Thuyết minh đề tài Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho các bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng.

THUY T MINH Ế Đ  TÀI NGHIÊN C U XUÂT SĂCỀ Ứ ́ ́

Tên đ  tài (ti ng ề ế

Vi t)ệ Các đi u ki n t i  u ề ệ ố ư và phương pháp số cho bài toán 

đi u khi n t i  u không tr n đề ể ố ư ơ ược cho b i phở ương trình 

đ o hàm riêngạ Tên đ  tài (ti ng ề ế

Anh)

Optimality conditions and numerical methods for  nonsmooth optimal control problems governed by partial  differential equations

Th i gian th c hi nờ ự ệ 24 tháng , tháng 1/2021­12/2022

1 Gi i thi u tóm t tớ ệ ắ

Bài toán chuy n pha (phase transitions) xu t hi n trong nhi u lĩnh v c nhể ấ ệ ề ự ư  khí h u h c (s  tan c a băng), khoa h c v t li u (k  thu t luy n thép, s  đúcậ ọ ự ủ ọ ậ ệ ỹ ậ ệ ự   kim lo i), khoa h c th c ph m (s  chuy n hóa c a th c ăn), (xem Meirmanovạ ọ ự ẩ ự ể ủ ứ   [23] và Visintin [31]). Trong nhi u trề ường h p, mi n ranh gi i (mushy region)ợ ề ớ  

gi a các pha (băng – nữ ước, r n – l ng) có th  bi n đ i t  do theo th i gian.ắ ỏ ể ế ổ ự ờ  

Ch ng h n xét bài toán 2 pha Stefan (two­phase Stefan problem) đẳ ạ ược cho b iở  

phương trình bi n phân sau:ế

 đó y là hàm m t đ  năng l ng trong (internal energy density function),

u là ngu n nhi t trong (internal heat source) và v là enthalpy. Hàm   là hàmồ ệ  

không tr n ơ  và được cho b i phở ương trình sau:

Khi đó mi n ranh gi i gi a các pha đề ớ ữ ược cho b i ở

V i m i (, phớ ỗ ương trình (1) có nghi m duy nh t   và duy nh t ( (xemệ ấ ấ   [Chương II, 31]). Do hàm liên t c và không kh  vi nên ánh x  nghi mụ ả ạ ệ

là liên t c nh ng ụ ư không kh  vi.ả

S  t i  u ngu n nhi t u d n t i vi c nghiên c u bài toán đi u khi n t iự ố ư ồ ệ ẫ ớ ệ ứ ề ể ố  

u (

ư ĐKTƯ) không tr n ơ

Vi c tìm nghi m t i  u c a bài toán (2) đòi h i s  nghiên c u các ệ ệ ố ư ủ ỏ ự ứ đi u ề  

ki n t i  u (b c 1, b c 2) ệ ố ư ậ ậ  cũng nh kh o sátư ả s  h i t  và đánh giá sai  ự ộ ụ s  c aố ủ   các bài toán r i r c (d a trên các phờ ạ ự ương pháp nh  phư ương pháp ph n t  h uầ ử ữ  

h n—finite   element   method   (FEM),   phạ ương   pháp   r i   r c   hóa   gradient—ờ ạ gradient discretization method (GDM)) c a (2).ủ

2.T ng quan tình hình nghiên c u và s  c n thi t ti n hành nghiên c uổ ứ ự ầ ế ế ứ

2.1. Tình hình nghiên c u trong và ngoài nứ ước

Các ch  đ  nghiên c u v  ủ ề ứ ề đi u ki n t i  u ề ệ ố ư  và ph ươ ng pháp s ố cho bài 

toán ĐKTƯtr n ơ  v i ràng bu c đớ ộ ược cho b i phở ương trình đ o hàm riêng đãạ  

và đang được nhi u nhà toán h c trong nề ọ ước và trên th  gi i quan tâm. Sauế ớ   đây là m t s  tác gi , nh ng ngộ ố ả ữ ười đang nghiên c u lĩnh v c này: W. Alt, N.ứ ự   Arada, J. F. Bonnans, E. Casas,C. Christof, C. Clason, V. Dhamo, B.T. Kien,  K.  Malanowski, V. H. Nhu, N J.­P. Raymond,A. Rösch, N. H. Son,R. Temam, B. 

