TOÁN CAO CẤP C2 - GIẢI TÍCH. GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

ng cong trong không gian... Ph ng trình phơn ly.. Ph ng trình tuy n tính.. Ph ng trình Bernoulli... Ph ng trình vi phơn toƠn ph n.. Ph ng trình khuy t... 2.2.D ngăl ngăgiácăc aăs ăph c..

Trang 1

Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/605/7 1

TẨIăLI UăTHAMăKH O TOỄNăCAOăC P C2 - GI I TÍCH

N MăH C: 2016 -2017

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

Trang 2

TRểNăMOON.VNăN MăH Că2016ă- 2017

Chúc m ng các b n đƣ b c vƠo m t ng ng c a m i c a cu c đ i

Vi c đ i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng

không kém thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhƠ ho c môi

tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng

gi ng đ ng l n hƠng tr m Sinh viên mƠ kh i l ng ki n th c đ x

T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra lƠm các phơn môn (hay

còn g i lƠ h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung

ki n th c nên đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoƠn

BƠi t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vƠo cu i ch ng ho c chuyên đ

ch không theo bƠi (các bu i h c) Các bƠi t p c ng đ c gi i theo tính ch

đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngƠng v i vi c h c

b c i h c nên k t qu h c t p các môn h c i c ng th ng th p h n

nh ng môn h c chuyên ngƠnh n m th 3, th 4 (ho c th 5)

Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t

k bƠi t p t i cu i các bƠi h c lỦ thuy t (qua Video theo truy n th ng

Moon.vn) vƠ cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ lƠm

quen v i cách h c i h c, m t s video bƠi t p đ c đ a ra v i m c đích

h ng d n các em cách lƠm bƠi t p vƠ trình b y b c i h c

Trang 3

Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i

ti p c n s m v i ki n vƠ k n ng lƠm bƠi t p t t Hy v ng v i s chu n b

s m vƠ t t, các em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thƠnh công do

vi c chu n b

các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k

ch ng trình đƠo t o đ c đánh mƣ s chi ti t theo các phơn đo n đ n v ki n

th c tu n t đ các em d dƠng theo dõi Các em có th vƠo đ ng link sau đ

bi t rõ v toƠn b ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i

v i Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thơm

chí t ng kh i ngƠnh h c trong Tr ng

 i v i các kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công

ngh , ch ng trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có 4 h c

ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán A

 i v i các kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán

Cao C p đ c h c lƠ Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng

link chính cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: i s tuy n tính

o Toán B2: Gi i tích

 i v i các kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng,

Lu t ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c

lƠ Toán C g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán

C (http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: i s tuy n tính

o Toán C2: Gi i tích

Trang 4

T i Moon.vn, ki n th c lỦ thuy t đƣ đ c b trí v i các n i dung chi ti t

cho t ng kh i ngƠnh thông qua h th ng video bƠi gi ng cùng giáo trình đ y

đ c ng nh các tóm t t lỦ thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bƠi

t p cho c Toán A, Toán B vƠ Toán C i kèm lỦ thuy t c b n lƠ m t kho d

li u kh ng bƠi t p đ c t ng h p t các thi gi a vƠ cu i H c k các n m

g n đơy c a các kh i ngƠnh:

 Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bƠi t p

 Toán B1 và B2: g n 2000 bƠi t p

 Toán C1 và C2: g n 2000 bƠi t p

Các bƠi t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p

d dƠng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng vƠ chính xác

Th y vƠ đ i ng các Supper Mods (c ng đ u lƠ các Gi ng viên d y i

h c) r t vui đ c trao đ i trên di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN trên

Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhơn v i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu l m đ c nh ng ki n th c, hoƠn thi n k

n ng vƠ v n d ng sáng t o !

