Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức cauchy schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz một cách phù hợp thì điềukiện đủ để có thể chứng minh được bất đẳng thức mong muốn chính là chỉ ra sự tồntại của một bất đẳng thức đơn giả

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức PHẦN I.

I LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 TÍNH PHỔ BIẾN

AM - GM và Cauchy - Schwarz chính là cặp bất đẳng thức phổ biến nhất trongtoán học sơ cấp Với sự đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức này thường xuyên được sửdụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số khác, từ trung học cơ sở đến trung họcphổ thông trong các kì thi

Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng cơ bản giải toán dựa trên nhữngphương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệmnày còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước đến nay có thể chứng minh bằngcông cụ này

Ta sẽ thấy ở đây một góc nhìn bao quát về bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:các kỹ năng cơ bản khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức

Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz một cách phù hợp thì điềukiện đủ để có thể chứng minh được bất đẳng thức mong muốn chính là chỉ ra sự tồntại của một bất đẳng thức đơn giản hơn

Sáng kiến kinh nghiệm này hệ thống một số kỹ năng cơ bản nhất liên quan đếnbất đẳng thức Cauchy - Schwarz

2 TÍNH CẤP THIẾT

Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức là một chuyên

đề khó Trong quá trình giảng dạy từ các nguồn tài liệu tham khảo tôi hệ thống một

số dạng bài tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận một số kỹ năng cơ bản để ápdụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khuôn khổ là đưaBĐT cần chứng minh về dạng đơn giản hơn BĐT ban đầu

Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên đã thu được một số hiệu quảnhất định giúp các em “Bớt sợ” và có thể giải quyết được một số bài toán về chứngminh BĐT Từ đó tạo sự hứng khởi cho các em trong vấn đề khám phá loại toán này

3 MỤC TIÊU

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

Mục tiêu của SKKN này là hệ thống một số bài tập áp dụng được BĐT Cauchy

- Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ đó dần định hình được phương

pháp tư duy vào chứng minh BĐT

Với mục tiêu đấy và để tạo cho học sinh một “lối mòn” trên một số dạng bài

nên trong khuôn khổ SKKN này tôi không trình bày thêm các cách chứng minh khác

Vì vậy tôi chọn SKKN

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

vào chứng minh bất đẳng thức

II GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz còn được gọi là bất đẳng

thức Schwarz hoặc bằng cái tên khá dài là Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz Tài

liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là Bunyakovxki hoặc bằng tên dài

nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên

thường viết tắt là bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ.

Tuy nhiên trong toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm này ta sẽ thống nhất với một

cách gọi duy nhất là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.

Ở mức độ phổ thông và trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm chúng ta quan

tâm đến dạng phát biểu sơ cấp của biểu thức này Nó được phát biểu như sau:

Nếu a 1 , a 2 , …, a n , b 1 , b 2 , …, b n là các số thực tùy ý thì (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2  (a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 + … + b n 2 ) (*).

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = … =

y 1 y 2

Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, chúng ra sẽ cùng xem xét

vấn đề làm sao để có thể sử dụng hợp lý và hiệu quả các bất đẳng thức (*) và (**)

trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác bằng những kĩ thật cơ bản nhất

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

vào chứng minh bất đẳng thức

i = n

3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Với n = 1, bất đẳng thức của ta trở thành đẳng thức Xét khi n = 2, ta

có (a12 + a22)(b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 = (a2b1 - a1b2)  0

Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k (k  2) Xét khi n = k + 1 Áp dụng kết

quả trường hợp n = 1 với hai bộ

Suy ra

(a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  |a1b1 + a2b2 + … + akbk|.Kết hợp đánh giá này với đánh giá ở trên, ta được

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức của ta cũng đúng cho n = k + 1 Theo nguyên

lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi n  1

5

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH

NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Nếu a 1 , a 2 , …, a n , b 1 , b 2 , …, b n là các số thực tùy ý thì (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2  (a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 + … + b n 2 ) (*).

Để có thể sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa ra

nhận xét (về điều kiện, về dạng phát biểu của bài toán, …) và nhận biết mình cần

phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách nào giúp đơn giản hóa bài toán hay không?”

và tìm cách trả lời câu hỏi đó Để hiểu rõ hơn vấn đề, ta hãy xét những bài toán

sau Bài 1 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

6

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải bài toán Và nhận xét này đã giúp

ra giải quyết bài toán thành công, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có

c

 1 (2)

b + 2c c + 2a a + 2b Định hướng và tìm tòi lời giải

Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, điều này gợi cho

ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứngminh bài toán Nhưng muốn vậy ta cần có sự xuất hiện của bình phương trên các tử

số, tuy nhiên ở đây lại không có Ta có thể thêm vào các tử và mẫu các lượng a, b, c

tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là:

b + 2c c + 2a a + 2b a(b + 2c) b(c + 2a) c(a + 2b)