A. Ton, F. Tröltzsch, D. Wachsmuth,…

G n đây,m t vàitài li u nghiên c u ầ ộ ệ ứ đi u ki n t i  u ề ệ ố ư cho bài toán ĐKTƯ  không tr n ơ  đã được công b  b i m t s  tác gi Đó là: Meyer và Susu (2017)ố ở ộ ố ả   [25] và Betz (2019) [4]cho bài toán ĐKT  v i phƯ ớ ương trình parabolic n aử   tuy n tính không tr n; Christof và các đ ng tác gi  (2018) [14] cho bài toánế ơ ồ ả   ĐKT  v i phƯ ớ ương trình elliptic n a tuy n tính không tr n;Clason và cácử ế ơ  

đ ng tác gi  (2018, 2020) [15,16] cho bài toán ĐKT  v i phồ ả Ư ớ ương trình elliptic 

t a tuy n tính không tr n.ự ế ơ

Dưới đây là m t s  công trình liên quan t i hộ ố ớ ướng nghiên c u c a đứ ủ ề  tài

[1]  W. Alt and K. Malanowski, The Lagrange­Newton method for nonlinear 

optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 2(1993), 77­100.

[2]   W. Alt and K. Malanowski,  The Lagrange­Newton method for state 

constrained optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 4(1995), 217­

239

[3] N. Arada, E. Casas and F. Tröltzsch,  Error estimate for the numerical 

approximation of a semilinear elliptic control problem, Comp. Optim. 

Appl., 23(2002), 201­229

[4] L   M   Betz,  Second­order   sufficient   optimality   conditions   for   optimal 

control of non­smooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control 

Optim., 57(2019), 4033–4062

[5] T. Bewley, R. Temam and M. Ziane, Existence and uniqueness of optimal 

control   to   the   Navier­Stokes   equations,  C   R   Acard   Sci   Paris, 

330(2000), 1007­1011. 

2

[6] J.  F. Bonnans,  Second­order  analysis  for  control   constrained  optimal 

control problems of semilinear elliptic systems, Appl. Math. Optim. 38 

(1998), 305–325

[7] J. F. Bonnans and H. Zidani,  Optimal control problems with partially 

polyhedric constraints, SIAM J. Control Optim. 37 (1999), 1726–1741.

[8] E. Casas and V. Dhamo, Error estimates for the numerical approximation  

of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data, 

Numer. Math. 117 (2011), 115–145

[9] E. Casas, J.­P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for local 

solutions of control problems with mixed control­state contraints, SIAM 

J. Control Optim. Vol 39, 4(2000), 1182­1203

[10] E   Casas   and   M   Mateos,  Uniform   convergence   of   the   FEM. 

Applications to sate constrained control problems, Comput. Appl. Math., 

to appear

[11]E. Casas and F. Tröltzsch, Numerical analysis of some optimal control  

problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM: 

COCV, 17(2011), 771­800

[12]E. Casas and F. Tröltzsch, First­ and second­order optimality conditions 

for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations, 

SIAM J. Control Optim. 48 (2009), 688–718

[13]S. Cherednichenko and A. Rösch,  Errorestimates for the discretization 

of elliptic control problems with pointwise control and state constraints, 

Comput. Optim. Appl, 44(2009), 27­77

[14]C. Christof, C. Clason, C. Meyer, S. Walther,Optimal control of a non­

smooth   semilinear   elliptic   equation ,Mathematical   Control   and   Related  Fields 8 (2018), 247­276.

