Phương pháp chỉnh hóa tikhonov cho bài toán ngược tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ngọc Hân Lớp: 09 CTT2 Giáo viên hư

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ngọc Hân Lớp: 09 CTT2

Giáo viên hướng dẫn: TS Phạm Qúi Mười

BẢNG KÝ HIÊ ̣U

¤ : Trường các số hữu tỉ

¡ : Trường các số thư ̣c

£ : Trường các số phức

PKP : Chuẩn của toán tử K

L X X( , ) : Không gian của tất cả các ánh xa ̣ tuyến tính bi ̣ chă ̣n từ X

vào X vớ i chuẩn toán tử là mô ̣t không gian đi ̣nh chuẩn

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Phạm Quý Mười Trong quá trình làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của thầy Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với người thầy kính yêu của mình

Trong quá trình học tập rèn luyện cũng như trong quá trình nghiên cứu luận văn, hoàn thành luận văn và báo cáo tại các buổi seminar về:

+ Bài toán ngươ ̣c và bài toán đă ̣t không chỉnh

+ Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán ngược tuyến tính

Tác giả xin được gửi tới các thầy-cô giáo, các thành viên - các anh chị trong các seminar lời cảm ơn chân thành về những ý kiến đóng góp quý báu,

sự giúp đỡ tận tình và sự cỗ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua

Tác giả xin gửi tới lãnh đạo Khoa Toán, trường đại ho ̣c Sư pha ̣m, đa ̣i

học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thờ i gian ho ̣c tâ ̣p và rèn luyê ̣n

Xin cảm ơn tất cả mọi người đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên cỗ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013

Tác giả

Huỳnh Thi ̣ Ngo ̣c Hân

Ngoài phần mở đầu và kết luâ ̣n, luâ ̣n văn bao gồ m 3 chương:

Chương 1: Nêu khái niê ̣m bài toán đă ̣t chỉnh và đă ̣t không chỉnh Phát biểu bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c Đưa ra mô ̣t số ví du ̣ về bài toán ngược

Chương 2: Trình bày mô ̣t cách tổng quan về phương pháp chỉnh hóa Phát biểu đi ̣nh nghĩa toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa Nêu lên các

đi ̣nh lý và tính chất liên quan đến phương pháp chỉnh hóa

Chương 3: Trình bày nội dung phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho

bài toán ngươ ̣c tuyến tính Phát biểu và chứng minh các điều kiện để áp dụng được phương pháp Tikhonov vào giải bài toán ngược tuyến tính Cuối

cùng,tôi đưa ra các kết quả giải số khi áp dụng phương pháp này vào một số bài toán ngược tuyến tính cụ thể

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013

Tác giả

Huỳnh Thi ̣ Ngo ̣c Hân

1.1 Một số kiến thư ́ c về giải tích hàm

Trước khi trình bày về bài toán đă ̣t không chỉnh, ở đây tôi nhắc

lại mô ̣t số kiến thức về giải tích hàm có liên quan đến nô ̣i dung nghiên

cứ u đề tài

Một không gian vec tơ X trên K vớ i chuẩn P P đươ ̣c go ̣i là không gian đi ̣nh chuẩn trên K

 Tích vô hướng, không gian tiền Hilbert

Cho X là không gian vec tơ trên trường K  ¡ Một tích vô hướng hoă ̣c tích trong là mô ̣t ánh xa ̣ :

Một không gian vec tơ X trên K vớ i tích trong .,. được go ̣i là

một không gian tiền Hilbert trên K

Các tính chất dưới đây là dẫn xuất từ đi ̣nh nghĩa trên:

(vi) x y z ,   x y ,  x z , ,  x y z X , ,  ,

(vii) x ,  y   x y , ,  x y X ,  ,   K

 Chuẩn của toán tử

Toán tử tuyến tính A được go ̣i là bi ̣ chă ̣n nếu tồn ta ̣i c  sao cho 0

 Không gian Hilbert

Cho X là mô ̣t không gian tuyến tính trên¡ Một tích vô hướng trong X là mô ̣t ánh xa ̣ ., :X  ¡ X thỏa mãn các điều kiê ̣n sau:

 Toán tử liên hợp

Cho A X:  là toán tử tuyến tính, bi ̣ chă ̣n trong không gian Y

Hilbert Khi đó tồn ta ̣i mô ̣t và chỉ mô ̣t toán tử tuyến tính, bi ̣ chă ̣n

*

:

A Y X vớ i tính chất: ( Ax y , ) ( ,  x A y* ),   x X y Y , 

Toán tử A Y*: X được go ̣i là toán tử liên hợp của A

vớ iX  Y, toán tử A được go ̣i là phép liên hợp nếu *

A  A

 Hê ̣ kỳ di ̣

Đi ̣nh nghĩa 1.1.1 Cho X và Y là không gian Hilbert và :K X  là Y

một toán tử tuyến tính compact với toán tử liên hợp *

K K X X được go ̣i là giá tri ̣ kỳ di ̣ củaK

Đi ̣nh lý 1.1.1 Cho K X:  là toán tử tuyến tính compact, Y

*

:

K Y  X là toán tử liên hơ ̣p, và   1 2 3  là dãy được sắp 0

củ a giá tri ̣ kỳ di ̣ dương củaK Khi đó tồn ta ̣i hê ̣ trực chuẩn ( ) xj  X và

( ) yj  Y vớ i tính chất sau:

Khái niê ̣m bài toán đă ̣t không chỉnh được trình bày dựa trên cơ sở

xét mô ̣t bài toán tiên nghiê ̣m của phương trình:

Kxy. (1.1)

Ở đây K X:  là mô ̣t toán tử từ không gian Banach Y X vào không gian BanachY, y là phần tử thuô ̣cY Sau đây là đi ̣nh nghĩa của Hadamard

Đi ̣nh nghĩa 1.2.1 Cho X vàY là không gian đi ̣nh chuẩn, :K X  là Y

một toán tử Bài toán (1.1) được go ̣i là bài toán đă ̣t chỉnh ( well-posed ) nếu nó thỏa mãn các điều kiê ̣n sau:

dãy( )x n X, Kx n Kx(n   thì ) x n (x n  )

Bài toán không thỏa mãn mô ̣t trong ba điều kiê ̣n trên đươ ̣c go ̣i là

bài toán đă ̣t không chỉnh ( ill-posed )

Trong toán ho ̣c, sự tồn ta ̣i mô ̣t nghiê ̣m có thể có đươ ̣c bằng cách

mở rô ̣ng hoă ̣c thu he ̣p không gian nghiê ̣m Yêu cầu về sự ổn đi ̣nh là quan trọng nhất Nếu mô ̣t bài toán thiếu đi tính ổn đi ̣nh thì nghiê ̣m của

nó sẽ không đươ ̣c tính toán mô ̣t cách chính xác, vì vâ ̣y ta có định nghĩa sau đây

Đi ̣nh nghĩa 1.2.2 Cho K là mô ̣t toán tử tuyến tính đi từ không gian X

vào không gian Y Bài toán (1.1) đươ ̣c go ̣i là đă ̣t không chỉnh nếu

nghiệm của phương trình (1.1) không phu ̣ thuô ̣c liên tu ̣c vào dữ liê ̣u ban đầu

Cho các ví du ̣ về bài toán đă ̣t không chỉnh, chúng ta tham khảo thêm ở tài liê ̣u chuyên khảo của Hadamard [4,8]

1.3 Bài toa ́ n thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c

Chú ng ta đã biết, thông thường có hai bài toán đố i ngươ ̣c nhau, trong đó có mô ̣t bài toán go ̣i là bài toán ngược và mô ̣t bài toán gọi là

bài toán thuâ ̣n Thường thì bài toán khó là bài toán ngược – bài toán đă ̣t không chỉnh, bài toán dễ là bài toán thuâ ̣n – bài toán đă ̣t chỉnh

Vi ́ du ̣ 1.3.1.Xét phương trình:

