Hàm phân thức chính quy và các ứng dụng trong toán sơ cấp

Chính vì thế, việc nắm bắt các tính chất của hàm phân thức chính quy và vận dụng được tính đặc thù của các hàm phân thức chính quy đã cho để giải các dạng toán này là thực sự cần thiết..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh Sinh viên thực hiện : Ngô Thị Ánh Ly

Chuyên ngành : Sư phạm Toán

Đà Nẵng, tháng 04/2018

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 4

1.1 Hàm phân thức chính quy một biến 4

1.2 Hàm phân thức chính quy nhiều biến 7

1.3 Định lý 8

1.4 Một số bất đẳng thức cơ bản được áp dụng trong luận văn 11

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 12

2.1 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 12

2.2 Chứng minh bất đẳng thức 20

2.3 Chứng minh đẳng thức 28

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán ở bậc phổ thông, hàm phân thức chính quy là một trong những khái niệm mới và thường ít được đề cập đến Tuy nhiên có rất nhiều dạng toán về đẳng thức, bất đẳng thức, cực trị, liên quan đến các hàm phân thức chính quy Chính vì thế, việc nắm bắt các tính chất của hàm phân thức chính quy và vận dụng được tính đặc thù của các hàm phân thức chính quy đã cho để giải các dạng toán này là thực sự cần thiết

Là một sinh viên ngành sư phạm Toán học, tôi mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu và có được một tài liệu để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của

mình là: “Hàm phân thức chính quy và các ứng dụng trong toán sơ cấp” Đề

tài nhằm hệ thống và giải quyết các bài toán liên quan đến một số lớp hàm có cấu trúc đặc biệt, đó là hàm phân thức chính quy

2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về hàm phân thức chính quy

và các ứng dụng của hàm phân thức chính quy như là một công cụ để giải quyết một lớp các bài toán trong lĩnh vực toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm phân thức chính quy

- Trang bị cho học sinh phương pháp giải một lớp các bài toán bằng phương pháp sử dụng hàm phân thức chính quy

- Chọn lọc, hệ thống các bài tập, ví dụ minh họa phù hợp với từng dạng toán

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo thu thập tài liệu

- Phân tích chọn lọc tài liệu

- Tổng hợp, trình bày một cách có hệ thống

5 Cấu trúc luận văn:

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Hàm phân thức chính quy

Chương này trình bày các định nghĩa về hàm phân thức chính quy một

biến và nhiều biến, đồng thời trình bày các tính chất, các định lý của hàm

phân thức chính quy và một số bất đẳng thức được sử dụng trong chương 2

của luận văn

Chương 2: Một số ứng dụng của hàm phân thức chính quy

Nội dung chương 2 trình bày về các ứng dụng của hàm phân thức chính

quy trong việc giải các bài toán về cực trị, chứng minh bất đẳng thức và

chứng minh đẳng thức Trong mỗi dạng bài đều có các ví dụ với lời giải cụ

thể, rõ ràng giúp người đọc có thể thấy rõ vai trò của hàm phân thức chính

quy trong việc giải và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Đề tài được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng

dưới sự hướng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc khoa Toán

trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng, đặc biệt là cô Nguyễn Thị Sinh

đã tận tình giúp đỡ và đưa ra những ý kiến đóng góp sâu sắc và giá trị để hoàn

thành đề tài

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2018

Tác giả

CHƯƠNG 1 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

1.1 Hàm phân thức chính quy một biến:

i i i

Các tính chất của hàm phân thức chính quy một biến:

Tính chất 1.1.1 Nếu f x là hàm phân thức chính quy thì   f x 0với mọi x0

Chứng minh: Dễ dàng suy ra từ định nghĩa

Tính chất 1.1.2 Nếu f x và   g x là các hàm phân thức chính quy  

thì với mọi cặp số dương , ,  hàm số

 :    

h x f x g x

cũng là hàm phân thức chính quy

Vậy h x là hàm phân thức chính quy  

Tính chất 1.1.3 Nếu f x và   g x là các hàm phân thức chính quy  

thì hàm số

     

j i

j i

Vậy h x là hàm phân thức chính quy  

Tính chất 1.1.4 Nếu f x là hàm phân thức chính quy thì hàm số  

1.2 Hàm phân thức chính quy nhiều biến:

Định nghĩa 1.2.1 Hàm số f x x 1, 2, ,x n được gọi là một hàm phân thức chính quy trên tập     nếu nó có dạng

Ví dụ:

Hàm phân thức chính quy f x y , 2x y43 17 2x y53 27 x y23 27 có các hàm phân thức thành phần:

1.3 Định lý:

Định lý 1.3.1 Hàm số f x x 1, 2, ,x n là một hàm phân thức chính quy khi và chỉ khi các hàm phân thức thành phần của f x x 1, 2, ,x n cũng đều là các hàm phân thức chính quy

Định lý 1.3.2 Với mỗi hàm phân thức chính quy dạng

t x



2 1

i

n i i

1 2

1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x1 x2   x n 1

Hệ quả 1.3.1 Với mỗi hàm phân thức chính quy f x x 1, 2, ,x n trên tập    , ta đều có min f x x 1, 2, ,x n f1,1, ,1

Nhận xét 1.3.1 Với mọi hàm phân thức dạng

n

i i i

q a

g x x g



Từ đó suy ra    1

q p

g x g x Vậy    1 0

q p

g x g x  x

1.4 Một số bất đẳng thức cơ bản đƣợc áp dụng trong luận văn:

1.4.1 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân:

Giả sử x x1, 2, ,x n là các số không âm Khi đó:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1x2   x n

1.4.2 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân suy rộng :

Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x x1, 2, ,x p p n; ,1 2, ,p n Khi đó:

1

1 1 2 2

b  b  b , trong đó ta

sử dụng quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM PHÂN THỨC

CHÍNH QUY

Các kết quả về hàm phân thức chính quy trình bày trong chương 1 được

áp dụng để giải một số các bài toán trong lĩnh vực toán sơ cấp, bao gồm các bài toán cực trị, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức,…

2.1 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Đối với lớp bài toán này ta chứng minh hàm số đã cho là hàm phân thức chính quy, sau đó sử dụng định lý 1.3.2 và hệ quả 1.3.1 ( đã được trình bày trong chương 1) để đưa ra kết quả

Bài toán 2.1.1 Cho , , x y z0, tìm giá trị nhỏ nhất của

Suy ra g x y z , ,  là một hàm phân thức chính quy

Vậy giá trị nhỏ nhất của g x y z , ,  là   9

i i

Suy ra f x  là một hàm phân thức chính quy

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là  

i

i f

Suy ra g x y là một hàm phân thức chính quy hai biến  ,

Áp dụng hệ quả 1.3.1 cho hàm phân thức chính quy g x y , , ta được giá trị nhỏ nhất của g x y là  ,

1 1 1 1 1 1 1

11

Suy ra f x  là một hàm phân thức chính quy

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là  

 

1

11

1

n

i

n f

Suy ra g x y là một hàm phân thức chính quy hai biến  ,

Áp dụng hệ quả 1.3.1 cho hàm phân thức chính quy g x y , , ta được giá trị nhỏ nhất của g x y là  ,

n i

g

i i





Bài toán 2.1.3 Với , , x y z0, tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài toán 2.1.4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm  

1

i

n a i

i n i i

a x

Suy ra g x là một hàm phân thức chính quy  

Vậy giá trị nhỏ nhất của g x là  

 

1

n a i



Bài toán 2.1.5 Cho hàm số f x y  ,  xynxn yn

Chứng minh f x y hàm phân thức trên là hàm phân thức chính quy  ,

và tìm giá trị nhỏ nhất của nó ( trong miền các biến dương )

n

i i n i n n n

Vậy f x y là một hàm phân thức chính quy hai biến  ,

Áp dụng hệ quả 1.3.1 cho hàm phân thức chính quy f x y , , ta được giá trị nhỏ nhất của f x y là  ,