[15]C   Clason,   V   H   Nhu,   A   Rösch,  Optimal   control   of   a   non­smooth 

quasilinear elliptic equation ,  Mathematical Control and Related Fields, 

accepted 2018(to appear in 2021)

[16]C   Clason,   V   H   Nhu,   A   Rösch,No­gap   second­order   optimality 

conditions   for   optimal   control   of   a   non­smooth   quasilinear   elliptic  equation, revised 2020.

[17]B   T   Kien   and   V   H   Nhu,     Second­order   necessary   optimality 

[18]B. T. Kien, N. V. Tuyen and J.­C. Yao,  Second­order KKT optimality 

conditions for multi­objective optimal control problems, SIAM J. Control 

Optim., 56(2018), 4069­4097

[19]B. T. Kien, X. Qin, C.­F. Wen and J.­C. Yao,Second­order optimality 

conditions   for   multiobjective   optimal   control   problems   with   mixed  pointwise   constraints   and   free   right   end   point,  SIAM   J   Control 

Optim., 58(4), 2658­2677

[20]K   Kunisch   and   D   Wachsmuth,  Sufficient   optimality   conditions   and 

semi­smooth   Newton   methods   for   optimal   control   of   stationary   variational inequalities,  ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of 

Variations 18 (2012), 520–547

[21]K   Malanowski,  Sufficient   optimality   conditions   for   optimal   control  

subject to state constraints, SIAM J. Control Optim., 35(1997), 205­227.

[22] K   Malanowski,   Second­order   sufficient   conditions   for   state­

conditioned optimal control problems, J. Optim. Th. Appl.,123(2004), 

595­617

[23] A.  Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis  Press, Paris, 2014

[24] C. Meyer, A. Rösch and F. Tröltzsch,  Optimal control of PDEs with  

regulized pointwise state constraints, Comp. Optim. Appl., 33(2006), 

209­228

[25] C. Meyer and L. M. Susu,  Optimal control of nonsmooth, semilinear 

parabolic equations, SIAM J. Control Optim. 55 (2017), 2206­2234.

[26] A   Rösch   and   F   Tröltzsch,  Sufficient   second­order   optimality 

conditions   for   an   elliptic   optimal   control   problem   with   pointwise   control­state constraints, SIAM J. Optim. 17 (2006), 776­794.

[27] A. Rösch and D. Waschsmuth,  Semi­smooth Newton method for an 

optimal   control   problem   with   control   and   mixed   control   state   constraints, Optim. Meth. Sof.,26(2011), 169­186.

[28] J.­P   Raymond   and   H   Zidani,  Pontryagin's   principle   for   state­

constrained   control   problems   governed   by   parabolic   equationswith  unbounded controls, SIAM J. Control Optim.,36(1998),1853­1879.

[29] N.H   Son,   B   T   Kien   and   A   Rösch,  Second­order   optimality 

conditions   for   boundary   control   problems   with   mixed   pointwise   constraints, SIAM J. Optim., 26(2016), 1912­1943.

[30] B. A. Ton, An optimal control free boundary problem for the Navier­

Stokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831­839.

[31] A. Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996

4

2.2. S  c n thi t ti n hành nghiên c uự ầ ế ế ứ

Qua kh o sát các công trình trên chúng tôi th y r ng có hai v n đ  ch aả ấ ằ ấ ề ư  

được gi i quy t. V n đ  th  nh t là vi c đ a raả ế ấ ề ứ ấ ệ ư các đi u ki n t i  u(b c 1 ề ệ ố ư ậ  

và b c 2) ậ  cho bài toán ĐKT  Ư không tr n ơ  được cho b i phở ương trình parabolic 

t a tuy n tính (ch ng h n bài toán ĐKT  (2)). V n đ  m  th  hai là nghiênự ế ẳ ạ Ư ấ ề ở ứ  

c uứ ph ươ ng pháp s ,  ố trong đó kh o sátả  s  h i t  và đánh giá sai s ự ộ ụ ố cho các bài 

toán r i r c c a bài toán ĐKT  không tr n.ờ ạ ủ Ư ơ

Khi nghiên c u các đi u ki n c c tr  cho bài toán ĐKT  không tr n, cácứ ề ệ ự ị Ư ơ   tác gi  trong [4,14,15,25] đã s  d ng lả ử ụ ược đ  sau: x p x  bài toán ĐKT  g cồ ấ ỉ Ư ố  

b ng các bài toán ĐKT  tr n (regulization scheme), sau đó nh n đằ Ư ơ ậ ược tính  compact c a t p các nghi m t i  u cho các bài toán x p x , và cu i cùngủ ậ ệ ố ư ấ ỉ ố   thông qua gi i h n thu đớ ạ ược h  các đi u ki n c c tr  cho bài toán g c.  Tuyệ ề ệ ự ị ố   nhiên đ i v i bài toán ĐKT  (2), thành ph n ố ớ Ư ầ không tr n ơ  xu t hi n trong toánấ ệ  

t  đ o hàm c p cao h n và đo đó chúng ta không nh n đử ạ ấ ơ ậ ược tính compact c aủ  

t p các nghi m t i  u cho bài toán ĐKT  x p x  Vì v y lậ ệ ố ư Ư ấ ỉ ậ ược đ  trên khôngồ  

th  áp d ng tr c ti p cho bài toán (2).ể ụ ự ế

Đ  nghiên c u ể ứ s  h i t  và đánh giá sai s ự ộ ụ ố cho các bài toán r i r c c aờ ạ ủ   bài toán ĐKT  Ư tr n ơ , m t phộ ương pháp được s  d ng r ng rãi là vi c ápử ụ ộ ệ  

d ng   đi u   ki n   c n   t i   u   b c   1   và   đi u   ki n   đ   t i   u   b c   2   (xemụ ề ệ ầ ố ư ậ ề ệ ủ ố ư ậ   [3,8,10,11,13]). Tuy nhiên theo tìm hi u c a chúng tôi, hi n ể ủ ệ ch a có m t tài ư ộ  

li u nào nghiên c u s  h i t  và đánh giá sai s ệ ứ ự ộ ụ ố cho bài toán ĐKT   Ư không 

tr n ơ  

Do đó đ  nghiên c u hai v n đ  m  nêu trên, ể ứ ấ ể ở chúng ta c n ph i đ a raầ ả ư   các phương pháp m i, công c  m i và k  thu t ch ng minh m i, ho c ít nh tớ ụ ớ ỹ ậ ứ ớ ặ ấ  

c n ph i c i ti n các phầ ả ả ế ương pháp ti p c n hay các k  thu t đã đế ậ ỹ ậ ược sử 

d ngtrụ ước đó.Vi c nghiên c u các v n đ  m  đó s  góp ph n vào s  phátệ ứ ấ ề ở ẽ ầ ự   tri n c a nhóm nghiên c u ĐKT    Vi t Nam và đ ng th i t o nên hể ủ ứ Ư ở ệ ồ ờ ạ ướ  ng nghiên c u m i cho nhóm.ứ ớ

3.M c tiêu c a đ  tàiụ ủ ề

M c tiêu c a đ  tài là đ a ra m t s  k t qu  m i v  ụ ủ ề ư ộ ố ế ả ớ ề các đi u ki n t i ề ệ ố   u

ư   và  ph ươ ng pháp s ố  cho các bài toán ĐKT   Ư không tr n ơ   được cho b iở  

phương trình đ o hàm riêng.ạ

4.N i dungnghiên c uộ ứ

Nghiên c u ứ ph ươ ng pháp s , ố  trong đó bao g m  ồ s  h i t  và đánh giá sai ự ộ ụ  

số  c a các bài toán r i r c c a bài toán ĐKT  không tr n đủ ờ ạ ủ Ư ơ ược cho b iở  

phương trình đ o hàm riêng.ạ

5. Cách ti p c n, phế ậ ương pháp nghiên c uứ

Đ  thu để ược k t qu  nghiên c u đã nói   trên, trế ả ứ ở ước tiên chúng tôi sẽ 

kh o sát và nghiên c u th t chi ti t các công trình liên quan trả ứ ậ ế ước đó. Trên cơ 

s  đó, chúng tôi s  ti p c n hai v n đ  c n gi i quy t nh  sau.ở ẽ ế ậ ấ ề ầ ả ế ư

