Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không gian

Hệ quả: về giao tuyến Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Sinh viên thực hiện: Võ Thị Hương Trà Lớp: 09 ST

Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng, tháng 5/2013

MỤC LỤC

Trang Lý do chọn đề tài 1

Cấu trúc luận văn 1

Chương I: Quan hệ song song 2

1.1 Tóm tắt về các quan hệ song song 2

1.1.1 Hai đường thẳng song song 2

1.1.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 3

1.1.3 Hai mặt phẳng song song 4

1.2 Các bài toán áp dụng 8

1.2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song 8

1.2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 10

1.2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song 12

1.2.4 Dạng 4: Sử dụng quan hệ song song để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 15

1.2.5 Dạng 5: Sử dụng quan hệ song song để xác định thiết diện của một mặt phẳng và một hình 18

1.3 Bài tập tương tự 21

Chương II: Quan hệ vuông góc 24

2.1 Tóm tắt về các quan hệ vuông góc 24

2.1.1 Hai đường thẳng vuông góc 24

2.1.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 25

2.1.3 Hai mặt phẳng vuông góc 27

2.1.4 Một số hình đặc biệt 29

2.2 Bài tập áp dụng 31

2.2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 31

2.2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 34

2.2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 37

2.2.4 Dạng 4: Sử dụng quan hệ vuông góc để xác định thiết diện của một mặt phẳng và một hình 40

2.3 Bài tập tương tự 43

Chương III: Một số dạng toán tổng hợp 45

3.1 Tóm tắt về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc 45

3.1.1 Khoảng cách 45

3.1.2 Góc 46

3.2 Bài tập áp dụng 48

3.2.1 Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m cho trước 48

3.2.2 Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )  50

3.2.3 Dạng 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 53

3.2.4 Dạng 4: Cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 57

3.2.5 Dạng 5: Góc giữa hai đường thẳng 60

3.2.6 Dạng 6: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 61

3.2.7 Dạng 7: Góc giữa hai mặt phẳng 64

3.2.8 Dạng 8: Các dạng toán về mặt cầu – khối cầu 67

3.2.9 Dạng 9: Các dạng toán về mặt trụ – hình trụ – khối trụ 74

3.2.10 Dạng 10: Các dạng toán về mặt nón – hình nón – khối nón 76

3.2.11 Dạng 11: Các ví dụ về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 79

3.3 Bài tập tương tự 81

Kết luận 82

Tài liệu tham khảo 83

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học sư phạm – Đại học Đà Nẵng nói chung, các thầy cô giáo khoa Toán nói riêng đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn

TS Nguyễn Ngọc Châu đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ

và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Võ Thị Hương Trà

PHẦN MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm Khi mới ra đời, hình học là môn khoa học thực nghiệm nảy sinh từ việc đo đạc, tính toán các đại lượng về khoảng cách giữa các điểm, diện tích các thửa ruộng, thể tích các thùng chứa,…Thời cổ đại, con người đã tích lũy được nhiều kiến thức hình học khá phong phú, chẳng hạn như công thức Py-ta-go, định lý Ta-lét, công thức tính thể tích hình chóp,…Dần dần, hình học trở thành một khoa học suy diễn chặt chẽ Ngày nay, hình học là một bộ phận không thể tách rời và là công cụ quan trọng trong việc xây dựng nên những bộ môn toán học hiện đại, đồng thời có nhiều ứng dụng trong nghành khoa học, kĩ thuật khác

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hình học không gian là một trong những môn học khó, trong đó quan hệ song song và quan hệ vuông góc là những nội dung cơ bản Các phương pháp giải toán hình học không gian thường được dùng là: phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vuông góc, phương pháp tồng hợp,…Là một giáo viên Toán tương lai, để tìm hiểu quan hệ song song và quan hệ vuông

góc trong hình học không gian, tôi chọn đề tài “ Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không gian ” cho luận văn Đại học của mình

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành ba chương

Chương I: Quan hệ song song

Chương II: Quan hệ vuông góc

Chương III: Một số dạng toán tổng hợp

CHƯƠNG I: QUAN HỆ SONG SONG

Chương này trình bày các quan hệ song song trong hình học không gian, cùng các bài toán

minh họa

1.1 Tóm tắt về các quan hệ song song

1.1.1 Hai đường thẳng song song

1.1.1.1 Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

cùng nằm trong một mặt phẳng mà không có điểm

chung

1.1.1.2 Định lí:

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho

trước ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song

song với đường thẳng đã cho

Tức là: B  , !a  b , B b  và a // b

1.1.1.3 Hệ quả:

Trong mặt phẳng ( ) cho đường thẳng a và điểm B

a Nếu từ B ta dựng đường thẳng b song song với a

Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào cắt

đường thẳng này thì phải cắt đường thẳng kia

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một

đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

α

a b

A B

a b c

a

b

a b c

1.1.1.7 Hệ quả: ( về giao tuyến )

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng

song song cho trước thì giao tuyến của chúng song song với hai

đường thẳng đó ( hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó )

Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với

một mặt phẳng là đường thẳng đó không nằm trong mặt

phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa

b

β α

a

b M

β d

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) thì mọi mặt phẳng ( ) chứa d mà cắt

( ) thì cắt theo giao tuyến song song với d

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )

Nếu từ một điểm M của ( ) dựng đường thẳng a song

song với d thì đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( )

Tức là:

( ) // d

( ) // d

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường

thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

Cho hai đường thẳng chéo nhau Qua đường thẳng này, ta

dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với đường

1.1.3 Hai mặt phẳng song song

1.1.3.1 Định nghĩa:

α

a b

α

d

a M

β α

β

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

1.1.3.2 Định lí:

Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song với nhau

thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) đều

song song với ( )

Tức là: ( )

// ( )( ) // ( )

Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau

và hai đường thẳng này cùng song song với một mặt

phẳng cho trước thì hai mặt phẳng đó song song với

Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau

lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt

phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau

Tức là: {

𝑎, 𝑏 ⊂ (𝛼); 𝑎′ , 𝑏′ ⊂ (𝛽)

𝑎 𝑐ắ𝑡 𝑏𝑎//𝑎′ ; 𝑏//𝑏′

b a

O

 Mặt phẳng (a’,b’) là mặt phẳng qua O và song song với ( )

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt

phẳng thứ ba thì song song với nhau

Tức là: ( ) // ( )

( ) // ( )( ) // ( )

Nếu từ một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( ) ta

dựng được một đường thẳng song song với ( ) thì

đường thẳng này nằm trong mặt phẳng qua A và song

Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt

phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau

Tức là:

( ) // ( )

( ) ( )( ) ( )

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến

song song những đoạn thẳng bằng nhau

a b

1.3.11 Định lí: (Định lí Ta-lét trong không gian)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát

tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Tức là:

( ) // ( ) // ( )

( ) , ( ) , ( )( ) ', ( ) ', ( ) '

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’

trên b sao cho:

1.3.13 Phép chiếu song song:

Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng

l cắt (P) Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ đường

thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l Đường

thẳng này cắt (P) tại một điểm M’ nào đó

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian

với điểm M’ của mặt phẳng (P) như trên gọi là phép

chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l

M'

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh

song song trong hình học phẳng ( tính chất đường trung bình của tam giác, định lí Ta-lét đảo, tính chất song song của hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 )

Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó song song với đường thẳng thứ ba

Cách 3: Áp dụng các định lí, hệ quả về giao tuyến ( Định lí 1.1.3.9, Định lí 1.1.2.5, Định lí

1.1.2.3 hoặc Hệ quả 1.1.1.7 )

1.2.1.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF chứa trong hai mặt phẳng khác nhau

Trên AC, BF lần lượt lấy các điểm M N, sao cho 1

3

AC  BF 

a) Chứng minh MN // DE

b) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng song song với AB, kẻ từ M và

N với AD, AF Chứng minh HK // DF

Gọi O’ là trung điểm AE

K H

O'

O M

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a, S là một điểm nằm ngoài (ABCD) sao cho

tam giác SAD đều Gọi M là một điểm trên đoạn AB, (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng SA và BC , (P) cắt các đoạn thẳng CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q

b) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ?

Ta có:  SAD là tam giác đều · · 0

B

C S

M

Gọi RNPMQ Ta có SR là giao tuyến của (SAB) và (SCD)  SR // CD // AB

Tứ giác RSND, QSAM, ADNM là hình bình hành

Nên MNAD, MRSA, NRDS  RMN là tam giác đều

2 34

MNR

a S

Mà QR = x = PR = QP

2

34

RQP

x S

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta dùng các cách sau:

Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mặt

phẳng

( Hay để chứng minh d //( ) ta cần chứng minh d ( ) và d // a và a( ) )

Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một mặt phẳng khác song song với

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt (BCE) và (DCF)

b) Trên các đoạn thẳng AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN

( M khác A và C ) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định

Giải

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt (BCE) và (DCF)

Gọi O và O’ là tâm của hai hình vuông ABCD và ABEF

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Nên OO’ là đường trung bình của các tam giác BDF và ACE

 OO’ // DF và OO’ // CE

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (CEF)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi Gvà G'lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và BCD

a) Chứng tỏ GG’ // (CAB)

b) MAD với MD = 2MA Chứng tỏ MG’ // (ABC) và AC // (MGG’)

Giải:

a) Chứng tỏ GG’ // (CAB)

Gọi N, K, J lần lượt là trung điểm của DC, BC, AC

Vì G là trọng tâm của  ACD 1(1)

3

NG NA

N O' O

K

Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song

(3)

b Sử dụng định lí Ta-lét đảo

1.2.3.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng

Trên các đoạn thẳng AC và BF, lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 1

3

AC  BF  Các

đường thẳng song song với AB kẻ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại P và Q

a) Chứng minh: (FAD) // (BCE)

b) Chứng minh: (MNPQ) // (CDE)

c) Xác đinh góc của AB và DF khi AB vuông góc với DF thì MNPQ là hình gì ?

Giải

a) Chứng minh: (FAD) // (BCE)

Giả thiết cho ABCD và ABEF là hai hình bình hành  AD // BC và AF // BE

M

N

D

F A

B

E C

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '

a) Chứng minh (BDA') // ( 'B D C' )

b) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G và G’ của hai tam giác BDA' và B D C' '

c) Chứng minh hai điểm G và G’ chia đường chéo AC’ thành ba đoạn bằng nhau

b) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G và G’

của hai tam giác BDA' và B D C' '

 đi qua trọng tâm G, G’ của hai BAD' và  'B D C'

c) Chứng minh hai điểm G và G’ chia đường chéo AC’ thành ba đoạn bằng nhau:

Ta có: OC //A O' ' tứ giác OCO' 'A là hình bình hành

// '

 mà O là trung điểm AC

 G là trung điểm của AG’ AGGG' (1)

Khi tứ giác OCO' 'A là hình bình hành A G' // 'O G' mà O là trung điểm A’C’

 G’ là trung điểm của GC’ GG'G C' ' (2)

Từ (1) và (2) AGGG'G C' '

G'

G O'

Dạng 4: Sử dụng quan hệ song song để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Vậy G và G’ chia AC’ thành ba đoạn bằng nhau

1.2.4

1.2.4.1 Phương pháp chung:

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng

Bước 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến

* Chú ý:

Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng này ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó Giao điểm (nếu có) của hai đường thẳng này chính là điểm chung

Ngoài ra ta có thể sử dụng một số định lí và hệ quả sau:

Định lí: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao

tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao

tuyến của chúng ( nếu có ) cũng song song với hai đường thẳng đó ( hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

Định lí: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () Nếu mặt phẳng ( ) chứa a và cắt

() theo giao tuyến b thì b song song với a

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của

chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

Định lí: Cho hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song

song với nhau

1.2.4.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với

ADCD và AB2CD

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b) Gọi E là trung điểm AB Tìm giao tuyến của (SAD) và (SCE), (SDE) và (SBC)

Giải

a) (SAB)(SCD)?

 S thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Và hai mặt phẳng (SAB),(SCD) lần lượt chứa hai

đường thẳng song song với nhau là AB và CD

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng

qua S và song song với AB và CD

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và ' ' '

B’C’ M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A BCC B' ', ' ' và CAA’C’

c

D

C S

B

' ( ' ')' ( ' ') ( ' ')

Trong 'A BC có MP là đường trung bình MP // BC

Trong ABC' có NP là đường trung bình NP // AB

Trong AB C' có MN là đường trung bình MN // AC

1.2.5

2.5.1 Phương pháp chung:

Ta có thể phân ra việc tìm thiết diện làm ba loại:

a Thiết diện chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

b Thiết diện đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước

c Thiết diện đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước

a Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P), (P) chứa một đường thẳng a song song với một đường thẳng b cho trước ( a và b chéo nhau ) ta tìm như sau:

Bước 1: Chỉ ra hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng

Bước 3: Khi đó ( )P ( )Q Mx // // a b

Bước 4: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt còn lại của hình chóp

Bước 5: Dựng thiết diện

b Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P), (P) đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước ta tìm như sau:

Bước 1: Tìm M( )P ( )Q với ( )Q là mặt phẳng qua hai đường thẳng cho trước

Bước 2: Chỉ ra ( ) // P a hoặc b // ( )P Suy ra giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng qua M và song song với a hoặc b

Bước 3: Tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với mặt phẳng (P) bằng các

cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện

c Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P), (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước

Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng (R) nào đó của hình

chóp

Bước 2: Chỉ ra ( ) // ( )P Q (với (Q) là mặt phẳng cho trước ) Tìm a( )P ( )R ,

( ) ( )

b Q  R khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với a hoặc b

Bước 3: Dựng thiết diện

Dạng 5: Sử dụng quan hệ song song để xác định thiết diện của một mặt

phẳng và một hình

1.2.5.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a I, J lần lượt là trung điểm AC, BC K thuộc BD

với KB2KD

a) Xác định thiết diện của (IJ )K với tứ diện ABCD

b) Tính diện tích thiết diện theo a

Giải

a) Xác định thiết diện của (IJ )K với tứ diện ABCD

Ta có:(IJ )K (BCD)JK;(IJ )K (ABC)IJ

 cắt (ABD)theo giao tuyến đi qua K và

song song với IJ, AB cắt AD tại L

Gọi  L (IJ )K AD (IJ )K (ABD)KL

Thiết diện là hình thang IJKL ( có hai đáy là

J B

C

D A

a) Mặt phẳng ( ) qua M và song song với SC, AD

b) Mặt phẳng ( ) qua O và song song với BM, SD

( ) cắt (SAC) theo giao tuyến đi qua M

và song song với SC

( ) cắt (SAD) theo giao tuyến đi qua M

và song song với AD và N là trung điểm SD

O A

B

C

D S

Vậy thiết diện là hình MNPQ

b) Mặt phẳng ( ) qua O và song song với BM, SD

Bài 1: Cho tứ diện SABC và M là một điểm nằm bên trong tam giác ABC Qua M kẻ các

đường thẳng song song với SA, SB, SC, chúng cắt các mặt tương ứng (SBC), (SAC), (SAB) lần lượt tại A’, B’, C’

a) Khi M thay đổi thì giá trị của đại lượng sau NM PM QM 1

S

D

C

Chứng minh MA' MB' MC'

SA  SB  SC là hằng số

b) Xác định vị trí của M để đại lượng MA MB MC' ' '

SA  SB  SC nhận giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang cạnh a, tam giác SAB là tam giác

đều trên cạnh AD, ta lấy điểm M và đặt AM  (0x  x a) Một mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) lần lượt cắt CB, CS và SD tại N, P, Q

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (

ABCD ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB

a) Chứng minh MN // CD

b) Tìm giao điểm P của SC và (ADN)

c) Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I Chứng minh SI // AB // CD Tứ giác SABI là hình gì?

Bài 4: Cho hình vuông ABCD và ABEF lần lượt có tâm là O và O’, không cùng nằm trên

một mặt phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm OD và O’E

a) Chứng minh DF // CE

b) Tìm trên (CDE) một đường thẳng song song với IK

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm các cạnh SD, CD và CB

a) Chứng minh OM song song với các mặt phẳng (SAB) và (SBC)

b) Chứng minh SP // (OMN)

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng Gọi

O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF

a) Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (CDEF) b) Chứng minh HK // (CBE)

c) M và N thuộc cạnh AC và BF sao cho AM BN

AC  BF Các đường thẳng kẻ từ M và N song song với AB lần lượt cắt AD tại H và K Chứng minh đường thẳng HK song song với mặt phẳng (DEF)

Bài 7: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các

đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM BN Các đường thẳng song

song với AB kẻ từ M và N cắt AD, AF tại M’

a) Chứng minh (CBE) // (ADF)

b) Chứng minh rằng M N' ' // DFvà ( EF) // (D MNN M' ')

Bài 8: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của tứ diện I là điểm thuộc cạnh BC Hãy

dựng thiết diện của thiết diện tạo bởi (P) qua I và song song với AD

Bài 9: Cho tam giác OAB vuông tại O, C là trung điểm OB và D(OAB) sao cho OD cắt AC Mặt phẳng ( ) di động song song với AC và OD cắt OA, AD, BD lần lượt tại M, N,

R, S

a) Tứ giác MNRS là hình gì ?

b) Cho OA = OB = OC = OD = a và đặt OM = x Tính diện tích của tứ giác MNRS theo

a và x Định vị trí của M trên OA sao cho diện tích này đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD và điểm M nằm trên cạnh SA ( không trùng với S hoặc A

) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với hai đường thẳng AC, BD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD

a) Xác định giao điểm (P) với đường thẳng SO

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P)

CHƯƠNG II: QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Chương này trình bày các quan hệ vuông góc trong hình học không gian, cùng các dạng toán minh họa

2.1 Tóm tắt về các quan hệ vuông góc

2.1.1 Hai đường thẳng vuông góc

2.1.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong một mặt phẳng:

Cho hai đường thẳng a, b trong một mặt phẳng

 Nếu a, b cắt nhau, chúng tạo thành 4 góc Ta gọi số đo của góc nhỏ nhất trong bốn góc

đó được gọi là số đo của góc hợp bởi hai đường thẳng a, b hay đơn giản là góc giữa hai đường thẳng a và b

 Nếu a // b hoặc ab , ta định nghĩa số đo của góc tạo bởi a và b bằng 0 0

Kí hiệu ( , )·a b hay (a,b) là góc tạo bởi hai đường thẳng a và b

Ta luôn có 0 ( , ) ·a b 900

2.1.1.2 Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian:

Cho hai đường thẳng bất kì a, b trong không gian Từ một điểm O tùy ý ta dựng hai đường thẳng cắt nhau a’, b’ lần lượt song song với a và b Khi đó góc tạo bởi hai đường thẳng a và

b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’, kí hiệu là ( , )·a b hay (a,b)

 Chú ý:

Để xác định ( , )·a b

ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đường thẳng đó

2.1.1.3 Hai đường thẳng vuông góc:

Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

( , ) 90

a b a b 

b a

b' a' O

2.1.1.4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian:

Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai

 Trong không gian hai đường thẳng vuông góc thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau

 Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau nhưng trong không gian thì không còn đúng

2.1.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 Lấy hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng đi

qua d’ Trong (P) dựng đường thẳng a qua O

và vuông góc với d’ Trong (Q) dựng đường

thẳng b qua O và vuông góc với d’

Khi đó (a,b) chính là mặt phẳng cần dựng

2.1.2.4 Hệ quả:

Cho trước điểm O và đường thẳng a Nếu qua O ta dựng đường thẳng b vuông góc với a thì

b chứa trong mặt phẳng qua O vuông góc với a

Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

2.1.2.6 Định lí:

Từ một điểm O cho trước ta dựng được một và chỉ một đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng ( ) cho trước

Cách dựng:

 Lấy đường thẳng a nằm trong ( )

 Dựng mặt phẳng (P) qua O vuông góc với a cắt ( ) theo giao tuyến b

 Trong (P) dựng đường thẳng d qua O và vuông góc với b

Khi đó d chính là đường thẳng cần dựng

2.1.2.7 Định lí:

Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào

vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với

đường thẳng kia

Tức là: //

( )( )

Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào

vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một

đường thẳng thì song song với nhau

Tức là: ( )

( ) // ( )( )

Cho hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với

một mặt phẳng thì song song với nhau

a

α

2.1.2.11 Định lí:

Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng( không chứa

đường thẳng đó ) cùng vuông góc với một đường thẳng

thì đường thẳng và mặt phẳng đó song song với nhau

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( )

và đường thẳng b nằm trong ( ) Khi đó, điều kiện cần và

đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng

vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó

Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn

thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó

α

I

M

B A

α

M I

Phép đối xứng qua mặt phẳng ( ) là phép tương ứng với mỗi điểm M trong không gian một điểm M’ sao cho ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM’

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

Nếu hai mặt phẳng    và    vuông góc với nhau ta kí hiệu      

2.1.3.3 Định lí:

Điều kiện cần và đủ đề hai mặt phẳng vuông góc với

nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng kia

Tức là:

( )( ) ( ) ( )( )

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ

đường thẳng nào nào trong mặt phẳng này và vuông góc

với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Tức là:

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

d

d a

Cho hai mặt phẳng    và    vuông góc với nhau

Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng    ta dựng một đường

thẳng vuông góc với    thì đường thẳng này nằm trong

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc

với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng

vuông góc với mặt phẳng thứ ba

 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng

 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật

 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là

hình lập phương

α

β

a A

γ

α

β a

Hình lăng trụ đứng tam giác Hình lăng trụ đứng ngũ giác

Một hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều

Khi đó:

 Hai đáy là đa giác đều và đồng dạng

 Đường nối tâm OO’ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều

O B

B

C S

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

 Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và bằng nhau

 Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đáy thuộc một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp cụt đều

- Nếu hai đường thẳng đó đồng phẳng ta có thể vận

dụng các phương pháp chứng minh vuông góc trong

hình học phẳng ( như sử dụng sự liên hệ về quan hệ

song song, quan hệ vuông góc )

- Chứng tỏ góc tạo bởi hai đường thẳng đó có số đo bằng một vuông ( được đưa về cách thứ nhất bằng phương pháp chứng minh hay tính toán của hình phẳng )

- Hay dựa vào mệnh đề:  

 

a b

O' A' D'

C'

O B

A

D C

Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và

N là trung điểm của CD nên NANB

Mặt khác MAMB

Do đó MNAB MN IJ

Tương tự:

Do các cạnh của tứ diện bằng nhau và M là

trung điểm của AB nên: CMMD

C

D A

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD sao cho: uuur uuurAB AC uuur uuurAC AD uuur uuurAD AB Chứng minh tứ diện

ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc và ngược lại

uuur uuuruuur  uuurAB DC uuur 0 ABDC

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu hai cạnh đối của một tứ diện vuông góc với nhau thì cặp

cạnh đối thứ ba cũng vuông góc với nhau

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuurBA AC BA CDuuur uuur uuurAC uuurACuuurAC CD uuur

uuurAC (BA AC CDuuur uuur uuur)BA CDuuur uuur (vì ABCD nên BA CD uuur uuur 0)

uuurAC (BA AC CDuuuruuuruuur)

C

D A

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a Trên các cạnh DC và ' ' ' ''

BB ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM BN  với 0 x a x   Chứng minh rằng

hai đường thẳng AC’ và MN vuông góc với nhau

uuuur uuur uuuur

=uuur uuurAB BN   uuurAD DMuuuur

Cách 2: Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b vuông góc với ( )

hoặc đường thẳng a vuông góc với    mà    //   

Cách 3: Dựa vào mệnh đề (phương pháp này vận dụng khi ta đã có giả thiết hai mặt phẳng

vuông góc với nhau)

b) Lấy ba điểm A, B, C lần lượt thuộc

ba tia ấy H là trực tâm ABC