Một số ứng dụng của thặng dư và phép biến đổi laplace

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACEGiảng viên hướng dẫn : TS.. HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực hiện : TRẦN THỊ VY... PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACEGiảng viên hướng dẫn: TS.. HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực hiện: T

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực hiện : TRẦN THỊ VY

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Giảng viên hướng dẫn: TS HOÀNG NHẬT QUY

Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ VY Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 14ST

LÍI CƒM ÌN

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­ctîi Ti¸n s¾ Ho ng Nhªt Quy - ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º em câ thº ho n th nh khâaluªn n y

Em công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoaTo¡n, ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc   N®ng ¢ d¤y b£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp t¤i khoa

Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢luæn b¶n em, cê vô, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n khâaluªn tèt nghi»p

  N®ng, th¡ng 05 n«m 2018

Sinh vi¶n

Tr¦n Thà Vy

1 CÌ SÐ L THUY˜T 41.1 Sè phùc - d¢y sè phùc - chuéi sè phùc 41.2 H m sè bi¸n phùc 91.3 Chuéi h m bi¸n phùc 12

2 THNG D× V€ ÙNG DÖNG CÕA THNG D× 162.1 C¡c ành ngh¾a, ành lþ 162.2 C¡ch t½nh th°ng d÷ 192.3 Ùng döng cõa th°ng d÷ 22

3 ÙNG DÖNG CÕA PH’P BI˜N ÊI LAPLACE 293.1 C¡c ành ngh¾a, ành lþ 293.2 Ùng döng cõa ph²p bi¸n êi Laplace 36

µp ³ trong gi£i t½ch phùc - lþ thuy¸t th°ng d÷ Lþ thuy¸t th°ng d÷ l  mët cỉng cư quantrång º nghi¶n cùu b£n ch§t cõa c¡c iºm k¼ dà Nhúng ùng dưng ban ¦u cõa nâ l  dịng

º t½nh mët lỵp kh¡ rëng c¡c t½ch ph¥n m  ỉi khi khỉng thº gi£i quy¸t ÷đc b¬ng c¡cph÷ìng ph¡p thỉng th÷íng, °c bi»t khi m  h m d÷ỵi d§u t½ch ph¥n câ d¤ng b§t th÷íng.Bi¸n êi Laplace l  mët ph²p bi¸n êi quan trång, ÷đc °t theo t¶n cõa nh  to¡n håc

v  thi¶n v«n håc nêi ti¸ng ng÷íi Ph¡p Pierre Simon Laplace (1749-1827) Ùng dưng lỵnnh§t cõa nâ l  º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  c¡c b i to¡n li¶n quan Nguçn gèc cõáng dưng n y l  bi¸n êi Laplace cho ph²p chuyºn tø ph²p t½nh vi t½ch ph¥n tr¶n h msang c¡c ph²p t½nh ¤i sè tr¶n £nh cõa h m qua bi¸n êi Laplace C¡c ph²p bi¸n êi choph²p chuyºn nh÷ vªy gåi chung l  ph²p t½nh to¡n tû (operational calculus )

Trong khâa luªn n y em s³ tr¼nh b y sì l÷đc v· mët sè ùng dưng cõa th°ng d÷ v ph²p bi¸n êi Laplace trong gi£i to¡n, trong ùng dưng thüc t¸

Bè cưc cõa khâa luªn gçm 3 ch÷ìng :

• Ch÷ìng 1 cõa khâa luªn h» thèng l¤i c¡c kh¡i ni»m, ki¸n thùc cì b£n nh§t v· sèphùc, d¢y sè phùc, chuéi sè phùc v  h m - chuéi h m bi¸n sè phùc nh¬m thuªn ti»ncho vi»c tr¼nh b y Ch÷ìng 2 v  Ch÷ìng 3 (xem[3])

• Ch÷ìng 2 cõa khâa luªn tr¼nh b y sì l÷đc lþ thuy¸t v· th°ng d÷, v· c¡c ành ngh¾a,