Đến đây ra có thể yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu được

∑ a(b + 2c)  a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) = 3(ab + bc + ca) (2.2)

Và như vậy bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta có

(a + b + c)2  3(ab + bc + ca) (2.3)Đây lại là một kết quả cơ bản và khá quen thuộc

Lưu ý rằng (2.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

Và (2.3) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c Giải hệ này, ta tìm được

a = b = c

Vì vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c 

Bài 3 Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:

7

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

-Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Định hướng và tìm tòi lời giải

2

(3.2)2

Kết hợp hai bất đẳng thức này lại, ta suy ra kết quả cần chứng minh

Ta có (3.1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

Còn (3.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = c và b = d Từ hai điều kiện này, ta suy

ra bất đẳng thức đã cho xảy ra khi và chỉ khi a = c và b = d

Nhận xét.

Ưu điểm của việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong các ví dụ vừarồi là có thể được thấy rõ ở bậc của các bất đẳng thức trước và sau khi sử dụngCauchy - Schwarz Rõ ràng bậc của các bất đẳng thức giảm đi rõ rệt sau khi ta ápdụng Cauchy - Schwarz, điều đó có nghĩa việc chứng minh các bất đẳng thức sau đó

b +

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

2(a3 + b3 + c3) + 4(a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2) + 6abc

 2(a2b + b2c + c2a) + 4(ab2 + bc2 + ca2) + 9abc,

2(a3 + b3 + c3) + 2(a2b + b2c + c2a)  3(ab2 + bc2 + ca2) +

3abc, Đúng do theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:

VT = 2(a3 + c2a) + 2(b3 + a2b) + 2(c3 + b2c) 

4ca2 + 4ab2 + 4bc2  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc

Việc thực hiện biến đổi trực tiếp để đánh giá với (3) là rất khó Một bất đẳngthức bốn biến số và chỉ có tính chất hoán vị vòng quanh giữa các biến chứ không đốixứng Mà để thực hiện biến đổi trực tiếp, ta cần phải sử dụng nhiều tính toán (ngay cảvới ví dụ ba biến ở trên thì việc triển khai đã sử dụng không ít tính toán), rất dễ mắcsai lầm Và nếu biến đổi thì sau khi biến đổi xong, ta sẽ được một bất đẳng thức hoán

vị bậc bốn với bốn biến số Việc đánh giá các bất đẳng thức này thật không dễ Nhưvậy, việc sử dụng biến đổi trực tiếp ở đây là không khả thi và ta nên loại trừ

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz đã thể hiện ưu thế tuyệt đối của mình ởnhững ví dụ này Và ta có thể kết lại được tác dụng chính của bất đẳng thức Cauchy -Schwarz là giúp đơn giản hóa bài toán, đưa những cái phức tạp, cồng kềnh về nhữngcái đơn giản

Do đó ta chỉ cần chứng minh được (a + b + c)2  a2 + b2 + c2 + 6abc, (4.2)

Hay ab + bc + ca  3abc

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

a2 + 2abc b2 + 2abc c2 + 2abcđẳng thức khi a = b = c Kết hợp hai điều kiện này lại cho ta điều kiện đẳng thức của

Do (5.1) xảy ra đẳng thức khi a2+ 2ab = b2+ 2bc = c2+ 2ca

và (5.3) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho đạt được dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c 

Sau đây là một kỹ năng khác.

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

Bài 6 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

(a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2)  3(a + b + c) 2 (6) Định hướng và tìm tòi lời giải

Vì ba biến a, b, c độc lập với nhau nên một cách tự nhiên, ta muốn tìm cách

đánh giá để làm giảm đi số biến

Sự xuất hiện của a2 + 2 gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy

- Schwarz cho đại lượng (a + b + c)2 như sau

Hơn nữa ta có thể chắc chắn rằng (6.2) luôn đúng

Thật vậy Do tính chất độc lập của ba biến a, b, c nên (6.1) chắc chắn có thể

2xảy ra đẳng thức (đạt được khi a = b + c)

Và vì bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b, c bất kỳ nên nó cũng phải đúng

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

Bài 7 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực bất kỳ a, b, c

(a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1)  (ab + bc + ca - 1) 2 (7) Lời giải

Bằng phương pháp suy luận giống như ở bài toán trước, ta muốn áp dụng bấtđẳng thức Cauchy - Schwarz với biểu thức bình phương bên vế phải sao cho đạilượng a2 + 1 xuất hiện trong đánh giá Ta thực hiện như sau

Đẳng thức ở đánh giá (7.1) xảy ra khi và chỉ khi a(bc - 1) = b +

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

-Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng hằng đẳng thức này, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức dưới

đây bằng phương pháp tương tự như hai bài toán vừa xét

Bài 8 Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16

Chứng minh bất đẳng thức: -3  ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd  5 (8)