  1,1 1 1n1 n 1 n 2n

f      

2.2 Chứng minh bất đẳng thức:

Đối với dạng toán chứng minh bất đẳng thức, ta đưa bài toán về dạng bài toán của hàm phân thức chính quy sau đó sử dụng định lý 1.3.2 , kết hợp với một số bất đẳng thức cơ bản thông dụng để đưa ra kết quả

Bài toán 2.2.1 Cho a b, 0 và 1 1 1

p  q với p q, 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:

a b ab

Khi a0,b0 bất đẳng thức   tương đương với

Nếu a0 hoặc b0 thì bất đẳng thức   hiển nhiên đúng

Ta chỉ cần chứng minh   đúng với trường hợp a0;b0

Vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân suy rộng cho trường hợp n2, với :

Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức chính quy f a b c , ta thu  , , 

được f a b c , ,   f 1,1,111

Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Bài toán 2.2.3 Cho , x y0 Chứng minh rằng

  3 2 5 6 3 2

f x y  x y  x y  x y Nhận thấy rằng hàm f x y là một hàm phân thức chính quy hai biến  ,

vì

Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 1

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong

Bài toán 2.2.4 Cho , x y0 Chứng minh rằng

Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức chính quy f x y , , ta thu được f x y ,  f 1,1 12

Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 1

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong

Bài toán 2.2.5 Cho m n, là các số nguyên dương và a0, b0 Chứng minh bất đẳng thức :

Khi a0, b0 bất đẳng thức   tương đương với

Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức chính quy f a b , , ta thu được f a b   ,  f 1,1  m n

Vậy bất đẳng thức   đã được chứng minh

Bài toán 2.2.6 Cho a b c, , 0, chứng minh rằng

Ta nhận thấy g a b c là một hàm phân thức chính quy ba biến, nên áp  , , 

dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức chính quy g a b c , , , ta được

Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong

Bài toán 2.2.7 Cho 3 vòng tròn tâm A,B,C với bán kính a,b,c tương

ứng, từng đôi một tiếp xúc ngoài với nhau Xét ABC hãy chứng minh rằng :

AB AC

Nên

22

2

A sin

tan

A pa cos

2

22

2

B sin

tan

B pb cos

2

22

2

C sin

tan

C pc cos

n i

Vậy   đã được chứng minh xong

Bài toán 2.3.2 Chứng minh rằng:

n i

Vậy   đã được chứng minh

Bài toán 2.3.3 Chứng minh rằng:

n i

KẾT LUẬN

Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp đại học của sinh viên, đề tài

“Hàm phân thức chính quy và các ứng dụng trong toán sơ cấp” đã thu được các kết quả sau:

- Hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản về hàm phân thức chính quy, chứng minh các tính chất và định lý của hàm phân thức chính quy

- Ứng dụng hàm phân thức chính quy trong việc giải ba dạng toán thường gặp: bài toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh đẳng thức

Nội dung của đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho học sinh, giáo viên phổ thông, cũng như những ai quan tâm đến lớp hàm có cấu trúc đặc biêt này

Với kiến thức và thời gian còn hạn chế, đề tài vẫn không tránh khỏi những thiếu sót và chưa khai thác hết được các dạng toán liên quan đến việc ứng dụng của hàm phân thức chính quy, tôi rất mong nhận được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn

Hy vọng rằng các kết quả của đề tài sẽ còn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn nữa nhằm phục vụ cho việc dạy và học toán ở bậc phổ thông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục

[2] Hoàng Văn Hùng, Cực trị của một lớp hàm có dạng tỉ số của hai hàm đại

số Trong: Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải, số 24 – 11/ 2010, trang: