Sự hội tụ theo lưới và lọc trong không gian tôpô

Điểm s của không gian tôpô X được gọi là điểm giới hạn của lưới S khi và chỉ khi S thường xuyên gặp mỗi lân cận của s... Giả sử không có lưới nào trong A hội tụ đến điểm nằm ngoài A..

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI MỞ ĐẦU 2

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 3

Chương 2 Sự hội tụ theo lưới và lọc 5

2.1 Tập có hướng và lưới 5

2.2 Mô tả một số tính chất tôpô thông qua ngôn ngữ lưới 7

2.3 Lọc và siêu lọc 23

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết về sự hội tụ đóng vài trò quan trọng trong giải tích toán học Các cấu trúc cơ bản của giải tích như: Phép tính vi phân, tích phân, tổng của chuỗi số, chuỗi hàm, đều dựa vào việc chuyển qua giới hạn Các vấn đề giới hạn của dãy số, dãy hàm số, tổng của chuỗi số, chuỗi hàm số (tổng đếm được) đã được trình bày một cách đầy đủ trong giáo trình dành cho sinh viên ĐHSP Song các khái niệm tổng quát hơn về sự hội tụ thì chỉ được đề cập tới rất ít, đó là sự hội tụ của dãy suy rộng (hay còn gọi là lưới) và lọc Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu về các khái niệm, tính chất của lưới và lọc cũng như sự mô tả các tính chất tôpô theo thuật ngữ lưới và lọc

Với mục đích đó, luận văn được viết thành hai chương

Chương 1 : Chương kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày tóm tắt,

cô đọng một số kiến thức về tôpô đại cương và một số lý thuyết liên quan, là

cơ sở để sử dụng cho chương sau

Chương 2 : Sự hội tụ theo lưới và lọc

Chương này được trình bày theo 3 mục

thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển đã trực tiếp hướng dẫn trong suốt quá

trình làm luận văn Xin cảm ơn các bạn trong lớp 09ST đã động viên và giúp

đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013

Nguyễn Đăng Trung

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, ký hiệu và kết quả cơ bản cần dùng cho các mục sau

1.1 Định nghĩa không gian tôpô Giả sử X là một tập khác  Họ T các tập con nào đó của X được gọi một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều

kiện sau:

i)   T, X T

ii) Nếu A T, B T thì A  B  T

iii) Nếu A i  T, i  I thì 

I i i A



 T

Tập X cùng với tôpô T xác định trên nó được gọi là không gian tôpô, ký hiệu là (X, T) hoặc X

1.2 Định nghĩa tập mở, tập đóng, bao đóng của một tập trong

không gian tôpô X Cho không gian tôpô (X, T ), E là tập con nào đó của X

1) E được gọi là tập mở nếu E T

2) E được gọi là tập đóng nếu X \ E  T

3) Bao đóng của E là giao tất cả các tập đóng chứa E

1.3 Định nghĩa lân cận Cho không gian tôpô (X, T ) Tập V  X được

gọi là lân cận của điểm x  X nếu tồn tại tập mở WT sao cho

x W  V

1.4 Vị trí tương đối giữa điểm và tập hợp trong không gian tôpô

Cho không gian tôpô (X, T); E  X, x X Ta gọi x là:

1) Điểm trong của E nếu E là lân cận của x Lúc đó tập tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, ký hiệu là IntE

2) Điểm biên của E nếu x không là điểm trong của E cũng như X \ E

Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E và ký hiệu là  E

3) Điểm giới hạn của E nếu với mọi lân cận V của x đều có

V  (E \ x)  