ành lþ cì b£n, c¡ch t½nh th°ng d÷ Tø â ÷a ra þ t÷ðng cho ùng dưng cõa th°ngd÷ trong gi£i mët sè d¤ng t½ch ph¥n

• Ch÷ìng 3 cõa khâa luªn tr¼nh b y tâm t­t c¡c v§n · cì b£n nh÷ ành ngh¾a, t½nhch§t v  i·u ki»n tçn t¤i cõa ph²p bi¸n êi Laplace Sau â, ÷a ra ùng dưng cõabi¸n êi Laplace trong k¾ thuªt gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸nt½nh h» sè h¬ng v  t½nh to¡n trong c¡c m¤ch i»n Trong ch÷ìng n y cán t¼m hiºukh¡i ni»m ph²p bi¸n êi Laplace ng÷đc v  mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m bi¸n êi Laplaceng÷đc cõa mët h m £nh cho tr÷ỵc, tuy nhi¶n ch¿ døng ð mùc ë nh¬m phưc vư chovi»c tr¼nh b y ùng dưng cõa bi¸n êi Laplace nh÷ ¢ n¶u ð tr¶n

Do thíi gian thüc hi»n khỉng nhi·u, ki¸n thùc v¨n cán h¤n ch¸ n¶n khi l m khâa luªnkhỉng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât T¡c gi£ mong nhªn ÷đc sü gâp þ v  nhúng

þ ki¸n ph£n bi»n cõa quþ th¦y cỉ v  b¤n åc Xin ch¥n th nh c£m ìn !

CÌ SÐ L THUY˜T

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè lþ thuy¸t cì b£n v· sè phùc, d¢y - chuéi sè phùc,

h m - chuéi h m bi¸n phùc l m cì sð cho vi»c chùng minh c¡c ành lþ, t½nh ch§t ðch÷ìng 2, 3 phöc vö · t i nghi¶n cùu l  mët sè ùng döng cõa th°ng d÷ v  ph²pbi¸n êi Laplace Tuy nhi¶n, ð ¥y tæi xin ph²p thæng qua ph¦n chùng minh c¡c

ành lþ v¼ nâ ¢ ÷ñc tr¼nh b y chi ti¸t ð c¡c gi¡o tr¼nh hi»n h nh

ành ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû ta °t C = {(a, b) : a, b∈R} Tr¶n C x¡c ành hai ph²pto¡n sau :

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)(a, b).(c, d) = (ac − bd, ad − bc)Khi â, tªp C l  mët tr÷íng v  ta gåi l  tr÷íng sè phùc

Méi ph¦n tû z = (a, b) gåi l  mët sè phùc

K½ hi»u a = Rez gåi l  ph¦n thüc cõa z,

b = Imz gåi l  ph¦n £o cõa z

Méi sè phùc d¤ng z = (a, 0) ÷ñc çng nh§t vîi sè thüc a∈R

ìn và £o: °t i = (0, 1), ta câ :

i2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1

ành ngh¾a 1.1.2 (D¤ng ¤i sè cõa sè phùc) Gi£ sû z = (a, b)∈C Khi â, ta gåibiºu thùc z = a + bi l  d¤ng ¤i sè cõa z V  ta gåi z = a − bi l  sè phùc li¶n hñpcõa z.

• Argument ch½nh : K½ hi»u argz = ϕ, vîi −π≤ϕ≤π

• Argument phö : K½ hi»u Argz = argz + k2π, vîi k∈Z

ành ngh¾a 1.1.5 (D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc) Vîi méi z6=0, °t r = |z|,

ϕ = argz Khi â, sè phùc z câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng sau :

z = r(cosϕ+isinϕ)

