Tương tự hóa, các biện pháp khai thác và sử dụng tương tự hóa trong dạy học HHKG lớp 11 THPT

Trong chương trình Toán THPT thì môn Hình học không gian HHKG với đặc thù riêng có của bộ môn , ta cần chú ý để có thể khai thác các đặc thù riêng của HHKG như một lợi thế giúp nâng cao

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

TƯƠNG TỰ HÓA, CÁC BIỆN PHÁP KHAI THÁC VÀ

SỬ DỤNG TƯƠNG TỰ HÓA TRONG DẠY HỌC

LỜI MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn học đòi hỏi ở người học sự suy luận lôgic , linh hoạt và chính xác Chính vì thế, trong quá trình dạy học Toán thì việc hình thành rèn luyện các phép suy luận như : khái quát hóa, đặc biệt hóa, phân tích, so sánh, tổng hợp,… cho học sinh là vô cùng cần thiết Bởi vì quá trình trang bị các phép suy luận , giúp học sinh nắm vững và đào sâu kiến thức, góp phần phát triển tư duy, khả năng suy luận lôgic cho học sinh Điều này không chỉ tốt cho quá trình học Toán của học sinh mà còn rất hữu ích cho việc học các môn học khác khi các

em ngồi ở ghế nhà trường và cuộc sống tương lai

Trong chương trình Toán THPT thì môn Hình học không gian (HHKG) với đặc thù riêng có của bộ môn , ta cần chú ý để có thể khai thác các đặc thù riêng của HHKG như một lợi thế giúp nâng cao chất lượng dạy HHKG và phát triển tư duy, trí tưởng tượng không gian cho học sinh Tuy nhiên HHKG cũng là một trong các phân môn học khó , với đặc trưng bộ môn : HHKG có tính trừu tượng cao , đòi hỏi ở người học phải có trí tưởng tượng không gian phong phú và suy luận lôgic cao Điều đó gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình tiếp thu nội dung , hình thành kỹ năng học tập cũng như khả năng vận dụng kiến thức HHKG vào trong quá trình học tập các bộ môn khác và đời sống xã hội sau này Vì thế trong quá trình dạy học HHKG bên cạnh chú ý hình thành các thao tác tư duy khác, cần chú ý hình thành các phép suy luận , kỹ năng vận dụng các phép suy luận để giúp cho học sinh để học tốt HHKG Trong đó khai thác và vận dụng phép tương tự vào quá trình dạy học HHKG sẽ giúp học sinh có khả năng khai thác kế thừa các kiến thức , kỹ năng HHP vào quá trình hình thành các kiến thức , kỹ năng mới của HHKG , sớm vượt qua được những khó khăn để học tốt HHKG

Với những lý do như trên em xin chọn đề tài: “Tương tự hóa, các biện

pháp khai thác và sử dụng tương tự hóa trong dạy học HHKG lớp 11 THPT”

để làm luận văn tốt nghiệp

II Mục tiêu của đề tài:

Tìm hiểu về phép suy luận tương tự hóa, các loại tương tự hóa, vai trò và tác dụng của phép suy luận tương tự trong dạy học HHKG và ứng dụng phép tương tự trong dạy học HHKG

III Phương pháp nghiên cứu:

- Tìm hiểu về suy luận, các loại suy luận Suy luận tương tự

- Nghiên cứu nội dung HHKG lớp 11 (chương trình nâng cao) , trong đó chú trọng nghiên cứu hệ thống bài tập HHKG lớp 11 - có khai thác phép tương tự nâng cao chất lượng dạy học HHKG

IV Nội dung của đề tài

A Cơ sở lý luận:

1 Suy Luận và một số phép suy luận trong toán học:

a Suy luận : Suy luận là một quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề rút

ra mệnh đề mới Mỗi mệnh đề đã có gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới gọi

là kết luận hay hệ quả của suy luận

b Hai loại suy luận : Có hai loại suy luận đó là suy diễn và qui nạp ( hay còn

gọi là suy đoán )

