả tất cả 121 triệu đồng Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1

năm?

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x ( %/năm) ( ĐK: x 0)

Số tiền lãi bác B phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 1 0 0 %x x( triệu đồng)

Số tiền bác B phải trả sau 1 năm là 1 0 0 x ( triệu đồng)

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác B phải

trả sau 2 năm là 1 0 0 % 1 0 0

1 0 0

x x

Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

2

1 0 0

1 0 0

x x

1 0

x tm x

Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng đó là 10%/ năm

Câu 4

a a a a P

Với a 0 và a 4 thì:

1

.

P

2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn

2

2

.

x x y

y x y

2

2

x x y

y x y

Lấy 1 cộng 2 vế với vế ta được:

2

Với x 1 thì y 2 1 2

Với x 1 thì y 2 1 2

Vậy hệ có nghiệm x y; 1 ; 2 , 1 ; 2

Câu 5

9 0

B D A C B D C

C E A B C E B

Tứ giác B E D C có B D C B E C 9 0 nên nó là tứ giác nội tiếp ( tứ giá có hai đỉnh kề nhua cùng nhìn

một cạnh dưới các góc bằng nhau)

Suy ra bốn điểm B, D , C , E cùng thuộc một đường tròn

2) Kẻ tiếp tuyến A x với đường tròn O tại A

Khi đó A x A O ( tính chất tiếp tuyến)

Ta có: C A x C B A ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung A C ) 1

Do tứ giác B E D C nội tiếp (cmt) C B A E D A ( góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diên đỉnh đó)

2

Từ 1 và 2 suy ra C A x E D A C B A

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên D E / /A x

Mà A x A O (cmt) nên D E A O (đpcm)

Câu 6

x a b c y b c a z c a b

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x3 y3 z3 3x y z.

Ta có:

x y z x y z x y x y z z

x y x y x y x y z z

3 3

3

x y z x y x y z

2 2

3

x y z x y x y z z x y x y z

x y z x x y y x z y z z x y

x y z x y z x y y z z x

Dễ thấy:

2

1

0 , , ,

Do đó ta đi xét dấu của x y z

Ta có: x y z a2 b c b2 c a c2 a b

0 , , , 2

3

x y z x y z hay a2 b c 3 b2 c a 3 c2 a b 3 3 a2 b c b2 c a c2 a b (đpcm)

Dấu “ =” xảy ra khi a b c

Đề 4

Câu 1

a) Rút gọn biểu thức: A = 3 6 − 4

b) Tìm x biết x = 3

Câu 2 Giải hệ phương trình: 2 5 1 2







Câu 3 Giải phương trình: x2 − 7x + 1 2 = 0

Câu 4 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (x): y=6x+b và parabol (P): 2( )

a) Tìm giá trị của b để đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;9)

b) Với b tìm được, tìm giá trị cảu a để (d) tiếp xúc với (P)

Câu 5 Cho phương trình x2 − m x − 2m2 + 3m − 2 = 0 ( với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Câu 6 Chiều cao trung bình của 40 học sinh lớp 9A là 1,628 m Trong đó chiều cao trung bình của học

sinh nam là 1,64m và chiều cao trung bình của học sinh nữ là 1,61m Tính số học sinh nam, số học sinh

nữ của lớp 9A

Câu 7 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB< AC) và đường cao AH ( K BC) Vẽ đường tròn (O)

đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) ( với M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO ) Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AN và AK

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh KA là tia phân giác góc AKN

c) Chứng minh A N2 = A K A H.

ĐÁP ÁN Câu 1 Ta có : A = 3 6 − 4 = 6 − 2 = 4

Vây A = 4

Điều kiện : x  0

Ta có : x = 3  x = 32  x = 9( thỏa mãn)

Vậy x = 9

Câu 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x y; ) (= 1; 2)

Câu 3

Vậy phương trình có nghiệm S =3; 4

Câu 4

Thay x = 0 ;y = 9 vào phương trình đường thẳng (d): y=6x+b ta được :

9= 6.0+b b = 9

Vậy b=9

để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) có nghiệm kép

0

1

a

a a





Vậy a = -1 là giá trị cần tìm

Câu 5

x − m x − m + m − = có a = 1;b = −m c; = − 2m2 + 3m − 2

Ta có: 2 ( )2 ( 2 ) 2 ( )2

0 ,

H a y   m nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Câu 6

Gọi số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A lần lượt là x, y (x,y * ,x,y<40) (học sinh)

Lớp 9A có 40 học sinh nên ta có phươn trình x+y=40 (1)

Vì chiều cao trung bình của học sinh lớp 9A là 1,628m nên ta có phương trình

1, 6 4 1, 6 1

1, 6 2 8

4 0

( )

1, 6 4x 1, 6 1y 6 5 ,1 2 2

Từ (1) và (2) ta có phương trình:





t m

Vậy số học sinh nam lớp 9A là 24hs

Số hs nữ của lớp 9A là 16 học sinh

Câu 7

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn (O) có AM là tiếp tuyến nên A M ⊥ O M hay A M O = 9 00

Lại có A K ⊥ B C suy ra A K O = 9 00

H

O

A

N

K

M

Xét tứ giác AMKO có A M O = A K O = 9 00 nên hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới các

góc vuông, do đó tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp(đpcm)

b) Chứng minh KA là tia phân giác AKN

xét đường tròn (O) có AN là tiếp tuyến nên A N ⊥ O N hay A N O = 9 00

Xét tứ giác KONA có A K O = A N O = 9 00 + 9 00 = 1 8 00 mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác

KONA là tứ giác nội tiếp Suy ta N K A = N O A (1)

Lại có tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên M K A = M O A (2)

Xét đường tròn (O) có AM, AN là 2 tiếp tuyến nên OA là tia phân giác của M O N (TÍNH CHẤT)

Do đó M O A = N O A (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra M K A = N K A hay KA là tia phân giác góc MKN (đpcm)

c) Chứng minh A N 2 = A K A H.

xét đường tròn (O) có A M N là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MN nên

( )

1

c u n g M N 4 2

2

M K A = M O A = M O N ( theo câu b) nên 1 c u n g M N ( )5

2

Từ (4), (5) suy ra A M H = M K A

Xét A M H và A K M có;

c h u n g

A M H = M K A (cmt)

Nên A M H A K M (g g. ) suy ra A M A H A M 2 A K A H.

Lại có AM = AN ( tinh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên AN2=AK.AH (đpcm)