÷ñc gåi l  d¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc cõa z

Chó þ: Câ thº chùng minh ÷ñc t½nh ch§t sau ¥y :

zn = rn(cosnϕ+isinnϕ)(cosϕ+isinϕ)n = cosnϕ+isinnϕ

n + sin

ϕ + 2kπ

n ), k = 0, 1, 2, , n − 1



ành ngh¾a 1.1.8 (D¢y sè phùc hëi tö) Cho (zn)⊂C v  z∈C Ta nâi d¢y (zn) hëi

tö tîi z ÷ñc k½ hi»u v  x¡c ành nh÷ sau :

n→∞yn = yD¢y sè phùc ti¸n tîi ∞ ÷ñc k½ hi»u v  x¡c ành nh÷ sau :

lim

n→∞zn= ∞ ⇔ lim

n→∞|zn| = ∞tùc l , vîi måi M > 0, tçn t¤i n0 sao cho ∀n > n0 ta câ : |zn| > M

ành lþ 1.1.1 (Ti¶u chu©n Cauchy) D¢y (zn)hëi tö trong C khi v  ch¿ khi nâ l d¢y Cauchy, tùc l  d¢y thäa m¢n : ∀ε > 0, ∃n0 : ∀m, n > n0 ta câ : |zm− zn| < ε

ành ngh¾a 1.1.9 (Chuéi sè phùc) Cho d¢y sè phùc (un)⊂C Khi â, biºu thùcsau ¥y ÷ñc gåi l  chuéi sè phùc :

Khi â, ta câ d¢y têng ri¶ng (Sn)⊂C.Ta ành ngh¾a sü hëi tö v  ph¥n k¼ cõa chuéi

sè phùc nh÷ sau :

- N¸u tçn t¤i giîi h¤n lim

n→∞Sn = S6=∞ th¼ ta nâi chuéi hëi tö v  câ têng b¬ng S v 

ta vi¸t : ∞

X

n=1

un= S

- Chuéi khæng hëi tö th¼ ta nâi chuéi â ph¥n k¼

ành lþ 1.1.2 (Ti¶u chu©n Cauchy) Chuéi hëi tö khi v  ch¿ khi vîi måi ε > 0,tçn t¤i n0 sao cho : ∀n > n0, ∀p≥1 ta câ :

• L¥n cªn: Tªp U⊂C gåi l  l¥n cªn cõa a n¸u tçn t¤i r > 0 sao cho : D(a, r)⊂U.

• Tªp mð, tªp âng: Tªp G⊂C ÷ñc gåi l  tªp mð n¸u G l  l¥n cªn cõa måia∈G Tªp F ⊂C ÷ñc gåi l  tªp âng n¸u tªp C\F l  tªp mð

• iºm trong: Cho tªp X⊂C iºm a∈X gåi l  iºm trong cõa X n¸u X l  mëtl¥n cªn cõa a Tªp hñp t§t c£ c¡c iºm trong cõa X gåi l  ph¦n trong cõa X, k½hi»u l  : IntX

IntX l  tªp mð lîn nh§t chùa trong X

• iºm tö: Cho X⊂C, iºm a∈C ÷ñc gåi l  iºm tö cõa X n¸u vîi måi l¥n cªn

Ua cõa a ta câ Ua∩X\{a}6=0 Tªp t§t c£ c¡c iºm tö cõa X ÷ñc k½ hi»u l : X0 v gåi l  tªp d¨n xu§t thù nh§t cõa X

• iºm cæ lªp: iºm a∈X ÷ñc gåi l  iºm cæ lªp cõa X n¸u tçn t¤i l¥n cªn Ua

cõa a sao cho : Ua∩X = a

Tªp t§t c£ c¡c iºm tö v  iºm cæ lªp cõa X ÷ñc gåi l  bao âng cõa X, k½ hi»u

X Méi a∈X ÷ñc gåi l  iºm d½nh cõa X

Tªp X⊂C l  âng n¸u v  ch¿ n¸u X = X

• iºm bi¶n: iºm a⊂C ÷ñc gåi l  iºm bi¶n cõa X n¸u vîi måi l¥n cªn Ua cõa

a th¼ Ua∩X = φ Tªp t§t c£ c¡c iºm bi¶n cõa X k½ hi»u l : ∂X V  ta câ :

ii.D li¶n thæng, tùc l  vîi måi a, b∈D, tçn t¤i mët ÷íng cong L⊂D nèi a vîi b

• ành h÷îng tr¶n mët chu tuy¸n: Gi£ sû γ l  mët chu tuy¸n trong C Khi

â, γ chia m°t ph¯ng phùc th nh hai mi·n câ bi¶n chung l  γ : Mi·n bà ch°n k½hi»u l  Dγ+ (hay Dγ), mi·n cán l¤i k½ hi»u l  Dγ−

Khi â, chi·u d÷ìng tr¶n γ l  chi·u m  khi ng÷íi quan s¡t i theo chi·u â th¼ s³nh¼n th§y mi·n Dγ+ ð b¶n tr¡i

• Mi·n ìn li¶n: Mi·n D ÷ñc gåi l  ìn li¶n n¸u vîi måi chu tuy¸n γ⊂D th¼

Dγ+⊂D (hay Dγ⊂D)

N¸u tçn t¤i c¡c chu tuy¸n γ1, γ2, sao cho c¡c mi·n Dγ 1, Dγ2, khæng bao h mtrong D th¼ ta nâi D l  mi·n a li¶n

ành ngh¾a 1.2.1 Gi£ sû D⊂C l  mët tªp tòy þ Tr¶n D cho h m sè bi¸n phùc

w = f (z), n¸u ùng vîi méi gi¡ trà z∈D t÷ìng ùng vîi mët ho°c mët sè gi¡ trà w(kº c£ w = ∞) Khi â, ta gåi bi¸n z l  bi¸n ëc lªp hay l  èi sè, cán w gåi l bi¸n phö thuëc hay l  h m sè

N¸u ùng vîi mët gi¡ trà cõa z t÷ìng ùng ch¿ mët gi¡ trà cõa w th¼ h m wz = f (z)

÷ñc gåi l  h m ìn trà, ng÷ñc l¤i h m f(z) ÷ñc gåi l  h m a trà

Tªp hñp t§t c£ nhúng iºm z∈D ÷ñc gåi l  mi·n x¡c ành cõa f(z), cán tªp Et§t c£ c¡c gi¡ trà t÷ìng ùng cõa w = f(z) ÷ñc gåi l  tªp bi¸n thi¶n cõa h m sè.N¸u vi¸t : w = f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + yi∈D th¼ vi»c chomët h m bi¸n phùc w = f(z), z∈D t÷ìng ÷ìng vîi vi»c cho hai h m u, v cõa haibi¸n thüc x, y vîi (x, y)∈D

ành ngh¾a 1.2.2 (Giîi h¤n cõa h m phùc) Gi£ sû f : D−→C v  z0∈D l  mët

iºm tö cõa D Sè phùc a ÷ñc gåi l  giîi h¤n cõa f khi z∈D v  z−→z0 v  vi¸t l  :

lim

z→z 0 ,z∈Df (z) = an¸u v  ch¿ n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 : ∀z∈D,0 < |z − z0| < δ ta câ :

ta câ : |f(z)| > M.

ành ngh¾a 1.2.3 (H m sè phùc li¶n töc) Gi£ sû f : D−→C l  h m phùc x¡c

ành tr¶n D v  z0∈D Ta nâi h m sè f li¶n töc t¤i z0 n¸u mët trong hai i·u ki»nsau thäa m¢n :

i) z0 l  iºm cæ lªp cõa D

ii)N¸u z0 khæng l  iºm cæ lªp cõa D th¼ lim

z→z 0

f (z) = f (z0).N¸u vi¸t f(z) = u(z) + iv(z) th¼ f li¶n töc t¤i z0∈Dkhi v  ch¿ khi c¡c h m u, vli¶n töc t¤i z0

H m f ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n D n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm thuëc D

ành ngh¾a 1.2.4 (H m sè phùc li¶n töc ·u) H m f ÷ñc gåi l  li¶n töc ·utr¶n D n¸u ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀z1, z2∈D : |z1− z2| < δ th¼ |f(z1) − f (z2)| < ε

ành lþ 1.2.1 N¸u f li¶n töc tr¶n tªp compact K⊂C th¼ f li¶n töc ·u tr¶n K

ành lþ 1.2.2 N¸u f li¶n töc tr¶n tªp compact K⊂C th¼ h m thüc |f(z)| ¤t gi¡trà lîn nh§t v  nhä nh§t tr¶n K

ành lþ 1.2.3 N¸u f li¶n töc tr¶n tªp compact K⊂C th¼ f(K) công l  tªp

compact

ành ngh¾a 1.2.5 (Chuéi h m) Gi£ sû d¢y h m (fn)x¡c ành tr¶n tªp D⊂C Khi

â, biºu thùc sau ¥y ÷ñc gåi l  chuéi h m x¡c ành tr¶n D :

Tªp D1 = {z|z∈D} gåi l  mi·n hëi tö cõa chuéi

Tªp D2 = D\D1 gåi l  mi·n ph¥n k¼ cõa chuéi

Tr¶n mi·n hëi tö D1 cõa chuéi, ta x¡c ành h m S : D1−→C ÷ñc x¡c ành bði :

S(z) = lim

n→∞Sn(z), z ∈ D1

Khi â, h m S(z) ÷ñc gåi l  têng cõa chuéi tr¶n D1 v  vi¸t :

ành lþ 1.2.6 Gi£ sû chuéi h m hëi tö ·u tr¶n D v  c¡c h m fk li¶n töc tr¶n Dth¼ h m têng

ành ngh¾a 1.2.6 (Chuéi lôy thøa) Chuéi h m câ d¤ng sau :

∞

X

n=0

cn(z − z0)n = c0+ c1(z − z0) + c2(z − z0)2+ + cn(z − z0)n+

gåi l  chuéi lôy thøa t¤i z0

B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa ÷ñc x¡c ành nh÷ sau :

R = 1limsupn→∞p|cn n|.

Khi â, chuéi lôy thøa hëi tö (tuy»t èi) tr¶n |z − z0| < R v  ph¥n k¼ tr¶n

1.3.1 Chuéi Taylor cõa h m gi£i t½ch

ành ngh¾a: N¸u h m f(z) gi£i t½ch trong h¼nh trán |z − a| < R Khi â, vîimåi z∈G ·u câ thº khai triºn mët c¡ch duy nh§t th nh chuéi lôy thøa cõa z − anh÷ sau :

(n)(a)n! Chó þ:

f(n)(a) = n!

2πi.I

Γ

f (ζ)dζ(ζ − a)n+1

Γ l  chu tuy¸n bao quanh iºm a v  n¬m ho n to n trong G

Do â,

cn= 12πiI

Γ

f (ζ)(ζ − a)n+1dζ, n = 0, ±1, ±2,

Tâm l¤i, ta câ :

Γ

f (ζ)dζ(ζ − a)n+1



(z − a)n

1.3.2 Khæng iºm cõa h m gi£i t½ch

ành ngh¾a: Gi£ sû f(z) l  h m gi£i t½ch trong G iºm a ÷ñc gåi l  khæng

iºm cõa h m f(z) n¸u f(a) = 0

N¸u khai triºn Taylor cõa h m f(z) t¤i l¥n cªn iºm a câ d¤ng :

Khi m = 1 th¼ a ÷ñc gåi l  khæng iºm c§p 1 (khæng iºm ìn)

∗ i·u ki»n c¦n v  õ º a l  khæng iºm c§p m cõa h m f(z) l  :

f (a) = f0(a) = f00(a) = = f(m−1)(a) = 0

v  f(m)(a) 6= 0

ành lþ: i·u ki»n c¦n v  õ º iºm a l  khæng iºm c§p m cõa h m f(z) l 

f (z) câ thº bi¹u di¹n d÷îi d¤ng : f(z) = (z − a)mϕ(z)

Ð ¥y ϕ(z) l  h m gi£i t½ch t¤i a v  ϕ(a) 6= 0

1.3.3 Chuéi Laurent cõa h m gi£i t½ch

ành ngh¾a: N¸u f(z) l  h m gi£i t½ch, ìn trà trong h¼nh v nh kh«n

r < |z − a| < R Khi â, vîi måi z∈G ta câ :

cn= 1

2πiH

Γ

f (ζ)(ζ − a)n+1dζ, n = 0, ±1, ±2,

Γ l  chu tuy¸n bao quanh iºm a v  n¬m ho n to n trong G

Chuéi tr¶n ÷ñc gåi l  chuéi Laurent cõa h m gi£i t½ch

L÷u þ: Chuéi Laurent kh¡c vîi chuéi Taylor ð iºm câ lôy thøa nguy¶n ¥m.Ng÷íi ta th÷íng vi¸t chuéi Laurent d÷îi d¤ng :

1.3.5 Ph¥n lo¤i iºm b§t th÷íng cõa h m gi£i t½ch

ành ngh¾a: iºm z = a ÷ñc gåi l  iºm b§t th÷íng n¸u f(z) khæng gi£i t½cht¤i a

Ph¥n lo¤i:

+ N¸u lim

z→af (z) = L Khi â z = a ÷ñc gåi l  iºm b§t th÷íng bä ÷ñc

+ N¸u khai triºn Laurent cõa f(z) t¤i a m  ph¦n ch½nh câ húu h¤n sè h¤ng th¼ a

l  cüc iºm cõa h m f(z) (cüc iºm c§p m)

+ N¸u ph¦n ch½nh cõa khai triºn Laurent cõa h m f(z) t¤i a câ væ sè sè h¤ng th¼

iºm a ÷ñc gåi l  iºm b§t th÷íng cèt y¸u

ành lþ: Cho f(z) = f1(z)

f2(z) trong â f2(z) nhªn z = a l  khæng iºm c§p m v 

f1(a)6=0 th¼ f(z) nhªn z = a l  cüc iºm c§p m

THNG D× V€ ÙNG DÖNG

CÕA THNG D×

Lþ thuy¸t th°ng d÷ l  mët cæng cö quan trång º nghi¶n cùu b£n ch§t cõa c¡c

iºm k¼ dà Nhúng ùng döng ban ¦u cõa lþ thuy¸t th°ng d÷ dòng º t½nh mët lîpkh¡ rëng c¡c t½ch ph¥n m  æi khi ta khæng thº gi£i quy¸t ÷ñc khi sû döng c¡cph÷ìng ph¡p thæng th÷íng, °c bi»t khi m  h m d÷îi d§u t½ch ph¥n câ d¤ng b§tth÷íng

f (z)dz gåi l  th°ng d÷ cõa h m f t¤i iºm a

Cho h m f gi£i t½ch trong mi·n R < |z| < ∞, li¶n töc tr¶n Γ = ∂B(0, R) T½chph¥n Res[f, ∞)] = 1

2πiH

Γ

f (z)dz gåi l  th°ng d÷ cõa h m f t¤i ∞

ành lþ 2.1.1 Th°ng d÷ cõa h m f t¤i iºm a l  h» sè c−1 cõa khai triºn

Laurent t¤i iºm â

Res[f, a] = c−1 Chùng minh: Khai triºn Laurent h m f t¤i iºm a :

f (ζ)(ζ − a)n+1dζ, n = 0, ±1, ±2,

M°t kh¡c, theo ành ngh¾a th°ng d÷ t¤i mët iºm th¼ Res[f, a] = 1

2πiH

Res[f, a] = lim

z→a

1(m − 1)!

dm−1

dzm−1[(z − a)mf (z)].Chùng minh:

dm−1

dzm−1[(z − a)mf (z)] = c−1 = Res[f, a]

ành lþ 2.1.3 N¸u h m f(z) câ mët sè húu h¤n iºm k¼ dà cæ lªp trong mi·n

âng cõa m°t ph¯ng phùc th¼ têng t§t c£ c¡c th°ng d÷ (kº c£ th°ng d÷ t¤i iºm

÷íng trán Γk Theo cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy, ta câ :

Γ k

f (z)dz + H

Γ −

12πif (z)dz = 0.

Theo ành ngh¾a 2.1.1 v· th°ng d÷, suy ra :

Res [f, a1] + Res [f, a2] + + Res [f, ak] + Res [f, ∞] = 0

z→a[(z − a)mf (z)] = L ∈ C\{0}

th¼ z = a l  cüc iºm c§p m

• N¸u lim

z→af (z) khæng tçn t¤i th¼ z = a l  iºm b§t th÷íng cèt y¸u

V½ dö 1: T¼m v  ph¥n lo¤i iºm b§t th÷íng cæ lªp cõa h m

f (z) = sin

2z

z2(1 − z)3Gi£i:

H m f(z) câ hai iºm b§t th÷íng l  z = 0 v  z = 1

 sin zz

2#

= −1 6= ∞n¶n z = 0 l  cüc iºm c§p 0 cõa f(z)

Res[f (z), a] = 1

(m − 1)!limz→a[(z − a)mf (z)](m−1) V½ dö 3: T½nh Res[f(z), 2] cõa f(z) = z2− 2z + 3

z − 2 Gi£i:

* C¡ch 1: Ta câ :

z2− 2z + 3

z − 2 = 2 + (z − 2) + 3

z − 2 (0 < |z − 2| < ∞).Vªy Res[f(z), 2] =c−1 = 3

z(z − 1)2 Gi£i:

= 1(z − 1)2 − 1

z − 1 + 1 − (0 < |z − 1| < 1).Vªy Res[f(z), 1] = c−1 = −1

* C¡ch 2: Ta câ : lim

z→1f (z) = lim

z→1

1z(z − 1)2 = ∞ v  lim

(−1)n(z4)n = 1

z4 − 1

z8 + 1

z12 −

⇒ c−1 = 0.Vªy Res[f(z), ∞] = −c−1 = 0

= h(a)

g0(a).2) Khi t½nh giîi h¤n câ d¤ng 0

z=i

= e

i

2iRes [f (z), −i] = e

z

(z2+ 1)0

z=−i

= − 12iei

1 − 12z5

= 12z.

P∞ n=0

1(2z5)n

= 1

2z +

14z6 + 18z11 +

H m f(z) = 1

z4+ 1 câ 4 iºm b§t th÷íng cæ lªp ak, k = 1, 4 l  c«n bªc 4 cõa −1

p döng ành l½ 2.1.3 v  V½ dö 5, ta ÷ñc :

it+ e−it

2 =

(eit)2 + 12eit = z

2+ 12zsint = e

it− e−it

2i =

(eit)2− 12ieit = z

2− 12iz +Khi t bi¸n thi¶n tø 0 ¸n 2π (ho°c tø −π ¸n π) th¼ z bi¸n thi¶n tr¶n ÷íngtrán ìn và |z| = |eit| = 1.Suy ra, c¡c t½ch ph¥n tr¶n câ d¤ng :

I = H

|z|=1

f (z)dz = 2πiPn

k=1Res[f (z), ak] Trong â, ak, (k = 1, n) l  c¡c iºm b§t th÷íng cæ lªp n¬m trong h¼nh trán |z| < 1

V½ dö 11: T½nh t½ch ph¥n I =Z 2π

0

dt

2 + sintGi£i:

2 + z

2− 12iz

z4+ cõ im bĐt thữớng cổ lêp ak, k = 1, l côn bêc cừa

p dưng ành l½ 2.1.3 v  V½ dư 5, ta ÷đc :