Qui nạp:là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung , từ cái ít

tổng quát đến cái tổng quát hơn

Suy diễn : là suy luận hợp lôgic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái

riêng , từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát hơn

2 Tương tự hóa

2.1 Tương tự và các loại tương tự

2.1.1 Khái niệm về suy luận tương tự:

Suy luận tương tự là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng

đó Kết luận của phép tương tự chỉ có tính chất ước đoán

Cũng như mọi hình thức suy luận logic, tương tự không phải là kết quả của việc xây dựng tùy tiện, nó được hình thành trong quá trình hoạt động thực tiễn

của con người Trong quá trình ấy, con người nhận thức rằng, mỗi sự vật và hiện tượng là một hệ thống hoàn chỉnh các dấu hiệu liên hệ qua lại với nhau Các dấu hiệu đó không tồn tại biệt lập mà nằm trong mối liên hệ tất yếu bên trong Nếu giải thích được các mối liên hệ cơ bản, sâu sắc giữa các dấu hiệu riêng biệt tác động qua lại với nhau thì có thể chuyển từ sự hiểu biết các dấu hiệu của một đối tượng sang sự hiểu biết các dấu hiệu của đối tượng khác trong quan hệ giống nhau nào đó với đối tượng đầu tiên

Ví dụ: Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e

Đối tượng A có thuộc tính f

Có thể đối tượng B cũng có thuộc tính f

2.1.2 Các loại tương tự:

Căn cứ vào dấu hiệu được rút ra trong kết luận về thuộc tính hay trong quan hệ

người ta chia tương tự thành hai loại:

-`Tương tự theo thuộc tính

- Tương tự theo quan hệ

2.1.3 Giá trị nhận thức của tương tự:

- Tương tự có vai trò to lớn trong hoạt động thực tiễn, tương tự được xem là phương tiện cụ thể hóa và khái quát hóa, tương tự được xem như thủ thuật bổ trợ,

là một trong những phương pháp của kho tàng phương pháp nhận thức

2.1.4 Các qui tắc để nâng cao xác xuất của kết luận theo tương tự

- Các dấu hiệu so sánh càng có nhiều dấu hiệu chung thì mức độ xác xuất của kết luận càng cao Vì sự giống nhau ngẫu nhiên của các đối tượng so sánh có thể gặp

ở một vài dấu hiệu

- Các dấu hiệu chung càng phong phú thì mức độ xác xuất của kết luận càng cao

Vì các sự vật so sánh được xem xét đầy đủ hơn, ít gặp phải dấu hiệu bên ngoài, không bản chất, ngẫu nhiên

- Dấu hiệu bản chất càng nhiều thì mức độ xác xuất của kết luận càng cao Vì sẽ phát hiện được chính xác mối liên hệ có tính quy luật của các sự vật hiện tượng của thế giới khách quan

Tuy kết luận của tương tự là xác xuất nhưng không được tuyệt đối hóa đặc trưng của xác xuất ấy Dựa vào tương tự người ta đã rút ra được nhiều luận điểm khoa học rất gần với chân lí

2.2 Suy luận tương tự trong toán học

2.2.1 Trong toán học người ta thường xét đến vấn đề tương tự trên các khía

tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau

Ví dụ 1: Đường thẳng trong HHP là tương tự với mặt phẳng trong HHKG Vì

đường thẳng là đường đơn giản nhất trong HHP, vai trò của nó giống như mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trong không gian Có một số định lý vẫn còn đúng nếu ta thay từ “đường thẳng” bằng từ “mặt phẳng” và ngược lại Chẳng hạn, định

lý “Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”, nếu ta thay từ “đường thẳng” bởi từ “mặt phẳng” thì ta sẽ có được một định lý quen thuộc trong HHKG

Ví dụ 2: Hình chữ nhật là tương tự với hình hộp chữ nhật vì những quan hệ giữa

các cạnh trong hình chữ nhật giống như những quan hệ giữa các mặt của hình hộp chữ nhật Ta có thể phát biểu một mệnh đề cho cả hai hình: “Mỗi phần tử biên chỉ song song với một phần tử biên khác và bằng phần tử đó; còn vuông góc với các phần tử biên còn lại” Phần tử biên là cạnh nếu là hình chữ nhật, là mặt nếu là hình hộp chữ nhật

2.2.2 Vai trò của tương tự trong toán học:

Toán học là một môn khoa học suy diễn Những vấn đề Toán học được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm những suy luận diễn dịch Nhưng trong quá trình phát minh, sáng tạo Toán học, suy diễn được gắn với quy nạp và

tương tự Thường phải dùng quy nạp và tương tự để đề ra giả thuyết, dự đoán về một định lý, về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết

Phép tương tự đóng một vai trò quan trọng trong bước đầu hình thành kiến thức Toán học Có nhiều lý thuyết Toán học được phát sinh trên cơ sở một phép tương tự; chẳng hạn khái niệm không gian n-chiều từ khái niệm không gian 2 chiều, 3 chiều; hay khái niệm hàm số biến phức từ khái niệm hàm số biến số thực,…

Về mặt phương pháp giảng dạy Toán học ở THPT, phép tương tự giúp học sinh tìm tòi, phát huy sáng kiến, giúp chọn phương pháp chứng minh, giúp thấy được sự liên hệ giữa các kiến thức, giúp tổng kết vấn đề Ví dụ, khi học ba trường hợp đồng dạng của tam giác, học sinh thường liên tưởng và thấy tương tự với các trường hợp bằng nhau của tam giác Đặc biệt, HHKG có nhiều định lý và phương pháp chứng minh các định lý đó tương tự với các định lý trong HHP Trong quá trình giải toán, nếu học sinh gặp một bài toán có cách giải quyết tương tự như một bài toán mà họ đã từng làm thì bài toán đó sẽ được giải quyết một cách nhanh chóng hơn Hoặc là trong một bài giải toán, nếu có những chứng minh tương tự thì học sinh không phải lặp lại lí luận trước, mà có thể trình bày rút gọn: “Tương tự như vậy ta chứng minh được (hay ta có)…”

Hoặc nhiều khi, bằng phép tương tự, từ một bài toán đã có ta có thể đề ra được nhiều bài toán mới Ví dụ từ bài toán: “Nếu trên các cạnh của một tam giác bất

kỳ, về phía ngoài của nó ta dựng các tam giác đều thì tâm của tam giác đều này

là đỉnh của một tam giác đều”, ta đề ra được bài toán tương tự: “Nếu trên các cạnh của một hình bình hành về phía ngoài của nó ta dựng các hình vuông thì tâm của các hình vuông này là đỉnh của một hình vuông”

Từ định lý ta-go trong mặt phẳng ta đề ra và chứng minh được định lý ta-go trong không gian: “Trong một hình tứ diện có một góc tam diện vuông ở đỉnh O Gọi S là diện tích của mặt đối diện đỉnh O và A, B, C là diện tích của ba mặt xuất phát từ O thì 2 2 2 2

Py-S  A B C ”

Dựa vào tiên đề Ơ-clit trong mặt phẳng: “Qua một điểm nằm ngoài một

đường thẳng có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó” Ta

có thể chứng minh được các tính chất sau trong không gian:

+ Tính chất 1: “Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có

một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó”

+ Tính chất 2: “Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”

Tuy nhiên, ta cũng cần lưu ý rằng kết luận của phép tương tự chỉ mang tính ước đoán, có thể đưa đến giải quyết sai lầm, cần phải luôn luôn kiểm tra lại, ngăn ngừa những suy luận máy móc thường mắc phải

Trong lịch sử Toán học cũng có nhiều nhà Toán học gặp phải những sai lầm về phép tương tự; ví dụ như Ơ-le đã suy rộng bằng phép tương tự quy tắc

b c b

 (!) ;

2 2

a b  a b (!) ; log(a b  ) loga logb (!);

Các sai lầm trên thường xuất phát ở chỗ học sinh lầm tưởng các biến đổi trên cũng tương tự như các phép biến đổi sau:

a b  a b; log( )a b  loga logb;

Hơn nữa suy luận tương tự gắn bó chặt chẽ với các phép suy luận khác trong toán học

2.2.3 Quan hệ của tương tự với các phép suy luận khác :

Một số phép suy luận toán học thường dùng: phép quy nạp, phép tương tự, phép đặc biệt hóa, khái quát hóa,…

Các phép suy luận quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa,… là những phép suy luận

thức, đề nêu lên giả thuyết Trong học tập,trong nghiên cứu, trong sáng tạo toán học các phép suy luận thực nghiệm thường được sử dụng gắn bó với nhau

Phép quy nạp phát hiện ra các quy luật và các liên hệ ẩn giấu dằng sau các hiện tượng nhận xét được bề ngoài Về mặt đó, phép khái quát chính là phép quy nạp không hoàn toàn nhưng phép khái quát khác với phép quy nạp không hoàn toàn ở chỗ: phép quy nạp không hoàn toàn đi từ một số trường hợp riêng để rút ra quy luật chung cho mọi trường hợp, còn phép khái quát, thì đi từ một đối tượng sang nhóm đối tượng có chứa đối tượng đó Hơn nữa, phép quy nạp không hoàn toàn đi từ một số đối tượng để rút ra kết luận chung cho tập hợp có chứa các đối tượng đó và các phần tử của tập hợp giống đối tượng đó, còn phép khái quát đi từ một nhóm hẹp đối tượng này sang nhóm đối tượng quan trọng hơn và bao hàm nhóm đối tượng đó Trong quá trình thực hiện phép quy nạp không hoàn toàn hay phép quy nạp hoàn toàn thì ta đã đi từ cá biệt này đến cá biệt khác, phép tương tự cũng lặp đi lặp lại nhiều lần, cuối cùng là phép khái quát và rút ra kết luận Vì vậy, người ta thường nói, phương tiện của phép quy nạp là phép cá biệt, phép tương tự và phép khái quát Ngược lại, thực hiện một phép khái quát ta, đã dùng

đến phép quy nạp (đi từ một trường hợp riêng đến trường hợp chung) Phép quy

nạp đi từ trường hợp riêng này đến trường hợp riêng khác cuối cùng đến trường hợp chung Thế thì “phép tương tự cũng đã dùng phép quy nạp” (P.M.Ecdonhiep), vì phép tương tự cũng đi từ trường hợp riêng này đến trường hợp riêng khác Còn phép cá biệt có tác dụng kiểm nghiệm lại kết luận của phép khái quát và phép quy nạp

Tương tự hóa với khái quát hóa và đặc biệt hóa

Ở đây chỉ xét những phép tương tự chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của một cái tổng quát Ví dụ xét các mệnh đề sau: (a) Tổng của hai số dương luôn lớn hơn mỗi số hạng

(b) Tổng của ba số dương luôn luôn lớn hơn mỗi số hạng

(c) Tổng của n số dương luôn luôn lớn hơn mỗi số hạng

Việc chuyển từ (a) hoặc (b) sang (c) là khái quát hóa; còn việc chuyển từ (a) sang (b) hoặc ngược lại là phép tương tự Phép tương tự theo nghĩa ở đây rất gần gũi với khái quát hóa Phép tương tự có thể coi là tiền thân của khái quát hóa, bởi vì việc chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác của một cái tổng quát là một bước để đi tới bất kỳ trường hợp riêng nào khác của cái tổng quát đó Nhiều khi ta đã có một sự hình dung nhất định về một cái chung nhưng chưa có sự hiểu biết đầy đủ về nó mà chỉ có thể đưa ra những trường hợp riêng lẻ coi như đại biểu của cái chung Vì thế trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể coi sự thực hiện phép tương tự là biểu hiện của khái quát hóa

Khai thác mối liên hệ giữa tương tự và khái quát hóa trong nhiều trường hợp ta

có thể sử dụng phép tương tự như là tiền thân của phép khái quát hóa, coi như là

sự biểu hiện của khái quát hóa, cho tới khi nào ta nhận thức được cái tổng quát một cách đầy đủ

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa thường kết hợp một cách tự nhiên với nhau trong quá trình giải quyết những vấn đề Toán học Có thể là sẽ không

có một phát minh nào trong Toán học sơ cấp cũng như cao cấp hay bất kỳ một lĩnh vực nào, nếu ta không dùng những phép suy luận đó Từ một trường hợp riêng bằng khái quát hóa có thể tiến lên một tình huống tổng quát hơn và từ đó bằng đặc biệt hóa , ta trở về lại một trường hợp tương tự

Ví dụ: Trong giảng dạy định lí: “Đường thẳng song song với một cạnh của

tam giác tạo thành với hai cạnh kia một tam giác thứ hai có độ dài ba cạnh tỉ lệ với độ dài ba cạnh của tam giác thứ nhất.”

Để chứng minh định lí này, ta phải xét ba trường hợp: đường thẳng ở trong tam giác, đường thẳng ở dưới tam giác và đường thẳng ở trên tam giác Đầu tiên

ta đã dùng phép cá biệt (đặc biệt hóa), sau đó áp dụng phép tương tự sau đó là khái quát và kết luận đúng cho mọi trường hợp.Một trường hợp tổng quát có thể tương đương về mặt logic với một trường hợp đặc biệt

B Một số liên hệ giữa HHP và HHKG

HHP và HHKG có những điểm tương tự vì chúng là các môn hình học nghiên cứu những bất biến Ơclit (đối với nhóm các phép dời hình) Chẳng hạn như: đường thẳng là 1-phẳng trong không gian 2 chiều, mặt phẳng là 2-phẳng trong không gian 3 chiều, và đoạn thẳng, tam giác, tứ diện đều là các đơn hình trong hình học Aphin

Trong quá trình dạy học ở phổ thông khi chuyển việc nghiên cứu HHP sang HHKG thường nảy sinh việc so sánh giữa những hình trong mặt phẳng với các hình trong không gian Từ khái niệm , bài tập phẳng ta có thể mở rộng cho lý thuyết và bài tập tương tự trong không gian Chẳng hạn các khái niệm và tính chất tương tự nhau giữa HHP và HHKG sau đây :

trọng tâm của tam giác trọng tâm của tứ diện

trung tuyến của tam giác trung tuyến của tứ diện (trọng

tuyến của tứ diện )

đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

đường tròn nội tiếp tam giác mặt cầu nội tiếp tứ diện

đường phân giác của góc mặt phẳng phân giác của nhị diện

Hơn nữa ta có một tính chất thừa nhận trong HHKG

Tính chất thừa nhận số 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của HHP

C Vận dụng suy luận tương tự trong dạy học HHKG trong trường trung học phổ thông (THPT)

1 Những yêu cầu về dạy học HHKG

Đối với Giáo viên:

- HHKG là một môn học trừu tượng nên dạy học hình vẽ HHKG là rất quan trọng, nó giúp ta dễ dàng tưởng tượng hình HHKG, giải bài toán dễ hơn Vì thế tập cho học sinh vẽ hình là điều cần thiết, trước hết khi dạy hình vẽ HHKG thì Giáo viên vẽ không chỉ chính xác mà khi vẽ hình cần hướng dẫn và giải thích cách vẽ hình vẽ HHKG nhằm giúp học sinh tiếp thu để vẽ được HHKG

- Tăng cường vấn đáp giúp Học sinh hiểu rõ các khái niệm, tính chất Cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của học sinh, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức Rèn luyện cho học sinh thói quen, kỉ luật trong việc thực hiện giải toán thông qua việc luyện tập

- Thường xuyên trao dồi kiến thức tìm phương pháp giảng dạy phù hợp nhất

- Sử dụng đồ dùng dạy học hợp lý như các mô hình không gian, các phần mền giảng dạy như Sketchpad, Cabir, Geogebra,… để trực quan hóa Hình không gian giúp học sinh dễ tưởng tượng hơn

- Luôn tạo tình huống có vấn đề để kích thích hứng thú học tập cho Học sinh Tạo tâm thế hứng thú , thúc đẩy tính tích cực tư duy ở học sinh

- HHKG đòi hỏi sự liên tưởng giữa những điều đã biết trong HHP để tiếp cận những cái tương tự trong hình không gian

- Cho học sinh thấy được ứng dụng của lý thuyết vào bài tập

- Đặt câu hỏi mở đối phù hợp với đối tượng học sinh, khi giải một bài toán HHKG nên đặt câu hỏi như: Bài này đã gặp ở đâu chưa? có tương tự bài toán nào trong hình phẳng không ? có thể phân tích bài toán cần giải thành nhiều bài toán nhỏ để giải tìm lời giải của không ?

Đối với Học sinh:

- Cần nắm vững Lý thuyết: các định lí, tính chất ,…Điều này vô cùng quan trọng cho việc làm bài tập Vận dụng lý thuyết vào bài tập, hình thành kĩ năng để giải các bài tập HHKG

- Biết cách vẽ hình: hình vẽ chính xác, trực quan , đẹp và thuận tiện giúp cho việc hình thành trí tưởng tượng không gian ở học sinh

- Luôn luôn tìm và liên hệ với thực tế tìm các mô hình giúp học sinh tập tưởng tượng và hình dung một hình HHKG

- Luyện tập phân tích một bài toán HHKG Vận dụng các qui trình hay phương pháp giải các bài toán không gian vào các bài tập cụ thể

2 Nội dung HHKG – Hình học lớp 11 THPT( chương trình nâng cao)

- Đường thẳng và mặt phẳng song song trong không gian – Quan hệ song song + Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

+ Hai đường thẳng song song

+ Đường thẳng song song với mặt phẳng

+ Hai mặt phẳng song song

+ Phép chiếu song song

- Vectơ trong không gian – Quan hệ vuông góc

+ Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các Vectơ

+ Hai đường thẳng vuông góc

+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+ Hai mặt phẳng vuông góc

+ Khoảng cách

Một số dạng toán thường gặp trong HHKG ở THPT

- Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng, tìm giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của một đường thẳng với mặt phẳng

- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt pshẳng

- Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

- Chứng minh một số tính chất của hình chóp và hình lăng trụ

- Chứng minh đường thẳng song song (vuông góc, cắt nhau, chéo nhau) với đường thẳng; đường thẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng; mặt phẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng

- Chứng minh một số đẳng thức vectơ

- Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng, giữa một điểm và một đường thẳng, giữa một điểm và một mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

- Tìm tập hợp điểm

3 Một số khó khăn của học sinh trong khi học HHKG

Tình hình chung hiện nay là ngại học HHKG, chất lượng nhìn chung là chưa đạt yêu cầu Một số khó khăn cụ thể như:

- Không tìm được lời giải bài toán

- Trình bày lời giải bài toán thiếu logic

- Thiếu tính linh hoạt, sáng tạo trong khi giải toán

Chủ yếu xuất phát từ những nguyên nhân sau:

Nguyên nhân khách quan:

Bộ môn HHKG là một bộ môn khó Tuy đối tượng của bộ môn là những hình không gian quen thuộc, điều này là một thuận lợi cần khai thác để hỗ trợ cho trí tưởng tượng không gian cho học sinh, song nội dung bộ môn được xây dựng theo phương pháp tiên đề, hệ tiên đề đưa ra chưa đầy đủ, suy luận còn có phần dựa vào trực giác Nhìn chung quá trình chứng minh cần đảm bảo tính chặt chẽ, các suy luận chứng minh cần có căn cứ Đây là một điều khó khăn đối với học sinh để nắm vững bộ môn Nghĩa là không những phải hiểu, nhớ lý thuyết

mà còn phải biết các phương pháp giải toán hình, vận dụng lý thuyết để giải các bài toán hình không gian ở một mức độ nhất định phù hợp với mục đích chương

trình

Mặc khác HHKG là một bộ môn phong phú sinh động mang nhiều tính sáng tạo, học sinh cần được giúp đỡ nhiều về mặt tưởng tượng không gian, óc phán đoán và những suy luận có lý (các phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa , đặc biệt hóa,…) Hơn nữa, các kiến thức trong chương trình chỉ được học

một lần, nội dung nhiều mà thời gian thì ít, điều kiện để học sinh nắm và khắc sâu kiến thức là vô cùng khó khăn Do đó tình trạng học sinh học lướt, học vẹt là khá phổ biến, không rèn luyện được tư duy suy luận cũng như kỹ năng giải toán

Nguyên nhân chủ quan:

Do đặc thù của bộ môn mang tính trừu tượng cao nên đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng không gian tốt Học sinh lại quen với HHP nên khi học các khái niệm của HHKG hay nhầm lẫn chưa biết vận dụng các kiến thức HHP cho HHKG

Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như một số em chưa xác định đúng động

cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đưa ra Cũng có thể do các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh,…

