Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. Lời nói đầu: Trước kết quả còn hạn chế của học sinh trong kì thi tốt nghiệp THPT năm 2009 vừa qua. Chúng tôi đã chủ động viết một cuốn tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán cho học sinh trường THPT Lục Ngạn 4, đồng thời là cuốn tài liệu bổ ích để các thầy cô dùng làm tài liệu tham khảo dạy ôn tốt nghiệp và học sinh khá giỏi củng cố kiến thức cơ bản trước khi bước vào kì thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng năm 2010. Cuốn tài liệu sau khi hoàn thành sẽ được kiểm chứng thực tiễn trong kì thi tốt nghiệp THPT năm 2010. Sau đó được bổ sung, hoàn chỉnh hy vọng sẽ trở thành cuốn tài liệu chuẩn ôn thi tốt nghiệp môn Toán dành riêng cho trường THPT Lục Ngạn 4 vào các năm học tiếp theo. Tài liệu được viết thành hai phần chính như sau: - Phần thứ nhất, “ Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán và đọc tài liệu ” dành cho học sinh trường THPT Lục Ngạn 4. Trong phần này người viết cố gắng đưa ra những hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp và đọc tài liệu theo ý kiến chủ quan của mình. - Phần thứ hai “Nội dung” trong phần này người viết đã đưa ra các dạng toán thường gặp trong kì thi tốt nghiệp THPT; tuy nhiên do hạn chế về thời gian và kiến thức của học sinh còn yếu nên chúng tôi chỉ hy vọng đưa ra được một số dạng toán cơ bản đồng thời chủ động cắt bỏ những phần khó cho phù hợp với đối tượng. Cuối phần này là hệ thống 10 đề thi đề nghị sát với chương trình thi tốt nghiệp THPT, để học sinh luyện tập kiểm tra lại kiến thức của mình trước khi bước vào kì thi tốt nghiệp sắp tới và các thầy cô có thể dùng làm các đề thi khảo sát học sinh của mình. Cuối cùng do thời gian viết có hạn, kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế chúng tôi không thể tránh được những sai sót trong quá trình viết. Rất mong nhận được nhiều sự góp ý bổ ích từ phía bạn đọc. Chúng tôi cũng rất mong nhận được sự động viên, chỉ bảo từ phía nhà trường và các bạn đồng nghiệp để cuốn tài liệu sẽ được hoàn thiện hơn trong những năm học tới. Xin chân thành cảm ơn! Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 1 Lục Ngạn, tháng 03 năm 2010 Cao Văn Tùng & Vi Văn Thương. Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. PHẦN I. HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN VÀ ĐỌC TÀI LIỆU. 1. Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán. Phần này người viết chủ động đưa ra những ý kiến chủ quan của mình với mục đích giúp học sinh tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán: - Thứ nhất học sinh cần xác định kế hoạch, mục tiêu ôn thi tốt nghiệp. Chủ động ôn thi theo kế hoạch của nhà trường. - Trong quá trình ôn tập học sinh cần chăm chỉ làm bài tập, chú ý nghe giảng, hoàn thành các bài tập giáo viên giao cho. Học sinh nên có cuốn sổ riêng ghi lại các dạng toán, kiến thức quan trọng. - Thường xuyên ôn tập lại kiến thức đã học theo hệ thống, tích cực sưu tầm và làm các đề thi tốt nghiệp để có kiến thức kinh nghiệm trong thi cử. - Học sinh nên tham khảo ý kiến của giáo viên để biết năng lực của mình khi làm đề thi tốt nghiệp môn Toán, từ đó xác định trọng tâm kiến thức của mình không nên học những phần khó, mà học những phần dễ đạt điểm. - Học hỏi kinh nghiệm của anh chị đi trước. Tích cực hỏi thầy cô, bạn bè để nhanh chóng bù đắp những lỗ hổng kiến thức của mình. - Cuối cùng cần bình tĩnh tự tin, song cũng không được chủ quan. Cần xác định ôn tốt nghiệp nền tảng kiến thức là quan trọng nhất. 2. Hướng dẫn đọc tài liệu. Trong phần Nội dung A- Các dạng toán thường gặp trong kì thi tốt nghệp THPT, để học mỗi chủ đề học sinh cần học theo các bước sau: - Xác định và học những kiến thức từ lớp trước chuẩn bị cho chủ đề đang đọc, như trong phần Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan, các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai ở lớp 10, đạo hàm ở lớp 11 rất cần để học tốt phần này. Trong trường hợp không xác định được kiến thức chuẩn bị học sinh nên hỏi ý kiến của giáo viên và các tác giả. - Học ôn tập các kiến thức cơ bản của từng nội dung, các kiến thức này đã được các tác giả đề cập trong từng mục. Học sinh cần ghi nhớ, nếu bổ sung thêm kiến thức từ SGK, sách tham khảo thì càng tốt. - Với mỗi dạng toán, học sinh cần hiểu được phương pháp giải đã được các tác giả đề cập, nắm được các ví dụ minh họa sau đó hoàn thành các bài tập đề nghị ở sau mỗi phần, mỗi chủ đề. Nếu tự sưu tầm, đưa ra các bài toán khác thì càng tốt. Rèn luyện như vậy để có kĩ năng giải toán. - Học sinh cần nắm được các chú ý, nhận xét, ý tưởng mà các tác giả đưa ra; có như vậy học sinh sẽ hạn chế được những sai lầm, rèn luyện tư duy linh hoạt hơn. - Học sinh nên hệ thống lại kiến thức, dạng toán theo từng chủ đề ra cuốn sổ riêng theo ý tưởng của mình. Để sau này tiện theo dõi, khắc sâu kiến thức và phương pháp. - Học sinh nên xác định năng lực của mình, để hạn chế, cắt bỏ những phần khó học tập trung vào phần dễ học, dễ đạt điểm trong kì thi tốt nghiệp. Phần này học sinh nên tham khảo ý kiến của giáo viên bộ môn và các tác giả. Trong phần nội dung B – Một số đề thi đề nghị, sau khi học tốt phần A học sinh nên làm các bài toán trong các đề thi đề nghị để kiểm tra, củng cố kiến thức của mình. Nên tổ chức cùng thi theo nhóm thì tốt hơn. Các tác giả sẽ hỗ trợ đáp án các đề thi đề nghị và chấm điểm nếu học sinh có nhu cầu tổ chức thi theo nhóm. Cao Văn Tùng! Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 2 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG. A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT. I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. I.1. Bài toán về chiều biến thiên của hàm số. 1. Lý thuyết cần nhớ: - Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu đạo hàm ' 0; ;y x K≥ ∀ ∈ - Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu đạo hàm ' 0; ;y x K≤ ∀ ∈ Trong đó dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm. 2. Dạng toán: Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng xác định. a. Với hàm bậc ba: Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến ) trên R. * Lý thuyết cần nhớ: - Để hàm số đồng biến trên R thì đạo hàm ' 0, .y x R≥ ∀ ∈ Điều kiện là: ( ) 0 0 ' 0 . a >   ∆ ≤ ∆ ≤  - Để hàm số nghịch biến trên R thì đạo hàm ' 0, .y x R≤ ∀ ∈ Điều kiện là: ( ) 0 0 ' 0 . a <   ∆ ≤ ∆ ≤  * Ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 2 1 2. 3 2 x m y x mx + = − + + − Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. Giải: - Đạo hàm y’ = - x 2 + (2m + 1) x + m. - Để hàm số nghịch biến trên R thì ' 0, ,y x R≤ ∀ ∈ điều kiện là: ( ) 2 2 0 1 0 2 3 2 3 4 8 1 0 . 