Bài toán thuâ ̣n là bài toán tính Kx với điều kiê ̣n đã có là x X

Bài toán ngươ ̣c là bài toán cho thông tin sẵn có là y L  2, cần tìm

2

x L sao cho Kxy

1.4 Một số vi ́ du ̣ về bài toán ngươ ̣c

Vi ́ dụ 1.4.1 ( bài toán Cauchy cho phương trình Laplace )

Tìm mô ̣t nghiê ̣m u của phương trình Laplace

( , ) ( , )( , ) : u x y u x y 0

vớ i các điều kiê ̣n ban đầu:

Trong đó f và g là các hàm cho trước

Vớ i f x ( ) 0 và g x ( ) 0, phương trình có nghiê ̣m u x y( , ) ,x y,

Vớ i ( ) 0f x  và g x( ) 1sin(nx),

n

 nghiệm của phương trình trong trường

hợp này cho bởiu x y( , ) 12sin(nx)sinh(ny x), ,y 0

n

Ta có :

1sup{| ( ) | | ( ) |} 0, ,

  Các sai số của dữ liê ̣u dần về 0, trong khi sai số của nghiê ̣mu

dần đến vô cù ng Vì vâ ̣y, nghiê ̣m không phu ̣ thuô ̣c liên tu ̣c trên dữ liệu ( xem tài liê ̣u [7] )

Vi ́ dụ 1.4.2 ( phép lấy vi phân )

Bài toán thuâ ̣n là tìm nguyên hàmy vớ i (0) 0y  của một hàm x

liên tục trên [0,1], nghĩa là, tính:

0

( ) ( ) , [0,1].

t

y t x s ds t

Trong bài toán ngươ ̣c, cho hàm y khả vi liên tu ̣c trên [0,1] vớ i (0) 0

y  và muốn xác đi ̣nhx y' Điều này có nghĩa là chúng ta tìm

nghiệm của phương trình tích phân 2  2 

1

2 2

0

1 2 2 0

1sin( )

2 0

1

2 0

1

2 0

1

0

1 2

| sin( ) cos( ) ( sin( )) |

| cos( ) |

1 cos(2 )2

n

n n

Vậy đây là bài toán đă ̣t không chỉnh

Trong hai ví du ̣ này, các bài toán là phương trình tích phân loa ̣i I

Đi ̣nh lý sau chỉ ra rằng phương trình tuyến tính có da ̣ng Kx y vớ i toán tử K compact luôn là bài toán đă ̣t không chỉnh

Đi ̣nh lý 1.4.1

compact, tuyến tính với không gian rỗng ( ) : {N K  x X Kx:  Số 0}chiều củ a không gian / ( )X N K là vô cùng ( vô ha ̣n chiều ) Khi đó, tồn

tại mô ̣t dãy ( )x n  sao cho X Kx  nhưng n 0 (x không hô ̣i tu ̣ n)Chú ng ta có thể cho ̣n ( )x sao cho n Px  nP Trong trường hợp đă ̣c biệt, nếu K là ánh xa ̣ 1-1 thì ánh xa ̣ nghi ̣ch đảo K1: Y  ¡ ( ) K  X

là không bi ̣ chă ̣n

( ) : {K  Kx Y x X :  } là tâ ̣p giá tri ̣ củaK

đi ̣nh tốt, compact, và là ánh xa ̣ 1-1 Ánh xa ̣ ngược

bi ̣ chă ̣n, dẫn đến tồn ta ̣i dãy ([ ])z n X N/ vớ i Kz  va n 0 ̀ [ ]P z n P1

Chọn v n sao cho N 1

Chương 2

TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA

Ở chương trước, ta đã trình bày mô ̣t số ví du ̣ về bài toán ngược Mô ̣t

bài toán ngươ ̣c có thể mô hình hóa như là tìm nghiê ̣m của phương trình:

Kxy (2.1) Trong đó K là toán tử tuyến tính, compact giữa không gian Hilbert X

và Y xét trên trường K  ¡

Chương này nghiên cứu có hê ̣ thống các lược đồ chính quy hóa cho bài toán (2.1) khi bài toán đươ ̣c cho là đă ̣t không chỉnh

2.1 Đi ̣nh nghĩa toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa

Để đơn giản, chúng ta giả sử trong suốt giáo trình này K là toán

tử compact và là ánh xa ̣ 1-1 Đây không phải là mô ̣t giới ha ̣n nghiêm trọng bởi vì chúng ta có thể bổ sung phần bù trực giao của K

Giả sử tồn ta ̣i nghiê ̣m x X của phương trình không bi ̣ nhiễu loạn Kxy.Nó i cách khác, chúng ta cho rằngy( )K Vớ i K là

hàm đơn ánh thì x là nghiê ̣m duy nhất

Trong thực tế, bên phải y Y không bao giờ biết chính xác mà nó chỉ đươ ̣c biết mô ̣t cách xấp xỉ với mô ̣t sai số   nào đó, tức là ta chỉ 0biết các xấp xỉ y củ a y với P y y   P  

Bài toán của chúng ta là tìm nghiê ̣m xấp xỉ của phương trình khi biết y vớ i P y y   P  

Một cách thông thường, nghiê ̣m xấp xỉ được lấy từ nghiê ̣m của phương trình

Kx  y . (2.2)

Nó i chung, (2.2) là không thể giải đươ ̣c bởi vì chúng tôi không thể giả thiết các dữ liê ̣u được đo y  ( ) K củ a K Hơn nữa, cho dù

( )

y  K thì nghiê ̣m x cũng có thể không phải là mô ̣t xấp xỉ của x,

tứ c là có thể Px xP0 cho dù  0

Mục tiêu của chúng tôi là xây dựng mô ̣t xấp xỉ bi ̣ chă ̣n phù

hợpR Y: X củ a toán tử ngượcK1: ( )  K  X ( không bị chă ̣n )

Đi ̣nh nghĩa 2.1.1 Mô ̣t lược đồ chính quy hóa là mô ̣t ho ̣ các toán tử

Khi đó :  được go ̣i là tham số chỉnh hóa,

R được go ̣i là toán tử chỉnh hóa

Đi ̣nh nghĩa 2.1.2 Mô ̣t lược đồ chính quy hóa    ( ) được go ̣i là chấp nhận đươ ̣c nếu ( )   và 0

( )

sup{PR  y xP:y Y,PKxy P}0,  x Xkhi  0

2.2 Ca ́ c đi ̣nh lý và tính chất

Đi ̣nh lý 2.2.1 Cho R là lươ ̣c đồ chính quy hóa cho toán tử compact

:

K X Y vớ i dim X   Khi đó:

(1) Toán tử R là không bi ̣ chă ̣n đều, nghĩa là, tồn ta ̣i dãy ( ) j sao

j

R    j

(2) Dãy  R Kx  không hội tu ̣ đều trên tâ ̣p con bi ̣ chă ̣n của X , có

nghĩa là, không có hô ̣i tu ̣ R K đến đơn vị I theo toán tử chuẩn

Vậy suy ra điều giả sử là không đúng

Suy ra (1) đúng ( điều phải chứng minh )

(2) Giả sử R K  trong I L X X  ,  vớ i chuẩn toán tử Từ tính

compact củ a R K chú ng ta kết luâ ̣n rằng I cũng là compact

Điều này chỉ có thể khi dim X   Nhưng theo giả thiết: dim X   Suy ra mâu thuẫn

Khái niê ̣m về lươ ̣c đồ chính quy hóa dựa trên dữ liê ̣u không bị nhiễu loạn, có nghĩa là R y hội tu ̣ đến x vớ i chính xác vế phải y Kx

Bây giờ y( )K là giá tri ̣ chính xác bên vế phải và y Y là dữ liê ̣u đươ ̣c đo với P y y   P  

Chú ng ta đi ̣nh nghĩa

,

:

x   R y  (2.3) như là mô ̣t xấp xỉ nghiê ̣m x củ a Kx y

Sau đó sai số được tách thành hai phần bởi các ứng du ̣ng rõ ràng của bất đẳng thứ c sau:

bản sau

Chú ng ta quan sát thấy sai số giữa nghiê ̣m chính xác và nghiệm tính toán gồ m 2 thành phần:

Thứ nhất, bên vế phải mô tả các sai số trong dữ liê ̣u nhân với số

điều kiê ̣n RP  P củ a bài toán chính quy hóa Bằng Đi ̣nh lý 2.3, số lượng

này tiến đến  khi   0

Thứ hai, biểu thi ̣ sai số xấp xỉ  1

P P ứ ng với dữ liê ̣u



quy hó a, số ha ̣ng này tiến đến 0 khi   Hình 2.1 minh họa cụ thể 0hơn

Ta thấy rằ ng chú ng ta cần mô ̣t phương pháp để lựa cho ̣n  ( ) ( phụ thuô ̣c vào  ) để giữ cho sai số càng nhỏ càng tốt Có nghĩa là ta muố n làm cho đa ̣i lươ ̣ng  PR P P R Kx xP đa ̣t cư ̣c tiểu

1[ ( , )] | ( , ) |

j j

x x x

Đi ̣nh lý 2.2.3 Cho giả thiết (1) và (2) của đi ̣nh lý trước:

(i) Cho (3a) thay thế bở i điều kiê ̣n ma ̣nh hơn:

Hơn nữa, nếu *

Trường hợp (ii) tương tự

Ta đã có vài ví du ̣ của hàm q:(0, ) (0,  P PK )¡ thỏ a mãn giả thiết (1), (2), (3a-c) củ a đi ̣nh lý trước Chúng ta nghiên cứu hai trong ba

hàm này ở mu ̣c tiếp theo cu ̣ thể hơn

Đi ̣nh lý 2.2.4 Ba hàm q được đưa ra dưới đây thỏa mãn giả thiết (1),

(a)

2 2

c

a

 và 2

1

c a



(c) Cho q được xác đi ̣nh bởi

2 2

Từ đi ̣nh lý trên, các hàm q xác đi ̣nh ở (a), (b), (c) là các hàm lo ̣c

chính quy hóa và lươ ̣c đồ chính quy hóa (2.5) với q đươ ̣c cho

bở i mô ̣t trong ba trường hợp (a), (b), (c) là phương pháp chính quy hó a

Chư ́ ng minh

Vớ i cả ba trường hơ ̣p, tính chất (1) và (3a) là rõ ràng

(a) Tính chất (2) và (3b) là ước lượng sơ cấp

2

1, , 0

2

Vì 1 q( , )   2

 

 Tính chất (3) là rõ ràng

(b) Tính chất (2) lấy trực tiếp từ bất đẳng thức Becnuli :

  Cho (3b) và (3c) ta xét duy nhất trường

hợp  2 Sau đó đến (1 q( , ))     và

  

Chú ng tôi kết hơ ̣p ước lươ ̣ng cơ bản (2.4) với chứng minh trước và xem kết quả sau từ nghiê ̣m cắt

Đi ̣nh lý 2.2.5 Cho y Y sao cho P y   y P  Khi đó yKx là kí hiệu của dữ liê ̣u chính xác phía phải

(a) Cho K X: Y là toán tử compact và đơn ánh với hê ̣ suy biến

( , ) j x yj j Toán tử:

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA

TIKHONOV

Một phương pháp đề câ ̣p đến sự xác đi ̣nh la ̣i hê ̣ tuyến tính của da ̣ng

Kx y để xác đi ̣nh ý nghĩa phù hợp nhất là mô ̣t cực tiểu khuyết PKxyP

vớ i x X cho chuẩn trên Y Chú ng ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về phương pháp

này ngay sau đây:

3.1 Phương pha ́ p chỉnh hóa Tikhonov

Bổ đề 3.1.1 Cho X và Y là không gian Hilbert, K X: Y là toán tử tuyến tính và bi ̣ chă ̣n, y Y Khi đó ˆx X  với PKxˆyP P KxyP,