Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM.. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cá
Trang 1ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Môn thi : TOÁN
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m là số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện : 2 2 3
1 2 2
x x x 4
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình (1 sin x cos 2x)sin x 4 1 cos x
2 Giải bất phương trình : x 2 x 1
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân :
1 2 x 2 x
x 0
1 2e
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2 2
(x, y R)
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3 x y 0 và d2: 3x y Gọi (T) là0 đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 và điểm A có hoành độ dương.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2
x y z
và mặt phẳng (P) : x 2y + z =
0 Gọi C là giao điểm của với (P), M là điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết 2
( 2 ) (1 2 )
z i i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng : 2 2 3
x y z
khoảng cách từ A đến Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Trang 2Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương
Cho số phức z thỏa mãn (1 3 )2
1
i z
i
Tìm môđun của số phức z iz
Bài giải đề thi đại học khối A – 2010 I- Phần chung cho tất cả các thí sinh: ( 7 điểm)
Câu 1: ( 2 điểm)
1) Khi m=1, ta có y = x 3 -2x 2 + 1
+ TXĐ: D= ¡ + xlim y , limx y ,
®- ¥ =- ¥ ®+¥ =+¥
+ Đạo hàm : y’=3x 2 – 4x
0
3
x y
x
é = ê ê
= Û
ê =
ê
Hàm số đồng biến trên(- ¥ ;0) và (4
3;+¥ )Hàm số nghịch biến trên (0 ; 4
3)
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 4
3
x= giá trị cực tiểu của hàm số là ( )4 5
=-Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 giá trị cực đại
của hàm số là y(0) 1=
¢¢= Û = Þ ççè ÷÷ø BBT
y
- ¥
1
5 27
-+¥
(Đồ thị hàm số)
2) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi
Ta có: (x-1)( - x – m) = 0Pt luôn có nghiệm cố định x=1; Vậy, pt y = có 3 nghiệm phân biệt khi - x – m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 (a)
x y
Trang 3Trong đó là nghiệm của pt: - x – m =0
Theo Viet ta có : Thay vào (b) => 1+2m <3 m <1 (c )
Từ (a ) và (c ) => Kết kuận, điều kiện thỏa mãn bài toán:
Câu 2: (2 điểm)
1)
Giải phương trình
1 sinx+cos2x sin
1
x
c
(1)
ĐK : cos x ≠ 0 <=> x ≠ + k , k Z
Phương trình(1) <=> 1 sinx 1 2sin2 sin x os cos xsin
1
1 osx
c c
<=> 2sin2 sinx 2 2sin x cos x osx 1
c c
<=> 2
2sin x sinx 1 osx 0 c <=> osx 02
2sin sinx 1 0
c x
<=>
osx 0 ( ) sinx 1
1 sinx
2
<=>
2
7
2 6
k
Z
2) Giải bất phương trình:
2 1
2x 2x 1 0 2 x x 1 1
0
x x
Trang 4Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương
5 1
2
2
5 1 ( ) 2
x
x
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân
0
2x
x
1 2e
x
2
1
0
Vậy : I 1 1 1 2e
ln
Câu 4 ( 1 điểm) Tính VS.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Diện tích ABCD = a2 và SAMN=
2 8
a
; SBMC=
2 4
a
=>S CDMN =
2 5 8
a
;
Đường cao hình chóp là SH=a 3
Do đó : VSCDMN=1
3SH SCDMN=5 3 3 ( )
24
a dvtt
Kẻ HKSC; Do DM CN DM SNC
=>DM HK, suy ượcđược HK là đường vuôg góc chung
của DM và SC
HC=2 5
5
19
19
a
Câu 5: (1 điểm)
Giải hệ phương trình: 2
y
Điều kiện : 3; 5
PT(1) <=>(4x2 1)x (3 y) 5 2 y (1)
4x 2 3 4x 7 y đặt f(x)=4x22 3 4 x; f’(x) = 0<=> x 1
2
Bảng biến thiên:
2
3 4
3
Trang 59 4 G(x)= (4x2+1)x; h(y) = (3-y) 5 2y
G(x)tăng với x ≤ 3
4 ; h(y)giảm khi
5 2
y
*) x <1
2 g(x)<1 từ (1) h(y)<1 y > 2 7- y
2<3 f(x)<3 x >1/2 (vô lý)
*) x >1
2 h(y)>1 Ta lại có : 3 1
4
x g x
Từ (1) 39
16
h y
Còn có:
=>
Từ bảng biến thiên => (Vô lý)
+) Nếu , thay vào hệ ta được y = 2 Vậy, hệ PT có nghiệm:
1 2 2
x y
II- Phần riêng ( 3 điểm)
A- Theo chương trình chuẩn:
Câu 5a: ( 2 điểm)
1) Đặt tọa độ A ,a 3 ;a B b , 3 ;b C c , 3c Các vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là : u 1 1, 3 ; u2 1, 3
Vì AB u2
1 3
b a
<=> b = 2a (1) vuông tại B => AC là đường kính của (T) và d1 là tiếp tuyến của (T) nên ACu1
c = -2a (2)
Vì = 0 => c = 4b =>A(-2b,
= 3
2 =>
Vậy A( , ); B(- , ); C(- , ); Gọi I(x,y) là tâm (T)
AC là đường kính => IA = IB = IC
Trang 6Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương
2
IA x y IB x y IC x y
Suy được :
3 6 3 2
x y
và kết luận phương trình đường tròn (T) :
1
2)
Ta có: C (-1;-1;-1) , gọi M (1+2t; t; -2-t)
Vậy, có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán: và M2( -3; -2; 0)
Do đó: = d( ; (P)) = 1
5.
Câu 6a: (1 điểm) Tìm phần ảo số phức z biết
Phần ảo :
B- Theo chương trình nâng cao:
Câu 5b: ( 2 điểm)
1 ) Gọi m là hoành độ của M ta có: M(m;4-m) là trung điểm của AB.
Gọi n là hoành độ của N ta có : N(n;4-n) là trung điểm của AC
B(2m-6 ;-2m+2), C(2n-6 ;-2n+2) uuurAB(2m-12 ;-2m-4) và CEuur
(7-2n ;-5+2n)
Còn có uuurAB ^ CEuur ABuuur.CEuur
=0 mn-2n-3m+8=0 (1)
Ta có : uuurAM
(m-6 ;-m-2) ,uuurAN(n-6 ;-n-2) Mặt khác : = <=> 0(2)
4(3)
ê
ê + =
m n
ì = ïï
Û íï
ïî
Từ (1) và (3) ta có : 4
m n
ì + = ïï
Û íï
ïî
0 4
m n
ì = ïï
Û íï =
1
m n
ì = ïï
Û íï = ïî Vậy B(-6 ;2) và C(2 ;-6) Hoặc B(0 ;-4) và C(-4 ;0)
2)
Ta có: B(-2,2,-3) A(0;0;-2) là véc tơ chỉ phương của
17
BA u
h d A
u
Mặt cầu tâm A:
= 25 => R = 5 Phương trình mặt cầu :
Trang 7Câu 6b (1 điểm)
Cho số phức x thõa mãn : ; Tìm môdun của số phức:
3
1
4 4
i
Z = -4 + 4i i*Z = -4 i – 4 Z iZ 8 8i
Do đó : Z iZ 82 82 8 2