4) Điểm dính của E nếu với mọi lân cận V của x đều có V  E  

5) Điểm cô lập của E nếu tồn tại lên cận V của x sao cho: V  E = x

1.5 Định lý Giả sử X là không gian tôpô, E là tập con của X Khi đó,

1) E đóng khi và chỉ khi E = E

2) x là điểm dính của E khi và chỉ khi x E

3) E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm dính của E

Hệ quả E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm giới hạn của E

1.6 Định lý Bao đóng của một tập tuỳ ý là hợp của tập đó và tập các

điểm giới hạn của nó

1.7 Định lý : Cho không gian tôpô (X T, ), họ con VT Họ V là cơ sở của tôpô khi và chỉ khi với mỗi điểm xX và với mọi lân cận bất kỳ U của x, tại V  V sao cho xV  V

1.8 Định nghĩa không gian Hausdoff Không gian tôpô X được gọi là

không gian Hausdoff (hay T2-không gian) nếu với mọi cặp điểm x, y X thỏa mãn x  y, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V = 

1.9 Định nghĩa ánh xạ liên tục Giả sử X, Y là hai không gian tôpô, a

là một điểm thuộc X và f : X  Y là một ánh xạ

(1) f được gọi là liên tục tại điểm a nếu với mọi lân cận V của điểm

f(a)  Y, tồn tại một lân cận U của a sao cho f(U)  V

(2) f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX

1.10 Định nghĩa không gian compact Không gian tôpô X được gọi là

không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ THEO LƯỚI VÀ LỌC

Mục đích chính của chương này là nghiên cứu sự hội tụ của lưới và lọc trong không gian topo Sau đó, dùng thuật ngữ lưới và lọc để mô tả một số khái niệm và tính chất trong không gian tôpô, tương tự như dùng thuật ngữ dãy thông thường để mô tả các kết quả trong không gian mêtríc

2.1 Tập có hướng và lưới

2.1.1 Định nghĩa tập định hướng Tập D   được gọi là định hướng

nếu trên nó xác định một quan hệ “” thoả mãn các tính chất:

2.1.2 Ví dụ Cho X là không gian tôpô, x X và V là họ gồm các lân

cận của x Khi đó, V được định hướng bởi quan hệ “” như sau:

U  V khi và chỉ khi U V Thật vậy, rõ ràng rằng V   Hơn nữa,

1) Giả sử U, V, W  V sao cho U  V, V  W Khi đó, U  W

2) Nếu U  V, thì U  U

3) Nếu U, V V, thì U V V Do đó, nếu ta đặt W = UV V, thì

W U, W  V

Do vậy, (V, ) là một tập định hướng

2.1.3 Mệnh đề Cho I là tập chỉ số bất kỳ

Ký hiệu

J(I) = J  I: J là tập con hữu hạn của I

Trên J(I) xác định quan hệ bao hàm “” như sau

J, J’  J(I) : J  J’  J  J’

Khi đó, J(I) với quan hệ bao hàm là một tập định hướng

2.1.4 Định nghĩa lưới Giả sử D là một tập định hướng bởi quan hệ

“” Khi đó, hàm S xác định trên D và nhận giá trị trong tập X được gọi là một

lưới (hay dãy suy rộng) trong X

Ký hiệu (S n , n D, ) hoặc (S, D, ) hoặc vắn tắt là S

Nếu miền giá trị của lưới là không gian tôpô X thì S được gọi là lưới trong

không gian tôpô X

2.1.5 Định nghĩa lưới hội tụ Giả sử D là một tập được định hướng

bởi quan hệ “”, (X, T) là một không gian tôpô Khi đó, lưới (S n , D, ) được

gọi là hội tụ trong không gian tôpô đến điểm s đối với tôpô T nếu với mọi lân cận U của s đều tồn tại n0 D sao cho n D mà n  n0 ta đều có S n  U

Ký hiệu lim S n = s hay S n  s

2.1.6 Định nghĩa lưới nằm trong một tập từ một lúc nào đó

Lưới S n , n D,  được gọi là lưới nằm trong tập A từ một lúc nào đó

nếu và chỉ nếu m D: n D mà n  m thì S n  A

2.1.7 Định nghĩa lưới thường xuyên gặp A Lưới S n , n D,  được

gọi là lưới thường xuyên gặp A nếu và chỉ nếu m D, n D sao cho n  m

và S n  A

2.1.8 Định nghĩa điểm giới hạn Điểm s của không gian tôpô X được

gọi là điểm giới hạn của lưới S khi và chỉ khi S thường xuyên gặp mỗi lân cận của s

2.1.9 Định nghĩa lưới con Giả sử (D, ) và (E, ) là tập hai định

hướng Lưới T m , m D,  được gọi là lưới con của lưới S n , n E,  khi

và chỉ khi tồn tại hàm N: D  E sao cho

1) T = S  N hay

i

i N

T S với mọi i  D

2) Với mọi m E, tồn tại n  D sao cho nếu p  n thì N p  m (p D)

2.2 Mô tả một số tính chất tôpô thông qua ngôn ngữ lưới

2.2.1 Định lý

Giả sử X là không gian tôpô Khi đó,

(a) Điểm s là điểm giới hạn của tập con A trong X khi và chỉ khi trong

Điều này chứng tỏ rằng U  A   Do đó, s là điểm giới hạn của A

Điều kiện cần Giả sử s là điểm giới hạn của A Ta chứng minh rằng trong

 

\

A s tồn tại lưới hội tụ đến s Thật vậy,

Ký hiệu V là cơ sở lân cận của điểm s Khi đó, (V, ) là một tập định

hướng Từ giả thiết s là điểm giới hạn của A ta suy ra

U  ( A\ s )   với mọi U V

Bây giờ, với mỗi U V ta chọn S u  U  ( A\ s ) Lúc đó, ta thu được lưới (S U , V, )  ( A\ s ) Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng lưới (S U , V, ) hội tụ đến s

Giả sử V là lân cận bất kỳ của s Khi đó, vì V là cơ sở lân cận nên tồn tại

W V sao cho

s  W  V

Do đó, với mọi U V mà U  W ta đều có U  V Mặt khác, S U  U với mọi U V nên ta suy ra

S U  V với mọi U V mà U  W

Do vậy, theo định nghĩa lưới hội tụ ta suy ra lưới (S U , V, ) nằm trong A hội

tụ đến s

(b) Điều kiện đủ Giả sử D là một tập định hướng bởi quan hệ “” và tồn

tại lưới (S n , D, ) trong A sao cho S n  s Ta cần chứng minh rằng sA

Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của s Khi đó, vì S n  s nên tồn tại mD

sao cho S nU với mọi nm Mặt khác, vì lưới (S n , D, ) trong A nên ta suy

ra UA  Do vậy, sA

Điều kiện cần Giả sử sA , ta chứng minh rằng trong A tồn tại lưới hội tụ

đến s Thật vậy,

Ký hiệu V là cơ sở lân cận của điểm s Khi đó, (V, ) là một tập định

hướng Từ giả thiết sA suy ra mọi U V ta đều có U  A   Lúc đó, với

mỗi U V chọn S u  U  A, ta có lưới (S U , V, )  A Để hoàn thành chứng

minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng lưới (S U , V, ) hội tụ đến s

Giả sử V là lân cận bất kỳ của s Khi đó, vì V là cơ sở lân cận nên tồn tại

W V sao cho

s  W  V

Do đó, với mọi U V mà U  W ta đều có U  V Mặt khác, S U  U với mọi

U V nên ta suy ra

S U  V với mọi U V mà U  W

Bởi vậy, theo định nghĩa lưới hội tụ ta suy ra lưới (S U , V, ) nằm trong A hội

Điều kiện đủ Giả sử không có lưới nào trong A hội tụ đến điểm nằm

ngoài A Ta chứng minh rằng A là tập hợp đóng, nghĩa là A A Thật vậy, giả

sử sA, khi đó theo (b), tồn tại lưới S trong A hội tụ đến s Mặt khác, theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra rằng sA Do vậy, AA