­ V  ề các đi u ki n c c tr ề ệ ự ị: Trước h t chúng tôi c n nghiên c u các tínhế ầ ứ  

ch t đ nh tính c a phấ ị ủ ương trình đ o hàm riêng liên quan t i bài toán ĐKT ạ ớ Ư   Sau đó s  d ng các công c  và k  thu t m i (ho c đử ụ ụ ỹ ậ ớ ặ ược c i ti n t  các kả ế ừ ỹ  thu t đã bi t) đ  nh n đậ ế ể ậ ược các đi u ki n t i  u b c 1 và b c 2.ề ệ ố ư ậ ậ

­ V  vi c ch ng minh ề ệ ứ tính h i t  và đánh giá sai s ộ ụ ố: Chúng tôi s  nghiênẽ  

c u các bài toán r i r c (d a trên các phứ ờ ạ ự ương pháp r i r c hóa nh  FEM vàờ ạ ư   GDM) c a phủ ương trình tr ng thái, c a phạ ủ ương trình liên h p và c a bài toánợ ủ   ĐKT  Sau đó s  d ng các đi u ki n c n t i  u b c 1 và đi u ki n đ  t iƯ ử ụ ề ệ ầ ố ư ậ ề ệ ủ ố  

u b c 2 (đã đ c nghiên c u   trên) đ  đ a ra s  h i t  cũng nh  đánh giá

sai s  c a nghi m t i  u r i r c so v i nghi m t i  u c a bài toán liên t c.ố ủ ệ ố ư ờ ạ ớ ệ ố ư ủ ụ

6. K  ho ch tri n khai ế ạ ể

TT H  và tênọ C  quan công tácơ Ch c danh th c ứ ự

hi n đ  tàiệ ề

1 Bùi Tr ng Kiên ọ Vi n Toán h c ệ ọ Ch  nhi m đ  tài ủ ệ ề

2 Vũ H u Nh ữ ự Tr ườ ng Đ i h c Phenikaa ạ ọ Thành viên chính

3 Nguy n Qu c Tu n ễ ố ấ Tr ườ ng Đ i h c S  ph m Hà  ạ ọ ư ạ

N i 2 ộ Thành viên chính

N i dung, công vi c ch  y uộ ệ ủ ế

(các m c đánh giá ch  y u) ố ủ ế

S n ph m c nả ẩ ầ  

đ tạ Th i gianờ  

(b t đ u, ắ ầ

 k t thúc) ế

Người th c hi nự ệ

1 ­ Nghiên c u các tính ch tứ ấ  

đ nh   tính   c a   ph ị ủ ươ ng   trình   đ o ạ  

hàm riêng liên quan t i bài toán ớ  

ĐKT  c n xét Ư ầ

­ Đ a ra các đi u ki n c c tr  cho ư ề ệ ự ị  

bài toán ĐKT  không tr n Ư ơ

01 công trình sẽ 

đ ượ c   xu t   b n ấ ả   cho   ch ủ   đ ề  nghiên c u này ứ

12 tháng  (t   ừ 01/2021 –  12/2021)

Bùi Tr ng Kiên, ọ

Vũ H u Nh , ữ ự Nguy n Qu c  ễ ố

Tu n ấ

2 ­ Nghiên c u bài toán r i r c c a ứ ờ ạ ủ  

ph ươ ng trình tr ng thái, ph ạ ươ   ng

trình liên h p, bài toán ĐKT ợ Ư

­ Ch ng minh s  h i t  và đánh ứ ự ộ ụ  

01 công trình sẽ 

đ ượ c   xu t   b n ấ ả   cho   ch ủ   đ ề  nghiên c u này ứ

12 tháng  (t   ừ 01/2022 –  12/2022)

Bùi Tr ng Kiên, ọ

Vũ H u Nh , ữ ự Nguy n Qu c  ễ ố

Tu n ấ

6

giá sai s  c a nghi m t i  u r i ố ủ ệ ố ư ờ  

r c và nghi m t i  u c a bài toán ạ ệ ố ư ủ  

ĐKT  liên t c Ư ụ

7 D  ki n k t qu  đ  tàiự ế ế ả ề

7.1. D  ki n k t qu  nghiên c uự ế ế ả ứ

Đ a ra 02 công trình cho các k t qu  m i v  ư ế ả ớ ề các đi u ki n t i  u và ề ệ ố ư  

s  h i t  và đánh giá sai s ự ộ ụ ố.

7.2. D  ki n công trình công bự ế ố

S  TTố K t qu  công bế ả ố S  lố ượng Ghi chú

1 T p chí SCI­E c a Web of Science ạ ủ 02 T p chí uy tín ạ

2 T p chí qu c t  khác ạ ố ế 0

3 T p chí qu c gia có uy tín ạ ố 0

8 Tông kinh phi đăng ky tai tr :̉ ́ ́ ̀ ợ

8.1. Tông h p̉ ợ

TT M c chiụ N i dung chiộ T ng sổ ố Chia ra các năm

Năm 2021 Năm 2022

1 6650 Hôi nghi, hôi ̣ ̣ ̣

thaỏ

2 6700 Đi công tac ́

trong n ươ ć

3 6800 Đi công tac ́

n ươ c ngoai ́ ̀

4 6850 Đoan vao ̀ ̀

5 7000 Ti n công lao

đ ng tr c  ộ ự

ti p  ế 377.178.600 189.319.400 187.859.200

Ch  nhi m  ủ ệ

đ  tài ề 174.210.800 87.105.400 87.105.400

Thành viên  nghiên c u  ứ chính, th  ký  ư khoa h c ọ

202.967.800 102.214.000 100.753.800

6 7000 Chi giao khoán khác 2.821.400 680.600 2.140.800

7 7750 Quan ly phi ̉ ́ ́ 20.000.0000 10.000.000 10.000.000

T ng c ng:ổ ộ 400.000.000 200.000.000 200.000.000

8

a. Ti n công lao đ ng:ề ộ

TT H  và tênọ

Ch cứ   danh th cự  

hi n đệ ề  tài

H  sệ ố 

ti n côngề   (hstc) T ng sổ ố Năm 2021 Năm 2022 T ng sổ ố Năm 2021 Năm 2022

1 Bùi Tr ng ọ

Kiên

CNĐT 0,79 148 74 74 174.210.80

0 87.105.400 87.105.400

2 Vũ H u Nhự ữ TVC 0,49 139 70 69 101.483.90

0 51.107.000 50.376.900 3

Nguy n ễ

Qu c ố

Tu nấ

TVC 0,49 139 70 69 101.483.90

0 51.107.000 50.376.900

T ng c ng:ổ ộ 426 214 212 377.178.600 189.319.400 187.859.200

b. Chi tiêt cac khoan con lai:́ ́ ̉ ̀ ̣

TT M c chiụ N i dung chiộ T ng sổ ố

Năm 2021 Năm 2022

1 7000 N i dung chi giao khoán khácộ 2.821.400 680.600 2.140.800

7000 In  n tài li u, văn phòng ph m ấ ệ ẩ 2.821.400 680.600 2.140.800

2 7750 Chi phí qu n lý gián ti p  ả ế 20.000.000 10.000.000 10.000.000

    T NG C NG:Ổ Ộ 22.821.400 10.680.600 12.140.800

TRUNG TÂM Hà N i, ngày      tháng      năm 20 ộ

Ch  nhi m đ  tàiủ ệ ề

Bùi Tr ng Kiênọ

TH  TRỦ ƯỞNG Đ N VƠ Ị K  toán đ n vế ơ ị