Bài giảng Đồ họa máy tính: Thuật toán vẽ đường thẳng Bresenham

Bài giảng Đồ họa máy tính: Thuật toán vẽ đường thẳng Bresenham có nội dung giới thiệu về thuật toán Bresenham, cài đặt thuật toán cho đường tròn tâm và đường elip tâm, chương trình thuật toán và bài tập. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

Thuật toán vẽ đường thẳng Bresenham

Mối tương quan giữa X & Y khi độ lớn hệ số góc nhỏ hơn 1

 x tăng 1 và y giữ nguyên hay tăng 1

Điều này bảo đảm cho đường thẳng liên tục

Nếu độ lớn của hệ số góc lớn hơn 1, chúng ta đổi vai trò của x & y

 x được gọi là giá trị độc lập và y là giá trị phụ thuộc

Dx

Dy

Thuật toán Bresenham

Giới thiệu:

• Giả sử đường cong được xấp xỉ thành các điểm lần lượt là (xi,yi) Các điểm này có tọa độ nguyên và được hiển thị trên màn hình

• Bài toán đặt ra là nếu biết được tọa độ (xi,yi) của bước thứ i, thì điểm ở bước i+1 là (xi+1,yi+1) sẽ được xác định như thế nào

• Trong trường hợp hệ số góc 0<=m<=1, chúng ta có xi+1=xi+1 và yi+1=yi hay yi+1=yi+1

x

y i

y i +1

y i -1

x

Thuật toán

• Phương trình đường thẳng qua 2 điểm (x1, y1) và (x2, y2) là y=mx+b với m=Dy/Dx

và b=y1-mx1

• Đặt d1=y-yi và d2=(yi+1)-y, do đó việc chọn tọa độ của yi+1 phụ thuộc vào d1 và d2 ( hay dấu của d1 - d2):

– Nếu d1-d2<0 thì chọn yi+1=yi

– Ngược lại, chọn yi+1=yi+1

x i

y i

x i+1 =x i +1 S

d 2

d 1

(xi+1,y=f(xi+1))

Thuật toán (cont.)

• d1 - d2 = (2y – 2yi – 1) là một số thực do chứa m

• Xét pi = Dx (d1 - d2) = Dx (2y - 2yi - 1) = 2Dy xi - 2Dx yi + C

– C = 2Dy + (2b - 1)Dx

• Do dấu của pi và (d1-d2) giống nhau nên khi xét dấu của pi thì ta xác định được

yi+1

• Mặc khác, pi+1 – pi = (2Dy xi+1 - 2Dx yi+1 + C) - (2Dy xi - 2Dx yi + C) = 2Dy –

2Dx(yi+1 – yi)

• Từ đây, ta suy ra cách tính pi+1 theo pi:

– Nếu pi<0 thì yi+1=yi nên pi+1 = pi + 2Dy

– Ngược lại thì yi+1=yi+1 nên pi+1 = pi + 2Dy – 2Dx

• Giá trị p đầu tiên được tính tại (x1, y1) là p1 1 = 2Dy x1 -2Dx y1 + C = 2Dy – Dx

p = 2Dy - Dx;

const1=2Dy; const2=2(Dy-Dx);

x = x1; y = y1;

putpixel(x,y,color);

x<x2

p<0

p=p+const1;

x=x+1;

putpixel(x,y,color);

p=p+const2;

y = y + 1;

End

Chương trình (Dx>Dy>0)

void BresenhamLine(int x1, int y1, int x2, int y2, int color) { int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1;

int x = x1, y = y1;

int p = 2 * Dy – Dx;

int const1 = 2 * Dy, const2 = 2 * (Dy-Dx);

putpixel(x, y, color);

while (x < x2) {

if (p < 0) {

p += const1;

} else {

p += const2;

y++;

}

x++;

putpixel(x, y, color);

}

}

Tổng kết

• Xác định d1 và d2 sao cho d1 là độ lệch từ y đến điểm hiện hành yi

• Xác định pi sao cho pi cùng dấu với (d1 – d2) và mang giá trị nguyên

• Tính pi+1 theo pi theo 2 trường hợp pi < 0 và pi i > 0 Chú ý trường hợp pi = 0.

• Tính p1

x i

y i

x i+1 =x i +1 S

d 2

d 1

(xi+1,y=f(xi+1))

Mở rộng

1 4

8

7 6

5

Dx>0,Dy>0,Dx>Dy

Dx>0,Dy<0,Dx>|Dy| Dx<0,Dy>0,|Dx|>Dy

Dx<0,Dy<0,|Dx|>|Dy|

Kết hợp vùng 1 và 8

• x tăng 1

• Vùng 1 y tăng còn vùng 2 y giảm

int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1;

Dy = abs(Dy);

while (x < x2) {

if (p < 0) {

p += const1;

} else {

p += const2;

y += dy;

} x++;

putpixel(x, y, color);

}

Kết hợp vùng 1 và 4

• Vùng 1 x tăng 1, vùng 4 x giảm 1

• y tăng

int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1;

Dx = abs(Dx);

while (

if (p < 0) {

p += const1;

} else {

p += const2;

y++;

}

x += dx;

putpixel(x, y, color);

}

Kết hợp vùng 1, 4, 5, 8

• x tăng 1 khi Dx > 0, giảm 1 khi Dx < 0

• y tăng khi Dy > 0, giảm khi Dy < 0

int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1;

Dx = abs(Dx);

int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1;

Dy = abs(Dy);

while (

if (p < 0) {

p += const1;

} else {

p += const2;

y += dy;

}

x += dx;

putpixel(x, y, color);

}

Kết hợp vùng 2, 3, 6, 7:

Kết hợp vùng 2, 3, 6, 7: x tính theo y x tính theo y

• y tăng 1 khi Dy > 0, giảm 1 khi Dy < 0

• x tăng khi Dx > 0, giảm khi Dx < 0

int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1;

Dx = abs(Dx);

int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1;

Dy = abs(Dy);

while (

if (p < 0) {

p += const1;

} else {

p += const2;

x += dx;

}

y += dy;

putpixel(x, y, color);

}

Chương trình hoàn chỉnh

BresenhamLine(int x1, int y1, int x2, int y2, int color) {

int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1;

int x = x1, y = y1;

int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1; Dx = abs(Dx);

int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1; Dy = abs(Dy);

putpixel(x, y, color);

if (Dx > Dy)

{

int p = 2 * Dy – Dx;

int const1 = 2 * Dy, const2 = 2 * (Dy-Dx);

while (x != x2) {

if (p < 0) {

p += const1;

} else {

p += const2;

y += dy;

}

x += dx;

putpixel(x, y, color);

} } else {// đổi vai trò giữa x và y

… }

}

Bài tập

Cài đặt thuật toán Bresenham cho:

• Đường tròn tâm (xc,yc) bán kính R: (x-xc)2 + (y-yc)2 = R2

• Đường elip tâm (xc,yc) bán kính dài là a, rộng là b: (x-xc)2 2 / a2 + (y-yc)2 / b2 2 = 1