Trang 5

M CăL C

CH NG I: GI I H N DÃY S 9

§1: S TH C 9

§2: S PH C 11

§3:GI I H N DÃY S .22

§4: M T S VÍ D GI I H N DÃY S .27

CH NG II: HẨM S M T BI N 35

§1: KHÁI NI M HÀM M T BI N S .35

§2:GI I H N HÀM S .37

§3: S LIÊN T C C A HÀM S .43

§4: M T S VÍ D .47

CH NG III: VI PHÂN HẨM M T BI N S .55

§1: O HÀM 56

§2:VI PHÂN 59

§3: O HÀM VÀ VI PHÂN C P CAO 60

§4:CÁC NH Lụ C B N C A PHÉP TÍNH VI PHÂN 61

§5: NG D NG C A PHÉP TÍNH VI PHÂN 64

CH NG IV:PHÉP TệNH TệCH PHÂN HẨM M T BI N 67

§1: TệCH PHÂN KHÔNG XÁC NH 67

§2:TệCH PHÂN XÁC NH 73

§3 :TÍCH PHÂN SUY R NG 79

CH NG V: HẨM S NHI U BI N 86

Trang 6

§1 T NG QUAN HÀM S NHI U BI N 86

1.1 nh ngh a hƠm nhi u bi n 86

1.1.1 nh ngh a : 86

1.1.2 Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s 87

1.2 Gi i h n c a hàm s hai bi n s .87

1.3 Tính liên t c c a hàm s hai bi n s : 88

1.3.1 Khái ni m: 88

1.3.2 Chú ý: 88

§2 O HÀM RIÊNG .90

2.1 o hàm riêng: 90

2.1.1 nh ngh a: 90

2.1.2 ụ ngh a hình h c c a đ o hàm riêng: 90

2.2 o hàm riêng c p cao: 91

2.2.1 nh ngh a : 91

2.2.2 nh lý : 92

§3: VI PHÂN TOÀN PH N VÀ VI PHÂN C P HAI 98

3.1 inh ngh a : 98

3.2 i u ki n kh vi c a hàm s nhi u bi n : 98

3.3 ng d ng c a vi phân toàn ph n vào tính g n đúng: 99

3.4 i u ki n đ bi u th c P x y dx Q x y dy ,   , là m t vi phân toàn ph n: 99

3.5 Ph ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ ng cong t i m t đi m .99

3.5.1 ng cong trong không gian .99

3.5.2 Ph ng trình c a ti p tuy n .100

3.5.3 Pháp di n c a đ ng cong : 101

Trang 7

§4 O HÀM C A HÀM S H P O HÀM C A HÀM S N 104

4.1 o hàm c a hàm s h p 104

4.1.1 nh ngh a: 104

4.1.2 nh ngh a 2: 104

4.2 o hàm c a hàm s n 105

4.2.1 nh ngh a hƠm n: 105

4.2.2 o hàm c a hàm n 105

§5 C C TR .111

5.1 C c tr t do c a hàm s hai bi n s : 111

5.1.1 nh ngh a 111

5.1.2 i u ki n c n c a c c tr .111

5.1.3 i u ki n đ c a c c tr : 111

5.2 C c tr có đi u ki n: 112

5.2.1 Khái ni m: 112

5.2.2 nh lý: 112

5.3 Giá tr l n nh t và bé nh t c a hàm hai bi n s trong m t mi n đóng gi i n i .113

CH NG VI:PH NG TRỊNH VI PHÂN 115

§1 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P I .115

1 i c ng v ph ng trình vi phơn c p 1 115

2 Ph ng trình phơn ly .116

3 Ph ng trình thu n nh t .116

4 Ph ng trình khuy t bi n .117

5 Ph ng trình tuy n tính .119

6 Ph ng trình Bernoulli .121

Trang 8

7 Ph ng trình vi phơn toƠn ph n .121

§2 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI 124

1 i c ng v ph ng trình vi phơn c p 2 .124

2 Ph ng trình khuy t .125

3 Ph ng trình tuy n tính thu n nh t 126

4 Ph ng trình tuy n tính không thu n nh t .129

5 Ph ng trình tuy n tính có h s không đ i .130

Trang 9

CH NGăI: GI IăH N DẩYăS

§ 1:ăS ăTH C

1) S c n thi t m r ng t p h p s h u t : Trong th c t vƠ nghiên c u s

h u t không đáp ng đ c,nên nh t thi t ph i m r ng t p h p s

N u v i m i t p X x có m t s M sao cho  x Mthì nói t p X b

ch n trên b i s M.Trái l i n u có s m đ  x mthì nói t p X b ch n d i

.T p b ch n trên(d i) có th không b ch n d i(trên).S M hay m đ c g i

lƠ c n trên hay d i c a t p X

Nh n xét:M t t p b ch n trên(d i) có vô s c n trên(d i)

Trang 11

§ 2:ăS ăPH C

2 1.D ngăđ iăs ăc aăs ăph c

- nh ngh a s i: S i đ c g i lƠ đ n v o, lƠ m t s sao cho 2

i  1.

- nh ngh a s ph c: Cho a vƠ b lƠ hai s th c vƠ i lƠ đ n v o, khi đó

z a bi đ c g i lƠ s ph c S th c a đ c g i lƠ ph n th c vƠ s th c b đ c

g i lƠ ph n o c a s ph c z Ph n th c c a s ph c z a bi đ c kí hi u lƠ

Re(z) Ph n o c a s ph c z a bi đ c kí hi u lƠ Im(z)

- Khi c ng (tr ) hai s ph c ta c ng (tr ) ph n th c vƠ ph n o t ng ng

- Khi nhơn hai s ph c ta th c hi n gi ng nh nhơn hai bi u th c đ i s v i

chú ý i2  1.

- Mu n chia hai s ph c ta nhơn t vƠ m u cho s ph c liên h p c a m u

- S ph c z a bi đ c g i lƠ s ph c liên h p c a s ph c z a bi.

Trang 12

(vii)  n

n

z  z v i m i n

2.2.D ngăl ngăgiácăc aăs ăph c

Modun c a s ph c z a bi lƠ m t s th c d ng đ c đ nh ngh a nh sau

z  a b  a0  b0 lƠ kho ng cách t đi m  a, b đ n g c t a đ

Góc  đ c g i lƠ argument c a s ph c z vƠ đ c kí hi u lƠ arg(z) .

Trang 13

2.4.Nơngăs ăph călênăl yăth a

L y th a b c n c a i: Gi s n lƠ s t nhiên, khi đó n r

Trang 14

+) z13 3z2  8 36i54i227i3     3 3i 49 6i 3

1 3 2 2437

z  z 

Trang 17

V y z có hai c n b c hai lƠ 46 5 ,i  4 6 5i

Ví d 7: Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z sao cho u z 2 3i

Trang 19

Ta th y các đi m n m trong hình tròn (1) vƠ trên elip (2) vƠ tung đ các đi m

n m trên elip luôn th a mƣn đi u ki n y  4

V y t p h p các đi m M lƠ elip có ph ng trình 2 2 1

3

1

iz

Trang 20

ii

Trang 22

§3 :GI IăH NăDẩYăS

1) KHÁI NI M:

Cho dƣy s x , x , , x1 2 n 1 , x , n

S a đ c g i lƠ gi i h n c a dƣy bi n x n n u b t đ u t m t ch nƠo

đó t c lƠ đ i v i m i s th t n khá l n bi n xn sai khác a nh bao nhiêu

g i lƠ lơn c n c a đi m a.Nh v y v i lơn c n bé b t k c a đi m a,t t c các

giá tr c a xnb t đ u t m t giá tr nƠo đ y c a n c n ph i r i vƠo lơn c n đó

33n 2

Trang 23

  thì khi đó v i m i n > N ta có đi u ph i ch ng minh

1 i l ng vô cùng bé (g i lƠ vô cùng bé - VCB): bi n xnđ c g i lƠ đ i

khá l n , nó s tr nên vƠ mƣi mƣi có giá tr tuy t đ i l n h n m t s A > 0

l n tùy Ủ cho tr c Hay n

Trang 26

Ch ng minh :Gi s  xn có axn  b n.Chia  a, b thƠnh hai ph n b ng

nhau ,khi đó ít nh t có m t đo n ch a vô s các ph n t c a  xn g i đo n đó

là 1.l i chia 1thƠnh hai hai ph n b ng nhau vƠ l i có m t ph n ch a vô s

các ph n t c a xn g i lƠ 2.C ti p t c nh v y ta thu đ c dƣy đo n th t

Trang 27

ch ng minh đ c gi i h n đó lƠ e = 2,718218828459015ầđó lƠ s vô t

§4: M TăS ăVệăD GI IăH NăDẩYăS

Ví d 1: Tính gi i h n dƣy s v i n  :

a)

2 2

lim

3 2

n nn

 

Trang 28

b)

2 2

3 3

lim

1 2

n nn



Gi i

1 14

2 2

3 1lim

Trang 29

b)

2 2

4 1lim

2  3 





Trang 30

n cos5nlim 5

2 3

Trang 32

3 3

2 3 3 3 23

Trang 34

2

5 2b) lim n 5n 2 lim n 1

Trang 35

CH NGăII:ăHẨMăS ăM TăBI N

§1: KHỄIăNI MăHẨMăM TăBI NăS

1) Khái ni m hƠm s : HƠm s lƠ ánh x f: XY trong đó X ; Y Ta

 Hàm lôgarit: ylog xa v i a 0 vƠ a ≠ 1; x 0

 HƠm l ng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx

Trang 36

 y arccotgx có mi n xác đ nh ( ,  ) vƠ mi n giá tr (0, )

M t khác còn có m i liên h arccotgx arc tgx

Trang 37

§2 :GI IăH NăHẨMăS

1) Gi i h n hƠm s t i m t đi m: Cho hƠm s f(x) xác đ nh trên t p X và

nh n giá tr trên ,x0lƠ m t đi m gi i h n c a t p X

1 nh ngh a : S đ c g i lƠ gi i h n c a hƠm f(x) khi x d n t i x0n u

3 nh ngh a : Ta g i s lƠ gi i h n trái c a hƠm f(x) khi xx00

(ngh a lƠxx0 nh ng luôn bé h n x0) n u    0, 0 sao cho

Trang 38

2) Gi i h n vô t n vƠ gi i h n vô t n

6 nh ngh a : Ta g i s lƠ gi i h n c a hƠm f(x) khi x 

Trang 39

4 nh lỦ 4: Cho hai hƠm f(x) vƠ g(x) cùng xác đ nh trên t p C; f(x) > g(x)

Trang 41

a) 0 < <+  ,thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng b c khi x a

đ c bi t khi = 1 thì f(x) vƠ g(x) lƠ hai VCB (VCL) cùng b c khi x a

lƠ hai VCB (VCL) t ng đ ng khi x a vƠ vi t f(x) g(x) khi x a

b) = 0 thì g(x) g i lƠ VCB (VCL) b c cao h n f(x) khi x a

Trang 43

HƠm s liên t c trong  a, b ,liên t c trên kho ng (a,b) vƠ liên t c ph it i a,

liên t c trái t i b,hay

Trang 44

Chú ý: HƠm c a m t bi u th c toán h c xác đ nh đơu thì liên t c t i đó

III TệNHăCH TăHẨMăLIểNăT C

1) nh lỦ: N u hƠm s f liên t c t i đi n a vƠ f(a) > 0 (hay f(a) < 0) thì t n

t i m t

lân c n c a a đ sao cho v i m i x thu c lơn c n đó thì f(x) > 0(hay f(x) < 0)

2) nh lỦ Bônxanô-Côsi th nh t:N u f(x) xác đ nh,liên t c trên  a, b và

f (a)f (b) Khi đó c (a,b)0   đ f(c) = 0

3) nh lỦ Bônxanô-Côsi th hai: N u f(x) xác đ nh,liên t c trên  a, b và f(a)

= A

f(b) = B,thì C : A     C B c (a,b) : f (c) C

Ch ng minh:Xét hàm g(x) = f(x) - C.Sau đó v n d ng Bônxanô-Côsi th nh t

4) nh lỦ (Vơyestrat th nh t):

HƠm f xác đ nh, liên t c trên  a, b thì b ch n trên đó

Ch ng minh:Gi s hƠm f(x) không b ch n trên  a, b ,khi đó v i m i

 

n

n luôn x  a,b sao cho f (x )n  n

T  xn  a,b   xnk  a,b : xnk x0 a,b và

k k

V y f(x) b ch n trên  a, b

Trang 45

N u hƠm f (x) xác đ nh vƠ liên t c trên  a, b thì liên t c đ u trên đó

Ch ng minh:Gi s hƠm f(x) không liên t c đ u trên  a, b T c lƠ

Trang 46

  thì dƣy con c a dƣy  xn k c ng h i t v x 0

Do f (x) liên t c trên  a, b nên

k k

nlim f (x ) f (x )

ks ks

x ,

ks n

Trang 47

§4: M TăS ăVệăD 1.ăBƠiăt păgi iăh năhƠmăs

Ví d 1: Áp d ng đ nh ngh a tính

2

x 2

3x x 1lim

x 1

x 2x 3lim

Khi đó

Trang 48

f (x ) lim

(x 1)(x 3)lim

12(x 1)(x )

Trang 49

   3/

2 2 x

3x x 1lim

3 x

1V× lim 0

Trang 50

3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3

1x

x

Trang 51

(x 1)(x 1)( 9 5x 2)

9(x 1)( 9 5x 2)

1 =

Trang 52

(x 1)( 5 x 2)1

1 =

Trang 54

Ví d 2:

Ví d 3:

Ví d 4:

Trang 55

Ví d 5:

Trang 56

N u hƠm s có đ o hƠm t i x0thì liên t c t i đó o hƠm c a hƠm s t i m t

đi m lƠ h s góc c a ti p tuy n v i đ ng t i đi m đó

2) o hƠm c a hƠm h p: Gi s u (x)có đ o hƠm t i x và 0

Trang 57

Gi s y = f(x) có đ o hƠm t i x là 0 f (x ) 0 0vƠ lƠ hƠm s có hƠm ng c

x (y).Khi đó đ o hƠm c a x (y)t i y0 f (x )0 là

0

1(y)

Trang 59

§2:VI PHÂN 1) nh ngh a

Trang 60

§3 : OăHẨM VÀ VI PHÂNăC PăCAO

1) nh ngh a các đ o hƠm c p cao:Gi s hƠm f(x) có đ o hƠm h u h n t i

x(a,b)khi đó yf (x) c ng lƠ m t hƠm s vƠ gi s nó c ng có đ o

hƠm,đ c g i lƠ đ o hƠm c p hai kỦ hi u y f (x) hay d y22

Vi phơn c p cao:Gi s dyy dxx lƠ vi phơn c a hƠm f(x) trên (a, b) c ng lƠ

m t hƠm s kh vi, vi phơn c a   x2 x3 xn

Trang 61

nh t(nh nh t) t i m t đi m c trong (a, b).N u f (c) f (c) 0

2 nhălỦăRoll :Gi s hƠm f(x) liên t c trên  a, b vƠ kh vi trong (a,b) ,

f (a)f (b) Khi đó  c (a,b) sao cho f (c) 0

Ch ng minh: Do f(x) liên t c trên  a, b nên đ t giá tr l n nh t M vƠ giá tr

nh nh t m trên đo n đó

 N u M = m thì mf (x)Mf (x)cos ntf (c) 0

 N u M > m,do f(a) = f(b) nên hƠm s không th đ t c hai giá tr t i

hai đ u mút.Nên nó ph i đ t ít nh t m t trong hai giá tr đó t i c (a,b) ,theo Fecma

Định dạng
Số trang	136
Dung lượng	3,15 MB