Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ

Nó có thể dẫn đến sự khuếch đại hoặc suy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ thể, Sử dụng bộ lọc số để loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu như nhiễu, lo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

A – MỞ ĐẦU 1

B – NỘI DUNG 12

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ 12

1.1 Mở đầu: 12

1.2 Giới thiệu về lọc số 13

1.3 Các bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải và thông chắn 15

1.4 Cấu trúc cơ bản của bộ lọc số 20

1.4.1 Cấu trúc của bộ lọc FIR 21

1.4.2 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính 24

1.4.3 Cấu trúc bộ lọc IIR 31

1.5 Cấu trúc cơ bản của bộ lọc số 35

1.5.1 Phép biến đổi Z (Z – Transform) 35

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ 38

2.1 Tổng quan 38

2.2 Mục tiêu của phương pháp cửa sổ: 39

2.3 Ý tưởng thiết kế của phương pháp của sổ 39

2.4 Các bước chính của phương pháp cửa sổ 40

2.5 Các hàm cửa sổ 41

2.5.1 Cửa sổ chữ nhật (Rectangular) 41

2.5.2 Cửa sổ tam giác (Bartlett) 47

2.5.3 Cửa sổ Hanning và Hamming 50

2.5.4 Cửa sổ Blackman 52

2.6 Tổng kết: 54

Chương 3: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR THÔNG THẤP BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ 57

3.1 Bài toán thiết kế: 57

3.2 Phương pháp thiết kế 58

3.3 Thuật toán và chương trình Matlab 60

3.3.2 Chương trình Matlab 62

3.4 Kết quả chạy chương trình thiết kế: Error! Bookmark not defined

C – KẾT LUẬN 66 TÀI LỆU THAM KHẢO 68

DANH MỤC HÌNH, BẢNG

Hình 1.1: Quá trình hoạt động của một bộ lọc số

Hình 1.2: Đáp ứng xung, đáp ứng bước và đáp ứng tần số của bộ lọc

Hình 1.16: Sơ đồ mô tả cấu trúc dạng trực tiếp mạch lọc IIR bậc N

Hình 1.17: Sơ đồ mô tả cấu trúc dạng trực tiếp II của mạch lọc IIR bậc N

Hình 1.18: Sơ đồ mô tả cấu trúc dạng trực tiếp I của mạch lọc IIR bậc N

Hình 1.19: Sơ đồ mô tả cấu trúc dạng nối tiếp của mạch lọc IIR bậc 4

Hình 2.1: Kết quả của việc lấy cửa sổ trong miền tần số

Hình 2.2: Cửa sổ chữ nhật trong miền thời gian

Hình 2.3: Biểu diễn 𝐴𝑅(𝑒𝑗𝜔)

Hình 2.4: Cửa sổ chữ nhật trong miền tần số

Hình 2.5: Đồ thị 𝐺𝑅(𝑒𝑗𝜔) với a, N=31; b, N=61; c, N=101

Hình 2.6: Đồ thị của : 𝐻𝑑(𝑒𝑗𝜔) và 𝐺𝑑(𝑒𝑗𝜔) với N=61

Hình 2.7: Cửa sổ Bartlett trong miền thời gian

Hình 2.8: Cửa sổ Bartlett trong miền tần số

Hình 2.9: Đồ thị đánh giá hiện tượng Gibbs trong thiết kế bộ lọcFIR dùng cửa sổ tam

giác với N=61

Hình 2.10: Cửa sổ Hanning và Hamming trong miền thời gian

Hình 2.11: Cửa sổ Hanning và Hamming trong miền tần số

Hình 2.12: Đồ thị đánh giá hiện tượng Gibbs trong thiết kế bộ lọc FIR dùng cửa sổ

Hanning (a) và Hamming (b) với N=61

Hình 2.13: Cửa sổ Blackman trong miền thời gian

Hình 2.14: Cửa sổ Blackman trong miền tần số

Hình 2.15: Đồ thị đánh giá hiện tượng Gibbs trong thiết kế bộ lọc

FIR dùng cửa sổ Backman với N=61

Hình 2.16: Hình dạng một số cửa sổ

Hình 3.1: Các chỉ tiêu của bộ lọc thông thấp LPF

Hình 3.2: Tóm tắt đặc tính của một số loại cửa sổ thường dùng

Hình 3.3: Kết quả thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng cửa sổ Kaiser

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

DSP: Digital Signal Processing (Xử lý tín hiệu số)

FIR: Finite Impulse Reponse (Đáp ứng xung hữu hạn)

HPF: High Pass Filter (Bộ lọc thông cao lý tưởng)

IRR: Infinite – duration Impulse Reponse (Đáp ứng xung vô hạn)

LPF: Low Pass Filter

LTI: Linear Time Invariable (Tuyến tính – Bất biến thời gian)

ROC: Region Of Convergence (Miền hội tụ)

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp này, trước hết tôi xin gởi lời cảm ơn sâu

sắc đến Thầy Huỳnh Việt Thắng – giảng viên khoa Điện tử - Viễn thông của trường

Đại học Bách Khoa Đà Nẵng đã định hướng, hướng dẫn tận tình để tôi có thể hoàn

thành tốt nhất khóa luận

Bên cạnh đó tôi trân trọng gởi lời cảm ơn đến toàn thể quý Thầy Cô khoa Vật lý

– Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã cung cấp cho tôi những kiến thức quý báu

trong suốt thời gian học tập tại ngôi trường Đại học Sư phạm để tôi hoàn thành được

khóa luận này

Đồng thời, tôi xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ và gia đình – những người đã ở

bên tôi trong suốt những năm tôi học tập và làm khóa luận

Tôi cũng xin cảm ơn đến bạn bè và tập thể lớp 09CVL đã giúp động viên, chia sẽ

những kinh nghiệm và kiến thức giúp tôi làm tốt công việc trong suốt tiến trình thực

hiện đề tài

Tuy nhiên, do thời gian và kiến thức có hạn nên bài khóa luận chắc chắn không

thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, các

A – MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Tín hiệu xuất hiện hầu như ở tất cả các ngành khoa học và kĩ thuật; ví như trong

âm học, sinh học, thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển, rađa, vật lý học, địa chất học

và khí tượng học Có hai dạng tín hiệu được biết đến đó là tín hiệu liên tục theo thời gian và tín hiệu rời rạc theo thời gian Một tín hiệu rời rạc cũng như một tín hiệu liên tục có thể được biểu diễn bởi một hàm của tần số và được biết đến như là phổ tần của tín hiệu Và ngày nay thì công nghệ xử lý tín hiệu số bùng nổ nhanh chóng trong

ngành công nghiệp điện tử và viễn thông Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi

trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa ., trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, bản đồ số, viễn thông v.v

Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc Lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi,biến dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn Nó

có thể dẫn đến sự khuếch đại hoặc suy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ thể, Sử dụng bộ lọc số để loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu như nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo lường,

để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã được trộn lẫn theo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong các thành phần tần

số của chúng, để giải nén tín hiệu, để chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian sang tín hiệu liên tục theo thời gian

Các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter)

Về mặt lịch sử, các bộ lọc số đã tạo ra một ngành được nghiên cứu nhiều nhất trong xử lý tín hiệu Chúng đã được phát triển và nghiên cứu với mục đích có thể mô phỏng các bộ lọc tương tự trên máy tính điện tử Chúng cho phép tạo ra các hiệu quả lớn và tối ưu hóa các tham số của bộ lọc trước sự thực hiện lớn lao của chúng Các tiến

bộ hiện nay của công nghệ mạch vi điện tử số đã làm tăng hiệu quả kinh tế của các bộ lọc số và các hệ thống số Vì vậy, việc hoàn thiện, bổ sung các kết quả đã có là rất cần

thiết, đối với việc mô phỏng các bộ lọc số cũng như phương pháp tổng hợp các bộ lọc

số ngày càng được phát triển

Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và

bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc FIR hay IIR thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp như: Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques) Để thực hiện các phương pháp đó thì người ta xây dựng hàm truyền đạt biên độ tần số H(ejω), qua đó ta

có thể xác định chính xác đáp ứng của tín hiệu đầu ra y(t) khi đầu vào là hàm x(t) xác định Khi kỹ thuật số bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số được xây dựng trên nền tảng là các chương trình, các thuật toán nhằm đáp ứng yêu cầu cho các bộ lọc số Các chương trình, thuật toán này có thể đựơc thực hiện bằng phần mềm hoặc bằng các kết cấu cứng Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng Trong các phương pháp thì phương pháp của sổ là đơn giản, có nhiều ưu điểm và được

sử dụng nhiều nhất

Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài : “ Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa

sổ ” dùng phần mềm Matlab để làm hướng nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Thiết kế bộ lọc FIR bằng phuương pháp cửa sổ

- Phạm vi nghiên cứu: Đặc trưng, tính chất, cấu trúc của bộ lọc FIR, cách thiết kế một

bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ sử dụng Matlab

3 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu, tìm hiểu các đặc trưng, tính chất, cấu trúc của bộ lọc FIR và học cách thiết kế một bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa

sổ Từ đó thiết kế được một bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp cửa sổ sử dụng Matlab

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu gồm: Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết, xây dựng thuật toán và sử dụng phần mềm Matlab để thiết kế một bộ lọc FIR thông thấp

5 Cấu trúc và nội dung của đề tài

A – Phần mở đầu

B – Phần nội dung: Nội dung bài khóa luận được chia làm 3 chương

Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số

Chương 2: Phương pháp cửa sổ

Chương 3: Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp cửa sổ

C – Phần kết luận

B – NỘI DUNG

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ 1.1 Mở đầu:

Lọc số là quá trình rất quan trọng của xử lý tín hiệu số Vì chính những khả năng phi thường của các bộ lọc số đã làm cho chúng rất phổ biến như ngày nay Các bộ lộc

số gồm hai công dụng chính: Phân tích tín hiệu và phục hồi tín hiệu Phân tích tín hiệu mong muốn bị giao thoa với các tín hiệu khác hay bị các tín hiệu tác động vào nó Còn phục hồi tín hiệu là khi tín hiệu chúng ta mong muốn hay cần để đánh giá, xét nghiệm

bị sai lệch đi bởi nhiều yếu tố của môi trường tác động vào làm cho nó bị biến dạng gây ảnh hưởng đến kết quả đánh giá

Có hai kiểu lọc chính: tương tự và số Chúng khác nhau hoàn toàn về cấu tạo vật

lý và cách làm việc Một bộ lọc tương tự sử dụng các mạch điện tương tự được tạo ra

từ điện trở, tụ điện, OPAMP…Có các chuẩn kỹ thuật tốt đã tồn tại trong một thời gian dài cho việc thiết kế một bộ lọc tương tự Còn một bộ lọc số thì sử dụng một bộ xử lý

số để hoạt động tính toán, số hóa trên các giá trị được lấy mẫu của tín hiệu Bộ xử lý có thể là một máy tính mục đích chung như một PC hay một chíp DSP chuyên dụng Các quá trình của bộ lọc số được thể hiện như sau:

Hình 1.1: Quá trình hoạt động của một bộ lọc số [1]

Các bộ lọc số sẽ dần dần thay đổi cho các bộ lọc tương tự với các ưu điểm sau: 1) Một bộ lọc số thì có khả năng lập trình được còn một bộ lọc tương tự muốn thay đổi cấu trúc thì phải thiết kế lại bộ lọc

2) Các bộ lọc số dễ dàng thiết kế, dễ kiểm tra và dễ thi hành trên máy tính

3) Đặc điểm của mạch lọc tương tự là bị ảnh hưởng bởi sự trôi và phụ thuộc vào nhiều nhiệt độ Các bộ lọc số thì không có những vấn đề này, rất ổn định với cả thời gian và nhiệt độ

4) Các bộ lọc số có thể xử lý tín hiệu tần số thấp rất chính xác Tốc độ của công nghệ DSP ngay càng tăng lên, làm cho các bộ lọc số có khả năng xử lý các tín hiệu tần số cao trong miền âm tần (Radio Frequency) mà trong quá khứ là lĩnh vực độc quyền của công nghệ tương tự

5) Các bộ lọc số linh hoạt hơn nhiều trong xử lý tín hiệu với nhiều cách khác nhau 6) Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng tương đối đơn giản và mật độ tích hợp rất cao

Để nâng cao chất lượng của các bộ lọc tương tự, ta chú trọng khắc phục hạn chế của linh kiện như độ chính xác, độ ổn định, sự phụ thuộc vào nhiệt độ…Còn đối với các bộ lọc số vốn dĩ bản thân nó đã có nhiều ưu điểm nên ta chỉ chú trọng đến các hạn chế của tín hiệu và các phương pháp thiết kế về thuật toán chương trình xử lý tín hiệu Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số lý thuyết cơ sở về lọc tín hiệu

1.2 Giới thiệu về lọc số

Trong xử lý tín hiệu số, ta thường nói tín hiệu vào và ra của một bộ lọc đều ở miền thời gian bởi vì tín hiệu thường được tạo ra bằng cách lấy mẫu ở các thời điểm cách đều nhau Tuy nhiên, ta cũng có thể lấy mẫu ở các vị trí cách đều nhau trong không gian hay trong một phạm trù khác nhưng thông thường nhất là lấy mẫu trong

miền thời gian và miền tần số Trong xử lý tín hiệu thì từ miền thời gian ta có thể liên

hệ tổng quát đến các phạm trù khác, ví dụ hình 1.2 sẽ mô tả điều đó

Mỗi bộ lọc tuyến tính đều có một đáp ứng xung, một đáp ứng bước và một đáp ứng tần số Mỗi đáp ứng này đều chứa đủ thông tin về bộ lọc nhưng dưới mỗi dạng khác nhau Nếu một trong ba đáp ứng được xác định thì đáp ứng kia sẽ được tính ra trực tiếp Cả ba đáp ứng này đều rất quan trọng vì chúng mô tả bộ lọc ở hoàn cảnh khác nhau

Với đáp ứng xung là đầu ra của hệ thống khi đầu vào là xung đơn vị, đáp ứng bước là đầu ra của hệ thống khi đầu vào là bước nhảy đơn vị Vì hàm bước nhảy là tích phân của hàm xung đơn vị nên đáp ứng bước chính là tích phân của đáp ứng xung Từ

đó ta có hai cách tìm đáp ứng bước nhảy:

- Đưa một sóng bước nhảy vào bộ lọc và xem kết quả ở đầu ra

- Lấy tích phân của đáp ứng xung

Còn đáp ứng tần số là lấy từ biến đổi Fourier của đáp ứng xung

Hình 1.2: Đáp ứng xung, đáp ứng bước và đáp ứng tần số của bộ lọc [1]

Phương pháp trực tiếp nhất để thực hiện bộ lọc số là dùng phép tổng chập của tín hiệu vào với đáp ứng xung của bộ lọc số Khi đó, đáp ứng xung được xem là cốt lõi cho viêc thiết kế bộ lọc Một phương pháp khác để thực hiện bộ lọc số là phương pháp

đệ quy Khi bộ lọc thực hiện bằng phép tích chập, mỗi mẫu trong tín hiệu ra được tính toán bằng phép tổ hợp có trọng số các mẫu trong tín hiệu vào Các bộ lọc đệ quy mở rộng thêm quá trình trên bằng cách sử dụng các trị số đã tính được từ tín hiệu ra bên cạnh các điểm lấy từ tín hiệu vào, thay vì dùng một lõi lọc, các bộ lọc đệ quy được xác định bởi một dãy hệ số đệ quy Các bộ lọc đệ quy còn được gọi là các bộ lọc có đáp ứng xung dài vô hạn IIR, còn các bộ lọc thực hiện theo phương thức chập được gọi là các bộ lọc có đáp ứng xung dài hữu hạn FIR

Có nhiều cách để con người biểu diễn thông tin qua tín hiệu như trong các kiểu điều chế hay mã hóa tín hiệu: AM, FM, PCM…Còn các tín hiệu sinh ra trong tự nhiên thì chỉ có hai cách biểu diễn là theo miền thời gian hay là miền tần số Thông tin biểu diễn trong miền thời gian được mô tả bằng độ lớn của sự kiện tại thời điểm xuất hiện Mỗi mẫu trong tín hiệu cho thấy cái gì xuất hiện tại thời điếm ấy và độ lớn của nó Trái lại, thông tin được biểu diễn trong miền tần số có tính chất gián tiếp hơn và mỗi mẫu tín hiệu đơn độc không thể hiện được thông tin đầy đủ mà phải trong mối quan

hệ nhiều điểm của tín hiệu

Từ đó, ta thấy tầm quan trọng của đáp ứng bước và đáp ứng tần số, đáp ứng bước

mô tả sự biến đổi thông tin trong miền thời gian bởi hệ thống, còn đáp ứng tần số cho thấy sự biến đổi thông tin trong miền tần số Với mỗi ứng dụng khác nhau thì tầm

quan trọng của các loại đáp ứng cũng khác nhau

1.3 Các bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải và thông chắn

Về mặt lý thuyết, dựa trên các đặc điểm của đáp ứng tần số, xử lý tín hiệu số quan tâm đến bốn loại bộ lọc lý tưởng sau:

 Bộ lọc thông thấp [13]

Đáp ứng biên độ - tần số:

|Hd(ejω)| = { 1 |ω| ≤ ωc

0 n ≠ (1.1)

Khi có đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng trễ nhóm β là:

ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛 − 𝛽) −𝜔𝑐2

𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐(𝑛 − 𝛽) +𝜔𝑐1

𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐(𝑛 − 𝛽) (1.8)

Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế đều đi từ lý thuyết của bộ lọc lý tưởng

Lọc ở đây có nghĩa là lọc tần số chính, vì vậy mà tất cả các đặc trưng của bộ lọc tần số đều được cho theo đáp ứng biên độ Các bộ lọc này được thiết kế bằng cách xuất phát từ một bộ lọc thông thấp rồi chuyển sang đáp ứng yêu cầu Vì vậy, ta chỉ khảo sát điển hình bộ lọc thông thấp

Có hai phương pháp chuyển đổi từ thông thấp sang thông cao: nghịch đảo phổ (Spectral Inversion) và đảo chiều phổ (Spectral Reversion

 Nghịch đảo phổ

Hình 1.3: Sự nghịch đảo phổ [1]

Phải thực hiện hai bước để đổi đáp ứng xung thông thấp thành thông cao: Trước tiên, đổi dấu mỗi mẫu trong lõi lọc, sao đó thêm một mẫu vào tại tâm đối xứng Như vậy, ta được đáp ứng xung lọc thông cao thể hiện ở hình 1.3c và đáp ứng tần số thể hiện ở hình 1.3d Sự nghịch đảo phổ là lật ngược đáp ứng tần số, đổi dải thông thành dải chắn

và ngược lại

 Đảo chiều phổ

Hình 1.4: Sự đảo chiều phổ [1]

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp ở hình 1.4a tương ứng với đáp ứng tần số ở hình 1.4b Đáp ứng xung của bộ lọc thông cao ở hình 1.4c được tạo ra bằng cách đổi dấu các mẫu tín hiệu cách trước, điều này đã đảo lộn miền tần số từ trái sang phải

Đổi dấu của mỗi tín hiệu cách một tương đương với nhân lõi lọc một sóng since

có tần số 0.5 Điều này có tác dụng dịch chuyển miền tần số một khoảng 0.5

Và hai hình sau đây cho chúng ta thấy cách kết hợp các đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp và thông cao để tạo nên bộ lọc thông dải và chắn dải Khi cộng các đáp ứng xung sẽ tạo nên một bộ lọc chắn dải, còn khi nhân chập các đáp ứng xung sẽ cho ta một bộ lọc thông dải

Hình 1.5: Thiết kế bộ lọc thông dải [1]

Hình 1.6: Thiết kế bộ lọc chắn dải [1]

Đáp ứng xung của các bộ lọc lý tưởng có chiều dài vô han, xuất phát từ chỉ số

−∞ đến +∞ và không nhân quả, dẫn đến không thể thực hiện được về mặt vật lý, tức là:

𝐿[ℎ(𝑛)] = [−∞, +∞] = ∞ ℎ(𝑛) ≠ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑛 < 0

Khi tổng hợp bộ lọc thực tế, ta phải chấp nhận đáp ứng xung xuất phát từ chỉ số 0 đến đáp ứng điều kiện nhân quả Khi đó, đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế có phần quá

độ từ dải thông đến dải chắn hoặc ngược lại, và được gọi là dải chuyển tiếp (transition band) Đồng thời, phải có sự gợn sóng (ripple) ở cả dải thông và dải chắn hoặc ít nhất tại một trong hai, dải thông hoặc dải chắn

Việc thiết kế bộ lọc là quá trình tìm ra các tham số hay đáp ứng xung của bộ lọc, thỏa mãn các yêu cầu chỉ tiêu kỹ thuật cho trước

Các bộ lọc số thực tế được đặc trưng bởi các tham số kỹ thuật trong miền tần số liên tục ω, có 4 tham số chính:

𝛿1: Độ gợn sóng

𝛿2: Độ gợn sóng ở dải chắn

𝜔𝑝: Tần số giới hạn (biên tần) dải thông

𝜔𝑠: Tần số giới hạn (biên tần) dải chắn

Ngoài ra, còn có tham số phụ ∆𝜔 = 𝜔𝑝 − 𝜔𝑠: Bề rộng dải quá độ

Hình 1.7: Các thông số kỹ thuật của bộ lọc thông thấp [9]

1.4 Cấu trúc cơ bản của bộ lọc số

Các hệ thống LTI (Linear Time Invariable) hay các mạch lọc số có thể được biểu

thị dưới dạng các bộ nhân, bộ cộng và bộ trễ đơn vị liên kết với nhau tạo thành sơ đồ

dòng tín hiệu Sơ đồ dòng tín hiệu thực hiện một chức năng tính toán xác định, biểu thị

bằng phương trình sai phân hoặc bằng hàm truyền của một hệ thống hay của một mạch lọc số Sơ đồ dòng tín hiệu lại có nhiều dạng cấu trúc khác nhau, tuy nhiên ta luôn tìm

được một cấu trúc tối ưu hay còn gọi cấu trúc chính tắc Đó là cấu trúc có các bộ

nhân, bộ cộng và bộ trễ đơn vị là ít nhất Thiết lập cấu trúc là bước đầu tiên để thực thi

phần cứng và phần mềm cho mạch lọc số

Lọc tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n)

của nó Đáp ứng đối với tín hiệu vào bất kỳ x(n) sẽ tổng chập của h(n) với x(n) Tuy

nhiên nhiều khi ta liên hệ trực tiếp tín hiệu ra và vào bằng phương trình hiệu Xét

phương trình hiệu hay cấu trúc mạch lọc người ta chia ra làm hai loại lớn đó là lọc phi

đệ quy FIR và lọc đệ quy IIR

Các bộ lọc FIR có hai đặc điểm quan trọng so với bộ lọc IIR:

- Thứ nhất, các bộ lọc FIR chắc chắn ổn định thậm chí sau khi các hệ số của bộ

lọc đã được lượng tử hóa

- Thứ hai, các bộ lọc FIR dễ dàng được ràng buộc để có pha tuyến tính

Và sau đây ta sẽ khảo sát từng loại từng loại bộ lọc đó

1.4.1 Cấu trúc của bộ lọc FIR

Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:

1 0

)(

N

n

n n N

b z

b b z

n

0

10

)

Và phương trình sai phân là:

y(n)b0x(n)b1x(n1) b N1x(nN1) (1.11)

Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn

Bậc của bộ lọc là N-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là N (bằng với số lượng các

hệ số) Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với các cấu trúc bộ lọc IIR Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một đáp ứng pha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng

Các cấu trúc của bộ lọc FIR:

1.4.1.1 Cấu trúc dạng trực tiếp

Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không

có đường phản hồi:

y(n)b0x(n)b1x(n1) b N1x(nN1) (1.12)

Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất Cấu

trúc dạng trực tiếp được cho trong hình 1.9 với N = 5:

Hình 1.9: Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp [8]

1.4.1.2 Cấu trúc dạng ghép tầng:

Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số thực Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầng của các khâu bậc 2

     N N       N zN

b

b z

b

b b z

b z

b b z

0

1 1

0

1 0 1 1 1

2 2 , k 1 1 , k

N

K , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các

khâu bậc 2 Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 1.10 với N = 7:

1.4.1.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính:

Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính theo tần số, nghĩa là:

)e(

,0);

1()(n h N n  n N

10

,2/);

1()(n h N n  n N

Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.11) với đáp ứng xung đối xứng trong phương trình (1.15), ta có:

)1(

)2(

)1()()

(n b0x n b1x n  b1x nN b0x nN

b0[x(n)x(nN1)]b1[x(n1)x(nN2)] (1.17)

Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mô tả trong hình 1.11 dưới

đây đối với cả N lẻ và N chẵn Đối với N lẻ: N = 7, còn đối với N chẵn: N = 6

Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng N) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệm được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp

1.4.2 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần số trong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính

Cho h(n), trong đó 0  n  N – 1, là đáp ứng xung có chiều dài N thì hàm truyền

1 ( 1

0

)()

()

(

N

n

n N N

N

n

n

z n h z

z n h z

z-1 z-1

z-1

y(n)

x(n)

có (N-1) điểm cực ở gốc (trivial poles) và N-1 điểm không nằm ở vị trí bất kỳ trên mặt phẳng z Đáp ứng tần số là:





,)()

j h n e e

e(

10

),1()

N n n

N h n

Do đó h(n) là đối xứng theo , là chỉ số đối xứng Có hai kiểu đối xứng:

 N lẻ: Trong trường hợp này,

2

1



 N

 là một số nguyên Đáp ứng xung được

mô tả trong hình sau:

 N chẵn: Trong trường hợp này,

21

Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha

d j

(1.23)

là hằng số, chính là trễ nhóm ( là một hằng số trễ nhóm) Trong trường hợp này, các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi Nhưng một số tần số có thể được làm trễ với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn

Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:

h(n)h(N1n),0nN 1 và

2

,2



 N

 Một lần nữa chúng ta lại có 2 kiểu, cho N lẻ và N chẵn

Hình 1.13: Đáp ứng xung đối xứng, N chẵn

 N lẻ: Trong trường hợp này,

2

1



 N

 là một số nguyên Đáp ứng xung được

mô tả bằng hình dưới đây:

Lưu ý : Mẫu h() tại

21

;)

()

e e H e

H j r j j     

(1.25)

Trong đó H r (e j ) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ Đáp

ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp ứng biên độ luôn luôn dương Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên tục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, N lẻ

Trong trường hợp này 0,

21

/ 1

0

cos)

a e

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, N chẵn

Trong trường hợp này 0, h  n h N 1 n, 0nN1, nhưng

   1  / 2

1cos

n b e

2

2 với

2, ,2,

2

1ncosnb)

)(

2 /

b(n) hoặc h(n) Do đó chúng ta không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng, N chẵn) đối

với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải

 Lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, N lẻ

Trong trường hợp này ta có

/ 1

0

sin)

(

N j N

n

j

e n n

c e

2

1

2 với

2, ,2,

Lưu ý: Tại 0 và , ta có Hr  0 mà không cần quan tâm c(n) hoặc h(n) Hơn thế nữa, ej2  j, điều đó có nghĩa là jHr  là thuần ảo Do đó, loại bộ lọc này không thích hợp đối với việc thiết kế bộ lọc thông thấp hoặc thông cao Tuy nhiên, điều này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biến đổi Hilbert số lý tưởng

 Lọc FIR pha tuyến tính Loại-4(Type 4):Đáp ứng xung phản đối xứng, N chẵn

Trong trường hợp này

/

1sin

)(

N j N

n

j

e n

n d e

2

2, ,2,

)(

Type LPF HPF BPF SBF Hilbert Differentiator

o m

Đối với bộ lọc LTI nhân quả thì MN, ở đây N là bậc của mạch lọc số

1.4.3.1 Cấu trúc dạng trực tiếp của bộ lọc IIR

Lấy biến đổi z phương trình sai phân (1.23) và sau đó lập tỉ số Y(z)/X(z) ta sẽ thu

được hàm truyền của mạch lọc này:

H(z) 

k N

k k

m M

m m

z a

z b

m z



 (1.36)

1

1

(1.37)

Thì chúng ta sẽ thu được cấu trúc trực tiếp của bộ lọc IIR Đó là cấu trúc gồm đủ các

bộ cộng, bộ nhân và bộ trể đơn vị như trong phương trình sai phân

Hình 1.16: Sơ đồ mô tả cấu trúc trực tiếp mạch lọc IIR bậc N [11]

Bây giờ nếu thực thi hàm truyền H2(z) trước, sau đó đến H1(z) có nghĩa là thực hiện hàm truyền H(z) dưới dạng sau:

Sau khi thu được cấu trúc dạng trực tiếp 2, ta thực hiện phép chuyển vị sao cho

H1(z) thực hiện trước rồi mới đến H2(z), có nghĩa là ta thực thi hàm truyền H(z) dưới dạng:

H(z) = H1(z).H2(z)

Như vậy sẽ thu được cấu trúc dạng trực tiếp 1

Hình 1.18: Sơ đồ cấu trúc cấu trúc dạng trực tiếp I của bộ lọc IIR bậc N [11]

1.4.3.2 Cấu trúc dạng nối tiếp của bộ lọc IIR

Trong nhiều ứng dụng thực tế, hàm truyền của mạch lọc bậc N thường được khai triển thành tích các hàm truyền bậc hai Do vậy khi thực thi dạng khai triển này, sẽ thu được cấu trúc dưới dạng nối tiếp các hệ thống bậc hai

Thật vậy, hàm truyền H(z) từ (1.35) có thể khai triển dưới dạng sau:

H(z) 

k N

k k

m M

m m

z a

z b

b z a z a

z b z b

1

0 1 2

1 1

1 2

1 1

1

)( (1.39)

Hi(z) = 1

2 1 1

1 2 1 1

z b z b

i i

Hình 1.19: Sơ đồ cấu trúc cấu trúc dạng nối tiếp của bộ lọc IRR bậc 4 [11]

1.4.3.3 Cấu trúc dạng song song của bộ lọc IIR

Nếu phân tích các hàm truyền H(z) của mạch lọc IIR bậc N thành tổng các hàm

truyền bậc hai như sau:

H(z) 

k N

k k

m M

m m

z a

z b

z a z a

z b b

1

1 2 1 1

1 1 0

1

)( (1.41)

Hi(z) = 1

2

1 1

1 1 0

z b b

i i

i i

(1.42)