Lời giải

Dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd - 1)2  16, (8.1)Hay là

(8.4) Đây chính là hằng đẳng thức (7.3) mà ta vừa đề cập ở trên 

Bài 9 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có

a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1)  3

2 (a + 1)(b + 1)(c + 1) (9)

Phân tích và tìm tòi lời giải

Đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến độc lập với nhau Đó

chính là lợi thế của bài toán, việc đánh giá riêng lẻ sẽ dễ dàng hơn những bất đẳng

thức có điều kiện Ta quan sát và có để ý rằng đại lượng c(a + 1) và biểu thức bên

vế phải của bất đẳng thức đã cho đều chứa a + 1 Do đó nếu ta sử dụng Cauchy

-Schwarz đánh giá biểu thức còn lại của vế trái là a(b + 1) + b(c + 1) sao cho a +

1 xuất hiện thì ta có thể giản bớt a + 1 ở hai vế Và như thế ta chỉ còn một bất đẳng

thức hai biến, lẽ đương nhiên là nó sẽ dễ chứng minh hơn bất đẳng thức ban đầu Với

những ý tưởng như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau

a(b + 1) + b(c + 1)  (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)]

(9.1) Như thế ta chỉ cần chứng minh

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

b(c + 2) + 1 + c  3

2 (b + 1)(c + 1) (9.2)Phân tích tương tự như trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz một lần nữa cho vếtrái của (9.2) sao cho nhân tử b + 1 xuất hiện Theo đó ta sẽ chỉ còn một bất đẳngthức một biến số… Ý tưởng đã rõ Bây giờ ra chỉ cần thêm một chút quan sát nữa làđược Bạn hãy để ý rằng đại lượng b(c + 2) + 1 còn thiếu một lượng c + 1 thì có thểphân tích ra được b + 1, cái mà chúng ta cần Do đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thứcCauchy - Schwarz để bổ sung lượng đó cho nó, cụ thể là



3(c + 2)(2c + 1)

c + 1, (9.4)

Hay

4(c + 2)(2c + 1)  9(c + 1)2 (9.5)Đúng theo bất đẳng thức AM - GM

Kết hợp những điều kiện này lại, chúng ta tìm được điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức ở bất đẳng thức ban đầu là a = b = c = 1

Bài 10 Cho x, y, z > 1 và x + y + = 2 Chứng minh rằngz



x + y + z x - 1 + y - 1 + z - 1 (10)

Lời giải

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức

Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải saocho sau bước đánh giá, ta thu được đại lượng x + y + z làm nhân tử Với ý tưởng nhưvậy, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau

3Vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 2

Giải hệ phương trình này ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra

là a = b = c = d = 1 

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

-Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Bài 12 Cho n số thực dương a1, a2, …, an có tổng bằng 1 Chứng minh

Bài toán được chứng minh xong 

Bài 13 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

minh bất đẳng thức Phân tích và tìm tòi lời giải

Xin được nhắc lại một lần nữa mục đích của ta khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

-Schwarz là làm đơn giản hóa bài toán, càng nhiều càng tốt Bởi vì vậy cho nên ta cố

gắng áp dụng Cauchy - Schwarz làm sao cho giảm bớt được một số đại lượng có

trong các vế của bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn ở bài này, ta hãy cùng

quan sát vế phải và đưa ra nhận xét “nếu ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy

-Schwarz cho vế trái để làm mất đại lượng a2 + b2 + c2 trên tử thì bài toán sẽ không

còn khó nữa” Với ý tưởng như vậy, ta thực hiện đánh giá sau

∑ a2 + ab + b2  ∑a(a2 + ab + b2)Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh

(a2 + b2 + c2)(a + b + c)  ∑a(a2 + ab + b2) (13.2)Thế nhưng đây lại chỉ đơn giản là một hằng đẳng thức Ta có đẳng thức xảy ra khi và

Từ đó bài toán được quy về chứng minh

2(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3)  3∑a4(b + c) (14.2)Bất đẳng thức này tương đương với

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

Do bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh Ta đi tìm

điều kiện để đẳng thức xảy ra Do (14.1) xảy ra đẳng thức khi

Bây giờ chúng ta sẽ đến với một kỹ năng khác, (cùng mẫu).

Bài 15 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có

Phân tích và tìm tòi lời giải

Ta có nhận xét rằng “nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho các bình

phương

(a + b)2, (a + c)2 sao cho đại lượng a2 + bc xuất hiện bậc của bất đẳng thức sẽ được

giảm đáng kể” Tiến hành theo ý tưởng này, ta được

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

1



b

(15.3)(a + c)2 (b + c)(a2 + bc)

Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức này, ta được

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng

Do (15.1) xảy ra đẳng thức khi a = c và (15.3) xảy ra đẳng thức khi a = b nên bấtđẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi a = b = c 

Bài 16 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau

Bài 17 Giả sử a, b, c là ba số thực dương cho trước Chứng minh rằng