Phương pháp số giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

dẫn đến việc cần phải giải các phương trình và hệphương trình phi tuyến, tuy nhiên các phương trình và hệ phương trình nàythường phức tạp, do đó khó có thể giải được đưa được về các phươ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:ThS NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 05/2013

Mục lục

1 Một số khái niệm mở đầu 6

1.1 Các kiến thức cơ bản về giải tích hàm 6

1.1.1 Không gian metric 6

1.1.2 Sự hội tụ 7

1.1.3 Tập hợp mở và tập hợp đóng 8

1.1.4 Không gian đầy đủ 10

1.1.5 Không gian compact 11

1.1.6 Ánh xạ liên tục 12

1.1.7 Không gian định chuẩn 12

1.1.8 Nguyên lý ánh xạ co (Banach) 14

1.2 Cách tiếp cận lời giải số 16

1.2.1 Nghiệm và khoảng phân li nghiệm 17

1.2.2 Phương pháp giải tích 20

1.2.3 Phương pháp hình học 21

1.2.4 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối 22

2 Giải số phương trình đại số và siêu việt 23 2.1 Phương pháp lặp đơn 23

2.1.1 Nội dung phương pháp 23

2.1.2 Tính hội tụ 24

2.1.3 Đánh giá sai số 25

2.1.4 Thuật toán 26

2.1.5 Ví dụ 27

2.2 Phương pháp dây cung 33

2.2.1 Nội dung phương pháp 33

2.2.2 Tính hội tụ 36

2.2.3 Đánh giá sai số 36

2.2.4 Thuật toán 38

2.2.5 Ví dụ 39

2.3 Phương pháp tiếp tuyến 41

2.3.1 Nội dung phương pháp 41

2.3.2 Tính hội tụ 44

2.3.3 Đánh giá sai số 44

2.3.4 Thuật toán 45

2.3.5 Ví dụ 45

3 Giải số hệ phương trình phi tuyến 48 3.1 Phương pháp lặp đơn 50

3.1.1 Nội dung phương pháp 50

3.1.2 Sự hội tụ và đánh giá sai số 50

3.1.3 Ví dụ 51

3.2 Phương pháp Newton 56

3.2.1 Nội dung phương pháp 56

3.2.2 Ví dụ 57

LỜI MỞ ĐẦU

Các bài toàn thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất, đường đi của cáctàu buôn trên biển, ) dẫn đến việc cần phải giải các phương trình và hệphương trình phi tuyến, tuy nhiên các phương trình và hệ phương trình nàythường phức tạp, do đó khó có thể giải được (đưa được về các phương trình

và hệ phương trình cơ bản) bằng các biến đổi đại số Hơn nữa vì các côngthức nghiệm (của phương trình phi tuyến) thường phức tạp, cồng kềnh, nêncho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua côngthức cũng gặp phải rất nhiều khó khăn.Vì vậy, ngay từ thời Archimedes, cácphương pháp giải gần đúng đã được xây dựng

Với sự phát triển của công cụ tin học các phương pháp giải gần đúng lạicàng có ý nghĩa thực tế lớn Tuy nhiên, để việc thực hiện tính toán toán họcđược dễ dàng đòi hỏi người sử dụng phải có hiểu biết về lí thuyết toán học.Trong giải số phương trình và hệ phương trình phi tuyến, chúng ta thường

cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tốc độ hội

tụ nhanh và tính chính xác cao Vì vậy, việc sử dụng thành thạo các phươngpháp giải số sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc thực hành tính toán Với mục đích tìmhiểu về các phương pháp số em đã chọn đề tài "Phương pháp số giải phươngtrình và hệ phương trình phi tuyến"

Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và 1 phụ lục

• Chương 1: Trình bày những khái niệm cơ bản về giải tích hàm và cáchgiải sơ bộ phương trình phi tuyến

• Chương 2: Trình bày các phương pháp số giải phương trình đại số vàsiêu việt gồm phương pháp lặp đơn, phương pháp dây cung, phươngpháp Newton - Raphson Sử dụng phần mềm Maple vào giải số các ví

dụ cụ thể và minh họa bằng hình vẽ.

• Chương 3: Trình bày các phương pháp số giải hệ phương trình phi tuyếngồm phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Raphson.Sử dụngphần mềm Maple vào giải số các ví dụ cụ thể

• Phụ lục : Trình bày các đoạn code bằng maple để giải số phương trình

và hệ phương trình phi tuyến

Trong thời đại tin học hiện nay thì việc sử dụng các phương pháp tínhcàng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán và cho độ chính xác cao

Để minh họa và kiểm chứng lí thuyết, em đã sử dụng phần mềm Maple đểlập trình tính toán các bài toán cụ thể

Trước khi trình bày nội dung của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới thầy Nguyễn Hoàng Thành, người đã giới thiệu đề tài, cung cấptài liệu và tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập và thực hiệnkhóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất tú đã hướng dẫn nhiệttình cách lập trình Mapple ứng dụng giải số phương trình và hệ phương trìnhphi tuyến

Đồng thời em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể cácthầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

đã cung cấp cho em những kiến thức toán học bổ ích trong suốt quá trìnhhọc tập tại trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm khóa luận không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được

sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn

Xin chân thành cảm ơn

Đà nẵng, ngày 25 tháng 05 năm 2013

Nguyễn Thị Mùi

Chương 1

Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập hợp tùy ý (X 6= ∅) Một khoảng cáchhay một metric trong X là một ánh xạ:

d : X × X → R(x, y) 7→ d(x, y)

thỏa mãn các điều kiện sau:

1 d(x, y) ≥ 0; ∀x, y ∈ X

2 d(x, y) = 0 ↔ x = y

3 d(x, y) = d(x, y); ∀x, y ∈ X

4 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y); ∀x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) được gọi là không gian metric

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức tứ giác) Nếu x, y, u, v là bốn điểm tùy ý củakhông gian metric (X, d), thì ta có

|d(x, y) − d(u.v)| ≤ d(x, u) + d(y, v)

Chứng minh.

Vì d(x, y) ≤ d(x, y) + d(u, v) + d(v, y)

Nên d(x, y) − d(u, v) ≤ d(x, u) + d(v, y)(1)

Và d(u, v) ≤ d(u, x) + d(x, y) + d(y, v)

⇒ d(u, v) − d(x, y) ≤ d(u, x) + d(y, v)(2)

Các vế phải của (1) và (2) bằng nhau, từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứngminh

Định lý 1.2 Cho (X,d) là không gian metric, A ⊂ X, A 6= ∅ với ∀x, y ∈ X,

1.1.3 Tập hợp mở và tập hợp đóng

Cho (X,d) là không gian metric và A ⊂ X khi đó:

Định nghĩa 1.3 B(x0, r) = {x ∈ X/d(x, x0) < r} gọi là hình cầu mở.Định nghĩa 1.4 B0(x0, r) = {x ∈ X/d(x, x0) ≤ r} gọi là hình cầu đóng.Định nghĩa 1.5 • B(x0, r) gọi là một r - lân cận của điểm x0

• Mọi tập con của X bao hàm một r - lân cận nào đó của x0 gọi là mộtlân cận của x0

Định nghĩa 1.6 x được gọi là điểm trong của tập hợp A ⊂ X nếu có mộtlân cận của x nằm trong tập hợp A

Định nghĩa 1.7 x được gọi là điểm biên của tập hợp A ⊂ X nếu bất cứlân cận nào của x cũng có chứa cả những điểm của A và những điểm khôngthuộc tập hợp A

Định nghĩa 1.8 A ⊂ X gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm thuộc nó đều làđiểm trong của nó

Định nghĩa 1.9 A ⊂ X gọi là tập hợp đóng nếu mọi điểm không thuộc nóđều là điểm trong của phần bù của nó

Giả sử x ∈ B(a, r) thế thì d(a, x) < r

Ta hãy lấy r0 sao cho 0 < r0 < r − d(a, x)

Khi đó B(x, r0) ⊂ B(a, r) bởi vì nếu y ⊂ B(x, r0) thì d(x, y) < r0 Do đó:

d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < r ⇒ y ∈ B(a, r)

Vậy mọi điểm x của hình cầu B(a,r) đều là điểm trong của hình cầu ấy vàB(a,r) là mở.

Định lý 1.5 Trong không gian metric X:

Qủa vậy, giả sử y ⊂ B(x, r0) tức là d(x, y) < r0

Vì d(a, x) ≤ d(a, y) + d(x, y) < d(a, y) + d(a, x) − r

Nên d(a, y) > r , vậy y ∈ B0(x, r) , tức là y ∈ G

Định lý 1.6 Trong không gian metric X, điều kiện cần và đủ để một tậphợp F ⊂ X đóng là nếu dãy (xn) gồm những điểm xn ∈ F hội tụ đến a, thì

Mà G là mở, nên tồn tại một hình cầu B(b, r) ⊂ G Vì xn 6∈ G nên xn 6∈B(b, r) vậy d(b, xn) ≥ r(n = 1, 2, )

Điều này chứng tỏ mọi điểm b 6∈ F đều không thể là giới hạn của dãy (xn)

Vì a là giới hạn của dãy (xn), nên a ∈ F

Điều kiện đủ: Giả sử tập hợp F có tính chất đã nêu trong định lý Ta hãychứng minh rằng tập hợp G là mở

Giả sử trái lại rằng G là không mở Khi đó tồn tại một điểm a ∈ G khôngphải là điểm trong của G : như vậy bất cứ hình cầuB(a, 1n)(n = 1, 2, ) cũng

không được chứa trọn trong G, nói cách khác tồn tại một điểmxn ∈ B(a,n)

với xn ∈ F (n = 1, 2, )

Vì d(a, (xn)) < n1 , nên xn → a , mà xn ∈ F , tức là a 6∈ G

Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng G là mở và F là đóng 

Định lý 1.7 Giả sử F là một tập hợp đóng trong không gian metric X Khi

Định nghĩa 1.10 Dãy {xn} trong không gian metric X gọi là một dãyCauchy nếu

x0 ∈ Y Thành thử Y chứa các điểm dính của nó, vậy Y là đóng

Điều kiện đủ: Giả sử Y là đóng và {xn} là một dãy Cauchy trong Y Dĩnhiên {xn} cũng là một dãy Cauchy trong X, mà X đầy đủ, vậy tồn tại giớihạn x0 của dãy{xn} Vìxn ∈ Y với mọi n, nên x0 ∈ Y = Y Thành thử mọidãy Cauchy trong Y đều có giới hạn thuộc Y Vậy Y là đầy đủ 

1.1.5 Không gian compact

Định nghĩa 1.12 Một tập hợp M trong không gian metric (x, d) được gọi

là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa một dãy con {(xn)k} hội tụ tớimột điểm trong M

Một metric(X, d) được gọi là không gian compact nếu nó là một tập hợpcompact

Định lý 1.9 Giả sử K là một tập hợp compact trong không gian metric Khiđó

a K là đóng và hoàn toàn bị chặn

b Với tính chất là một không gian con của X, thì K là một không gianmetric đầy đủ

Chứng minh

a Giả sử x0 ∈ K Khi đó tồn tại một dãy {xn} trong K hội tụ đến x0 Dãy

{xn} là một dãy Cauchy và x0 là điểm cụm duy nhất của nó, mà K làcompact nên ta phải có x0 ∈ K Vậy K đóng

Giả sử K không hoàn toàn bị chặn: khi đó tồn tại một số r > 0 sao chokhông thể phủ K bởi một số hữu hạn những hình cầu với bán kính r.Lấy x1 ∈ K

Vì K (B(x1, r) ∪ B(x2, r)) 6= ∅ nên tồn tại x3 ∈ K (B(x1, r) ∪ B(x2, r)).Tiếp tục quá trình ấy, ta dựng được một dãy điểm {xn} trong K sao cho:

b Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong K Vì K là compact nên có mộtdãy con {xnk} của {xn} và lim

n→∞{xnk} = x0 ∈ K Dễ dàng thấy x0 cũng

là giới hạn của dãy {xn} Từ đó ta có K là một không gian metric đầy

đủ 

1.1.6 Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.13 Cho (X, dx), (Y, dy) là các không gian metric

Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu:

Điều kiện cần : Giả sử f liên tục tại x0 và W ⊂ Y là một lân cận tùy

ý của f (x0) Ta hãy chứng tỏ rằng tồn tại một hình cầu B(x0,n1) ⊂ X saocho f (B(x0,n1)) ⊂ W Giả thiết trái lại rằng với mọi n = 1, 2, 3, ta đều

có f (B(x0,n1)) 6∈ W Như vậy với mỗi n tồn tại một điểm xn ∈ B(x0,n1) saocho f (xn) 6∈ W Vì d(x0, xn) < n1, nên xn n→∞−→ x , nhưng f (xn) không thuộclân cận W của f (x0) với mọi n, vậy dãy {f (xn)} không thuộc lân cận W của

f (x0) với mọi n, vậy dãy {f (xn)} không hội tụ đến f (x0), trái giả thiết.Điều kiện đủ : Giả sử ánh xạ f có tính chất đã nêu lên trong định lý, và

(xn) là một dãy tùy ý trong X hội tụ đến (x0) Với số dương r > 0 cho trướctùy ý, hình cầu B(f (x0), r) ⊂ Y là một lân cận của f (x0) Vậy theo giảthiết, tồn tại một lân cận V ⊂ X của (x0) sao cho f (V ) ⊂ B(f (x0), r) Vì

xn

n→∞

−→ x và V là một lân cận của (x0) , nên tồn tại (n0) sao cho (xn) ∈ V

khi n ≥ n0 Vậy khi n ≥ n0 thì f (xn) ∈ B(f (x0), r), r > 0 là tùy ý, nên tathấy rằng f (xn) → f (x0) 

X là không gian vectơ trên trường K

Ánh xạ P : X →R gọi là một chuẩn trên X nếu:

a P (x) ≥ 0; ∀x ∈ X

P (x) = 0; ⇔ x = 0

b ∀x ∈ X; ∀α ∈ R : P (αx) = |α|P (x)

c ∀x, y ∈ X : P (x + y) ≤ P (x) + P (y)

Và (X,P) gọi là không gian định chuẩn Kí hiệu :P (x) = kxk

Trong không gian định chuẩn (X,P), ta kí hiệu: d(x, y) = kx − yk Khi đó d

c d(x, y) = kx−yk = kx−z +z −yk ≤ kx−zk+kz −yk = d(x, z)+d(z, y)

Định lý 1.11 Giả sử A : X → Y là một ánh xạ tuyến tính từ không gianđịnh chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau đây làtương đương:

a A liên tục

b A liên tục tại một điểm x0 ∈ X

c A liên tục tại điểm 0 ∈ X

d Tồn tại một số M, sao cho với mọi x ∈ X, ta đều có: kAxk ≤ M kxk

Chứng minh

(a) ⇒ (b) : hiển nhiên

(b) ⇒ (c) : Cho A liên tục tại x0 Phải chứng minh A liên tục tại 0

(c) ⇒ (d): cho A liên tục tại 0

Với mọi  > 0; tồn tại δ > 0; với mọi x ∈ X mà kxk < δ ⇒ kAxk < .Chọn  = 1 ⇒ tồn tại δ0 > 0 ; với mọi x ∈ X mà kxk < δ0 ⇒ kAxk < 1 (∗)

Với mọi x ∈ X\{0} ⇒ δ0

2kxkx =

δ02kxkx

kxk = δ0

2kxkkxk = δ0

2 < δ0(∗) ⇒ A



δ02kxkx < 1 ⇒

δ02kxkA(x) < 1

(4) ⇒ (1) : ∀x∗ ∈ X Chứng minh rằng A liên tục tại x∗

Với mọi {xn} ⊂ X mà lim

n→∞xn = x∗ Phải chứng minh lim

n→∞A(xn) = A(x∗) với mọi n ∈ NkA(xn) − A(x∗)k = kA(xn− x∗)k < M kxn− x∗k n→∞−→ 0

Định nghĩa 1.15 Giả sử (X,d) vầ (Y,d) là hai không gian metric tùy ý.Ánh xạ F : X → Y gọi là ánh xạ co nếu ∃α ∈ R, 0 ≤ α < 1 sao cho

Định lý 1.12 (Banach) Cho (Y,d) là một không gian metric đầy đủ, F :

Y → Y là một ánh xạ co với hằng số co α Khi đó F có duy nhất một điểmbất động u và Fn(y) → u; ∀y ∈ Y Khi đó ta có :

d(Fny, u) ≤ αn(1 − α)−1d(F y, y)(n ≥ 1)

d(Fny, u) ≤ α(1 − α)−1d(Fny, Fn−1y)(n ≥ 1)

Chứng minh

∀y ∈ Y, không gian tổng quát giả sử d(F y, y) 6= 0.

n→∞Fny ⇒ lim

n→∞Fn+1y = lim

n→∞F (Fny) = F u (do F liên tục)Vậy F u = u

Giả sử ∃v ∈ Y ; v 6= u : F v = v ⇒ d(u, v) = d(F u, F v) ≤ αd(u, v)

Hệ quả 1.1 Cho ( Y,d) là một không gian metric đầy đủ và

⇒ là ánh xạ co từ M vào M mà M đóng trong không gian đầy đủ Y

⇒ u ∈ M : F (u = u) sự duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên 

Ta nghiên cứu những phương pháp giải số phương trình và hệ phương trìnhdạng :

trong đó f(x) là một hàm phi tuyến

Phương trình (1.1) thường gặp nhiều trong thực tế Tuy nhiên ngoài một

số lớp phương trình đơn giản như: phương trình bậc nhất,phương trình bậchai,phương trình bậc ba,phương trình bậc bốn,là các phương trình có côngthức nghiệm biểu diễn qua các hệ số và một vài lớp phương trình được giảibằng kĩ thuật của đại số (phân tích ra thừa số, đặt ẩn phụ, ) để đưa về cácphương trình bậc nhất và bậc hai, hầu hết các phương trình phi tuyến làkhông giải được chính xác ( không có công thức nghiệm biểu diễn qua các

hệ số của phương trình), vì vậy người ta thường tìm cách tìm nghiệm gầnđúng của phương trình Và ngay cả khi biết công thức nghiệm, do tính phứctạp của công thức, giá trị sử dụng của công thức nhiều khi cũng không cao

Hơn nữa, đa số các phương trình, thậm chí những phương trình rất đơn giản

về mặt hình thức nhưng lại xuất phát từ các bài toán thực tế, ví dụ phươngtrình: x = cos(x) + 1 − 5x không có công thức nghiệm thông qua các phéptoán cơ bản ( cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn), nói cách khác làkhông giải được hoặc khó giải bằng các phép biến đổi đại số

Những phương trình xuất hiện trong các bài toán thực tế ( ví dụ : khi đođạc, ) nói chung có thông tin đầu vào (thể hiện trên các hệ số, trong côngthức) chỉ là gần đúng (sai số trong đo đạc, đánh giá, tính toán sơ bộ, ) Vìvậy việc tìm nghiệm chính xác cũng không có ý nghĩa thực tế lớn, trong khi

đó với các phương pháp giải gần đúng phương trình, ta thường có công thứcđánh giá độ chính xác của nghiệm gần đúng và có thể tìm nghiệm đến độchính xác bất kì cho trước, nên phương pháp giải gần đúng phương trình có

ý nghĩa rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế

Các phương pháp giải chính xác chỉ mang tính đơn lẻ ( cho từng lớp phươngtrình), còn các phương pháp giải gần đúng phương trình mang tính phổ dụng:một phương pháp có thể dùng để giải cho những lớp phương trình rất rộng,thí dụ, chỉ đòi hỏi hàm số là liên tục chẳng hạn, vì vậy mà khả năng ứngdụng của giải gần đúng là rất cao

Trong chương này, để giải gần đúng phương trình, chúng ta luôn giả thiếtrằng, f(x) là một hàm xác định và liên tục trên một đoạn nào đó của đườngthẳng thực.Nhiều khi điều kiện này đã là đủ để xây dựng phương pháp giảigần đúng Trong một số phương pháp, ta sẽ giải thiết rằng f(x) khả vi đếncấp cần thiết (có đạo hàm cấp một hoặn cấp hai)

Định nghĩa 1.16 Mọi giá trị x∗ tại đó f (x∗) = 0 được gọi là nghiệm của(1.1)

Để giải gần đúng phương trình (1.1) ta tiến hành các bước sau:

a Tách nghiệm: tức là tìm một khoảng [a,b] đủ nhỏ sao cho phương trình(1.1) có nghiệm duy nhất x∗ ∈ [a, b]

b Kiện toàn nghiệm: là điều chỉnh đến gần nghiệm đúng với sai số cho

Ý nghĩa hình học của định lý này là: Đồ thị của một hàm số tăng chặt(giảm chặt) là một đường cong liên tục (liền nét) luôn đi lên (đi xuống) Khi

di chuyển từ điểm A(a,f(a)) sang điểm B(b,f(b)) nằm ở hai phía khác nhaucủa trục hoành thì đồ thị phải cắt và chỉ cắt trục hoành tại một điểm (Hìnhvẽ):

Hình 1.2:

Hai định lý trên chỉ đòi hỏi tính liên tục mà không đòi hỏi tính khả vi(tồn tại đạo hàm) của f(x).Nếu f(x) có đạo hàm thì có thể dùng tiêu chuẩndưới đây

Định lý 1.15 Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) và đạo hàm f’(x) của

nó không đổi dấu (luôn âm hoặc luôn dương) trên đoạn [a,b] Khi ấy nếu

f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có duy nhất một nghiệm trongkhoảng [a,b]

Từ ba định lí trên, ta đi đến hai phương pháp tìm khoảng cách li nghiệmcủa phương trình f (x) = 0 (khoảng chứa duy nhất một nghiệm): phươngpháp hình học và phương pháp giải tích

1.2.2 Phương pháp giải tích.

Giả sử ta phải tìm nghiệm của phương trình f (x) = 0 trong khoảng [a, b]

Ta tính giá trị f (a), f (b) và các giá trị f (xi) của hàm số tại một số điểm

xi ∈ [a, b], i = 1, 2, , n Nếu hàm f (x) đơn điệu chặt trên khoảng (xi, xi+1)

và điều kiện f (xi)f (xi+1) < 0 được thỏa mãn thì (xi, xi+1) là một khoảngcách li nghiệm của phương trình f (x) = 0

Nếu thông tin về phương trình quá ít ta dùng phương pháp chia đôi:Nguyên tắc thực hiện phương pháp chia đôi như sau:

Xác định dấu f (a).f (b) < 0 , sau đó chia đôi đoạn [a,b] và gọi [a1, b1] làmột trong hai nửa ở trên sao cho f (a1).f (b1) < 0 Lại chia đôi đoạn [a1, b1]

và gọi [a2, b2] là một trong hai đoạn con mà f (a2).f (b2) < 0 ; quá trình cứthế tiếp tục.( Nếu tại ai mà f (ai) = 0 hoặc bi mà f (bi) = 0 thì ta có đượcgiá trị đó là nghiệm đúng của phương trình (1.1))

Trường hợp f(x) là đa thức đại số bậc n: a0xn+ a1xn−1+ + an, a0 6= 0

có không quá n nghiệm Vì vậy nếu có (n + 1) điểm đổi dấu thì khâu táchnghiệm là xong

Khi hàm f (x) đủ tốt (có đạo hàm, có dạng cụ thể, ), ta có thể khảo sát

đồ thị để chia trục số thành các khoảng đổi dấu của đạo hàm (khoảng đồngbiến và nghịch biến của hàm số) và xác định các khoảng cách li nghiệm

Ví dụ 1.2.1 Tìm khoảng cách li nghiệm của phương trình

2, ∞)

Ví dụ 1.2.2 Tìm khoảng cách li nghiệm của phương trình

f (x) = 2x− 5x − 3 = 0 (1.3)Giải:

Nguyên tắc của phương pháp hình học như sau:

Nghiệm của phương trình f (x) = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị

y = f (x) và trục hoành; hoặc là tương đương, nếu ta biến đổi f (x) = 0 vềdạng :

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất đo đó phương trình (1.5)

có một nghiệm thực duy nhất, ký hiệu là x∗

Hình 1.3: Đồ thị hàm số f (x) = x3 − x − 1 = 0

Ta tính thêm:

f (1) = 13 − 1 − 1 < 0

f (2) = 23 − 2 − 1 > 0

Vậy khoảng [1,2] chứa nghiệm của phương trình (1.5)

Gọi a là số gần đúng của a∗ Đại lượng ∆ := ka − a∗k gọi là sai số thật sựcủa a

Tuy nhiên, nếu không biếta∗ thì ta cũng không biết∆, khi đó ta sẽ tìm được

∆a ≥ 0 thỏa :

ka − a∗k ≤ ∆a

gọi là sai số tuyệt đối của a

Ta gọi δ := ∆a

kak là sai số tương đối của a

Sau khi đã tách được nghiệm, thì công việc tiếp theo là kiện toàn nghiệm

Để thực hiện bước này chúng ta dùng một trong các phương pháp được mô

tả trong mục sau:

Chương 2

Giải số phương trình đại

số và siêu việt

Giả sử (a,b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f (x) = 0 Giảphương trình f (x) = 0 bằng phương pháp lặp gồm các bước sau:

a Đưa phương trình f (x) = 0 về phương trình tương đương x = g(x)

b Chọn x0 ∈ (a, b) làm nghiệm gần đúng đầu tiên

c Thayx = x0 vào vế phải của phương trình x = g(x)ta được nghiệm gầnđúng thứ nhất x1 = g(x0) Lại thay x1 = g(x0) vào vế phải của phươngtrình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2 = g(x1) Lặp lạiquá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng:

Có nhiều phương trình dạng x = g(x)tương đương với phương trình f (x) =

0 Phải chọn hàm số g(x) sao cho dãy {xn} xây dựng theo phương pháp lặp

là dãy hội tụ và nhanh hội tụ tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau:

Định lý 2.1 Giả sửx∗ là nghiệm của phương trình f (x) = 0và phương trình

x = g(x) tương đương với phương trình f (x) = 0 trên đoạn [a,b] Nếu g(x)

và g’(x) là những hàm số liên tục trên đoạn [a,b] sao cho |g0(x)| ≤ q < 1,

∀x ∈ [a, b] thì từ mọi vị trí ban đầu x0 ∈ (a, b) dãy {xn} xây dựng theophương pháp lặp xn = g(xn−1) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x∗ trong khoảng(a,b) của phương trình f (x) = 0

Chứng minh

Giả sử x0 ∈ (a, b) bất kỳ Vì x∗ là nghiệm của phương trình f (x) = 0 trongkhoảng (a,b) nên ta có x∗ = g(x∗) Mặt khác x1 = g(x0) nên x1 − x∗ =g(x0) − g(x∗)

Theo định lý Lagrange tồn tại một điểm c ∈ (x0, x∗) sao cho

Do q < 1 nên khi n → ∞ vế phải tiến tới 0 Chứng tỏ dãy {xn} hội tụ tới

x∗

Để đánh giá sai số của nghiệm gần đúngxn (nhận được bằng phương pháplặp) và nghiệm chính xác x∗ của phương trình f (x) = 0 tại bước thứ n taxét hiệu |xn− x∗|

Công thức trên cho thấy phương pháp lặp hội tụ càng nhanh khi q càng bé.

Từ công thức trên ta cũng suy ra rằng, để đạt được độ xấp xỉ  (nghiệm gầnđúng sai khác nghiệm đúng không quá , |xn − x∗| <  ), ta phải làm N ()

Từ công thức |xn − xn−1| ≤ qn−1|x1 − x0| ta có kết luận: nếu dãy {xn} hội

tụ thì khi n đủ lớn hai nghiệm gần đúng xn và xn−1 xấp xỉ bằng nhau Vìvậy khi sử dụng máy tính ta thường dừng quá trình lặp khi các kết quả liêntiếpxn−1.xn, xn+1, đạt độ xấp xỉ yêu cầu( trùng nhau tới chữ số thập phânsau dấu phẩy cần thiết)

Nhận xét :

Vì ta coi (a,b) là khoảng cách li nghiệm (chứa nghiệm x∗) của phương trình

f (x) = 0nên trong định lý 2.1 ta đã giả thiết sự tồn tại nghiệm x∗ Hơn nữa,

ta đã đòi hỏi g(x) phải là một hàm khả vi Dưới đây là một phiên bản củađịnh lý 2.1 ( không đòi hỏi trước tồn tại nghiệm của phương trình f (x) = 0

và chỉ đòi hỏi g(x) là một hàm liên tục Lipschitz)

Định lý 2.2 Giả sử g(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,b] sao cho:

a |g(x) − g(y)| ≤ q|x − y|, với mọi x, y ∈ [a, b] (g(x) là Lipschitz trên [a,b])

b Tồn tại một số α ∈ [a, b] sao cho |g(α) − α| ≤ (1 − q)(b − a)

Khi ấy với mỗi x0 ∈ [a, b], dãy {xn} xây dựng theo phương pháp lặp

xn = g(xn−1) sẽ hội tụ tới điểm bất động (tức là x∗ = g(x∗)) duy nhất x∗

trong khoảng (a,b) của ánh xạ g

d Tìm hàm lặp hội tụ g

e Chọn xấp xỉ đầu x0

f Tính :

xn = g(xn−1)n = 1, 2, 3,

cho tới khi |xn − xn−1| <  thì dừng

g Kết quả x∗ ' xn với sai số |x∗ − xn| ≤ q

Hình 2.1: đồ thị nghiệm của phương trìnhx3 + x − 1000 = 0

Theo nguyên lý ánh xạ co thì phương pháp lặp hội tụ

Chọn x0 = 10, xây dựng dãy lặp theo công thức

Ví dụ 2.1.2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:

b x = g3(x) =√7

x3 − 2.x + 3

Hình 2.3: đồ thị nghiệm của phương trình 3.x − cos x − 13 = 0

3 ∈ [0, 1] nên phương pháp lặp hội tụ Ta xâydựng dãy lặp:

x0 = 0, 5

xn = cos xn−1+

1 3

3

Sai số của phép lặp được tính theo công thức:

|xn− x| ≤ q

1 − q|xn− xn−1|

Ta có bảng các giá trị nghiệm của phương trình trên là:

Ta thay dây cung của đường cong y = f (x) trên đoạn [a,b] bằng dây căngcung ấy và coi giao điểm của dây cung (đường thẳng) với trục hoành lànghiệm xấp xỉ của phương trình f (x) = 0.

Để xây dựng dãy xấp xỉ xn , ta xét hai trường hợp:

Nghiệm x∗ bây giờ nằm trong khoảng (x1, b) (xem hình 2.4 ).

thay khoảng (a,b) bằng khoảng(x1, b)ta đi đến nghiệmx2 = x1−f (x1)(b − x1)

Nghiệm x∗ bây giờ nằm trong khoảng (a, x1) (xem hình 2.5)

thay khoảng (a,b) bằng khoảng (a, x1) ta đi đến nghiệm xấp xỉ

Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange (công thức gia số hữu hạn), tacó:

f (xn) − f (x∗) = f0(c)(xn − x∗)

với c ∈ (xn, x∗) ⊂ (a, b)

Vì f (x∗) = 0 và 0 < m ≤ |f0(x)| nên

|f (xn) − f (x∗)| = |f0(c)(xn− x∗)| ≥ m|xn − x∗|

trong f(x) hàm phi tuyến

Phương trình (1.1) thường gặp nhiều thực tế Tuy nhiên

số lớp phương trình đơn giản như: phương trình. .. bậc nhất ,phương trình bậchai ,phương trình bậc ba ,phương trình bậc bốn,là phương trình có cơngthức nghiệm biểu diễn qua hệ số vài lớp phương trình giảibằng kĩ thuật đại số (phân tích thừa số, đặt... việc giải toán thực tế

Các phương pháp giải xác mang tính đơn lẻ ( cho lớp phươngtrình), cịn phương pháp giải gần phương trình mang tính phổ dụng:một phương pháp dùng để giải cho lớp phương