Bài viết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, bài viết đưa ra cách tiếp cận khác đối với các câu hỏi khác nhau về hình học giải tích trên mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán, cũng như đề thi học sinh giỏi về hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức.
Trang 1SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN VÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
HV Phạm Hoài Trung
TS Trần Lê Nam
Tóm tắt Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình
học phẳng theo ngôn ngữ số phức Từ đó, bài viết đưa ra cách tiếp cận khác đối với các câu hỏi khác nhau về hình học giải tích trên mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán, cũng như đề thi học sinh giỏi về hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức
1 Mở đầu
Từ thế kỉ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số mà số phức đã xuất hiện Số phức kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Vật lí và Toán học Riêng về khía cạnh Toán học, số phức cung cấp công cụ hiệu quả để giải một số dạng toán đại
số, giải tích, hình học và tổ hợp (xem [4])
Trên thực tế, trong các kì thi học sinh quốc gia, Olympic quốc tế có khá nhiều bài toán liên quan đến số phức Dùng số phức ta cũng có thể tìm được lời giải khá tự nhiên và hữu hiệu (xem [4]) Chính vì vậy, chúng tôi nghĩ đến việc ứng dụng số phức vào giải các bài toán hình học giải tích và hình học phẳng
Câu hình học giải tích phẳng trong đề thi tuyển sinh Đại học các năm gần đây thuộc dạng câu hỏi phân loại học sinh khá, giỏi Vì vậy, có khá nhiều học sinh không giải được câu này Bài viết sẽ giới thiệu sự thể hiện của một số khái niệm trong hình học giải tích phẳng theo ngôn ngữ số phức Từ đó, chúng tôi áp dụng vào giải các bài tập ở dạng toán này Đồng thời, chúng tôi tiếp cận thêm với đề thi học sinh giỏi môn Toán học
2 Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta đã biết rằng nhờ song ánh 2
f R C a b a bi
nên mỗi điểm
,
M a b
trên mặt Oxy được đồng nhất với một số phức z M a bi. Theo cách đồng
nhất đó thì véc-tơ OM có tọa độ (hay tọa vị) là z M (Hình 1) Nói cách khác, véc-tơ
,
a a b
cũng được đồng nhất với số phức z a a bi. Khi đó, các phép cộng, trừ hai véc-tơ, nhân một số thực với một véc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phức tương
ứng Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ được tính theo công thức
2
Đặc biệt, độ dài của a được tính theo công thức a z z a .a
Trang 2Hình 1: Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phức
2.1 Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng ABvà CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi
2.2 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳngAB khi và chỉ khi
2
M
2.3 Phương trình của đường thẳng
Giả sử d là đường thẳng qua điểm A nhận a 0 làm véc-tơ chỉ phương Điểm M nằm trên đường thẳng d
khi và chỉ khi AM ta t, R. Điều này tương
đương với đẳng thức
t
Do đó, đường thẳng d
có phương trình dạng
: A M A
d
Lý luận tương tự, chúng ta được đường thẳng d
qua điểm A nhận n làm 0 véc-tơ pháp tuyến có phương trình dạng
' : A M A
d
2.4 Phương trình chính tắc của đường tròn
Do khoảng cách giữa hai điểm A và B, ký hiệu dA B, ,
bằng AB nên
chúng ta được
d A B, z B z A z Bz A
Từ đó, chúng ta suy ra đường tròn tâm A, bán kính R có phương trình dạng 0
zz zz R
Trang 33 Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng trong đề thi tuyển sinh đại học môn Toán và đề thi học sinh giỏi
Bài 1 (Tuyển sinh khối A năm 2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có I(6, 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm
(1;5)
M thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
:x y 5 0.
Viết phương trình đường thẳng AB.
Chuyển giả thuyết bài toán sang mặt phẳng phức
1 5 ;
M i I 6 2 ;i : (1 i z) (1 i z) 10.
Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức cho hình chữ nhật ABCD có
6 2
I i là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M 1 5i thuộc đường
thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
: (1 i z) (1 i z) 10.
Viết phương trình đường thẳng AB
Giải
Gọi N là điểm đối xứng với M qua I , ta suy ra
được N thuộc đường thẳng CD và tọa độ của
N IM i Vì E nên E 5 5i iE.
Hơn thế nữa, vì đường thẳng EI vuông góc với
đường thẳng EN nên ta suy ra được
Hình 2
.
E I E N
E I E N
Từ đó, ta có phương trình
7 2
Với E 6 i ta được IE 3 i
Phương trình đường thẳng AB z: z 10 i Khi đóAB y : 5 0.
• Với E 7 2i ta được IE 1 4 i
Phương trình đường thẳng AB: (1 4 ) i z (1 4 )i z 38. Khi đó
: 4 19 0.