2.2.2 Định lý Một không gian tôpô X là không gian Hausdoff khi và

chỉ khi không có lưới nào trong nó hội tụ đến hai điểm khác nhau

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử X là không gian Hausdoff Ta cần chứng minh rằng

không có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác nhau

Thật vậy, giả sử (S n , D, ) là một lưới nằm trong X và S n  s1, S n  s2 với

s1  s2 Khi đó, do X là T2- không gian nên tồn tại lân cận

Hơn nữa, vì D là tập định hướng nên ta có thể chọn n0 D sao cho

n0  n1, n0  n2 Khi đó,

Do vậy, s1  s2 hay lưới S n , D,  hội tụ đến một điểm duy nhất

Điều kiện đủ Giả sử không có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác

nhau Ta chứng tỏ rằng X là T2- không gian

Thật vậy, giả sử X không phải là T2-không gian Lúc đó, tồn tại hai điểm

s1, s2  X mà s1  s2 sao cho với mọi lân cận U của s1 và với mọi lân cận V của s2 đều có U  V  

Gọi U s1 là họ các lân cận của s1, Us2là họ các lân cận của s2 Khi đó, theo

Dễ dàng chứng minh được rằng (V, ) là một tập định hướng

Bây giờ, ta xây dựng lưới trong X như sau: Bởi vì với mỗi (T, U)  V ta đều có T  U   Do đó, với mỗi (T, U)  V ta có thể chọn S (T, U)  T  U Như vậy, ta được lưới (S (T,U) , V, ) trong X, và viết tắt là S (T,U) Ta sẽ chứng tỏ

rằng S (T,U)  s1 và S (T,U)  s2

Thật vậy, giả sử V là lân cận bất kỳ của s1 và W là lân cận bất kỳ của s2

Khi đó, với mọi (T, U)  V mà (T, U)  (V, W) ta đều có

S (T, U)  T  U  T  V

S (T, U)  T  U  U  W

Suy ra S (T, U)  s1 và S (T, U)  s2

Như vậy, trong X tồn tại lưới (S (T, U), V, ) hội tụ đến hai điểm khác nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết

Bởi vậy, X là T2-không gian

2.2.3 Định lý Giả sử S là một lưới nào đó và V là họ gồm các tập

con nào đó của X mà S thường xuyên gặp mỗi phần tử của V và giao hai phần tử tùy ý của V chứa phần tử nào đó của V Khi đó, tồn tại lưới con nào

đó của S nằm trong mỗi phần tử của U kể từ một lúc nào đó

Chứng minh

Bởi vì giao hai phần tử của V là một phần tử nào đó của V nên V được định hướng bởi quan hệ bao hàm, nghĩa là (V, ) là tập có hướng Thật vậy,

(1) Giả sử U, V, W  V sao cho U  V, V  W Khi đó, U  W

(a) Nếu ( , ), ( , ), ( , )m A n B p C E sao cho ( , )m A  ( , )n B  ( , )p C , thì

mn p và ABC

Do đó, m p và AC, kéo theo ( , )m A  ( , )p C

(b) Hiển nhiên ( , )m A  ( , )m A với mọi ( , )m A E

(c) Giả sử (m, A), (n, B) E Khi đó, vì giao hai phần tử của V chứa phần tử nào đó của V nên ta lấy C  V sao cho C AB Mặt khác, vì {Sn, n D} thường xuyên gặp mỗi phần tử của V nên {Sn, n  D} thường xuyên gặp C Hơn nữa, vì D là tập định hướng nên tồn tại pD sao cho p m p, n Lại

vì {Sn, n  D} thường xuyên gặp C nên tồn tại q p sao cho S qC Do vậy,

là lưới con của {Sn, n D}

Cuối cùng, ta chứng minh rằng S N nằm trong mỗi phần tử của V kể

từ một lúc nào đó Thật vậy, giả sử A  V Khi đó, vì {Sn, n D} thường xuyên gặp mỗi phần tử của V nên tồn tại mD sao cho S mA Do đó, với mọi ( , )n B  ( , )m A ta có

Điều này chứng tỏ rằng S N từ một lúc nào đó nằm trong A

2.2.4 Định lý Điểm s của một không gian tôpô X là điểm giới hạn của

lưới S khi và chỉ khi tồn tại lưới con nào đó của S hội tụ đến s

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử s là điểm giới hạn của lưới S và U là họ các lân

cận của s Khi đó, giao của hai phần tử tùy ý thuộc họ U lại là phần tử của U

và s thường xuyên gặp mỗi một phần tử của U Do đó, ta suy ra tồn tại một

lưới con T của S từ một lúc nào đó nằm trong mỗi phần tử của U Do đó, T

là lưới con của S hội tụ đến s

Điều kiện đủ Giả sử tồn tại lưới con T của S hội tụ đến s Ta chứng

minh rằng s là điểm giới hạn của S Thật vậy, giả sử ngược lại rằng skhông

là điểm giới hạn của lưới S Khi đó, tồn tại lân cận U của s sao Skhông

thường xuyên gặp U, nghĩa là Stừ một lúc nào đó nằm trong phần bù của U

Do vậy, mỗi lưới con của S cũng từ một lúc nào đó nằm trong phần bù của

U , tức là không hội tụ đến s, kéo theo T không hội tụ đến s Điều này mâu thuẫn với T là dãy con của S hội tụ đến s

2.2.5 Định lý

Giả sử S n n, Dlà lưới trong một không gian tôpô Đối với mỗi nD ,

ký hiệu A n là các tập điểm S m mà mn Khi đó, điểm s là điểm giới hạn của lưới S n n, D nếu và chỉ nếu s thuộc bao đóng của tập A n với mỗi nD

Chứng minh

"  " Giả sử s là điểm giới hạn của lướiS n n, D Khi đó, với bất kì n,

tập A n có giao khác rỗng với mọi lân cận tùy ý của s, vì lưới S n n, D

thường xuyên gặp mỗi lân cận đó Do đó, s thuộc bao đóng của mỗi tập A n

"  " Giả sử s thuộc bao đóng của tập An với mỗi nD Ta chứng minh rằng s là điểm giới hạn của lưới S n n, D Thật vậy, giả sử ngược lại rằng s không là điểm giới hạn của lưới S n n, D Khi đó, tồn tại lân cận

U của s sao cho lưới S n n, D không thường xuyên gặp U, nghĩa là tồn tại

nD sao cho với mọi mn ta đều có S mU Suy ra UA n Do đó, điểm

s không thuộc bao đóng của tập A n

2.2.6 Định lý

Giả sử X là không gian tôpô thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Khi đó,

(a) Điểm s là điểm giới hạn của tập A khi và chỉ khi tồn tại dãy trong

điểm s là điểm giới hạn của tập A

(b) Điều kiện cần: Giả sử A mở và {xn} là dãy bất kỳ trong A mà xn  s A

Ta phải chứng minh {xn} nằm trong A từ một lúc nào đó Thật vậy, vì A mở,

sA nên A là lân cận của s Hơn nữa, vì xn  s nên tồn tại n0N* sao cho với

mọi n  n0 ta đều có x n  A, nghĩa là {xn} nằm trong A từ một lúc nào đó

Điều kiện đủ: Giả sử nếu xn  s  A thì S nằm trong A từ một lúc nào đó

Ta phải chứng tỏ A mở, tương đương chứng minh X \ A đóng Thật vậy, giả sử ngược lại rằng X \ A không là tập hợp đóng Khi đó, tồn tại sX A\ sao cho

mọi lân cận của s đều giao với X \ A khác rỗng Bây giờ, giả sử {Vn} là dãy lân cận giảm được xây dựng như trong chứng minh (a) Khi đó,