Chính vì thế trong quá trình giảng dạy cần chú ý rèn luyện tư duy logic cho học sinh, các suy luận phải có căn cứ chính xác; bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh, học sinh cần có ý thức và thói quen liên hệ thực tế; hệ thống hóa kiến thức, luyện tập kết hợp các phương pháp suy luận một cách linh hoạt để suy luận logic hơn,…

4 Một số biện pháp vận dụng tương tự hóa trong dạy học HHKG ở THPT

Từ những nội dung HHKG, yêu cầu dạy học, cũng như những khó khăn

và các biện pháp sư phạm cần có , nhằm dạy học tốt các kiến thức HHKG Trong nội dung này ta tập trung vào việc vận dụng tương tự hóa trong day học HHKG , xem là một biện pháp cần triệt để khai thác và sử dụng Sau đây là một

số giải pháp

4.1 Hướng dẫn học sinh tìm những dấu hiệu tương tự giữa các khái niệm, tính chất, định lý trong HHP và HHKG

Mục đích: Giúp học sinh tìm ra những dấu hiệu tương tự giữa các khái niệm

và tính chất trong HHP và HHKG, nhằm học tốt nội dung kiến thức HHKG , tạo tiền đề vận dụng lý thuyết HHKG vào bài toán HHKG

Sau đây là một số ví dụ về sử dụng các dấu hiệu tương tự giữa các khái niệm trong HHP và HHKG để dạy học các kiến thức ban đầu về HHKG

Ví dụ 1: Ta có tiên đề Ơ-clit trong mặt phẳng: “Qua một điểm nằm ngoài một

đường thẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với đường thẳng đó”

Ta cũng có một tính chất trong HHKG tương tự như tiên đề Ơ-clit như sau: “Qua

một điểm nằm ngoài một mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó”

Công thức tính thể tích tứ diện S.ABC có SA SB SC; ; đôi một vuông góc theo độ

dài ba cạnh tam giác đáy như sau:

c b

a

A

B

C S

2 2 2 2

2 2 2 2

2

22

Công thức này gần giống với công thức Hê-rông

4.2 Bằng biện pháp tương tự hóa hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết bài toán HHKG , dựa vào bài toán HHP đã biết

4.2.1 Giúp học sinh phân tích lời giải của bài toán tương tự HHP đã biết, vận dụng lời giải của bài toán tương tự để tìm lời giải cho bài toán cần giải

a)Phương thức khai thác hoạt động lựa chọn các kiến thức HHP để giải các bài tập trong HHKG nhờ phép tương tự hóa

Quy trình:

Bước 1: Xem bài toán nào trong mặt phẳng (đã giải )tương tự trong bài toán HHKG cần giải

Bước 2: Nghiên cứu và dùng kết quả hoặc phương pháp giải bài toán trong HHP

để giải bài toán trong không gian

Ví dụ 1: Chứng minh tính chất trọng tâm G của tam giác ABC:

2

AM BN CK  DE  , ta cũng có thể áp dụng định lý Ta-let

(M N K E, , , lần lượt là trọng tâm của các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC))

Và đó là một phương pháp đúng, ta chứng minh như sau:

G

Ví dụ 2: Để tính độ dài đường chéo hình chữ nhật khi biết hai kích thước của nó

ta đã dùng định lý Py-ta-go

a

b c

Vậy khi tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật khi biết ba kích thước của nó

ta cũng có thể dùng định lý Py-ta-go như sau:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ' ' '

AA C

  vuông tại '

A

Áp dụng Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ' '

AAC vuông tại '

A, ta có: '2 '2 ' '2

AC  AA AC

Hay: 2 2 2 2

d a  b c

Ví dụ 3: Từ bài toán trong hình phẳng:

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

ha

A

D

3).ABC nhọn

a BACb CBA c BCA S

H

2.SABC BC BF .tanABCb tanABC

Chứng minh tương tự cho hai trường hợp còn lại ta có đpcm

Ví dụ 4: Áp dụng kết quả của bài toán HHP sau:

Trong mặt phẳng cho ABC , đường thẳng bất kỳ cắt hai cạnh AB, AC tại M, N

Ta có thể tìm được lời giải tương tự cho bài toán Hình không gian sau:

Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q thì:

SMI SAO

Ví dụ 5: Từ cách giải của bài toán trong HHP sau:

(a) Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng MNPG là hình bình hành

Bằng cách giải tương tự ta có thể tìm được lời giải cho bài toán Hình không gian sau:

(b) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn

Ta giải bài toán (a) như sau:

Q

M

N

Ta có: M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AD

Nên MQ là đường trung bình của ABD

Suy ra:

/ /1.2

S

QM

CA

Ta có: M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BC nên MặT PHẳNG là

đường trung bình của ABC

Suy ra: MP/ /AC và 1

2

MP AC Tương tự ta có NQ là đường trung bình của ACD

nên: NQ/ /AC và 1

2

NQ AC

Vậy: MQNP là hình bình hành

Suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm

mỗi đoạn

Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn

Ví dụ 6: Xét bài toán trong HHP sau:

(a) Cho ABC , M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác Gọi S S S1; 2; 3 lần lượt là diện tích các tam giác MBC MCA MAB; ;

Chứng minh: S MA S MB S MC1.uuur 2.uuuur 3.uuuur0r

Bằng cách giải của bài toán trên ta có thể dùng đẻ giải bài toán HHKG sau:

(b) Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kỳ nằm trong tứ diện Gọi V V V V1; ; ;2 3 4 lần lượt là thể tích của các tứ diện OBCD OCDA ODBA OABC; ; ;

Chứng minh rằng: V OA V OB V OC1.uuur 2.uuur 3.uuur0r

Ta giải bài toán (a) như sau:

Gọi S là diện tích của ABC

Ta có: S MA S MB S MC1.uuur 2.uuuur 3.uuuur0r

Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ B và M xuống AC

E là giao điểm của BM và AC



Từ đó ta được: S MA S MB S MC1.uuur 2.uuuur 3.uuuur0r

Ta giải bài toán (b) với cách giải tương tự bài toán (a) như sau:

M

PNS

Gọi V là thể tích tứ diện ABCD

Ta biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng V2 V3 V4

uuur uuur uuur uuur

Dựng hình hộp MNOQ.APRS nhận OA làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm trên ba cạnh của tứ diện ABCD xuấtt phát từ A

Áp dụng quy tắc hình hộp ta được: uuurAOuuuurAM uuurASuuurAP

Hay: uuurAOx AB.uuury AC.uuurz AD.uuur

OK OF

BH  BF (2)

Hình hộp MNOQ.APRS có MQ/ /NO MQ; / /PR

Mà: NO(BEF PR); (ACD)

Nên: MQ/ /(BEF MQ); / /(ACD)

Vậy hai mặt phẳng (BEF) và (ACD) cùng song song với một đường thẳng và cắt nhau theo giao tuyến là EF nên: EF/ /MQ nên EF/ /NO

Áp dụng định lý Ta-let cho BEF ta có: OF BN



Chứng minh tương tự ta được: y V3;z V4

Vậy: V OA V OB V OC1.uuur 2.uuur 3.uuur0r

b Thiết kế bài toán HHKG từ bài toán tương tự trong HHP

Từ một bài toán đã biết ta có thể thiết kế được một hay một số bài toán khác bằng cách dùng “tương tự” Và thường thì ta có thể thiết kế bài toán HHKG

từ bài toán HHP bởi vì giữa HHKG và HHP có những điểm tương tự nhau

Ví dụ : Từ tam giác, thêm một điểm S nằm ngoài mặt phẳng tam giác đó ta

có được hình tứ diện Cũng có thể tịnh tiến tam giác theo vectơ không đồng phương với mặt phẳng tam giác ta có hình lăng trụ tam giác Tương tự với hình bình hành ta được một hình hộp

Tuy nhiên ở đây cần phân biệt tế nhị giữa khái niệm mở rộng các bài toán phẳng vào không gian với khái niệm các bài toán tương tự Theo Po-ly-a bài toán tương tự phụ thuộc vào ý định chủ quan của người làm toán Ví dụ nếu tam giác

là hình phẳng được giới hạn bởi một số tối thiểu đường thẳng là ba thì tương tự với hình tứ diện là một hình không gian được giới hạn bởi một số tối thiểu mặt phẳng là bốn Lại cũng có thể coi tam giác và hình chóp đa giác là tương tự nhau