AB x y
Bài 2 (Tuyển sinh khối A năm 2010) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh
AB và AC có phương trình x y 4 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm
(1; 3)
E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho
Trang 4Chuyển giả thuyết bài toán sang mặt phẳng phức
Gọi :x y 4 0 và H là trung điểm của BC. Khi đó,
6 6 ;
A i E 1 3 ;i : (1 i z) (1 i z) 8.
Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức, cho tam giác ABC cân tại
A có đỉnh A 6 6 ;i đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương
trình : (1i z) (1 i z) 8. Tìm tọa độ các đỉnh B và C,biết điểm E 1 3i nằm trên
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho
Giải
Phương trình đường thẳng AH
: (1 ) (1 ) 0.
AH i z i z
Gọi I là giao điểm của AH và Khi
đó, I là trung điểm của AH và tọa độ của I
là nghiệm của hệ phương trình
Hình 3
(1 ) (1 ) 0
2 2 (1 ) (1 ) 8
Vậy, I 2 2 i Vì H đối xứng với A qua I nên H2I A 2 2 i
Phương trình đường thẳng BC: (1 i z) (1 i z) 8.
Vì BBC nên B 4 4i iB. Do C đối xứng với B qua H nên C iB.
Chúng ta suy ra được C 4 4i B
Do đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CE nên ta được:
A B C E
A B C E
hay (A B C )( E) ( CE C)( D) 0.
Từ đó ta có phương trình
4
• Với B 6 2 ,i suy ra C 2 6 i
• Với B 4 ,i suy ra C 4.
Vậy, B( 6; 2), (2; 6) C hoặc B(0; 4), ( 4; 0) C
Bài 3 (Tuyển sinh khối A năm 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, N là điểm thuộc AC sao cho AN3NC. Viết
phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N(2; 1).
Trang 5Chuyển giả thuyết bài toán sang mặt phẳng phức
Chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức cho cho hình vuông ABCD có M
là trung điểm AB, N là điểm thuộc AC sao cho AN3NC. Viết phương trình đường
thẳng CD biết M 1 2i và N 2 i
Giải
Gọi F là giao điểm của MN và CD. Giả sử
, ,
F x yi x y R Ta có NM 1 3 ,i
2 ( 1)
NF x y i và
1 3
FC NC NF
MA NA MN
Vì NM 3NF nên
7
2 3
F i
Hình 4
Xét hai tam giác MEF và DCP, chúng ta có
90
Do đó EMF CDP và EMF NDF 90EFN hay NDFEFN 9 0
Từ đó, chúng ta được DNMF.
Phương trình đường thẳng DN: (1 3 ) i z (1 3 )i z 10.
Vì NDMN 10 nên D là giao của đường tròn N ND;
và đường thẳng
DN Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình
( 2 )( 2 ) 10 (1 3 ) (1 3 ) 10
Hệ trên tương đương với
(2 ) (2 ) 5 (1 3 ) (1 3 ) 10
Suy ra
4 3
5
5 5
z
Vậy D 1 2i hoặc D 5
• Với D 1 2i ta có
10 3
DF
Phương trình CD z: z 4 i Khi đó CD y : 20.
Trang 6• Với D 5 ta có
8
2 (4 3 ).
2
DF i i
Phương trình CD: (4 3 ) i z (4 3 )i z 30 i Khi đó CD: 3x 4y 15 0.
Bài 4 (MOP 1995) Cho BB1 và CC1 là hai đường cao của ABC và ABAC
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm của ABC và D là giao điểm của BC
và B C1 1. Chứng minh rằng DH AM.
Giải
Trong bài này, chúng ta ký hiệu chữ cái thường là tọa vị của chữ cái in hoa Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
là đường tròn đơn vị Từ đó a a b b c c 1.
Vì b c1, 1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,
,
C m là trung điểm BC và H là trực tâm tam giác
ABC nên ta có:
1
1
.
.
2
ac
b a b c acb a b c
b ab
c a b c abc a b c
c
b c
Hình 5
Phương trình đường thẳng (bc) :zbcz b c. Vì d (bc) nên d b c bc d.
Theo đề bài b c1, 1 và d cộng tuyến nên ta có:
2
a
Suy ra
2
a b b d d
a
Do đó
2
2
d
Để chứng minh (dh)(am) ta sẽ chứng minh
.
d h m a
d h m a
Thật vậy, ta có:
Do đó, ta được điều phải chứng minh
Trang 73 Kết luận
Qua bài viết trên chúng tôi đã thực hiện được:
Giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ của
số phức
Sử dụng số phức giải câu hình học tọa độ trong mặt phẳng các đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối A năm 2009, năm 2010, năm 2014 và đề thi học sinh giỏi
MOP năm 1995
Tài liệu tham khảo
[1] Bộ giáo dục và Đào tạo (2009), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối A
[2] Bộ giáo dục và Đào tạo (2010), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối A
[3] Bộ giáo dục và Đào tạo (2014), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối AA1
[4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn
Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý và
áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội