Rồi sau đó vào cùng một lúc, chúng lại đậu xuống các đỉnh của lục giác ( các con chim không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của mình ).. Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim, sao cho tam g[r]
Trang 1UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 2
MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 – 2021
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
c) Tìm m để 2x.A < mx – m thoả mãn với mọi x > 2
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x2 12 6x3 3x
b) Đa thức f(x) khi chia cho (x + 1) thì dư 4, khi chia cho (x + 2) thì dư 1, còn khi chia
cho (x + 1)(x + 2) thì được thương là 5x2 và còn dư
Hỏi khi chia đa thức f(x) cho x – 1 thì dư bao nhiêu?
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên : y x 2 x2 3
b) Cho a b c b a c
b c a a c b Tính giá trị của biểu thức: Sa b b c c a a b c ( )( ) 2018
Câu 4 (2,5 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là điểm di động trên cạnh AC Từ C vẽ
đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O
a) Chứng minh rằng góc OHA không đổi
b) Chứng minh rằng BM.BH + CM.CA không đổi
2 Cho tam giác ABC vuông cân tại B, L là trung điểm cạnh BC và P là điểm trên cạnh
CA sao cho BP vuông góc với AL Biết CP= 2cm Tính độ dài cạnh AB
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho một lục giác đều Tại mỗi đỉnh của lục giác có một con chim đậu Vào cùng một lúc, tất cả 6 con chim đều bay lên khỏi vị trí của mình Rồi sau đó vào cùng một lúc, chúng
lại đậu xuống các đỉnh của lục giác ( các con chim không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của
mình) Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim, sao cho tam giác tạo bởi các đỉnh mà chúng
đậu trước khi bay lên bằng tam giác tạo bởi các đỉnh mà chúng đậu xuống
-Hết -(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh………Số báo danh………
Trang 2UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 – 2021
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa Câu 4 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm Điểm toàn bài không làm tròn
1(2,5
điểm)
Câu 1(2,5 điểm):
Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên c) Tìm m để 2x.A < mx – m thoả mãn với mọi x >2 a) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ 2 Với điều kiện đó, ta có:
2
2
1
.
A
A
x
A
x
2
2 2
2 2
2 2
2
2
.
.
1 2
.
1 2
A
x
A
x
A
x
A
A
x A
x
2
x A x
với x ≠ 0, x ≠ 2
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Để A có giá trị nguyên thì x 1
x
có giá trị nguyên 1 1
x
có giá trị 0,25
Trang 3nguyên 1
x
có giá trị nguyên x 1;1 , (Thoả mãn ĐKXĐ) Thử lại, Với x = -1 thì A = 0 (thoả mãn)
Với x = 1 thì A = 1 (thoả mãn)
Vậy để A có giá trị nguyên thì x 1;1
0,25
0,25
c) 2x.A < mx – m (1)
Với x ≠ 0, x ≠ 2 thì 1
2
x A x
, khi đó (1) trở thành 2x 1
2
x x
< mx – m
(m – 1 )x > m + 1 (2)
Để với mọi x > 2 đều thoả mãn (1) thì với mọi x > 2 đều thoả mãn (2)
Xét m = 1 thì (2) có dạng: 0.x > 2, vô nghiệm (loại)
Xét m < 1 thì (2) có nghiệm 1
1
m x m
TH này không thoả mãn với mọi x>2 (loại)
Xét m > 1 thì (2) có nghiệm 1
1
m x m
Để (2) thoả mãn với mọi x > 2 thì ta phải có
1 2 1 1
2 0 1
1
0
0 1
3
0 1 3 1
m m m m
m m
m m m m m
(Hoặc : Với x > 2 thì (1) 1
1
x m x
Vì x x11 1 x213, x 2
Vậy với m 3 thì 2x.A < mx – m thoả mãn với mọi x >2
0,25
0,25
0,25
2(2,0
điểm)
Câu 2(2,0 điểm):
a) Giải phương trình: 2x2 12 6x3 3x
b) Đa thức f(x) khi chia cho (x + 1) thì dư 4, khi chia cho (x + 2) thì
dư 1, còn khi chia cho (x + 1)(x + 2) thì được thương là 5x2 và còn
dư Hỏi khi chia đa thức f(x) cho x – 1 thì dư bao nhiêu?
a) Ta có
Trang 4
2
2
2
2
Vì 2x2 +1 > 0 với mọi x nên
1
1 0
2
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;1
2
S
0,25
0,25
0,25
0,25 b) Vì (x + 1)(x + 2) là đa thức bậc hai nên dư trong phép chia f(x) cho
(x + 1)(x + 2) có dạng ax+b
Ta có f(x)= (x +1)(x +2).5x2 + ax+b
Vì f(x) : (x+1) dư 4 nên f(-1)=4 suy ra –a+b = 4 (1)
Vì f(x) : (x+2) dư 1 nên f(-2)=1 suy ra –2a+b = 1 (2)
Từ (1)và (2) suy ra a=3 , b=7 Vậy
f(x) = (x + 1)(x + 2).5x2 + 3x+7 = 5x4+15x3+10x2+3x+7
Ta có f(1)= 5 +15+10+3+7 = 40 Vậy f(x): (x-1) dư 40
0,25
0,25
0,25
0,25 3(2,0
điểm)
Câu 3(2,0 điểm):
a) Giải phương trình nghiệm nguyên : y x 2 x2 3(1)
b) Cho a b c b a c
b c a a c b Tính giá trị của biểu thức:
S a b c b a c a b c
a) Xét x = 2, pt(1) trở thành y.0 = 7, vô nghiệm
Xét x≠2, từ (1) suy ra 2 3 2 7
x
Vì x, y là các số nguyên nên x – 2 là ước nguyên của 7
2 7; 1;1;7 5;1;3;9
x x
Với x= - 5 thì y = - 4 Với x = 1 thì y = -4 Với x =3 thì y = 12 Với x=9 thì y = 12 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là (x,y)=(- 5, - 4); (1, - 4); (3, 12); (9,
12)
0,25
0,25
0,25
0,25 b)Từ giả thiết suy ra:
0,25
Trang 5
2
2
a c ab bc b c a b ac
c b a b a c
Do đó Sa b c b a c a b c ( )( ) 2018=0
0,25
0,25 0,25
4(2,5
điểm)
Câu 4(2,5 điểm):
1 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là điểm di động trên cạnh
AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O
a) Chứng minh rằng góc OHA không đổi
b) Chứng minh rằng BM.BH + CM.CA không đổi
2 Cho tam giác ABC vuông cân tại B, L là trung điểm cạnh BC và P
là điểm trên cạnh CA sao cho BP vuông góc với AL Biết CP= 2
cm Tính độ dài cạnh AB
a) Ta có BOHCOA(g.g) OH OA
Suy ra OBC OHA (c.g.c) OHA OBC (Không đổi)
0,5 0,5 b) Kẻ MK vuông góc với BC tại K
Ta có BKMBHC (g.g) BM BK BM BH. BC BK (1)
CKMCAB (g.g) CM CK CM CA BC CK (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM.BH + CM CA =BC(BK + CK) =BC2 , không đổi
0,25 0,25 0,25
2
Trang 6Dựng hình vuông ABCD Gọi M là giao điểm của BP và CD O là giao
điểm của AC và BD
Chứng minh được LAB=MBC (g.c.g)
Suy ra M là trung điểm của CD
Tam giác BCD có hai đường trung tuyến CO và BM cắt nhau tại P nên P
là trọng tâm của BCD
Suy ra CP =2PO
Ta có AC =2(CP + PO) =3CP =3 2cm
Theo định lí Py-ta-go ta có: AB2 +BC2 =AC2
Mà AB =BC nên 2AB2 =AC2
Suy ra AB=AC : 2=3 2: 2=3cm
Vậy AB =3cm
0,25
0,25
0,25
5(1,0
điểm)
Câu 5(1,0 điểm): Cho một lục giác đều Tại mỗi đỉnh của lục giác có
một con chim đậu Vào cùng một lúc, tất cả 6 con chim đều bay lên khỏi
vị trí của mình Rồi sau đó vào cùng một lúc, chúng lại đậu xuống các
đỉnh của lục giác ( các con chim không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của
mình) Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim, sao cho tam giác tạo bởi các
đỉnh mà chúng đậu trước khi bay lên bằng tam giác tạo bởi các đỉnh mà
chúng đậu xuống
- Gọi O là tâm của hình lục giác đều đã cho
- Dễ thấy 2 tam giác mà mỗi tam giác có 2 đỉnh đối xứng với nhau
qua O là 2 tam giác bằng nhau (1)
- Xét 2 con chim mà trước khi bay lên chúng đậu tại 2 đỉnh gọi là A
và B đối xứng với nhau qua tâm O Xảy ra 2 trường hợp sau:
TH1: 2 con chim đó đậu xuống 2 đỉnh đối xứng với nhau qua tâm
O Ta chọn con chim mà trước khi bay lên nó đậu tại đỉnh C nào đó (C khác A, C khác B) Theo (1), 3 con chim này thoả mãn yêu cầu
đề bài
TH2: 2 con chim đó đậu tại 2 đỉnh gọi à A’ và B’ không đối xứng
với nhau qua O Lúc này ta chọn con chim thứ 3 là con chim mà sau khi đậu xuống nó đậu tại đỉnh C’ đối xứng với A’(hoặc B’) qua tâm O Theo (1), 3 con chim này thoả mãn yêu cầu đề bài
- Vậy luôn tồn tại 3 con chim, sao cho tam giác tạo bởi các đỉnh mà
chúng đậu trước khi bay lên bằng tam giác tạo bởi các đỉnh mà chúng đậu xuống
0,25
0,25
0,25
0,25