0 ' 0 4 4 4 8 1 0 a m m m m m < − <   − − − + ⇔ ⇔ + + ≤ ⇔ ≤ ≤   ∆ ≤ ∆ ≤ + + ≤   - Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 5. 3 m y x mx x= − + − Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên R. Giải: - Đạo hàm y’ = mx 2 – 2mx + 1. - Để hàm số đồng biến trên R thì ' 0, ,y x R≥ ∀ ∈ điều kiện là: 2 0. 0 0 0 1. ' 0 0 1 0 m a m m m m m > > >   ⇔ ⇔ ⇔ < ≤    ∆ ≤ ≤ ≤ − ≤    b. Với hàm phân thức. Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng xác định. * Lý thuyết cần nhớ: - Với hàm phân thức ( ) a 0; 0 . x b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + Có đạo hàm ( ) 2 ' . ad bc y cx d − = + Như vậy dấu đạo hàm chỉ phụ thuộc vào tử ad - bc, không phụ thuộc vào mẫu. - Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì đạo hàm ' 0 0.y ad bc> ⇔ − > - Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định thì đạo hàm ' 0 0.y ad bc< ⇔ − < * Ví dụ minh hoạ: Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 3 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. - Ví dụ: Cho hàm số 1 m x y mx − = − . Tìm m để: a. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. b. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Giải: - Tập xác định: 1 \ .D R m   =     - Biến đổi: . 1 1 m x x m y mx m x − − + = = − − - Đạo hàm: ( ) 2 2 1 ' . 1 m y mx − = − a. Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì y’ > 0 trên D, ta có: ( ) − > ⇔ > ⇔ − > ⇔− < < − 2 2 2 1 ' 0 0 1 0 1 1. 1 m y m m mx b. Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định thì y’ < 0 trên D, ta có: ( ) 2 2 2 1 ' 0 0 1 0 1 Æc 1. 1 m y m m ho m mx − > ⇔ < ⇔ − < ⇔ > < − − - Nhận xét: Trước khi tính đạo hàm theo công thức học sinh cần biến đổi hàm số theo đúng dạng + = + a x b y c x d ( hê số nhân với x viết trước; hệ số tự do viết sau). * Bài tập củng cố: Bài 1: Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3. 3 x y mx m x= − + + − Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 2 3. 3 m y x mx x m − = + + − + a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. Bài 3: Cho hàm số 3 2 1 1. 3 2 4 x m m y x x − = − + + Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên R. Bài 4: Cho hàm số 1 2 mx y x − = − . Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Bài 5: Cho hàm số 1 . mx y x m − = − Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. I.2. Bài toán về cực trị. Khi học về cực trị học sinh cần phân biệt được giữa cực trị của hàm số ( liên quan đến x, thường là nghiệm của đạo hàm), giá trị cực trị của hàm số (liên quan đến y) và điểm cực trị của đồ thị hàm số (là cặp (x,y)). 1. Lý thuyết chung. *) Quy tắc 1: - Điểm x 0 là điểm cực trị của hàm số nếu qua x 0 đạo hàm y’ đổi dấu. Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 4 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. - Nếu qua x 0 đạo hàm y’ đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x = x 0 . x x 0 f’(x) + -- f(x) CĐ - Nếu qua x 0 đạo hàm y’ đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 . x x 0 f’(x) - + f(x) CT *) Quy tắc 2: Nếu y = f(x) có đạo hàm cấp 2 thì : - Điểm x 0 đạt cực đại nếu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0. =   <  y x y x - Điểm x 0 đạt cực tiểu nếu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0. y x y x =   >  * Chú ý: Ta thường dùng quy tắc 2 để kiểm tra xem điểm x 0 có là cực trị của hàm số bậc 3, bậc 4 không. Quy tắc này rất hiệu quả khi việc xét dấu đạo hàm phức tạp. 2. Một số dạng toán thường gặp. 2.1. Dạng 1. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Với đề thi tốt nghiệp trong quá trình khảo sát đã xuất hiện tọa độ 2 điểm cực trị, do vậy bài toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số, thực chất là bài toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm đã biết tọa độ. * Phương pháp giải. - Bước 1: Từ quá trình khảo sát rút được tọa độ 2 điểm cực trị. - Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị đã biết tọa độ, có 2 cách viết: + Cách 1: Biết một vectơ pháp tuyến và qua một điểm viết phương trình tổng quát. + Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, thay tọa độ 2 điểm cực trị vào ta được hệ phương trình 2 ẩn a, b. Giải hệ tìm được a, b sau đó viết được phương trình đường thẳng. * Ví dụ minh họa. - Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 – 2. a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của hàm số y = x 3 + 3x 2 -2. b. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giải a. Khảo sát học sinh tự giải. Qua bước khảo sát ta được 2 điểm cực trị A(0 ; -2) và ( ) 2; 2 .B − b.Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên quy về viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm đã biết tọa độ A, B. Có 2 cách viết, tùy theo khả năng của học sinh để lựa chọn cách viết phù hợp với mình. - Cách 1: Vectơ chỉ phương ( ) 2;4u = − r suy ra vectơ pháp tuyến ( ) 2;1n= r ; ngoài ra đường thẳng qua A(0 ; -2) nên có phương trình: ( ) ( ) 2 0 + 1 2 = 0 2 2 0.x y x y- + Û + + = -Cách 2: Giả sử phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (*) ; thay tọa độ A, B vào (*) ta được hệ phương trình hai ẩn a ; b : 2 .0 2 . 2 .( 2) 2 a b a a b b ì ì - = + = - ï ï ï ï Û í í ï ï = - + =- ï ï î î Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 5 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. Thay ,a b vào phương trình (*) ta được phương trình đường thẳng 2 2y x= − − hay 2 2 0.x y+ + = - Ví dụ 2 : Cho hàm số 3 2 1 2 3 1 3 y x x x= - + + có đồ thị hàm số (C). a. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số. b.Tìm m để điểm M(- m ; 1- m) và 2 điểm cực trị của hàm số thẳng hàng. Giải : a. Học sinh tự khảo sát. Trong phần này học sinh tìm được 2 điểm cực trị là A(1 ; 1 3 ) và B(3 ; -1). b. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị AB : 2x + 3y – 3 = 0. (Viết dựa vào ví dụ 1). - Để A, B và M thẳng hàng thì M phải nằm trên đường thẳng AB và M khác A, B ta có điều kiện: 2( ) 3(1 ) 3 0(1) 0 1 (2) 1 0. 3 (3) 3 M AB m m m M A m m m M B m m ì ì ì Î - + - - = = ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ¹ Û - ¹ Û ¹ - Û = í í í ï ï ï ï ï ï ¹ - ¹ ¹ - ï ï ï ï ï ï î î î - Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán. * Nhận xét : Đây là một bài toán dạng liên quan đến đường thẳng qua hai điểm cực trị để M Î AB thì tọa độ của M thỏa mãn AB ta có (1) và M khác A, B thì hoành độ của M khác A, B ta có (2) và (3). 2.2. Dạng 2 : Tìm tham số để hàm số bậc 3 có cực trị, không có cực trị : * Lí thuyết cần nhớ. - Để hàm số hàm bậc 3 có cực trị ( có cực đại, cực tiểu) thì đạo hàm y’ phải có 2 nghiệm phân biệt điều kiện : 0( ' 0)D> D > . - Để hàm số hàm bậc 3 không có cực trị thì đạo hàm y’ vô nghiêm hoặc có ghiệm kép điều kiện: 0 ( ' 0).D£ D £ * Phương pháp giải. - Bước 1: Tính đạo hàm. Từ đó tính D hoặc '.D - Bước 2: Từ yêu cầu bài toán nếu có cực trị (hoặc có cực đại, cực tiểu) thì có điều kiện 0( ' 0)D> D > . Nếu không có cực trị thì 0 ( ' 0).D£ D £ - Bước 3 : Giải điều kiện ra giá trị tham số cần tìm. * Ví dụ minh họa. - Ví dụ: Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 3 5. 3 y x mx m x= - + + + a. Tìm tham số m để hàm số có cực trị. b. Tìm tham số m để hàm số không có cực trị. Giải: - Đạo hàm 2 ' 2 2 3y x mx m= - + + 2 ' 2 3.m mD = - - a. Để hàm số có cực trị điều kiện là : 2 1 ' 0 2 3 0 . 3 m m m m é <- ê D > Û - - > Û ê > ë b.Để hàm số không có cực trị điều kiện là : 2 ' 0 2 3 0 1 3.m m mD £ Û - - £ Û - £ £ * Lưu ý : Đề bài có thể hỏi tìm tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu cũng được hiểu tìm tham số để hàm số có cực trị. 2.3. Dạng 3 : Tìm tham số m để hàm trùng phương có môt cực trị hoặc có ba cực trị : Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 6 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. * Nhận xét : Hàm trùng phương luôn có cực trị ; nếu đạo hàm chỉ có nghiệm x = 0 thì có 1 cực trị; đạo hàm có 3 nghiệm phân biệt thì có 3 cực trị. Như vậy số cực trị của hàm này phụ thuộc vào số nghiệm của đạo hàm. * Phương pháp giải: - Bước 1: Tính đạo hàm, biến đổi đạo hàm về dạng y’ = ax.(x 2 + b). Như vậy 2 0 (1) ' 0 0 (2) x y x b é = ê = Û ê + = ë - Bước 2: Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số để hàm số có một cực trị thì (2) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số để hàm số có ba cực trị thì (2) phải có 2 nghiệm phân biệt. - Bước 3: Từ điều kiện ở bước 3 ta tìm được tham số m. * Ví dụ minh họa: - Ví dụ : Cho hàm số y = - x 4 + (2 – 4m)x 2 + 3. a. Tìm m để hàm số có một cực trị. b. Tìm m để hàm số có ba cực trị. Giải: - Đạo hàm y’ = - 4x 3 + 2(2 – 4m)x = - 4x(x 2 + 2m -1) 2 0 (1) ' 0 2 1 0 (2) x y x m é = ê Þ = Û ê + - = ë a. Để hàm số có một cực trị thì y’ = 0 chỉ có một nghiệm, nên (2) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0. Ta có 2 (2) 1 2x mÛ = - do 2 0x ³ nên để (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì 1 1 2 0 . 2 m m- £ Û ³ b. Để hàm số có ba cực trị thì y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, nên (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0. Ta có 2 (2) 1 2x mÛ = - do 2 0x ³ nên để (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 1 2 0 . 2 m m- > Û < * Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để hàm số trùng phương có cực đại, cực tiểu cũng có nghĩa tìm tham số để hàm số có 3 cực trị. 2.4. Dạng 4: Tìm tham số để đường thẳng chứa tham số đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số. Để giải bài toán này chỉ đơn giản ta cho tọa độ điểm cực trị tương ứng nghiệm đúng phương trình đường thẳng cho trước thì tìm được tham số. * Ví dụ minh họa: - Ví dụ: Cho hàm số 3 2 3 1 3 x y x x= + - + . a. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số trên. b.Tìm tham số m để đường thẳng (d 1 ): y = mx – 1 qua điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. c. Tìm tham số m để đường thẳng (d 2 ): 2 3 y x m= - + qua trung điểm của hai điểm cực trị đồ thị hàm số. Giải : Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 7 Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn Toỏn- Trng THPT Lc Ngn 4. a. Kho sỏt v th hm s, hc sinh t lm phn ny ta tỡm c ta hai im cc tr : Cc tiu A(1 ; 2 3 - ) v cc i B (-3 ; 10). b.Ta im cc tiu l A(1 ; 2 3 - ). ng thng (d 1 ) qua A thỡ ta ca A nghim ỳng phng trỡnh (d 1 ), ta cú : 2 1 .1 1 . 3 3 m m- = - = c. Gi I l trung im ca hai im cc tr, ta I l : 3 1 1 2 2 14 1; . 2 3 10 14 3 2 2 3 A B I A B I x x x I y y y ỡ + - + ù ù = = =- ù ù ổ ử ù ù ữ ỗ ị - ữ ớ ỗ ữ ỗ ù ố ứ - ù + ù ù = = = ù ù ợ - ng thng (d 2 ) qua I thỡ ta ca I phi tha món phng trỡnh (d 2 ) iu kin l: 14 2 1 5. 3 3 m m=- - + =- 3. Bi tp cng c. Bi 1: Cho hm s 3 2 3. 3 x y x= - + a. Kho sỏt v th (C) ca hm s trờn. b. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s. c. Tỡm tham s m im cc i ca th hm s nm trờn ng thng ( ) : 2 1.d y mx m= - + - Bi 2: Cho hm s ( ) 3 2 4 3 1. 3 x y mx m x=- + + + - a. Tỡm tham s m hm s cú cc tr. b. Tỡm tham s m hm s nhn x = 1 lm im cc tiu. c. Tỡm tham s m hm s nhn x = - 1 lm im cc i. Bi 3: Cho hm s 4 2 2 1.y x mx=- + + a. Tỡm tham s m hm s cú 1 cc tr. b. Tỡm tham s m hm s cú 3 cc tr. c. Khi hm s cú cc tr, tỡm m cỏc im cc tr ca th hm s nm phớa trờn ng thng y = 1. Bi 4: Cho hm s 3 2 6 1. 3 2 x x y x= + - + a. Kho sỏt v th hm s trờn. b. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s. c. Tỡm tham s m ng thng 2y x m= - i qua trung im hai im cc tr ca th hm s. I.3. Bi toỏn v tim cn. 1. Lý thuyt cn nh: - Cho hm s ( ) ax 0; 0 . b y c ad bc cx d + = + Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng. 8 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. Có tiệm cận đứng (TCĐ) d x c = − (chú ý d c − là nghiệm của mẫu) ; tiệm cận ngang (TCN) a y c = (chú ý a c là hệ số ứng với x ở tử chia hệ số ứng với x ở mẫu). 2. Các dạng toán: 2.1. Dạng 1: Tìm tham số để tiệm cận đi qua điểm có toạ độ cho trước. * Phương pháp giải toán: + Tìm phương trình tiệm cận tương ứng. + Cho toạ độ điểm đã biết nghiệm đúng phương trình tiệm cận. - Ví dụ: Cho hàm số ( ) − = + − 2 . 1 1 mx y m x a. Tìm m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số qua ( ) 1; 2 .A − b. Tìm m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số qua ( ) 2; 1 .B − − Giải: a. Phương trình tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: 1 . 1 x m = + Để tiệm cận đứng qua ( ) 1; 2A − ta có 1 1 0 1 m m = ⇔ = + b. Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: . 1 m y m = + Để tiệm cận ngang qua ( ) 2; 1B − − thì 1 1 . 1 2 m m m = − ⇔ = − + * Nhận xét: - Để tiệm cận ngang qua điểm ta cho phần chứa tham số bằng hoành độ của điểm cho trước. - Để tiệm cận đứng qua điểm ta cho phần chứa tham số bằng tung độ của điểm cho trước. 2.2. Dạng 2: Tìm tham số để giao điểm của hai tiệm cận thuộc đường thẳng cho trước. * Phương pháp giải toán: + Tìm phương trình hai đường tiệm cận (Đứng; ngang) của đồ thị hàm số. + Tìm giao điểm của hai tiệm cận đó. + Cho toạ độ giao điểm nghiệm đúng phương trình đường thẳng cho trước. + Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào hàm số xem có tiệm cận hay không; nếu có đủ hai tiệm cận thì giá trị tham số tìm được thoả mãn bài toán; nếu không có đủ hai tiệm cận thì không thoả mãn bài toán. * Ví dụ minh họa. - Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) 2 1m x y x m − + = − tìm m để giao điểm của hai tiệm cận (nếu có) nằm trên đường thẳng có phương trình (d): 2x – y + 1 = 0. Giải: - Phương trình hai tiệm cận là TCĐ x = m và TCN 2.= −y m - Toạ độ giao điểm hai tiệm cận là: ( ) −; 2 .I m m - Để I nằm trên đường thẳng (d) thì toạ độ I phải nghiệm đúng phương trình đường thẳng (d), ta có: ( ) 2.m - m - 2 1 0 3.m+ = ⇔ = − Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 9 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. - Thay m = -3 vào hàm số được: 5 1 . 3 x y x − + = + Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận TCĐ x = -3 và TCN y = -5. - Vậy m = -3 thoả mãn bài toán. - Ví dụ 2: Cho hàm số 1 . 2 mx y x m − = + − Tìm tham số m để giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) nằm trên đường thẳng (d 1 ): x + 2y - 3 = 0. Giải: - Phương trình hai tiệm cận (theo tham số m) là: TCĐ x = 2 – m; TCN y = m. - Giao điểm hai tiệm cận: I (2 – m; m). - Để I nằm trên (d 1 ) thì toạ độ I phải nghiệm đúng phương trình đường thẳng (d1), ta có: ( ) 2 2. 2 0 1.m m m− − + + = ⇔ = - Thay m = 0 và hàm số ta có: 1 1 x y x − = − đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng vì 1 1 lim 1 1 x x x −> − = ≠ ±∞ − trái với định nghĩa của tiệm cận đứng, nên m = 0 không thoả mãn bài toán. * Bài tập củng cố: Bài 1: Cho hàm số 1 . mx y x m − = − a. Tìm m đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua ( ) 1; 2 .A − b. Tìm m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang qua ( ) 3; 1 .B − Bài 2: Cho hàm số ( ) 2 . 2 1 mx y x m − = − + Tìm m để giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng có phương trình. a. (d): -2x + y + 2 = 0. b. (d1): x – 6 = 0. I.4. Bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số. 1. Sơ đồ khảo sát hàm số: 1. Tập xác định: Tìm tập xác địng của hàm số 2. Sự biến thiên: ♦ Xét chiều biến thiên của hàm số: + Tính đạo hàm y’; + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định; + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số; ♦ Tìm cực trị. ♦ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận ( nếu có). ♦ Lập bảng biến thiên : ( Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên). 3. Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị *Chú ý: - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toa độ: + Giao với Oy ( Tức là cho x = 0 → y = ? ) + Giao với Ox ( Tức là cho y = 0 → x = ? ) (Chỉ trong trường hợp nhẩm được nghiệm ) - Lưu ý đến tính chẵn lẻ của hàm số, tính đối xứng của đồ thị và tiệm cận để vẽ cho chính xác. 2. Ví dụ: Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương. 10 [...]...Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn Toỏn- Trng THPT Lc Ngn 4 3 2 2.1 Kho sỏt hm a thc bc 3, y = a x + b x + c x + d ( a 0 ) 3 2 - Vớ d : Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s y = x 3x + 2 Gii: 1 Tp xỏc nh: D = R 2 S bin thi n: Chiu bin thi n: - Ta cú y ' = 3x 2 6x x = 0 y ' = 0 3x 2 6 x = 0 3x ( x 2 ) = 0 x = 2 ( C)... s bin thi n v v th ca cỏc hm s sau: a) y = x 3 + 3x 2 4 b) y = x 3 + 3x 4 x + 2 c) y = x 3 + 4 x 2 + 4 x e) y = x 3 3x 2 5 d) y = x3 + 3x + 2 f) y = x 3 + 3x 2 + 9 x + 2 1 h) y = x3 2 x 2 + 3x 5 3 g) y = x3 + 3x 2 + 1 4 2 2.2 Kho sỏt hm trựng phng y = a x + b x + c ( a 0 ) 4 2 - Vớ d: Kho sỏt s bin thi n v v th hm s: y = x 2 x 3 ( C ) Gii: 1 TX: D = R 2 S bin thi n: Chiu bin thi n... 2 ax + b ( c 0; ad bc 0 ) 2.3 Kho sỏt hm phõn thc y = cx + d 13 Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn Toỏn- Trng THPT Lc Ngn 4 x 2 - Vớ d: Kho sỏt s bin thi n v v th hm s: y = 2 x +1 Gii: 1 1 Tp xỏc nh: D = R \ 2 2 S bin thi n: Chiu bin thi n: ( x 2 ) ( 2 x +1) ( x 2 ) ( 2 x + 1) - Ta cú: y = 2 ( 2 x +1) 2 x +1 2 ( x 2 ) 5 1 = = > 0, x 2 2 2 (... im xột du, cụng vic ny lm ra nhỏp Cn c 11 Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn Toỏn- Trng THPT Lc Ngn 4 vo du o hom ta xột c tớnh bin thi n ca hm s: Du dng (+) hm ng bin; du õm (-) hm nghch bin - Tớnh gii hn ti vụ cc cn chỳ ý n du ca h s ng vi x 3 - Trong phn bng bin thi n ti cỏc v trớ vụ cc cn lu ý chiu mi tờn t di lờn trờn thỡ ta dựng " " Nu chiu mi tờn t trờn... x 2 3) = lim x 4 (1 x x x lim = lim ( x 4 2 x 2 3) = lim x 4 (1 x + x + x + 12 2 3 4 ) = + x2 x 2 3 ) = + x2 x4 Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn Toỏn- Trng THPT Lc Ngn 4 Bng bin thi n: 3 th : Giao im ca th vi cỏc trc to Giao vi Oy : x = 0 y = 3 A(0; 3) Giao vi Ox: y = 0 x 4 2 x 2 3 = 0 x = 3 x = 3 (Gii phng trỡnh trựng phng t t = x 2... quay lờn trờn; a < 0 b lừm quay xung di - Túm li v th hm trựng phng cho chun v p hc sinh cn chỳ ý n: Bng bin thi n ( cho phộp ta xỏc nh c hỡnh dng th, gii hn vụ cc v cỏc im cc tr); giao vi cỏc trc ta ; trc i xng Oy v bng hỡnh dng th hm trựng phng trang 38-SGK * Bi tp cng c: Kho sỏt s bin thi n v v th ca cỏc hm s sau: 1 3 a) y = x 4 + 2 x 2 + 3 b) y = x 4 x 2 + 2 2 4 2 4 2 c) y = x + 8 x 1 d)... nhiờu giao im ( chỳ ý nghim kộp ) ng thi c lng cỏc im trờn Ox v th cho chun khụng c vit giỏ tr xp x - Vi hm s bc ba thng ri vo bi toỏn m o hm y = 0 cú 2 nghim phõn bit nguyờn hoc hu t (tng ng hm s cú 2 cc tr ) c gii d dng Do vy hc sinh khụng nờn lm nhiu nhng bi toỏn cú nghim o hm phc tp ( nghim vụ t) - Túm li v th hm bc ba chun v p hc sinh cn chỳ ý n: Bng bin thi n ( cho phộp ta xỏc nh c hỡnh dng... x + 1 2 2 Bng bin thi n: ng thng x = 3 th: Giao im ca th vi cỏc trc to : - Giao vi Oy: x = 0 y = 2 A ( 0; 2 ) - Giao vi Ox: y = 0 x = 2 B ( 2;0 ) - Giao im ca hai tim cn l tõm i xng ca th: * Nhn xột: - Khi tớnh o dm ngoi cỏch s dng ohm ca thng ta s dng du hiu: ad bc y = 2 , (cn xỏc nh ỳng a, b, c, d) ( cx d ) 14 Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn... giao im ca hai tim cn lm tõm i xng - Túm li v th hm phõn thc cho chun v p hc sinh cn chỳ ý n: Bng bin thi n ( cho phộp ta xỏc nh c hỡnh dng th, gii hn vụ cc, gii hn ti im ti hn); giao vi cỏc trc ta ; cỏc tim cn (ng; ngang) v bng hỡnh dng th hm phõn thc trang 41-SGK * Bi tp cng c: Kho sỏt s bin thi n v v th ca cỏc hm s sau: x+2 x 1 a) y = ; d) y = x +1 x +1 x + 2 x +3 b) y = ; e) y = 2 x +1 x 1... m: - nh ngha: Cho s thc dng a khỏc 1 Hm s y = a x c gi l hm s m c s a 25 Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng Ti liu hng dn ụn thi tt nghip THPT mụn Toỏn- Trng THPT Lc Ngn 4 - o hm ca hm s m: (e x ) ' = e x (a x ) ' = a x ln a (eu ) ' = u '.eu (a u )' = a u ln a.u ' - Tớnh bin thi n: a >1 hm s y = a x luụn ng bin 0 < a < 1 hm s y = a x luụn nghch bin 1.2 Hm s lụgarit - nh ngha: Cho s thc dng a khỏc . Thương. Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4. PHẦN I. HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN VÀ ĐỌC TÀI LIỆU. 1. Hướng. tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán cho học sinh trường THPT Lục Ngạn 4, đồng thời là cuốn tài liệu bổ ích để các thầy cô dùng làm tài liệu